1. “Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
2-р анги
1. Д рсийг зураасын дагуу хэдэн янзаар 2 тэнц д рсэнд хуваах вэ? Хуваалтыг з л.
Доорх хуваалтыг ижил хуваалт гэж знэ.
2. 8-н дэвтэр, 4-н зэг 1400 т гр г ба 4-н дэвтэр, 3-н зэг 850 т гр гний нэтэй бол 2 ном, 2 дэвтэр ямар нэтэй
вэ?
3. 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 тоонуудыг нэг, нэг удаа ашиглан шидэт квадрат зохио.
4. 0, 1, 2, 3 цифр дээс б тэх цифр д нь ялгаатай б х 3-н оронтой тооны нийлбэрийг ол.
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
3-р анги
1. Дунд зэргийн хэмжээтэй хайрцагт 5 жижиг хайрцаг ороод д рдэг. Том хайрцагт 5 дунд зэргийн хайрцаг
ороод д рдэг байв. Хэрвээ нийтдээ 32 д рэн хайрцаг байсан бол хамгийн ц нд хэдэн хайрцаг байсан бэ?
2. Анги 20 сурагчтай б г д хоорондоо бэлэг солилцжээ. Охин б р 2 х вг нтэй, х вг н б р 3 охинтой бэлэг
солилцсон бол ангид хэдэн охин, хэдэн х вг н байсан бэ?
3. Нэг хайрцагт 41 б мб г байв. Хоёр х хэд хайрцагт байгаа б мб гн с ээлжээр 2-оос ц нг й, 6-аас ил г й
тооны б мб г авна. Хамгийн с лийн б мб г авсан нь хожигдох бол з в тогловол аль х хэд нь гарцааг й
хожигдох вэ?
4. Цифр дийн нийлбэр нь 6-тай тэнц , 4-н оронтой тоо хэд байх вэ?
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
4-р анги
1. Нийлбэрийг ол.
2 + 5 + 4 + 8 + 6 + 11 + · · · + 120 =
2. 10-н нэгж талбайтай квадрат зур.
3. Цифр дийн нийлбэр нь 7-той тэнц 4- с ихг й оронтой тоо хэд байх вэ?
4. Доорхи х снэгтийн н дн дэд бичигдсэн тоонуудыг нэг багананд байгаа 2 тооны нийлбэр нь дараалсан тоонууд
байхаар хооронд нь сольж болох уу?
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
5-р анги
1. Цифр дийн ржвэр ба нийлбэр нь тэнц байх 1000-аас бага б х натурал тоог ол.
2. 2, 3, 4 ба 5-н ширхэг анхны тооны нэмэгдэх ний нийлбэрт тавигдах хамгийн бага 3-н оронтой анхны тоог
олж т нийг нийлбэрт задалж з л.
3. 61, 62, 63, 64, 65, . . . тоонуудыг дараалуулан бичжээ. Тэгвэл энэ дарааллын эхнээсээ 3000 дахь цифрийг ол.

2. 4. Нэг м р нд байгаа тоонууд дээр 1, 1-ийг нэмэх, эсвэл 1 багананд байгаа тоонуудаас 1, 1-ийг хасах йлдэл
з вш р гдс н бол эхний х снэгтээс дараагийн х снэгтийг гаргаж болох уу?
1 2 3 4 1 5 9 13
5 6 7 8 2 6 10 14
9 10 11 12 3 7 11 15
13 14 15 16 4 8 12 16
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
7-р анги
1. 49 · a + 7 · b + c = 286 н хцлийг хангах abc гурван оронтой тоог ол.
2. 12 + 34, 56 + 78, 910 + 1112, 1314 + 1516, 1718 + 1920, гэх мэт нийлбэр д дотор 4-т хуваагдах тоо бий юу?
3. Сурагчийн маркны цуглуулга гурван альбом байв. Т ний маркнуудын аравны хоёр нь нэгд гээр, долооны
хэд нь хоёрдугаар, 303 нь гуравдугаар альбомд байв. Сурагч хэдэн марктай вэ?
4. Зураг дээрх 8 тэгш нц гт нь 2см × 1см хэмжээтэй болно. A цэгээс тэгш нц гтийн талуудыг дамжин нэг
явсан талаараа дахин явалг йгээр B цэгт очиж болох замуудас хамгийн урт замыг зур. Хариултаа тайлбарла.
