Dokumen tersebut membahas konsep dasar turunan, termasuk definisi turunan sebagai batas dari turunan rata-rata, hubungan antara turunan dengan kecepatan dan garis singgung, aturan pangkat untuk turunan fungsi pangkat, serta hubungan antara keberlangsungan dan kemampuan diferensiasi suatu fungsi. Diberikan juga contoh penghitungan turunan beberapa fungsi sederhana.

1. Modul ke:
Fakultas
Program Studi
04Teknik
Teknik Sipil
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
MATEMATIKA I
Konsep Turunan
Turunan Suku Banyak

2. Gagasan Mengenai Turunan
1. GARIS SINGUNG
Q
h
mtan = ݈݅݉ℎ →0 ݉
x
y
c c + h
P
f(c + h) – f(c)(c, f(c))
(c+h, f(c+h))
Garis singgung
Tali busur
y = f(x)

3. Andaikan kurva tersebut adalah grafik dari
persamaan y = f(x). Maka P mempunyai koordinat
(c, f(c)), titik Q di dekatnya mempunyai koordinat
(c+h, f(c+h)), dan talibusur yang melalui P dan Q
mempunyai kemiringan
݉ =
݂ሺܿ + ℎሻ − ݂ሺܿሻ
ℎ
Lanjut...

4. Lanjut...
Akibatnya, garis singgung – jika tidak tegak lurus
– adalah garis yang melalui P dengan kemiringan
mtan yang memenuhi
݉‫݊ܽݐ‬ = lim
ℎ→0
݉ = lim
ℎ→0
݂ሺܿ + ℎሻ − ݂ሺܿሻ
ℎ

5. Lanjut...
2. KECEPATAN SESAAT
Andaikan sebuah benda P bergerak sepanjang
garis koordinat sehingga posisinya pada saat t
diberikan oleh s = f(t). Pada saat c benda berada
di f(c); pada saat yang berdekatan c + h, ia berada
di f(c + h). Jadi kecepatan rata-rata pada selang
ini adalah
‫ݒ‬‫ܽݐܽݎ‬ −‫ܽݐܽݎ‬ =
݂ሺܿ + ℎሻ − ݂ሺܿሻ
ℎ

6. Lanjut...
Dan sekarang kita definisikan kecepatan sesaat v
di c oleh
‫ݒ‬ = lim
ℎ→0
‫ݒ‬‫ܽݐܽݎ‬ −‫ܽݐܽݎ‬ = lim
ℎ→0
݂ሺܿ + ℎሻ − ݂ሺܿሻ
ℎ

7. Konsep Turunan
݂′ ሺܿሻ = lim
ℎ→0
݂ሺܿ + ℎሻ − ݂ሺܿሻ
ℎ
Definisi
Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca ‘f
aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan
c adalah
Asalkan limit ini ada.

8. Lanjut
Jika limit ini memang ada, maka
dikatakan bahwa f terdiferensialkan
(terturunkan) di c.
Pencarian turunan disebut
pendiferensialkan.

9. Lanjut...
CONTOH :
Andaikan f(x) = 13x – 6 . Cari f’(4).
Penyelesaian
݂′ ሺ4ሻ = lim
ℎ→0
݂ሺ4 + ℎሻ − ݂ሺ4ሻ
ℎ
= lim
ℎ→0
ሾ13ሺ4 + ℎሻ − 6ሿ − ሾ13ሺ4ሻ − 6ሿ
ℎ
= lim
ℎ→0
13ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0
13 = 13

10. Bentuk-bentuk yang setara untuk Turunan
݂′ ሺܿሻ = lim
‫ݔ‬→ܿ
݂ሺ‫ݔ‬ሻ − ݂ሺܿሻ
‫ݔ‬ − ܿ
x
y
xc
x - c
f(x) – f(c)
(c, f(c))
(x, f(x))

