1. 1
Дадлагын хичээл №4
Сэдэв: ХИЙН ДУЛААН БАГТААМЖ
Хичээлийн зорилго: Өөр өөр бүтэц, шинж чанартай, ижил хэмжээний масстай
биесийн температурыг ижил хэмжээгээр өөрчлөхөд зарцуулагдах дулааны тоо
хэмжээг тооцоолж сурах
Байгаль дээр орших бүх биесийг халаахад тэлдэг. Зөвхөн усыг 00 С-ээс 40 С
хүртэл халаахад агшиж, 40 С –ээс 00 С болтол хөргөхөд тэлдэг. Өөрөөр хэлбэл
шилэнд байгаа ус хөлдөхөд тэлсний улмаас шил нь хагарна. Харин 40 С дээш
халаахад ус тэлнэ. Жишээлбэл: 1 кг ган ба зэсийг 10С-ээр халаахад ойролцоогоор
0,1 ккал 0,418 кДж дулаан шаардлагатай бол 1 кг тоосгыг 10С-ээр халаахад 0,836
кДж, 1 кг модыг 10С-ээр халаахад 2,718 кДж дулаан тус тус шаардагддаг байна. 1 кг
усыг 10С-ээр халаахад 4,18 кДж буюу ган ба зэснээс 10 дахин их дулаан
шаардагдана.
Ямар нэг нэгж хийн температурыг нэг градусаар нэмэгдүүлэхэд зарцуулсан
дулааны тоо хэмжээг хувийн дулаан багтаамж гэнэ.
Дулааны энергийг СИ системд (Джоуль)-аар хэмждэг. Дулааны нэгж 1 Джоуль
нь хүчний үйлчлэлийн чиглэлд 1м2 зайд биеийг механик ажлын үр дүнд бий болж
байгаа дулааны тоо хэмжээ юм.
1Дж=Н*М=1кгм2/с2
Бодисын тоо хэмжээнээс хамаарч дулаан багтаамжийг:
Молийн  C
Жингийн (С)
Эзэлхүүний (Ci) гэж гурав ангилдаг.
1м3 хийн төлөв байдлаас хамаарч янз бүрийн жинтэй байж болно. Үүнтэй
уялдаад эзэлхүүний дулаан багтаамж ямагт хийн жинтэй холбоотой байх ба түүнийг
хэвийн нөхцөлд 1м3 хий гэж үзээд даралт, температурыг нь pH=101325 Па (760мм
м.у.б) TH=273 К, (t=00C) гэж авна.
Дээр дурьдсан дулаан багтаамжуудын утгыг тодорхойлохын тулд эдгээрээс
аль нэгийг нь олоход хангалттай юм. Олоход хамгийн хялбар хэмжигдэхүүн бол
молийн дулаан багтаамж юм.
Жингийн дулаан багтаамжийг олохдоо:

c
C  (1)
Харин эзэлхүүний дулаан багтаамжийг
4.22
' c
C

 (2)
томъёогоор олно.
Эзэлхүүн ба жингийн дулаан багтаамжийн хоорондын хамаарлыг дараах
томъёогоор олно.
XHCC '
Үүнд: рХН-хэвийн нөхцөл дэх хийн нягт
Хийн дулаан багтаамж нь темпертураас их хамаардаг, хамаарлаас үндэслэж
дундаж ба жинхэнэ дулаан багтаамж гэж хоёр ангилдаг.

2. 2
Хэрэв нэгж хэмжээний хийд ямар нэгэн (q) хэмжээний дулаан өгөхөд эсвэл
(алдахад) хийн температур t1-ээс t2 хүртэл өөрчлөгдөнө гэж үзвэл дундаж дулаан
багтаамж гэнэ.
21 tt
q
Cm

