Matrix - Invers, tranpose, determinant. (2x2, 3x3) XII Science LN

198,855 views

Published on

It's my matrix presentation when my teacher asked me and my friend, Hanifah Fauziah, to create a presentation learner about matrix. It's contain 2x2 and 3x3 matrix following by their invers, transpose and determinant. It's written on Indonesian language.

Published in: Education
0 Comments
59 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
198,855
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
53
Actions
Shares
0
Downloads
4,637
Comments
0
Likes
59
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matrix - Invers, tranpose, determinant. (2x2, 3x3) XII Science LN

  1. 1. MATRIKS Oleh: Muhammad Yossi Hadiyoso & Hanifah Fauziah XII Science LN
  2. 2. A. Mengenal definisi dan jenis – jenis matriks Pengertian matriks : Matriks adalah susunan bilangan bilangan yang diatur menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan kurung. Bilangan – bilangan pada matriks disebut elemen – elemen matriks. Suatu matriks ditandai dengan huruf besar, misalnya matriks A, B, C, M, N, P, … dst.
  3. 3. Berikut contoh sebuah matriks : o Nama matriks adalah matriks A o Ordo suatu matriks ditulis sebagai perkalian dua buah bilangan bulat positif dengan bilangan pertama menyatakan benyaknya baris, dan bilangan kedua menyatakan banyaknya kolom. Untuk matriks A di atas ordonya 3x2 atau dinotasikan A3x2. o Elemen – elemen pada : baris pertama : 2 dan -1 baris kedua : 10 dan 6 baris ketiga :7 dan -3 kolom pertama : 2, 10 dan 7 kolom kedua : -1, 6, dan -3 o a11 menyatakan elemen matriks A pada baris pertama kolom pertama, a12 menyatakan elemen matriks A pada baris pertama kolom kedua, aij menyatakan elemen matriks A pada baris ke-i kolom kej, maka : a11 = 2, a12 = -1, a21 = 10, a22 = 6, a31 = 7, dan a32 =-3
  4. 4. Latihan … Pada matriks berikut ini, buatlah keterangan – keterangan seperti contoh tadi !
  5. 5. Jenis – jenis matriks  Matriks baris  Matriks kolom  Matriks persegi  Matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah  Matriks diagonal  Matriks skalar  Matriks identitas  Matriks nol  Matriks sebarang
  6. 6. a. Matriks baris : matriks yang hanya mempunyai satu baris saja, sedangkan banyaknya kolom adalah bebas. Contoh Matriks Baris :
  7. 7. b. Matriks kolom : matriks yang hanya mempunyai satu kolom saja, banyaknya baris adalah bebas . Contoh matriks kolom :
  8. 8. c. Matriks persegi: matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolomnya sama . Contoh matriks persegi :
  9. 9. d. Matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah : Matriks segitiga atas : Matriks segitiga bawah : Contoh : elemen di atas diagonal utama adalah bebas, di bawah diagonal utama adalah nol. elemen di bawah diagonal utama adalah bebas, di atas diagonal utama adalah nol.
  10. 10. e. Matriks diagonal : matriks persegi dengan elemen pada diagonal utama adalah bebas, sedangkan yang lainnya adalah nol. Contoh :
  11. 11. f. Matriks Skalar : elemen pada diagonal utama adalah bilangan yang sama, yang lainnya adalah nol . Contoh :
  12. 12. g. Matriks Identitas : Contoh – contoh : matriks persegi dengan elemen pada diagonal utama adalah 1 dan yang lain adalah nol .
  13. 13. h. Matriks nol : semua elemennya nol . Contoh – contoh :
  14. 14. i. Matriks sebarang : contoh – contoh : matriks yang tidak punya aturan – aturan khusus seperti di atas (seluruh elemennya adalah bebas).
