Инженер, техникийн 1-р курс

1. Хатуу биеийн хөдөлгөөн

2. Гарчиг
• Үндсэн ойлголт ба тодорхойлолт
• Инерцийн момент
– Цул цилиндрийн инерцийн моментийн то
гаргалгаа
– Зарим геометр бие дэхи инерцийн момен
– Штейнерийн теорем
• Эргэх хөдөлгөөний Кинетик энерги
• Хөдөлгөөний динамикийн үндсэн тэгшитгэл

3. Үндсэн ойлголт ба тодорхойлолт
• Биеийн цэгүүд нь нэгэн шулуун дээр төвтэй тойргуудаар хөдлөж
байгаа биеийг эрг хөдөлгөөнтэй байна гэх ба тэр шулууныг
Эргэлтийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг.
• Эргэлтийн тэнхлэг нь биеийн гадна талд эсвэл биеийг нэвт
гарсан байдалтай ч байж болдог. Харин биеийн эргэх тэнхлэг
дээрхи цэгүүд хөдөлгөөнгүй байх ба үл хөдлөх тэнхлэгийг
тойрон эргэх хөдөлгөөн нь Хавтгай хөдөлгөөн байна

4. • Хөдлөх бүх л хугацааны туршид буюу тэнхлэг нь
хөдөлгөөнгүй ба биеийн хөдөлгөөнийг Үл хөдлөх
тэнхлэгийг тойрон эргэх Хатуу биеийн эргэх
хөдөлгөөн гэнэ.
Тодорхойлолт 1

5. R – массын төвийн радиус
r – эгэл хэсгийн радиус
dm – жижиг хэсгийн масс
Массын төвийн R-г олох

6. Инерцийн момент
• Хатуу биеийн эргэх хөдөлгөөнийг судлахад
Инерцийн момент гэх физик хэмжигдэхүүн
гол үүрэгтэй бөгөөд ийм эргэх хөдөлгөөний
үед биеийн инерцийг Инерцийн моментоор
тодорхойлдог.
•

7. Тодорхойлолт 2
• Эргэлтийн тэнхлэгээс r зайд орших бөөмийн
Инерцийн момент (j) нь бөөмийн (m) массыг r
зайн квадратаар үржүүлсэнтэй тэнцүү.

8. Тухайн системийн инерци моментийг олох
• Системийг нь жижиг хэсгүүдээс тогтсон гэж
үзээд тэдгээрийн Инерцийн моментийг нэмж
олно.

9. СИ системд Инерцийн моментийг
нэгжээр хэмжинэ.
Мөн геометрийн зөв хэлбэр бүхий М масстай
нэг төрлийн биеийн Инерцийн момент
•dm – жижиг хэсгийн масс
•r – x, y, z координаттай цэгийн байршлын
функц

10. Тухайн системийн инерци моментийг олох

11. Тодорхойлолт 3
• Хүндийн төв дайрсан тэнхлэгтэй харьцуулсан
инерцийн моментийг тодорхойлсон бол уг
тэнхлэг зайд d зайд орших түүнтэй параллел
тэнхлэг тойрон эргэх үеийн инерцийн
моментийг нь Штейнерын теоромоор
тодорхойлно.

12. Штейнерийн теором
• Эргэлтийн дурын тэнхлэгтэй харьцуулсан
биеийн инерцийн момент J нь би массын төв
С –г дайрсан түүнтэй параллель тэнхлэгтэй
харьцангуй инерцийн момент нь Jc дээр
биеийн (m) массыг хоёр тэнхлэгийн
хоорондох a-зайн квадратаар үржүүлж
нэмсэнтэй тэнцүү.

13. Эргэх хөдөлгөөний Кинетик энерги
• Энэ биеийг эргэх r2, r3,…,rn зайд орших
өчүүхэн бага m1, m2, m3,…масстай маш бага
эзэлхүүнтэй хэсгүүдээс тогтсон гэж
хийсвэрлэвэл үл хөдлөх тэнхлэгтэй
харьцангуйгаар хатуу бие эргэхэд түүний m
масстай жижиг хэсгүүд rn янз бүрийн шугаман
хурдтай байх болно.