 (3)
байна.
Температурын өөрчлөлт нь тэгрүү тэмүүлж байх үед авч үзсэн дулаан
багтаамжийг жинхэнэ дулаан багтаамж гэнэ.
dt
dq
C 
Төгс хийн дулаан багтаамж нь температураас хамаараад зогсохгүй бас
тэдгээрийн атомын тоо ба процессыг шинж чанар, даралтаас их хамаардаг.
Хий халаах ба хөргөх процессыг эзэлхүүн болон даралт тогтмол үед явуулж
болно.
Даралт тогтмол үед болон эзэлхүүн тогтмол байсан тохиолдолд дулаан
багтаамжийн янз бүрийн утгуудыг тооцох ёстой.
а/ Эзэлхүүн ба даралт тогтмол үеийн молийн дулаан багтаамжийг   vmv CC  .
ба  pmp CC  . гэж тэмдэглэнэ.
б/ Эзэлхүүн ба даралт тогтмол үеийн жингийн дулаан багтаамжийг (Cv,Cvm) ба
(CP,Cpm) гэж тэмдэглэнэ.
в/ Эзэлхүүн ба даралт тогтмол үеийн эзэлхүүний дулаан багтаамжийг
(C’
v, C’
vm) ба (C’
p, C’
pm) гэж тэмдэглэнэ.
Молийн дулаан багтаамж нь дарарлт ба эзэлхүүн тогтмол үед дараах
хамааралтай байна.
  vp CC R=8.314 КДж/(кмоль*К) (4)
Молийн дулаан багтаамжийг бага температурт тооцоход хэрэглэгдэх ойролцоо
утгыг дараах хүснэгтэд үзүүллээ.
4-р хүснэгт
Даралт, эзлэхүүн тогтмол үеийн молийн
дулаан багтаамжын ойролцоо утга
Хийнүүд
Дулаан багтаамж, кДж/(К моль*К)
vC pC
Нэг атомтай
Хоёр атомтай
Гурав түүнээс дээш атомтай
12.56
20.93
29.31
20.93
29.31
37.68
Техникийн термодинамикт даралт ба эзэлхүүн тогтмол үеийн дулаан
багтаамжийн харьцааг К үсгээр тэмдэглэнэ.

3. 3
v
p
v
p
C
C
C
C
k 


Хэрэв дулаан багтаамжийг тогтмол гэж үзвэл 4-р хүснэгтээс нэг атомтай хийд
K=1.67, хоёр атомтай хийд K=1.4, гурав ба түүнээс дээш атомтай хийд K=1.29 байна.
Температур өөрчлөгдөхөд хийн дулаан багтаамжийн өөрчлөлт муруй шугаман
хэлбэртэй байна.
1 кг t1 -ээс t2 хүртэл халаахад зарцуулагдах дулааны тоо хэмжээг дараах
томъёогоор тодорхойлно.
    1212 12
2
1
tCtCttCq mm
t
tm  (5)
Үүнд: 1mC ба 2mC -00-аас t1 болон 00-аас t2-температурын хязгаар дахь дундаж
дулаан багтаамж
Дээрх томъёог ашиглан эзлэхүүн ба даралт тогтмол үеийн процесст
зарцуулагдах дулааны тоо хэмжээг хялбар олж болно.
12 12
tCtCq vmvmv  (45)
12 12
tCtCq pmpmp  (6)
Хэрэв процесст VH (м3) эзэлхүүнтэй ба М (кг) масстай хий оролцож байна гэж
үзвэл
   1212 1212
tCtCVtCtCMQ vm
I
vm
I
xvmvmv  (7)
(8)
дараах томъёогоор болно.
C=a+dt+dt2
Үүнд: a; b; d- өгөгдсөн хийн шинж чанар, процессоос хамаарах илтгэлцүүр.
Дулааны техникийн тооцоонд температурын шугаман биш хамаарлаар орлуулж
болно. Энэ тохиолдолд жинхэнэ дулаан багтаамжийг олъё:
C = a+b*t
Температур нь t1 –ээс t2 хүртэл өөрчлөгдөх үеийн дундаж дулаан багтаамжийг
дараах томьёогоор олно.
Cm=a+b/2(t1+t2)
Үүнд: a, b - өгөгдсөн хийн тогтмолууд
Температурын 00 –аас t утга дахь дундаж дулаан багтаамжийг олохдоо
Cm=a+b/2t (9)
Холимог хийн жингийн болон эзэлхүүний мөн молийн дулаан багтаамжийг дараах
томъёогоор тодорхойлно.
𝐶 𝑥𝑜𝑛 = ∑ 𝑚𝑖 ∙ 𝐶𝑖
𝑛
𝑡
   1212 1212
tCtCVtCtCMQ pm
I
pm
I
xpmpmv 

