Dokumen tersebut membahas berbagai jenis fungsi matematika dan model-model ekonomi, termasuk: 1) Fungsi kuadrat, kubik, parabola, hiperbola, elips, dan lingkaran beserta persamaan dan grafiknya. 2) Model permintaan dan penawaran, biaya, penerimaan, keuntungan. 3) Fungsi utilitas, produksi, dan transformasi produk. 4) Model distribusi pendapatan Pareto, bunga majemuk, pertumbuhan penduduk

1. Created by :
Raning Bhaktiniah Permana
Akuntansi 1

2. Fungsi Kuadrat adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah pangkat dua. Gambar dari suatu fungsi
kuadrat dapat berupa salah satu dari empat kemungkinan
bentuk potongan kerucut : lingkaran, elips, parabola, atau
hiperbola.

3. Bentuk umum suatu persamaan kuadrat ialah :
푎푥2 + 푝푥푦 + 푏푦2+푐푥 + 푑푦 +푒 = 0
(setidaknya salah satu dari 푎 푎푡푎푢 푏 tidak sama dengan
nol)
Dari bentuk itu dapat di identifikasi :
Jika 푝 = 0 dan 푎 = 푏 ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran
Jika 푝2 − 4푎푏 < 0, kurvanya adalah elips
Jika 푝2 − 4푎푏 > 0, kurvanya sebuah hiperbola
Jika 푝2 − 4푎푏 = 0, kurvanya sebuah parabola

4. Apabila 푝 = 0 dan dalam persamaan kadrat tersebut tidak
terdapat suku yang mengandung xy, bentuk umum tadi
“berkurang” menjadi :
푎푥2 + 푏푦2 + 푐푥 + 푑푦 + 푒 = 0
Identifikasinya menjadi sebagai berikut :
Jika 푎 = 푏 ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran
Jika 푎 ≠ 푏, tetapi bertana sama, kurvanya sebuah elips
Jika 푎 푑푎푛 푏 berlawanan tanda, kurvanya sebuah hiperbola
Jika 푎 = 0 푎푡푎푢 푏 = 0, tetapi tidak keduanya, kurvanya
sebuah parabola

5. Lingkaran secara geometri ialah tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak tetap terhadap sebuah titik tertentu yang
disebut pusat. Jarak titik terhadap pusat disebut jari-jari
lingkaran
Bentuk umum persamaan lingkaran ialah :
푎푥2 + 푏푦2 + 푐푥 + 푑푦 + 푒 = 0
Pusat dan jari-jari lingkaran dapat dicari dengan rumus
baku yaitu :
(푥 − 퐼)2+(푦 − 푗)2= 푟2
Dimana i dan j adalah jarak pusat lingkaran terhadap sumbu
vertikal –y dan sumbu-sumbu horizontal – x, sedangkan r adalah
jari-jari

6. Elips ialah kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya
terhadap dua fokus selalu konstan. Fokus elips ialah
sebarang titikk yang terletak pada sumbu elips. Titik potong
antara sumbu-sumbu sebuah elips merupakan pusat elis
yang bersangkutan.
Bentuk umum persamaan elips :
푎푥2 + 푏푦2 + 푐푥 + 푑푦 + 푒 = 0
( a setanda tapi tidak sama besar dengan b)
Pusat dan jari-jari lelips dapat dicari dengan rumus
baku yaitu :
(푥−푖)2
푟1
2 +
(푦−푗)2
푟2
2 = 1

7. hiperbola ialah tempat kedudukan titik-titik yang
perbedaan jaraknya terhadap dua fokus yang selalu
konstan. Perpotongan antara sumbu simetri merupakan
pusat hiperbola. Sumbu simetri yang memotong hiperbola
disebut sumbu lintang (transverse axis).
Bentuk umum persamaan hipebola :
푎푥2 + 푏푦2 + 푐푥 + 푑푦 + 푒 = 0
Pusat hiperbola dapat dicari dengan rumus baku yaitu :
(푥−푖)2
푚2 +
(푦−푗)2
푛2 = 1

8. Persamaan untuk asimtot-asimtotnya dapat dicari melalui
bentuk rumus baku yaitu :
atau
푥 − 푖
푚
= ±
푦 − 푗
푛
푦 − 푗
푚
= ±
푥 − 푖
푛

9. Parabola adalah bentuk persamaan kudarat yang
paling penting dalam bisnis dan ekonomi. Parabola ialah
bentuk kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap
sebuah titik fokus dan garis lurus yang disebut direktriks.
Setiap [parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan
sebuah titik ekstrim. Titik ekstrim parabola tak lain ialah titik
potong antara sumbu simetri dan parabola yang
bersangkutan.
Bentuk umum persamaan parabola :
Sumbu simetri // sumbu vertikal
atau
Sumbu simetri // sumbu horizontal
푦 = 푎푥2 +푏푥 + 푐
푥 = 푎푦2 +푏푦 + 푐

10. Titik ekstrim parabola (i,j) adalah :
−푏
2푎
(
,
푏2 − 4푎푐
−4푎
)
Dimana –b/2a adalah jarak titik ekstrim dari sumbu vertikal
–y, sedangkan (푏2-4ac)/-4a adalah ara titik ekstrim dari
sumbu horizontal –x.

11. Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga ialah fungsi
yng pangkat tertinggi variabelnya adalahpangkat tiga.
Bentuk umum persamaan fungsi kubik :
푦 = 푎 + 푏푥 + 푐푥2 + 푑푥3
Setiap fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah
titik belok, yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung
menjadi cembung atau sebaliknya. Selain titik belok,
sebuah fungsi kubik mungkin pula mempunyai satu titik
ekstrim atau dua titik ekstrim. Ada tidaknya titik ekstrim
tergantung pada ada besarnya nilai a,b,c, dan d pada
persamaanya.

12. • Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar
p
Pe
0
Qs
E
Qd
Q
Qe
Keseimbangan Pasar
Qd=Qs
Qd : jumlah permintaan
Qs : jumlah penawaran
E : titik keseimbangan
Pe : Harga keseimbangan
Qe : jumlah keseimbangan
Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih
tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit.
Sebaliknya, subsidi menyebabkan harga keseimbangan
menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi
banyak.

13. • Fungsi Biaya
Bentuk non-linear dari fungsi biaya pada umumnya
berupa fungsi kuadrat parabolik dan fungsi kubik.
Hubungan antara biaya total dan bagian bagiannya dapat
dilihat sebagai berikut :
a) Biaya total merupakan fungsi kuadrat parabolik
Andaikan C = 푎푄2-푏푄 + 푐
maka
퐶 =
퐶
푄
VC FC
= 푎푄 − 푏 +
푐
푄
퐴푉퐶 =
푉퐶
푄
= 푎푄 − 푏
퐴퐹퐶 =
퐹퐶
푄
= 푐/푄

14. C
c
0
C
FC
VC
Q
(a)
C
AFC
AC
AVC
0 Q
-b
(b)

15. b) Biaya total merupakan fungsi kubik
Andaikan 퐶 = 푎푄3 − 푏푄2 + cQ + d
maka :
퐴퐶 = 푐푄 = 푎푄2 − bQ + c +
d
Q
퐴푉퐶 =
푉퐶
푄
= 푎푄2 − bQ + c
퐴퐹퐶 =
퐹퐶
푄
=
푑
푄
VC FC

16. C
d
0
C
VC
FC
Q
(a)
C
0
AC
AVC
AFC
(b)
Q

17. • Fungsi Penerimaan
Bentuk fungsi penerimaan total yang non-linear
pada umumnya berupa sebuah persamaan parabola
terbuka kebawah
Penerimaan Total : 푅 = 푄 × 푃 = 푓 푄
Penerimaan rata-rata : 퐴푅 =
푅
푄
Penerimaan Marjinal : 푀푅 =
Δ푅
Δ푄
Mengingat R=QxP atau P=R/Q, sedangkan AR=R/Q,
berarti penerimaan rata-rata (AR) tak lain adalah harga
barang per unit (P). Secara grafik, kurva AR adalah juga
kurva permintaan dalam bentuk P = g(Q)

18. • Keuntungan, Kerugian dan Pulang-Pokok
C,R
0
Q1 Q2 Q3 Q4
Q
C=c(Q
)
R=r(Q)
TPP
TPP : Titik pulang-pokok

19. • Fungsi Utilitas
pada umunya, semakin banyak jumlah suatu barang
dikonsumsi semakin besar utiltas yang diperoleh.
0 MU
Q
U=f(Q
)
Utiltas Total :
U= f(Q)
Utilitas Marjinal :
MU=
Δ푈
Δ푄

20. • Fungsi produksi
Bentuk fungsi produk total, pada umumnya berupa
sebuah persamaan kubik yang mempunyai titik belok dan
sebuah titik puncak. Jika dalam suatu kegiatan produksi
dianggap hanya terdapat satu masukan variabel,
katakanlah X, sementara masukan-masukan lainnya
merukan msukan tetap, maka fungsi produksinya dapat
dinyatakan dengan notasi P = f(x)
Produk Total : P = f(x)
Produk Rata-rata : AP =
푃
푋
ProdukMarjinal : MP =
Δ푃
Δ푋
Secara grafik, kurva produk total P mencapai puncaknya
tepat ketika kurva produk marjinal MP=0. sedangkan MP
mencapai puncaknya tepat pada posisi belok kurva P

21. Titik belok
P = f(X)
AP
MP
P
0
x

22. • Kurva Transformasi Produk
kurva transformasi produk ialah kurva yang
menunjukan pilihan kombinasi jumlah produksi dua macam
barang dengan menggunakan masukan yang
samasejumlah tertentu. Kurva transformasi produk
kuadratik dapat berupa potongan lingkaran, elips, hiperbola
maupun potongan parabola