14. Эргэх хөдөлгөөний Кинетик энерги

15. Хэвтээ эсвэл налуу гадаргаар өнхөрч буй биеийн хувьд
m – өнхөрч буй бие
v – давших хөдөлгөөн
J – биеийн инерций момент
ω – эргэх хөдөлгөөний өнцөг хурд
Энерги нь Давших ба Эргэх хөдөлгөөний
энергийн нийлбэртэй тэнцүү байдаг.

16. Хэвтээ эсвэл налуу гадаргаар өнхөрч буй биеийн хувьд

17. • Эргэх хөдөлгөөний Кинетик энергийн
өөрчлөлттэй тэнцүү.
Үл хөдлөх тэнхлэгийг тойрон бие α өнцгөөр
эргэхэд хүчний хийх ажил

18. Үл хөдлөх тэнхлэгийг тойрон өнцгөөр эргэхэд хүчний хийх

19. • Бие dϕ бага өнцгөөр эргэхэд үйлчлэлийн цэг В нь
dS = rdϕ зам туулах ба ажил нь шилжилтийн чиглэл
дээрхи хүчний проекцийг шилжилтээр үржүүлсэнтэй
тэнцүү.
dA = F ⋅sin α ⋅ R ⋅dϕ M= F ⋅ sin α ⋅ R
эргэх тэнхлэгтэй харьцангуй хүчний момент гэнэ.
Эргэх тэнхлэг ба хүчний үйлчлэлийн шугамын
хоорондох хамгийн бага зайг хүчний мөр L=R ⋅ sin α
Иймд : Хүчний момент нь хүчийг мөрөөр үржүүлсэн
үржвэртэй тэнцүү. M= F ⋅ L
Хөдөлгөөний динамикийн Үндсэн тэгшитгэл

20. • Вектор хэлбэрээр M = [R × F ]
• Чиглэл нь хүчний вектор орших хавтгайд эгц бөгөөд
баруун шургийн дүрмээр тодорхойлогдоно.
• Хатуу биед үйлчлэх хүчний момент нь биеийн
инерцийн моментыг өнцөг хурдатгалаар
үржүүлсэнтэй тэнцүү. M = J ⋅ε
• Энэ тэгшитгэлийг үл хөдлөх тэнхлэгтэй харьцангуй
биеийн эргэх хөдөлгөөний динамикийн Үндсэн
тэгшитгэл гэнэ.
J = const
• Тиймээс хатуу биеийн эргэх хөдөлгөөний динамик
хууль нь Импульсийн момент тогтмол үед биелнэ.
Хөдөлгөөний динамикийн Үндсэн тэгшитгэл

21. • m масстай материал цэг тойргоор жигд
хөдлөж буй үед P = m ⋅v гэсэн хөдөлгөөний
хэмжээ буюу импульсийг тойргийн r
радиусаар үржүүлсэн үржвэртэй тэнцэх
хэмжигдэхүүнийг уул цэгийн хөдөлгөөний
хэмжээний момент буюу импульсын момент
гэнэ.
Импульсийн момент хадгалагдах хууль

22. • Аливаа системд хүчний моментоор
үйлчлээгүй буюу үйлчилсэн момент нь тэг
байвал импульсийн момент
хадгалагдана.Үүнийг Импульсийн момент
хадгалагдах хууль гэнэ.
Импульсийн момент хадгалагдах хууль

23. • Үл хөдлөх тэнхлэгийг тойрон эргэж байгаа биеийн импульсийн
момент L нь уул биеийг бүрдүүлж байгаа өчүүхэн масстай
хэсгүүдийн импульсийн моментын нийлбэртэй тэнцүү байна.
• Эргэх хөдөлгөөний хувьд v = ω ⋅r тул импульсийн момент нь
биеийн инерцийн момент ба түүний өнцөг хурдны үржвэртэй
тэнцүү. L – г эргэлтийн хувийн момент гэнэ.
• Энэ томъёог хугацаагаар 1-р эрэмбийн уламжлал авбал:
буюу вектор хэлбэр нь
• Иймд гадаад хүчний момент нь эргэлдэгч биеийн импульсийн
моментын өөрчлөгдөх хурдтай тэнцүү юм.
i i

25. Анхаарал хандуулсанд
баярлалаа