4. 4
𝐶 𝑥𝑜𝑛 = ∑ 𝑟𝑖 ∙ 𝐶𝑖
𝑛
𝑡
𝜇𝐶 𝑥𝑜𝑛 = ∑ 𝑟𝑖 ∙ 𝜇𝐶𝑖
𝑛
𝑡
Даралт тогтмол үед хийн молийн жинхэнэ ба дундаж дулаан багтаамжийн
интерполяцийн томъёог 5-р хүснэгтээр, эзэлхүүн тогтмол үеийн дундаж жингийн
болон эзэлхүүний дулаан багтаамжийн интерполяцийн томъёог 6-р хүснэгтэд тус тус
үзүүлэв

5. 5
Хийн жинхэнэ ба дундаж молийн дулаан багтаамжийн
интерполяцийн томъёо
Хий
Даралт тогтмол үеийн дулаан багтаамж, кДж/к
моль К
Жинхэнэ Дундаж
0-10000С –ийн хязгаарт
О2
И2
СО
Ага
ар
H2O
SO2
𝜇𝑐 𝑃
= 29,5802 + 0.0069706𝑡
𝜇𝑐 𝑃
= 28,5372 + 0.0053905𝑡
𝜇𝑐 𝑃
= 28,7395 + 0.0058862𝑡
𝜇𝑐 𝑃
= 28,7558 + 0.0057208𝑡
𝜇𝑐 𝑃
= 32,8367 + 0.0116611𝑡
𝜇𝑐 𝑃
= 42,8728 + 0.0132043𝑡
𝜇𝑐 𝑃𝑚
= 29,2080 + 0.0040717𝑡
𝜇𝑐 𝑃𝑚
= 28,7340 + 0.0023488𝑡
𝜇𝑐 𝑃𝑚
= 28,8563 + 0.0026808𝑡
𝜇𝑐 𝑃𝑚
= 28,8270 + 0.0027080𝑡
𝜇𝑐 𝑃𝑚
= 33,1494 + 0.0052749𝑡
𝜇𝑐 𝑃𝑚
= 40,4386 + 0.0099562𝑡
0-15000-ийн хязгаарт
H2
CO2
𝜇𝑐 𝑃
= 28,3446 + 0.0031518𝑡
𝜇𝑐 𝑃
= 41,3597 + 0.0144985𝑡
𝜇𝑐 𝑃𝑚
= 28,7210 + 0.0012008𝑡
𝜇𝑐 𝑃𝑚
= 38,3955 + 0.0105838𝑡
1000-27000C-ийн хязгаарт
O2
N2
CO
Ага
а
H2O
𝜇𝑐 𝑃
= 33,8603 + 0.021951𝑡
𝜇𝑐 𝑃
= 32,7466 + 0.0016517𝑡
𝜇𝑐 𝑃
= 33,6991 + 0.0013406𝑡
𝜇𝑐 𝑃
= 32,9564 + 0.0017806𝑡
𝜇𝑐 𝑃
= 40,2393 + 0.0059854𝑡
𝜇𝑐 𝑃𝑚
= 31,5731 + 0.0017572𝑡
𝜇𝑐 𝑃𝑚
= 29,7815 + 0.0016835𝑡
𝜇𝑐 𝑃𝑚
= 30,4242 + 0.0015579𝑡
𝜇𝑐 𝑃𝑚
= 30,1533 + 0.0016973𝑡
𝜇𝑐 𝑃𝑚
= 34,5118 + 0.0045979𝑡
1500-30000C-ийн хязгаарт
H2
CO2
𝜇𝑐 𝑃
= 31,0079 + 0.0020243𝑡
𝜇𝑐 𝑃
= 56,8768 + 0.0021738𝑡
𝜇𝑐 𝑃𝑚
= 28,6344 + 0.0014821𝑡
𝜇𝑐 𝑃𝑚
= 48,4534 + 0.0030032𝑡

