مبرهنة فيثاغورس تتعلق بالمثلثات القائمة الزاوية، حيث ينص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. هناك أيضًا مبرهنة عكسية تفيد بأنه إذا كان مربع طول الضلع الأطول يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، فإن المثلث قائم الزاوية. الوثيقة تحتوي على شرح شامل لمبرهنة فيثاغورس وبرهان أطوال الأضلاع والمساحات في المتوازي الأضلاع.

3. مبرهنة فيثاغورس مبرهنة فيثاغورس : هي مبرهنة في الهندسة التقليدية ، تقول انه في أي مثلت قائم الزاويه يكون مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة يساوي مربع طول الوتر ، سميت هذه المبرهنة على العالم فيثاغورس الذي كان رياضيا ، وفيلسوفا، وعالم الفلك، في اليونان القديمة .

4. مبرهنة فيثاغورس المباشرة : وهي الشكل الأكثر شهرة لمبرهنة فيثاغورس : (( في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة .)) في المثلث ( أ ب ج ) قائم الزاوية في ( ب ) ، أي ان ( أ ج ) هو الوتر ، نضع أب = ح ، ب ج = ث ، أج = د لدينا : ( أج ) 2 = ( أب ) 2 + ( ب ج ) 2 أو : د 2 = ح 2 + ث 2 أ أ م ب ج ح د ث

5. تمكن مبرهنة فيثاغورس من حساب طول احد الاضلاع مثلت قائم الزاوية بمعرفة طول الضلعين الاخريين . مثلا : اذا كانت ث = 3 ، ح = 4 فان : د 2 = ح 2 + ث 2 د 2 = ( 4 ) 2 + ( 3 ) 2 د 2 = 16 + 9 د =5

6. مبرهنة فيثاغورس العكسية (( في المثلث ، اذا كان مربع اطول ضلع يساوي مجموع مربعي طولي الاخريين ، فان هذا المثلث قائم الزاوية . الزاوية القائمة : هي الزاوية المقابلة لأطول ضلع ، والضلع الأطول هو الوتر .)) مبرهنة فيثاغورس هي خاصية مميزة للمثلث القائم الزاوية . بتعبير اخر : في المثلث ( أ ب ج ) اذا ( أج ) 2 = ( أب ) 2 + ( ب ج ) 2 فان هذا المثلث قائم الزاوية في ( ب ) .

7. برهان اقليدس أ ب د ج ف ز قبل برهنة على خاصية فيثاغورس ، يجب اثبات عبارتين . العبارة الاولى التي يجب اثباتها هي تساوي مساحتي متساوي الاضلاع لهما نفس القاعدة ونفس الارتفاع . متوازيات الاضلاع التي لها قاعدة مشتركة , ومحصورة بين المستقيمين المتوازيين ، لهما نفس المساحة . لنعتبر متوازيي الاضلاع ( أ ب ج د ) و ( ب ج ف ز ) لديهما قاعدة مشتركة ( ب ج ) ، ومحصوران بين المتوازيين ( ب ج ) و ( ف ز ) لاحظ ان : ب ج = أد ( لأنهما قاعدتا متوازي الاضلاع ( أ ب ج د ) و ب ج = ف ز ( لأنهما قاعدتا متوازي الاضلاع ( ب ج ف ز ) وبالتالي أد = ف ز توجد ثلاثة حالات فقط ، ( مبينة في الشكل جانبه ) لموضع النقطة ز بالنسبة الى د . يمكن ان توجد النقطة ز على يسار النقطة د . ويمكن ان تكون النقطة ز منطبقة النقطة د . ويمكن ان تكون النقطة ز على يمين النقطة د . سندرس كل حالة : 1- اذا كانت ز على يسار النقطة د فان زد مشتركة بين كل من أد و زف ، ومنه نستطيع التحقق من ان المسافتين زد و أد متساويتين . لاحظ ان الضلعين أب و ج د مقياسان ( لأنهما قاعدتان متقابلتان في متوازي الاضلاع أب ج د ) . والنقط أ ، ب ، ج ، د مستقيمة . والزاويتان ( ب أ ز ) و ( ج د ف ) مقايستان . كنتيجة لهذا فالمثلثان ( أ ب ج ) و ( ج د ف ) مقياسان ، لأنهما لهما ضلعان مقياسان

8. لأن لهما ضلعان م قياسان والزاويتان المحصورتان مقايستان ، اذن . متوازيي الاضلاع ( أ ب ج د ) و ( ب ج ف ز ) ليسا سوى ترتيبين مختلفين من شبه المنحرف ( ب زد ج ) والمثلث ( ب أ ز ) أ و ( ج د ف ) 2- اذا كانت ز منطبقة على د سنجد بطريقة مشابهة أن المثلثين ( ب أ ز ) أ و ( ج د ف ) تقايسان ، وأنه من الممكن متوازيي الأضلاع ( أ ب ج د ) ( ب ج ف ز ) بإضافة المثلث ( ب أ ز ) أ و ( ج د ف ) الى المثلث ا لمشترك ( ب ج د ). - اذا كانت ز على يمين د ، لدينا أد = زف ،وبإضافة زد لكل منها نجد ان أ ز = د ف . وبطريقة مشابهة لتلك التي استعملناها في او 2 ،يمكن ان نبين ان المثلثين ( ب أ ز ) أ و ( ج د ف ) ،وأيضا شبهي المنحرف ( ب أ د ع ) و ( ج ع ز ف ) متقايسان . اذن من الواضح انه يمكن الحصول على متوازيي الاضلاع ( أ ب ج د ) و ( ج ب زف ) عن طريق اضافة المثلث المشترك ( ب ج ع ) الي شبه المنحرف ( ب أ د ع ) او ( ج ع ز ف ). استبد ال متوازي أضلاع بمتوازي أضلاع آخر له نفس القاعدة والارتفاع يعرف في الرياضيات باسم القص . هذا الاخير مهم جدا في اثبات العبارة التالية : (( اذا كان لمتوازي الاضلاع ولمثلث نفس القاعدة . ومحصورين بين مستقيمين متوازيين . فان مساحة متوازي الاضلاع هي ضعف مساحة المثلث )). . ع أ ب ج د ز ف

9. لنعتبر متوازي أضلاع ( أب ج د ) لتكن ( ف ) نقطة من نصف المستقيم ( أد ) ،ولا تنتمي الى القطعة ( أد ) . نريد اثبات ان مساحة ( ا ب ج د ) هي ضعف مساحة ( ب ج ف ) بعد رسم القطر ( ج د ) ،نلاحظ ان مساحة ( أ ب ج د ) هي ضعف مساحة ( أب ج ). ولدينا مساحة ( أ ب ج ) = مساحة ( ب ج ف ).( لأنهما لهما نفس القاعدة ) . اذن ضعف مساحة ( ب ج د ) هي ضعف مساحة ( ا ب ج ) أي ( أ ب ج د ) . ومنه فان مساحة ( أ ب ج د ) هي ضعف مساحة ( ب ج د ) المثلث . أ ب ج د ف