  15. 15. Latihan . . . Tentukan jenis – jenis matriks berikut dan sebutkan ordonya !
  16. 16. Transpose Matriks Transpose matriks A adalah matriks baru yang diperoleh dengan mengubah baris menjadi kolom matriks mula – mula, atau sebaliknya. Transpose matriks A dinotasikan AT atau At . Contoh – contoh :
  17. 17. Latihan . . . Tentukan transpose dari matriks – matriks berikut !
  18. 18. Lawan matriks (Invers) Lawan matriks A dinotasikan –A adalah matriks yang elemennya lawan/ negatif dari matriks A. contoh :
  19. 19. Kesamaan matriks : Dua buah matriks sama jika elemen yang bersesuaian mempunyai nilai yang sama . Contoh : Jawab : y-1 = 2  y = 3 x+3=7-y  x+3=7-3=4  x=4-3  x=1 Nilai x+y = 3+1 = 4
  20. 20. Operasi aljabar pada matriks  Penjumlahan matriks  Pengurangan matriks  Perkalian matriks dengan skalar  Perkalian matriks
  21. 21. 1. Penjumlahan matriks Penjumlahan dua buah matriks akan mendapatkan matriks baru yang elemen – elemennya adalah jumlah dari elemen – elemen yang barsesuaian dari matriks sebelumnya. Dua buah matriks dapat dijumlahkan syaratnya harus mempunyai ordo yang sama . Contoh penjumlahan matriks :
  22. 22. 2. Pengurangan matriks Pengurangan dua buah matriks akan menghasilkan metriks lain yang elemen – elemenya merupakan selisih elemen – elemen yang bersesuaian dari matriks sebelumnya. Dua buah matriks dapat dikurangkan syaratnya mempuntai ordo yang sama . Contoh pengurangan matriks :
  23. 23. 3. Perkalian matriks dengan scalar Perkalian matriks A dengan skalar k dinotasikan kA akan menghasilkan matriks baru yang elemen –elemennya merupakan hasil perkalian semua elemen – elemen A dengan skalar k . Contoh perkalian matriks dengan skalar :
  24. 24. 4. Perkalian matriks Perkalian dua buah matriks akan menghasilkan matriks baru yang elemen – elemennya merupakan jumlah dari perkalian setiap elemen baris matriks matriks pertama dengan setiap elemen kolom matriks kedua . Dua buah matriks dapat dikalikan syaratnya banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua atau secara matematis Akxl . Blxm = C kxm Contoh perkalian matriks :
  25. 25. ordo A 2x2 ordo B 2x3 banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua ordo matriks hasil2x3 Sedangkan perkalian BA tidak dapat dilaksanakan, mengapa ?
  26. 26. Latihan . . . a. Tentukan hasil A+B dan B+A, apa kesimpulan anda? b. Tentukan hasil A-B dan B-A c. Tentukan hasil AB dan BA, apa kesimpulan anda? a. Tentukan hasil A+BT b. Tentukan hasil AT-B c. Tentukan hasil AB dan BA jika dapat dilaksanakan !
  27. 27. C. Menentukan determinan matriks Determinan matriks ordo 2x2 Di bawah ini contoh menghitung determinan matriks :
  28. 28. Determinan matriks ordo-3
  29. 29. Menghitung determinan matriks menggunakan metode Sarrus : Jawab : = [1.(-2).6 + 2.4.2 + (-3).5.(-2)] – [ 2.(-2).(-3) + (-2).4.1 + 6.5.2 ] = [-12+16+30] – [ 12-8+60] = 34 - 64 = - 30 Tentukan determinan matriks – matriks :
  30. 30. Menghitung determinan matriks dengan ekspansi baris atau kolom Jawab : Misalkan akan diekspansikan baris pertama Maka : Koefisien dan tanda Hasil ini akan sama jika kita mengeskpansikan baris ke-2, baris ke-3, kolom ke-1, kolom ke-2 atau kolom ke-3 .
  31. 31. Latihan . . . Tentukan determinan matriks – matriks :
  32. 32. INVERS MATRIKS ORDO-3 p e n g a y a a n