6. 6
Хийн жингийн болон эзлэхүүний дундаж дулаан
багтаамжийн интерполяцийн томъёо
Хий
Дулаан багтаамж, кДж/к моль К
Жингийн Эзлэхүүний
0-10000С –ийн хязгаарт
О2
И2
СО
Агаа
Н2О
SO2
𝑐 𝑃𝑚 = 0,9127
+ 0.00012724𝑡
𝑐 𝑃𝑚 = 0,6527
+ 0.00012724𝑡
𝑐 𝑃𝑚 = 1,0258
+ 0.00008382𝑡
𝑐 𝑃𝑚 = 0,7289
+ 0.00008382𝑡
𝑐 𝑃𝑚 = 1,0304
+ 0.00009575𝑡
𝑐 𝑃𝑚 = 0,7335
+ 0.00009575𝑡
𝑐 𝑃𝑚 = 0,9952
+ 0.00009349𝑡
𝑐 𝑃𝑚 = 0,7084
+ 0.00009349𝑡
𝑐 𝑃𝑚 = 1,8401
+ 0.00029278𝑡
𝑐 𝑃𝑚 = 1,3783
+ 0.00029278𝑡
𝑐 𝑃𝑚 = 0,6314
+ 0.00015541𝑡
𝑐 𝑃𝑚 = 0,5016
+ 0.00015541𝑡
𝑐 𝑃𝑚
= 1,3046 + 0.00018183𝑡
𝑐 𝑃𝑚
= 0,9337 + 0.00018183𝑡
𝑐 𝑃𝑚
= 1,2833 + 0.00010492𝑡
𝑐 𝑃𝑚
= 0,9123 + 0.00010492𝑡
𝑐 𝑃𝑚
= 1,2883 + 0.00011966𝑡
𝑐 𝑃𝑚
= 0,9173 + 0.00011966𝑡
𝑐 𝑃𝑚
= 1,2870 + 0.00012091𝑡
𝑐 𝑃𝑚
= 0,9161 + 0.00012071𝑡
𝑐 𝑃𝑚
= 1,4800 + 0.00023551𝑡
𝑐 𝑃𝑚
= 1,1091 + 0.00023551𝑡
𝑐 𝑃𝑚
= 1,8472 + 0.00004547𝑡
𝑐 𝑃𝑚
= 1,4763 + 0.00004547𝑡
0-15000C –ийн хязгаарт
Н2
СО2
𝑐 𝑃𝑚 = 14,2494
+ 0.00059574𝑡
𝑐 𝑃𝑚 = 10,1241
+ 0.00059574𝑡
𝑐 𝑃𝑚 = 0,8725
+ 0.00024053𝑡
𝑐 𝑃𝑚 = 0,6837
+ 0.00024053𝑡
𝑐 𝑃𝑚
= 1,2803 + 0.00005355𝑡
𝑐 𝑃𝑚
= 0,9094 + 0.00005355𝑡
𝑐 𝑃𝑚
= 1,7250 + 0.00004756𝑡
𝑐 𝑃𝑚
= 1,3540 + 0.00004756𝑡