11. Lanjut...
CONTOH :
Gunakan rumus di atas untuk menghitung g’(c), jika
g(x) =
2
ሺ‫ݔ‬+3ሻ
Penyelesaian :
݃′ሺܿሻ = lim
‫ݔ‬→ܿ
݃ሺ‫ݔ‬ሻ − ݃ሺܿሻ
‫ݔ‬ − ܿ
= lim
‫ݔ‬→ܿ
2
‫ݔ‬ + 3
−
2
ܿ + 3
‫ݔ‬ − ܿ

12. Lanjut...
= lim
‫ܿ→ݔ‬
ቈ
2ሺܿ + 3ሻ − 2ሺ‫ݔ‬ + 3ሻ
ሺ‫ݔ‬ + 3ሻሺܿ + 3ሻ
.
1
‫ݔ‬ − ܿ
቉
= lim
‫ܿ→ݔ‬
൤
−2ሺ‫ݔ‬ − ܿሻ
ሺ‫ݔ‬ + 3ሻሺܿ + 3ሻ
.
1
‫ݔ‬ − ܿ
൨
= lim
‫ݔ‬→ܿ
−2
ሺ‫ݔ‬ + 3ሻሺܿ + 3ሻ
=
−2
ሺܿ + 3ሻ2

13. Turunan dan Kekontinuan
Teorema
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang
terbuka I yang memuat c.
Jika fungsi f terdiferensialkan di c, maka fungsi
f kontinu di c.
atau dengan kata lain,
Jika f’(c) ada, maka f kontinu di c.

14. Lanjut...
Bukti :
Kita perlu menunjukkan bahwa :
lim
‫ݔ‬→ܿ
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ݂ሺܿሻ
Sekarang :
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ݂ሺܿሻ +
݂ሺ‫ݔ‬ሻ − ݂ሺܿሻ
‫ݔ‬ − ܿ
. ሺ‫ݔ‬ − ܿሻ, ‫ݔ‬ ≠ ܿ

15. Lanjut...
Karenanya :
lim
‫ܿ→ݔ‬
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = lim
‫ݔ‬→ܿ
ቈ݂ሺܿሻ +
݂ሺ‫ݔ‬ሻ − ݂ሺܿሻ
‫ݔ‬ − ܿ
. ሺ‫ݔ‬ − ܿሻ቉
= lim
‫ܿ→ݔ‬
݂ሺܿሻ + lim
‫ܿ→ݔ‬
݂ሺ‫ݔ‬ሻ − ݂ሺܿሻ
‫ݔ‬ − ܿ
. lim
‫ܿ→ݔ‬
ሺ‫ݔ‬ − ܿሻ
= ݂ሺܿሻ + ݂′ሺܿሻ. 0
= ݂ሺܿሻ

16. Turunan Suku Banyak
Teorema
(Aturan Pangkat). Jika f(x) = xn
, dengan n
bilangan-bilangan bulat positif, maka f’(x) =
nxn-1
, yakni
D(x
n
) = nx
n-1

17. Lanjut...
CONTOH SOAL 1 :
Jika f(x) = 2x
4
, maka carilah turunan dari f(x) atau
f’(x)
penyelesaian :
f’(x) = 2.4x
4-1
= 8x
3

18. Lanjut...
CONTOH SOAL 2 :
Jika f(x) =
3
‫ݔ‬
, maka carilah turunan dari f(x) atau
f’(x)
Penyelesaian
Nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dahulu
menjadi f(x) = 3x-1
f’(x) = 3.(-1)x-1-1
= -3x-2
= −
3
‫ݔ‬2

19. Referensi
1. _____. e-paper.http://www.rumus.web.id/matematika/rumus-turunan-
matematika/
2. _____. e-paper.
http://matematikablogscience.blogspot.co.id/2012/03/turunan-dan-
integral.html
3. Martono, Koko, Drs, M.Si. 1999. Kalkulus. ITB Bandung.Penerbit Erlangga.
4. Purcell, Edwin J dan Varberg, Dale. 1990. KALKULUS dan Geometri Analitis.
Jilid1. Jakarta.Penerbit Erlangga.

20. Terima Kasih
Reza Ferial Ashadi, ST, MT