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
8-р анги (Шилжилт 12 жил)
1. 8 сурагч 8 бодлого боджээ. Д гнэж зэхэд бодлого б рийг 5 сурагч бодсон байв. Тэгвэл бодлого б рийг аль
нэг нь бодсон хоёр сурагч заавал байхыг харуул.
1 4 1
2. + = байх m, n (n-сондгой) натурал тоонуудыг ол.
m n 12
3. 1, 2, 3, . . . , 9 цифр дийг ямар нэг байдлаар сэлгэн байрлуулж 9 оронтой тоо болгон бичжээ. Энэ тооны эхнээсээ
(хамгийн том орон талаас) эхлэн дараалсан 3 цифрээр ссэн гурван оронтой 7 тооны нийлбэрийн хамгийн
их боломжит утгыг ол.
4. Нийлбэр нь 407 байх гурван натурал тооны ржвэр хамгийн олондоо хэдэн тэгээр т гс х вэ?
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
8-р анги (11 жил)
22 + 1 32 + 1 20102 + 1 1
1. (Ч. Гант м р) 2010 < 2−1
+ 2 + ··· + 2−1
< 2010 тэнцэтгэл бишийг батал.
2 3 −1 2010 2
2. (Б. Батбаясгалан) 23 × 23 квадратыг 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 квадратуудад хуваав. Хамгийн ц нд хэдэн 1 × 1
квадрат хэрэгтэй вэ?
3. (Б. Батцэнгэл) ABCD квадратын BC тал дээр E цэг, CD тал дээр F цэгийг ∠EAF = ∠F AD байхаар сонгон
авчээ. AE = BE + DF гэж батал.
4. (Б. Батцэнгэл) Ямар ч натурал тооны 3 ба 7 цифрээр т гсс н хуваагчийн тоо нь 1 ба 9 цифрээр т гсс н
хуваагчийн тооноос хэтрэхг й гэдгийг батал.
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
9-р анги
1. (Ч. Гант м р) x, y, z эерэг бодит тоонуудын хувьд x + y + z = xyz тэнцэтгэл биелэдэг бол
√
(x − 1)(y − 1)(z − 1) ≤ 6 3 − 10
тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.
2. (Б. Батбаясгалан) 0, 1, . . . , n тоонуудын a0 , a1 , . . . , an сэлгэмэлийн хувьд k + ak , k = 0, 1, . . . , n тоо б р нь б тэн
квадрат болно гэсэн н хц л биелэх бол уг сэлгэмэлийг квадрат сэлгэмэл гэе. Ямар ч с р г биш б хэл n тооны
хувьд квадрат сэлгэмэл оршин байна гэж батал.

3. 3. (Б. Батцэнгэл) ABCD д рв н нц гт тойрогт багтсан байв. ∠ABD нцгийн биссектрисс р C оройгоос
буулгасан перпендикуляр шулуун AB талыг C1 цэгт огтолно. ∠ACD нцгийн биссектрисс р B оройгоос
буулгасан перпендикуляр шулуун CD талыг B1 цэгт огтолно. B1 C1 хэрчим AD талтай параллель гэдгийг
батал.
x+1 y+1
4. (Б. Батцэнгэл) Натурал x, y, k тоонуудын хувьд + = k бол k тооны авч болох б х утгыг ол.
y x
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
10-р анги
1. (Ч. Гант м р) x, y, z нь хос хосоороо харилцан анхны натурал тоонууд ба (y 2 −x2 )−(z 2 −y 2 ) = ((y−x)−(z −y))2
тэнцэтгэл биелдэг бол x ба z нь б тэн квадрат болохыг батал.
2. (Б. Батбаясгалан) Хэрэв a, b, c нь ab + bc + ca = 1 байх бодит тоонууд бол
(a + b)2 + 1 (b + c)2 + 1 (c + a)2 + 1
+ + ≥3
c2 + 2 a2 + 2 b2 + 2
болохыг батал.
3. (Б. Батцэнгэл) Нэгэн сургууль 100 сурагчтай б г д сурагч б р спортын ямар нэгэн дугуйланд явдаг байжээ
(нэг сурагч хэдэн ч дугуйланд явдаг байж болно). Сургуулийн аль ч 3 сурагчийг сонгон авахад, тэдний хэн
нэг нь явдаг, харин б гдээрээ хамт явдагг й дугуйлан ямагт олддог байжээ. Сургуульд хамгийн ц нд
хэдэн дугуйлан байсан бэ?
4. (Б. Батцэнгэл) ABC гурвалжны AB тал дээр M цэг, BC тал дээр N цэг оршино. CM , AN хэрчм д O цэгт
огтлолцдог бол AO + AB = CO + CB байх гарцааг й б г д х рэлцээтэй н хц л нь AM + AN = CM + CN
байх явдал гэдгийг батал.