7. 7
Жишээ бодлогууд
Жишээ 1
Даралт ба эзлэхүүн тогтмол үед хүчилтөрөгчийн эзлэхүүний дулаан
багтаамжийг ол (C=const)
Бодолт
4-р хүснэгтээс үзэхэд хүёр атомт хийн хувьд
μСv=20.93 кДж/(кмоль к)
µСр=29.31 кДж/(кмоль к)
Ингээд хүчилтөрөгчийн дулаан багтаамжийг олбол:
𝑐 𝑣
′
=
µCv
22.4
=
20.93
22.4
= 0.934 кДж/(𝑀3
𝑘)
𝑐 𝑝
′
=
µCp
22.4
=
29.31
22.4
= 1.303 кДж/(𝑀3
𝑘)
Жишээ 2
Хэрэв нүүрстөрөгчийн исэлийн (𝜇𝐶 𝑝𝑚)0
1200
= 32.192 кДж/(кмоль К) байвал
температурын 00-12000С-ийн хязгаарт эзлэхүүн тогтмол үеийн нүүрстөрөгчийн
ислийн жингийн ба эзлэхүүний дундаж багтаамжийг тооцоол. Тоцооны утгыг, YII
хавсралтын утгатай жишиж үз.
Бодолт
(𝜇𝐶𝑣)0
1200
= 32.192 − 8.314 = 23.877 кДж/(кмоль к)
(С 𝑣𝑚)0
1200
=
(𝑚𝐶 𝑣)0
1200
28
=
23.877
28
= 0.8528кДж/(кмоль К)
(С′
𝑣𝑚)0
1200
=
(𝑚𝐶𝑣)0
1200
22.4
=
23.877
22.4
= 0.8528кДж/(кмоль К)
YII хавсралтаас
(С 𝑣𝑚)0
1200
= 0.8528кДж/(кмоль К)
(С′
𝑣𝑚)0
1200
= 0.8528кДж/(кмоль К)
Жишээ 3
200-8000С-ийн температурт тогтмол даралтанд оршиж байгаа агаарын жингийн
дундаж дулаан багтаамжийг ол. Дулаан багтаамж нь температураас шугаман биш
хамааралтай гэж тооц.
Бодолт
42 ба 46-р тэгшитгэлээр бодож олно.
(С 𝑝𝑚)
t
t
2
1
=
Cpm2. t2 − Cpm1. t1
t2−t1
багтаамжийг ольё.
(𝐶 𝑝𝑚)0
200
= 1.0115 кДж/(кг К)

8. 8
Эндээс: (𝐶 𝑝𝑚)200
800
=
1.0710Ч800−1.0115Ч200
800−200
= 1.091 кДж/(кг К)
Жишээ 4
Дулаан багтаамжийг температураас шугаман хамааралтай гэж үзэн өмнөх
бодлогыг бод.
Бодолт
5-рхүснэгтээс μ𝐶 𝑝𝑚 = 28.8270 + 0.0027080Ч𝑡 = 28.8270 + 0.0027080 (200 +
800) = 28.8270 + 2.7080 = 31.535кДж/(кг К)
Агаарын жингийн дундаж дулаан багтаамжийг ольё.
𝐶 𝑝𝑚 =
μCpm
μ
=
31.5
28
= 1.08 кДж/(кмоль К)
Жишээ 5
300л эзлэхүүнтэй битүү саванд 0.8 МПа даралттай 200С температуртай агаар
агуулагдаж байв. Агаарын температурыг 1200С хүртэл нэмэгдүүлэхийн ту лд хичнээн
хэмжээний дулаан гаднаас өгөх шаардлагатай вэ? Дулаан багтаамж температураас
хамаарах хамаарлыг тооцож агаарын дулаан багтаамжийг тогтмол гэсэн нөхцөлөөр
бодлогыг бод. Эхний тохиолдлоор олсон харьцангуй алдааг ол.
Бодолт
Хийн төлөвийн үндсэн тэгшитгэлээр саванд буй агаарын жинг тодорхойльё.
𝑀 =
VP
RT
=
0.3Ч106 Ч0.3
287Ч293
= 1.07кг
Хоёр атомтай хийн, эзлэхүүн тогтмол үеийн молийн дундаж дулаан багтаамж нь
μ𝐶𝑣 = 20.93 кДж/(кг К) байдаг учраас дулаан багтаамж нь тогтмол байх үеийн
агаарын дулаан багтаамжийг ольё.
Q= MCv(t2-t1)1.07٠0.7226٠100=77.3 кДж
Дулаан багтаамж нь температураас хамаарах хамаарлыг харуулсан хүснэг (XII)
ашиглан өгөгдсөн температурын утгад харьяалагдах дулаан багтаамжийг авъя.
Сv=0.7209 кДж/(кг К)
Үүнээс үндэслэн хүснэгтийн өгөгдөлтэй харьцуулсан алдааг олвол:
𝜀 =
0.7226−0.7209
0.7209
Ч100 = 0.25%
Температурын зөрүү багатай нөхцөлд харьцангуй бага алдаатай гарч байна.
Температурын зөрүү ихсэх тутам алдаа ихэсдэг.
Жишээ 6
Дулаан тусгаарлагчтай калориметр дотор t’=150С температуртай Мв=0.8 кг
жинтэй ус агуулагдаж байв. Калориметрийг мөнгөөр хийсэн бөгөөд түүний дулаан
багтаамж нь 2345,00 C кДж/(кгК).
Калириметрийн жин 25,0cM кг. Хэрэв калориметр дотор Cta
0
100
температуртай 0,2 кг жинтэй хөнгөн цагааныг дүрэхэд (хийхэд) температур нь
CtII 0
25,19 болтлоо нэмэгджээ.