  33. 33. Langkah – langkah menentukan invers matriks ordo-3 Langkah 1 Tentukan determinannya Langkah 4 Tentukan matriks kofaktornya 4. Tentukan inversnya Tentukan Adjoinnya Langkah 3 Langkah 2
  34. 34.  Determinan Matriks Ordo 3x3 dimana A =
  35. 35.  Pengertian Minor, Kofaktor, dan Adjoin Jika , maka minor dari matriks A dapat dinyatakan dalam oleh aij atau Mij, didefinisikan sebagai determinan submatriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks A dihilangkan Minor dari matriks A diatas antara lain:  M11= jadi a11 =  M12= Baris ke 1 dan kolom ke 1 dihilangkan sehingga diperoleh = e.h - g.f Baris k-1 dan kolom ke-2 dihilangkan sehingga diperoleh jadi a12 = = d.i - g.f
  36. 36.  M13= Baris ke 1 dan kolom ke 1 dihilangkan sehingga diperoleh jadi a13 =  M12= Baris k-2 dan kolom ke-1 dihilangkan sehingga diperoleh jadi a12 =  = d.h - g.e = b.i – c.h dan seterusnya sampai M3,3 Jika minor aij menyatakan minor ke-ij dari matriks A, maka kofaktor ke-ij dari matriks A, dinyatakan dengan Cij, didefinisikan sebagai berikut
  37. 37. Adjoin A adalah transpos dari matriks Kofaktor
  38. 38.  Invers Matriks ordo 3x3 dimana adalah dengan syarat ≠0
  39. 39. Contoh Tentukan invers dari matriks Jawab : Dari rumus sebelumnya , kita dapatkan Det (A) = -48
  40. 40. Invers A =
  41. 41. INVERS MATRIKS ORDO-2
  42. 42. Jawab : D. Menentukan invers matriks Tujuan Pembelajaran :Siswa dapat menentukan invers matriks ordo 2x2 Invers matriks ordo-2 a. b. c. d. e. Hitung determinan A Tentukan Adj. A Tentukan A-1 Tentukan hasil perkalian AA-1 dan A-1A Buatlah kesimpulan dari hasil d .
  43. 43. E. Menyelesaikan persamaan matriks menggunakan invers matriks Sifat – sifat penting :  AI = I A = A Perkalian suatu matriks dengan matriks Identitas atau sebaliknya perkalian matriks identitas dengan sebarang matriks akan menghasilkan matriks itu sendiri .  AA-1 = A-1A = I Perkalian suatu matriks dengan inversnya atau sebaliknya perkalian invers suatu matriks dengan matriks mula – mula akan menghasilkan matriks identitas . Yang biasa muncul dalam soal Persamaan bentuk AX = B, ditanyakan matriks X Persamaan bentuk XA = B, ditanyakan matriks X
  44. 44. Berikut konsep cara penyelesaiannya : Persoalan bentuk AX = B Diselesaikan dengan langkah – langkah : AX = B  A-1 A X = A-1`B  I X = A-1 B  X = A-1 B
  45. 45. A B
  46. 46. Latihan . . .
  47. 47. 1. Menyelesaikan persamaan linier menggunakan matriks SKEMA CARA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER: Menyelesaikan sistem persamaan linier dapat dilakukan dengan cara – cara : Cara aljabar terdahulu : * Substistusi * Eliminasi * Titik potong grafik fungsi linier Menggunakan determinan matriks Menggunakan persamaan matriks CARA MATRIKS
  48. 48. Jawab : a. Menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan determinan 2 + 3y = 4 Untukxsebarang persamaan linier dua vareabel : ax5x +=c = 2 +by 7y p x + q y = r, maka penyelesaian persamaan tersebut adalah : Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan : 2x + 3y = 4 5x + 7y = 2
  49. 49. b. Menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan persamaan matriks Untuk sebarang persamaan linier dua vareabel : ax + by = c p x + q y = r, maka persamaan tesebut dapat ditulis dalam bentuk matriks : Matriks koefisien AX = B, penyelesaiannya :
  50. 50. Latihan . . . Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan : a. 2x+3y=4 b. 5x+8y=1 5x+7y=2 -x -2y =6 menggunakan persamaan matriks !

×