23. • Model Distribusi Pendapatan Pareto
Menurut Vilfredo Pareto, jumlah penduduk dari suatu
populasi a yang berpendapatan melebihi x adalah :
푁 =
푎
푥푏
Dimana b merupakan suatu parameter atau besaran
populasi tertentu.
Jumlah Penduduk
Berpendapatan melebihi x
N
0 Pendapatan (US$)
x
푁 =
푎
푥푏
a : populasi total
b : parameter populasi
x : batas pendapatan tertentu
N : bagian dari populasi yang
berpendapatan melebihi x

24. • Fungsi Eksponensial
fungsi eksponensial ialah fungsi dari suatu
konstanta berpangkat variabel bebas. Kurvanya terletak di
kuadran-kuadran atas (kuadran I dan kuadran II) pada
sistem koordinat.
Bentuk fungsi eksponensial yang lebih umum adalah :
푦 = 푛푒푘푥+ c 푛 ≠ 0
푘, 푐 ∶ 푘표푛푠푡푎푛푡푎
Kurvanya asimtotik terhadap garis y=c. Mengingat bentuk
inimengandung bilangan e maka pengetahuan tentang
konsep logaritma khususnya logaritma napier berbasis e,
sangat diperlukan untuk menyelesaikan persamaan
eksponensial semacam ini.

25. • Fungsi Logaritmik
Fungsi Logaritmik adalah kebalikan dari fungsi
eksponensial, variabel bebsanya merupakan logaritma.
Bentuk fungsi loaritmik yang paling sederhana :
Y = n log X
Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum :
Y = a1n (1 + x ) + b

26. • Model Bunga Majemuk
Untuk menghitung jumlah di masa datang dari
jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan, kita dapat
menggunakan model bung majemuk
퐹푛 = 푃 (1 +
푖
푚
)푚푛
Dimana 퐹푛 melambangkan jumlah pinjaman atau tabungan
setelah n tahun, P melambangkan jumlahnya sekarang
(tahun ke-0), i adalah tingkat bunga pertahun, m adalah
frekuensi pembayaran bunga dalam setahun dan n adalah
jumlah tahun

27. • Model Pertumbuhan Penduduk
Model pertumbuhan penduduk merupakan bentuk
fungsi eksponensial. Model semacam ini tidak saja relevan
bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi juga dapat
diterapkan untuk menaksir variabel- variabel lain
berkenaan dengan pertumbuhannya.
Notasi model pertumbuhan :
푁푡 = 푁1푅푡−1 R = 1 + 푟
Dimana N melambangkan variabel yang sering diamati, r
ialah persentase pertumbuhannya per satuan waktu
tertentu, sedangkan t adalah indeks waktu.

28. • Kurva Gompertz
Untuk menganalisis variabel yang gejalanya
asimtotik terhadap batas-jenuh tertentu), model
pertumbuhan yang tetap untuk diterapkan adalah model
pertumbuhan Gompertz. Model ini didasarkan atas bentuk
atau pola kurva Gompertz, yang bentuk persamaannya.
푁 = 푐푎푟1
Dimana N melambangkan jumlah variabel tertentu yang
sedang diamati, r melambangkan tingkat pertumbuhan
rata-rata (0<r<1), a melambangkan proporsi pertumbuhan
awal, c melambangkan batas-jenuh pertumbuhan N
(merupakan asimtot atas), sedangkan t adalah indeks
waktu.

29. Kurva Gompertz mempunyai dua tipe dasar yakni :
N
0
t
N= c
Batas jenuh
푁 = 푐푎푟1
Tipe I : 0 <a<
1
푒
Tipe II :
1
푒
≤ 푎 < 1

30. • Kurva Belajar
Dalam ekonomi, kurva belajar cocok untuk menggambarkan
perilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel
waktu
Bentuk dasar persamaan kurva belajar :
y
0
x
푦 = 푚
s
(0,m-s)
푦 = 푚 − 푠푒−푘푥
푘, 푚, 푠 > 0
Konstanta m
melambangkan batas-jenuh
y, atau y
tertinggi yang dapat
tercapai. Perhatikan
bahwa jika x=0, y=m-s

31. • Model Efisiensi Wright
bentuk anti-log persamaan yang disebut model
efisiensi Wright, yakni :
푡 = 푎 푞푏 푏 =
log 푟
0,3010
dimana ;
푎 : waktu yang diperlukan untuk memproduksi unit pertama
dari produk yang dihasilkan
푞 ∶ jumlah produksi
푟 ∶ tingkat efisiensi waktu produksi
푡 ∶ waktu produksi rata-rata kumulatif

32. waktu produksi total dapat dihitung dengan cara
mengalikan waktu produksi rata-rata kumulatif (t) tadi
terhadap jumlah produksinya (q)
푇 = 푡 × 푞 = 푎푞푏 × 푞 = 푎푞1+푏

33. SEKIAN DAN
TERIMAKASIH 