9. 9
Хөнгөн цагааны дулаан багтаамжийг ол.
Бодолт
Калориметрт хийсэн хөнгөнцагааны жинг Ma, хөнгөн цагааны дулаан
багтаамжийг Ca-аар тэмдэглэвэл калориметрийн дулааны балансын тэгшитгэл доорх
байдлаар бичигдэнэ.
    II
aaCCCBaaa
I
CCBB tCMCMCMtCMtCMCM  Энэ тэгшитгэлээс
хөнгөн цагааны дулаан багтаамжийг олох томъёоны гаргалгаа хийе:
  
 II
aa
III
CCBB
a
ttM
ttCMCM
C



Энэ томъёонд бодлогын өгөгдлийг орлуулан тавибал:
  
 
8946,0
24,191002,0
1524,192345,025,01868,48,0



aC кДж/(кгК)
Ангид бодох бодлогууд
1. C=Const гэж үзээд даралт болон эзлэхүүн тогтмол үед хүчилтөрөгчийн
жингийн дулаан багтаамжийн утгыг ол.
Хариу. Ср=0.916 кДж/(кг к)
Сv=0.654 кДж/(кг к)
2. Дулаан багтаамжийг температураас шугаман биш хамааралтай гэж үзэн
тогтмол даралтанд, 00-8250С температурын хязгаарт байгаа нүүрсхүчлийн хийн
жингийн дундаж дулаан багтаамжийг ол.
Хариу.(𝐶 𝑝𝑚)0
825
= 1.1090 кДж/(кг К)
3. Дулаан багтаамжийг температураас шугаман хамааралтай гэж үзэн, тогтмол
даралттай үед 10000С температурт байгаа хүчилтөрөгчийн молийн дулаан
багтаамжийн жинхэнэ утгыг ол. Хүснэгтийн өгөгдөлтэй
харьцуулсан харьцангуй алдааг ол.
Хариу. µСm=36.55 кДж/(кмоль К)
ε=1.79%
4. 3500-10000С-ийн температурт тогтмол даралтанд байгаа хүчилтөрөгчийн
жингийн дундаж дулаан багтаамжийг ол. Дулаан багтаамжийн температураас
хамаарах хамаарлыг а/ шугаман биш б/
шугаман гэж тооц
Хариу. Сpm=1.077 кДж/(кг К)
Сpm=1.085 кДж/(кг К)
5. 200-8000С-ийн температурт байгаа нүүрстөрөгчийн ислийн жингийн ба
эзлэхүүний дундаж дулаан багтаамжийг ол. Дулаан багтаамж нь температураас
шугаман хамааралтай гэж тооц.
Хариу. Сpm=1.1262 кДж/(кг К)
С’vm=1.0371 кДж/( м3 К)

10. 10
6. Дулаан багтааж нь температураас шугаман хамааралтай гэж үзэн 400-
12000С-ийн температурт байгаа агаарын даралт ба эзлэхүүн тогтмол үеийн
эзлэхүүний дундаж дулаан багтаамжийг ол.
Хариу. С’pm=1.4846 кДж/(м3 К)
С’vm=1.1137 кДж/( м3 К)