- Boyle-Mariotte's law: At a fixed temperature, the pressure (P) and volume (V) of a gas are inversely proportional. PV = constant.
- Charles' law: At a constant pressure, the volume of a gas is directly proportional to its temperature. V/T = constant.
- Gay-Lussac's law: At a constant volume, the pressure of a gas is directly proportional to its temperature. P/T = constant.
- The ideal gas kinetic theory model describes gas molecules as small, hard spheres that move rapidly in straight lines, colliding elastically. The average kinetic energy of the molecules depends only on temperature.
- Boyle-Mariotte's law: At a fixed temperature, the pressure (P) and volume (V) of a gas are inversely proportional. PV = constant.
- Charles' law: At a constant pressure, the volume of a gas is directly proportional to its temperature. V/T = constant.
- Gay-Lussac's law: At a constant volume, the pressure of a gas is directly proportional to its temperature. P/T = constant.
- The ideal gas kinetic theory model describes gas molecules as small, hard spheres that move rapidly in straight lines, colliding elastically. The average kinetic energy of the molecules depends only on temperature.
1. “Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
2-р анги
1. Д рсийг зураасын дагуу хэдэн янзаар 2 тэнц д рсэнд хуваах вэ? Хуваалтыг з л.
Доорх хуваалтыг ижил хуваалт гэж знэ.
2. 8-н дэвтэр, 4-н зэг 1400 т гр г ба 4-н дэвтэр, 3-н зэг 850 т гр гний нэтэй бол 2 ном, 2 дэвтэр ямар нэтэй
вэ?
3. 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 тоонуудыг нэг, нэг удаа ашиглан шидэт квадрат зохио.
4. 0, 1, 2, 3 цифр дээс б тэх цифр д нь ялгаатай б х 3-н оронтой тооны нийлбэрийг ол.
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
3-р анги
1. Дунд зэргийн хэмжээтэй хайрцагт 5 жижиг хайрцаг ороод д рдэг. Том хайрцагт 5 дунд зэргийн хайрцаг
ороод д рдэг байв. Хэрвээ нийтдээ 32 д рэн хайрцаг байсан бол хамгийн ц нд хэдэн хайрцаг байсан бэ?
2. Анги 20 сурагчтай б г д хоорондоо бэлэг солилцжээ. Охин б р 2 х вг нтэй, х вг н б р 3 охинтой бэлэг
солилцсон бол ангид хэдэн охин, хэдэн х вг н байсан бэ?
3. Нэг хайрцагт 41 б мб г байв. Хоёр х хэд хайрцагт байгаа б мб гн с ээлжээр 2-оос ц нг й, 6-аас ил г й
тооны б мб г авна. Хамгийн с лийн б мб г авсан нь хожигдох бол з в тогловол аль х хэд нь гарцааг й
хожигдох вэ?
4. Цифр дийн нийлбэр нь 6-тай тэнц , 4-н оронтой тоо хэд байх вэ?
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
4-р анги
1. Нийлбэрийг ол.
2 + 5 + 4 + 8 + 6 + 11 + · · · + 120 =
2. 10-н нэгж талбайтай квадрат зур.
3. Цифр дийн нийлбэр нь 7-той тэнц 4- с ихг й оронтой тоо хэд байх вэ?
4. Доорхи х снэгтийн н дн дэд бичигдсэн тоонуудыг нэг багананд байгаа 2 тооны нийлбэр нь дараалсан тоонууд
байхаар хооронд нь сольж болох уу?
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
5-р анги
1. Цифр дийн ржвэр ба нийлбэр нь тэнц байх 1000-аас бага б х натурал тоог ол.
2. 2, 3, 4 ба 5-н ширхэг анхны тооны нэмэгдэх ний нийлбэрт тавигдах хамгийн бага 3-н оронтой анхны тоог
олж т нийг нийлбэрт задалж з л.
3. 61, 62, 63, 64, 65, . . . тоонуудыг дараалуулан бичжээ. Тэгвэл энэ дарааллын эхнээсээ 3000 дахь цифрийг ол.
2. 4. Нэг м р нд байгаа тоонууд дээр 1, 1-ийг нэмэх, эсвэл 1 багананд байгаа тоонуудаас 1, 1-ийг хасах йлдэл
з вш р гдс н бол эхний х снэгтээс дараагийн х снэгтийг гаргаж болох уу?
1 2 3 4 1 5 9 13
5 6 7 8 2 6 10 14
9 10 11 12 3 7 11 15
13 14 15 16 4 8 12 16
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
7-р анги
1. 49 · a + 7 · b + c = 286 н хцлийг хангах abc гурван оронтой тоог ол.
2. 12 + 34, 56 + 78, 910 + 1112, 1314 + 1516, 1718 + 1920, гэх мэт нийлбэр д дотор 4-т хуваагдах тоо бий юу?
