2. Дурын m тоонд хуваахад ижил үлдэгдэл өгдөг а, b
хоёр тоог тухайн хуваагчаар жишигдэх тоонууд гэнэ.
Энэүедэсвэл бичиглэл
хэрэглэх ба a,b тоонуудыг m модулиар жишигдэж байна
нэж ярьдаг

4. Ийм бичлэгийг
тоон жишлэг гэнэ.
-ийг жишлэгийн
тэмдэг, хуваагч,
тоог модуль гээд
(mod) гэж бичдэг.

11. 2. Бүхэл тоо бүр өөрөө өөртэйгөө
дурын модулиар жишигдэнэ.

13. 4.

14. 5.

15. 6. Жишлэгийн хоёр талыг ижил
тоогоор үржүүлж болно

16. 7.

17. 8

18. 9.

20. 11.

21. 12.

22. 13.

23. 530зэрэгт тоог 24-т
хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.
Бодолт: 52 =25≡ 1 (mod24)
30 15 30
5 ≡ 1 (mod 24). Ийнхүү 5
тоог 24-т хуваахад 1 үлдэгдэл
өгнө.

24. 15 +25 +35 +45 +55 +65 ⋮7 гэдгийг батал.
Бодолт:
6 ≡ −1 𝑚𝑜𝑑 7 65 ≡ −15 𝑚𝑜𝑑 7
5 ≡ −2 𝑚𝑜𝑑 7 => 55 ≡ −25 𝑚𝑜𝑑 7 =>
4 ≡ −3 𝑚𝑜𝑑 7 45 ≡ −35 𝑚𝑜𝑑 7
65 +55 +45 ≡ −(15 + 25 +35 ) 𝑚𝑜𝑑 7 =>
5 5 5 5 5 5
1 +2 +3 +4 +5 +6 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 7 =>
15 +25 +35 +45 +55 +65 ⋮7 гэж батлагдлаа.

25. Аливаа натурал n ба ялгаатай
бүхэл a, b тоонуудын
𝑛 𝑛
хувьд 𝑎 − 𝑏 ⋮ 𝑎 − 𝑏 гэж
батал.
Бодолт: 𝑎 − 𝑏 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑎 − 𝑏 )=>
a≡ b(𝑚𝑜𝑑 𝑎 − 𝑏 )

26. 𝑛 𝑛
𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑(𝑎 − 𝑏) =>
𝑎 𝑛 − 𝑏 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑(𝑎 − 𝑏)
Өөрөөр хэлбэл
𝑎 𝑛 − 𝑏 𝑛 ⋮ 𝑎 − 𝑏 гэсэн үг

27. Аливаа натурал n ба a+b≠ 0
байх бүхэл a, b тоонуудын
2𝑛;1 2𝑛;1
хувьд 𝑎 + 𝑏 ⋮ 𝑎+ 𝑏
гэж батал.
Бодолт: 𝑎 + 𝑏 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑎 + 𝑏 )=>
a≡ −b(𝑚𝑜𝑑 𝑎 + 𝑏 )

28. 2𝑛;1 2𝑛;1
𝑎 ≡ −𝑏 𝑚𝑜𝑑(𝑎 + 𝑏) =>
𝑎 2𝑛;1 + 𝑏 2𝑛;1 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑(𝑎 + 𝑏)
Өөрөөр хэлбэл
𝑎 2𝑛;1 + 𝑏 2𝑛;1 ⋮ 𝑎 + 𝑏 гэсэн үг

29. Аливаа натурал n тооны хувьд
37 𝑛:2 + 16 𝑛:1 +23 𝑛 ⋮ 7 гэж батал.
Бодолт:
37 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 7 37 𝑛:2 ≡ 2 𝑛:2 𝑚𝑜𝑑 7
16 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 7 => 16 𝑛:1 ≡ 2 𝑛:1 𝑚𝑜𝑑 7
23 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 7 23 𝑛 ≡ 2 𝑛 𝑚𝑜𝑑 7

30. 37 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 7 37 𝑛:2 ≡ 2 𝑛:2 𝑚𝑜𝑑 7
16 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 7 => 16 𝑛:1 ≡ 2 𝑛:1 𝑚𝑜𝑑 7
23 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 7 23 𝑛 ≡ 2 𝑛 𝑚𝑜𝑑 7
37 𝑛:2 +16 𝑛:1 +23 𝑛 ≡ (2 𝑛:2 + 2 𝑛:1 +2 𝑛 ) 𝑚𝑜𝑑 7 =>
(2 𝑛:2 + 2 𝑛:1 +2 𝑛 )=2 𝑛 (22 + 2+1) =2 𝑛 ∙ 7 ⇒
2 𝑛 ∙ 7 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 7 болж
37 𝑛:2 + 16 𝑛:1 +23 𝑛 ⋮ 7 гэж батлагдлаа.

