3. مبرهنة فيثاغورس مبرهنة فيثاغورس : هي مبرهنة في الهندسة التقليدية ، تقول انه في أي مثلت قائم الزاويه يكون مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة يساوي مربع طول الوتر ، سميت هذه المبرهنة على العالم فيثاغورس الذي كان رياضيا ، وفيلسوفا، وعالم الفلك، في اليونان القديمة .
4. مبرهنة فيثاغورس المباشرة : وهي الشكل الأكثر شهرة لمبرهنة فيثاغورس : (( في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة .)) في المثلث ( أ ب ج ) قائم الزاوية في ( ب ) ، أي ان ( أ ج ) هو الوتر ، نضع أب = ح ، ب ج = ث ، أج = د لدينا : ( أج ) 2 = ( أب ) 2 + ( ب ج ) 2 أو : د 2 = ح 2 + ث 2 أ أ م ب ج ح د ث
5.
6.
7. برهان اقليدس أ ب د ج ف ز قبل برهنة على خاصية فيثاغورس ، يجب اثبات عبارتين . العبارة الاولى التي يجب اثباتها هي تساوي مساحتي متساوي الاضلاع لهما نفس القاعدة ونفس الارتفاع . متوازيات الاضلاع التي لها قاعدة مشتركة , ومحصورة بين المستقيمين المتوازيين ، لهما نفس المساحة . لنعتبر متوازيي الاضلاع ( أ ب ج د ) و ( ب ج ف ز ) لديهما قاعدة مشتركة ( ب ج ) ، ومحصوران بين المتوازيين ( ب ج ) و ( ف ز ) لاحظ ان : ب ج = أد ( لأنهما قاعدتا متوازي الاضلاع ( أ ب ج د ) و ب ج = ف ز ( لأنهما قاعدتا متوازي الاضلاع ( ب ج ف ز ) وبالتالي أد = ف ز توجد ثلاثة حالات فقط ، ( مبينة في الشكل جانبه ) لموضع النقطة ز بالنسبة الى د . يمكن ان توجد النقطة ز على يسار النقطة د . ويمكن ان تكون النقطة ز منطبقة النقطة د . ويمكن ان تكون النقطة ز على يمين النقطة د . سندرس كل حالة : 1- اذا كانت ز على يسار النقطة د فان زد مشتركة بين كل من أد و زف ، ومنه نستطيع التحقق من ان المسافتين زد و أد متساويتين . لاحظ ان الضلعين أب و ج د مقياسان ( لأنهما قاعدتان متقابلتان في متوازي الاضلاع أب ج د ) . والنقط أ ، ب ، ج ، د مستقيمة . والزاويتان ( ب أ ز ) و ( ج د ف ) مقايستان . كنتيجة لهذا فالمثلثان ( أ ب ج ) و ( ج د ف ) مقياسان ، لأنهما لهما ضلعان مقياسان
8. لأن لهما ضلعان م قياسان والزاويتان المحصورتان مقايستان ، اذن . متوازيي الاضلاع ( أ ب ج د ) و ( ب ج ف ز ) ليسا سوى ترتيبين مختلفين من شبه المنحرف ( ب زد ج ) والمثلث ( ب أ ز ) أ و ( ج د ف ) 2- اذا كانت ز منطبقة على د سنجد بطريقة مشابهة أن المثلثين ( ب أ ز ) أ و ( ج د ف ) تقايسان ، وأنه من الممكن متوازيي الأضلاع ( أ ب ج د ) ( ب ج ف ز ) بإضافة المثلث ( ب أ ز ) أ و ( ج د ف ) الى المثلث ا لمشترك ( ب ج د ). - اذا كانت ز على يمين د ، لدينا أد = زف ،وبإضافة زد لكل منها نجد ان أ ز = د ف . وبطريقة مشابهة لتلك التي استعملناها في او 2 ،يمكن ان نبين ان المثلثين ( ب أ ز ) أ و ( ج د ف ) ،وأيضا شبهي المنحرف ( ب أ د ع ) و ( ج ع ز ف ) متقايسان . اذن من الواضح انه يمكن الحصول على متوازيي الاضلاع ( أ ب ج د ) و ( ج ب زف ) عن طريق اضافة المثلث المشترك ( ب ج ع ) الي شبه المنحرف ( ب أ د ع ) او ( ج ع ز ف ). استبد ال متوازي أضلاع بمتوازي أضلاع آخر له نفس القاعدة والارتفاع يعرف في الرياضيات باسم القص . هذا الاخير مهم جدا في اثبات العبارة التالية : (( اذا كان لمتوازي الاضلاع ولمثلث نفس القاعدة . ومحصورين بين مستقيمين متوازيين . فان مساحة متوازي الاضلاع هي ضعف مساحة المثلث )). . ع أ ب ج د ز ف
9. لنعتبر متوازي أضلاع ( أب ج د ) لتكن ( ف ) نقطة من نصف المستقيم ( أد ) ،ولا تنتمي الى القطعة ( أد ) . نريد اثبات ان مساحة ( ا ب ج د ) هي ضعف مساحة ( ب ج ف ) بعد رسم القطر ( ج د ) ،نلاحظ ان مساحة ( أ ب ج د ) هي ضعف مساحة ( أب ج ). ولدينا مساحة ( أ ب ج ) = مساحة ( ب ج ف ).( لأنهما لهما نفس القاعدة ) . اذن ضعف مساحة ( ب ج د ) هي ضعف مساحة ( ا ب ج ) أي ( أ ب ج د ) . ومنه فان مساحة ( أ ب ج د ) هي ضعف مساحة ( ب ج د ) المثلث . أ ب ج د ف