3. Сурагчийн маркны цуглуулга гурван альбом байв. Т ний маркнуудын аравны хоёр нь нэгд гээр, долооны
хэд нь хоёрдугаар, 303 нь гуравдугаар альбомд байв. Сурагч хэдэн марктай вэ?
4. Зураг дээрх 8 тэгш нц гт нь 2см × 1см хэмжээтэй болно. A цэгээс тэгш нц гтийн талуудыг дамжин нэг
явсан талаараа дахин явалг йгээр B цэгт очиж болох замуудас хамгийн урт замыг зур. Хариултаа тайлбарла.
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
8-р анги (Шилжилт 12 жил)
1. 8 сурагч 8 бодлого боджээ. Д гнэж зэхэд бодлого б рийг 5 сурагч бодсон байв. Тэгвэл бодлого б рийг аль
нэг нь бодсон хоёр сурагч заавал байхыг харуул.
1 4 1
2. + = байх m, n (n-сондгой) натурал тоонуудыг ол.
m n 12
3. 1, 2, 3, . . . , 9 цифр дийг ямар нэг байдлаар сэлгэн байрлуулж 9 оронтой тоо болгон бичжээ. Энэ тооны эхнээсээ
(хамгийн том орон талаас) эхлэн дараалсан 3 цифрээр ссэн гурван оронтой 7 тооны нийлбэрийн хамгийн
их боломжит утгыг ол.
4. Нийлбэр нь 407 байх гурван натурал тооны ржвэр хамгийн олондоо хэдэн тэгээр т гс х вэ?
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
8-р анги (11 жил)
22 + 1 32 + 1 20102 + 1 1
1. (Ч. Гант м р) 2010 < 2−1
+ 2 + ··· + 2−1
< 2010 тэнцэтгэл бишийг батал.
2 3 −1 2010 2
2. (Б. Батбаясгалан) 23 × 23 квадратыг 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 квадратуудад хуваав. Хамгийн ц нд хэдэн 1 × 1
квадрат хэрэгтэй вэ?
3. (Б. Батцэнгэл) ABCD квадратын BC тал дээр E цэг, CD тал дээр F цэгийг ∠EAF = ∠F AD байхаар сонгон
авчээ. AE = BE + DF гэж батал.
4. (Б. Батцэнгэл) Ямар ч натурал тооны 3 ба 7 цифрээр т гсс н хуваагчийн тоо нь 1 ба 9 цифрээр т гсс н
хуваагчийн тооноос хэтрэхг й гэдгийг батал.
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
9-р анги
1. (Ч. Гант м р) x, y, z эерэг бодит тоонуудын хувьд x + y + z = xyz тэнцэтгэл биелэдэг бол
√
(x − 1)(y − 1)(z − 1) ≤ 6 3 − 10
тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.
2. (Б. Батбаясгалан) 0, 1, . . . , n тоонуудын a0 , a1 , . . . , an сэлгэмэлийн хувьд k + ak , k = 0, 1, . . . , n тоо б р нь б тэн
квадрат болно гэсэн н хц л биелэх бол уг сэлгэмэлийг квадрат сэлгэмэл гэе. Ямар ч с р г биш б хэл n тооны
хувьд квадрат сэлгэмэл оршин байна гэж батал.
3. 3. (Б. Батцэнгэл) ABCD д рв н нц гт тойрогт багтсан байв. ∠ABD нцгийн биссектрисс р C оройгоос
буулгасан перпендикуляр шулуун AB талыг C1 цэгт огтолно. ∠ACD нцгийн биссектрисс р B оройгоос
буулгасан перпендикуляр шулуун CD талыг B1 цэгт огтолно. B1 C1 хэрчим AD талтай параллель гэдгийг
батал.
x+1 y+1
4. (Б. Батцэнгэл) Натурал x, y, k тоонуудын хувьд + = k бол k тооны авч болох б х утгыг ол.
y x
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
10-р анги
1. (Ч. Гант м р) x, y, z нь хос хосоороо харилцан анхны натурал тоонууд ба (y 2 −x2 )−(z 2 −y 2 ) = ((y−x)−(z −y))2
тэнцэтгэл биелдэг бол x ба z нь б тэн квадрат болохыг батал.
2. (Б. Батбаясгалан) Хэрэв a, b, c нь ab + bc + ca = 1 байх бодит тоонууд бол
(a + b)2 + 1 (b + c)2 + 1 (c + a)2 + 1
+ + ≥3
c2 + 2 a2 + 2 b2 + 2
болохыг батал.
3. (Б. Батцэнгэл) Нэгэн сургууль 100 сурагчтай б г д сурагч б р спортын ямар нэгэн дугуйланд явдаг байжээ
(нэг сурагч хэдэн ч дугуйланд явдаг байж болно). Сургуулийн аль ч 3 сурагчийг сонгон авахад, тэдний хэн
нэг нь явдаг, харин б гдээрээ хамт явдагг й дугуйлан ямагт олддог байжээ. Сургуульд хамгийн ц нд
хэдэн дугуйлан байсан бэ?