31. 1989 + 8189 тооны сүүлчийн 2
цифрийг ол. Бодолт:
19 ≡ 19 (mod 100)
=>
81 ≡ −19 (mod 100)
89 89
19 ≡ 19 (mod 100)
89 89
81 ≡ −19 (mod 100)

32. 19 ≡ 19 (mod 100)
=>
81 ≡ −19 (mod 100)
89 89
19 ≡ 19 (mod 100)
89 89 =>
81 ≡ −19 (mod 100)
19 89 + 8189 ≡ 0 (mod 100)

33. 3105 + 4105 ⋮ 181 гэж батал.
35 = 181 + 62; 45= 181 ∙ 6 − 62
5
3 ≡ 62 (mod 181)
45 ≡ −62 (mod 181)
105 21
3 ≡ 62 (mod 181)
⇒ 105 21 (mod 181)
4 ≡ −62

34. 105 21
3 ≡ 62 (mod 181)
⇒ 105 21
4 ≡ −62 (mod 181)
Эдгээр жишлэгүүдийг нэмбэл
3105 + 4105 ≡ 0 (mod181)

35. 3114 + 5114 ⋮ 13 гэж батал.
(3114 +2114 )+ (5114 −2114 ) гэж бичиж
болно.
114 114 2 57 2 57 = 57
(3 +2 )= 3 + 2 9 +
4 57 ⋮ 13
114 1143 38 −
(5 −2 )= 5
3 38 = 125 38 − 8 38 ⋮ 13=>117⋮
2
38 − 8 38 ⋮ 13
13 тул 125

36. 957 + 4 57 ⋮ 13
125 38 − 8 38 ⋮ 13 нэмэгдэхүүн
тус бүр 13-т хуваагдах тул
нийлбэр 13-т хуваагдана.
114 114
3 +5 ⋮ 13 гэсэн үг.

37. • Тооны хуваагчдын тоог олох
Дурын а тооны каноник задаргаа
𝛼1 𝛼2 𝛼3 𝛼𝑛
a= 𝑃1 ∙ 𝑃2 ∙ 𝑃3 ∙……………. ∙ 𝑃 𝑛
𝜏 𝑎 = 𝛼1 + 1 𝛼2 + 1 𝛼3 + 1 … … … (𝛼 𝑛 + 1)
1 2
a= 18 = 2 ∙ 3 𝜏 𝑎 = 𝛼1 + 1 𝛼2 + 1
𝜏 𝑎 = 1 + 1 2 + 1 =6 (1,2,3,6,9,18) байна.

38. • Тооны бүх хуваагчдын нийлбэрийг олох
𝑃1 𝛼1+1 ;1 𝑃2 𝛼2 +1 ;1 𝑃 𝑛 𝛼 𝑛 +1 ;1
𝐺 𝑎 =
𝑃1 ;1
∙ ∙ ……………… ∙
𝑃2 ;1 𝑃 𝑛 ;1
21+1 ;1 32+1 ;1 3 26
𝐺 18 =
2;1
∙ = ∙ =39 Шалгавал:
3;1 1 2
1+2+3+6+9+18=39

39. • а тоотой харилцан анхны байх тоонуудын тоог олох
Үүнийг Эйлерийн функц гэж нэрлээд дараах томьёогоор
олдог.
𝛼1 𝛼1 ;1 𝛼2 𝛼2 ;1
𝜑(a)=(𝑃1 −𝑃1 )(𝑃2 −𝑃2 )………………
𝛼𝑛 𝛼 𝑛 ;1
…(𝑃 𝑛 −𝑃1 )
1
𝜑(18)=(2 −20 )(32 −31 ) = 1 ∙ 6 = 6
Тухайлбал: 1; 18 , 5; 18 , (7; 18), (11; 18), (13; 18), (17; 18)