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
11-р анги
1. (Ч. Гант м р) ∀n ∈ N хувьд x + y + 2z = 4n ба x3 + y 3 − 2z 3 = 6n байх x, y, z б хэл 3-т олдохыг батал.
2. (Б. Батбаясгалан) p анхны тоо байг. p2 × p2 шатрын х лг с аль ч 4-ийнх нь т в нь шатрын х лгийн талтай
параллель тал б хий тэгш нц гт биш байхаар p3 ширхэг н д сонгож болохыг батал.
3. (Б. Батцэнгэл) ∠BAC = 2 · ∠ABC байх хурц нц гт ABC гурвалжны AB тал дээр орших F цэгийн хувьд
∠ACF = 2 · ∠BCF байв. CF хэрчим гурвалжны AD нд ртэй E цэгт огтлолцдог бол ∠BEC нцгийг ол.
4. (Б. Батцэнгэл) Хойд туйлын одойнууд б гд 1, 2, . . . , 2010 дугаартай байсан б г д зарим одойнууд ижил
дугаартай байжээ. Нэгэн дэшлэгт 1, 2, . . . , 2010 дугаартай одойнууд ядаж нэг, нэг х рэлцэн ирсэн б г д
х рэлцэн ирсэн б х одойн дугааруудын нийлбэр тэгш байжээ. дэшлэгт х рэлцэн ирсэн одойнуудыг хэсэг
б рт байгаа одойн дугааруудын нийлбэр хоорондоо тэнц байхаар 2 хэсэгт хувааж болно гэдгийг батал.
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
Бага ангийн багш
1. (Ч. Гант м р) З в 2n нц гтийн n ширхэг диагональ нь оройн цэгээс ялгаатай S цэгт огтлолцдог бол S цэг
уг 2n нц гтийн т в гэж батал.
2. (Б. Батбаясгалан) Усан санг 4 цоргоор д ргэж болно. Хэрэв 1 ба 2-р цоргыг хамтад нь ажиллуулбал усан
санг 2 цагт д ргэнэ. 2 ба 3-р цоргыг хамтад нь ажиллуулбал усан санг 3 цагт д ргэнэ. 3 ба 4-р цоргыг
хамтад нь ажиллуулбал усан санг 4 цагт д ргэнэ. 1 ба 4-р цоргыг хамтад нь ажиллуулбал усан санг хэдэн
цагт д ргэх вэ?
3. (Б. Батцэнгэл) 3 × 3 хэмжээтэй х снэгтийн н дн дэд натурал тоонуудыг аль ч м р, аль ч баганад бичигдсэн
тоонуудын ржвэр 2010 байхаар хэдэн ялгаатай аргаар бичиж болох вэ?
4. (Б. Батцэнгэл) n > 70 бол кубыг n ширхэг кубэд хувааж болно гэдгийг батал.
“Шидэт квадрат” Математик сургалтын т вийн нэрэмжит математикийн олимпиад
Дунд ангийн багш
1. (Б. Батбаясгалан) n ≥ 2 б хэл тоо ба f (n) нь n-ээс хэтрэхг й n-тэй харилцан анхны биш тоонуудын нийлбэр
байв. Ямар ч n натурал тоо ба p анхны тооны хувьд f (n + p) = f (n) гэж батал.
2. (Ч. Гант м р) x, y, z ∈ R байх ед
x y z
F (x, y, z) = + +
x + 2y y + 2z z + 2x
илэрхийллийн авч болох б х утгын олонлогийг ол.

4. 3. (Б. Батцэнгэл) AC, BD диагоналиуд нь хоорондоо перпендикуляр байх ABCD д рв н нц гтийн AB, CD
талуудын ргэлжлэл P цэгт огтлолцоно. P BD гурвалжныг багтаасан тойргийн т в O, ортот в H б г д
P AC гурвалжны 9 цэгийн тойргийн т в O1 бол P O1 ⊥ OH гэж батал.
4. (Б. Батцэнгэл) 2n ширхэг элементтэй A олонлогийн n ширхэг элементтэй зарим дэд олонлогуудын F б л
г гджээ. Хэрэв A олонлогийн n − 1 ширхэг элементтэй ямар ч дэд олонлог нь F б лийн яг ганц дэд олонлогт
агуулагддаг бол n + 1 нь анхны тоо байна гэдгийг батал.