4. (Б. Батцэнгэл) ABC гурвалжны AB тал дээр M цэг, BC тал дээр N цэг оршино. CM , AN хэрчм д O цэгт
огтлолцдог бол AO + AB = CO + CB байх гарцааг й б г д х рэлцээтэй н хц л нь AM + AN = CM + CN
байх явдал гэдгийг батал.
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
11-р анги
1. (Ч. Гант м р) ∀n ∈ N хувьд x + y + 2z = 4n ба x3 + y 3 − 2z 3 = 6n байх x, y, z б хэл 3-т олдохыг батал.
2. (Б. Батбаясгалан) p анхны тоо байг. p2 × p2 шатрын х лг с аль ч 4-ийнх нь т в нь шатрын х лгийн талтай
параллель тал б хий тэгш нц гт биш байхаар p3 ширхэг н д сонгож болохыг батал.
3. (Б. Батцэнгэл) ∠BAC = 2 · ∠ABC байх хурц нц гт ABC гурвалжны AB тал дээр орших F цэгийн хувьд
∠ACF = 2 · ∠BCF байв. CF хэрчим гурвалжны AD нд ртэй E цэгт огтлолцдог бол ∠BEC нцгийг ол.
4. (Б. Батцэнгэл) Хойд туйлын одойнууд б гд 1, 2, . . . , 2010 дугаартай байсан б г д зарим одойнууд ижил
дугаартай байжээ. Нэгэн дэшлэгт 1, 2, . . . , 2010 дугаартай одойнууд ядаж нэг, нэг х рэлцэн ирсэн б г д
х рэлцэн ирсэн б х одойн дугааруудын нийлбэр тэгш байжээ. дэшлэгт х рэлцэн ирсэн одойнуудыг хэсэг
б рт байгаа одойн дугааруудын нийлбэр хоорондоо тэнц байхаар 2 хэсэгт хувааж болно гэдгийг батал.
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
Бага ангийн багш
1. (Ч. Гант м р) З в 2n нц гтийн n ширхэг диагональ нь оройн цэгээс ялгаатай S цэгт огтлолцдог бол S цэг
уг 2n нц гтийн т в гэж батал.
2. (Б. Батбаясгалан) Усан санг 4 цоргоор д ргэж болно. Хэрэв 1 ба 2-р цоргыг хамтад нь ажиллуулбал усан
санг 2 цагт д ргэнэ. 2 ба 3-р цоргыг хамтад нь ажиллуулбал усан санг 3 цагт д ргэнэ. 3 ба 4-р цоргыг
хамтад нь ажиллуулбал усан санг 4 цагт д ргэнэ. 1 ба 4-р цоргыг хамтад нь ажиллуулбал усан санг хэдэн
цагт д ргэх вэ?
3. (Б. Батцэнгэл) 3 × 3 хэмжээтэй х снэгтийн н дн дэд натурал тоонуудыг аль ч м р, аль ч баганад бичигдсэн
тоонуудын ржвэр 2010 байхаар хэдэн ялгаатай аргаар бичиж болох вэ?
4. (Б. Батцэнгэл) n > 70 бол кубыг n ширхэг кубэд хувааж болно гэдгийг батал.
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
Дунд ангийн багш
1. (Б. Батбаясгалан) n ≥ 2 б хэл тоо ба f (n) нь n-ээс хэтрэхг й n-тэй харилцан анхны биш тоонуудын нийлбэр
байв. Ямар ч n натурал тоо ба p анхны тооны хувьд f (n + p) = f (n) гэж батал.
2. (Ч. Гант м р) x, y, z ∈ R байх ед
x y z
F (x, y, z) = + +
x + 2y y + 2z z + 2x
илэрхийллийн авч болох б х утгын олонлогийг ол.
4. 3. (Б. Батцэнгэл) AC, BD диагоналиуд нь хоорондоо перпендикуляр байх ABCD д рв н нц гтийн AB, CD
талуудын ргэлжлэл P цэгт огтлолцоно. P BD гурвалжныг багтаасан тойргийн т в O, ортот в H б г д
P AC гурвалжны 9 цэгийн тойргийн т в O1 бол P O1 ⊥ OH гэж батал.
4. (Б. Батцэнгэл) 2n ширхэг элементтэй A олонлогийн n ширхэг элементтэй зарим дэд олонлогуудын F б л
г гджээ. Хэрэв A олонлогийн n − 1 ширхэг элементтэй ямар ч дэд олонлог нь F б лийн яг ганц дэд олонлогт
агуулагддаг бол n + 1 нь анхны тоо байна гэдгийг батал.