1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
(เนื้อหาตอนที่ 3)
อินเวอร์สของความสัมพันธ์ และบทนิยามของฟังก์ชัน
โดย
อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ
สื่อ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การสอน เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
สื่อการสอน เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
2. เนื้อหาตอนที่ 1 ความสัมพันธ์
- แผนภาพรวมเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
- ผลคูณคาร์ทีเซียน
- ความสัมพันธ์
- การวาดกราฟของความสัมพันธ์
3. เนื้อหาตอนที่ 2 โดเมนและเรนจ์
- โดเมนและเรนจ์
- การหาโดเมนและเรนจ์โดยการแก้สมการ
- การหาโดเมนและเรนจ์โดยการวาดกราฟ
4. เนื้อหาตอนที่ 3 อินเวอร์สของความสัมพันธ์ และบทนิยามของฟังก์ชัน
- อินเวอร์สของความสัมพันธ์
- บทนิยามของฟังก์ชัน
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ฟังก์ชันเบื้องต้น
- ฟังก์ชันจากเซต A ไปเซต B
- ฟังก์ชันทั่วถึง
- ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
6. เนื้อหาตอนที่ 5 พีชคณิตของฟังก์ชัน
- พีชคณิตของฟังก์ชัน
- ตัวอย่างประเภทของฟังก์ชันพื้นฐาน
7. เนื้อหาตอนที่ 6 อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
- อินเวอร์สของฟังก์ชันละฟังก์ชันอินเวอร์ส
- กราฟของฟังก์ชันอินเวอร์ส
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ฟังก์ชันประกอบ
- ฟังก์ชันประกอบ
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
- โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันประกอบ
- สมบัติของฟังก์ชันประกอบ
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
11. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
12. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
13. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง อินเวอร์สของความสัมพันธ์และฟังก์ชันอินเวอร์ส
14. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง โดเมนและเรนจ์
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง พีชคณิตและการประกอบของฟังก์ชัน
16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การเลื่อนแกน
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์
และฟั ง ก์ ชั น นอกจากนี้หากท่ า นสนใจสื่อการสอนวิช าคณิต ศาสตร์ใ นเรื่อ งอื่ นๆที่คณะผู้จัด ทาได้
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมด
ในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 3 (3/7)
หัวข้อย่อย 1. อินเวอร์สของความสัมพันธ์
2. บทนิยามของฟังก์ชัน
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจบทนิยามของอินเวอร์สของความสัมพันธ์
2. หาอินเวอร์สของความสัมพันธ์จากความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ทั้งในรูปแบบแจกแจงสมาชิก
และรูปแบบบอกเงื่อนไขได้
3. เข้าใจวิธีการวาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ ตลอดจนเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่าง
กราฟของความสัมพันธ์และกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ดังกล่าว
4. เข้าใจบทนิยามของฟังก์ชัน และแยกแยะได้ว่าความสัมพันธ์ที่กาหนดให้เป็นหรือไม่เป็น
ฟังก์ชัน
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. สามารถหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์จากความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ทั้งในรูปแบบแจกแจง
สมาชิกและรูปแบบบอกเงื่อนไขได้
2. สามารถวาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ได้
3. สามารถแยกแยะได้ว่าความสัมพันธ์ที่กาหนดให้เป็นหรือไม่เป็นฟังก์ชัน
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อ
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. อินเวอร์สของความสัมพันธ์
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ก่อนที่จะเข้าบทเรียน ครูควรทบทวนบทนิยามของความสัมพันธ์ระหว่างเซตสองเซต ตลอดจนข้อสังเกตต่างๆ เพื่อให้
นักเรียนคุ้นเคยกับความสัมพันธ์ก่อน เช่น ในกรณีที่ r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B และ (x, y ) r จะ
ได้ว่า
1. x A , y B , (x, y ) A B และ r A B
2. x ถูกจับคู่กับ y ด้วยความสัมพันธ์ r
3. x และ y สอดคล้องเงื่อนไขของความสัมพันธ์ r ในกรณีที่ความสัมพันธ์ r กาหนดมาในรูปเซตแบบบอก
เงื่อนไข
4. จุด (x, y) อยู่บนกราฟของความสัมพันธ์ r
เป็นต้น
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในช่วงนี้ได้แนะนาบทนิยามของตัวผกผันหรืออินเวอร์สของความสัมพันธ์ r ตลอดจนข้อสังเกตเกี่ยวกับ
ความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ กับโดเมนและเรนจ์ของอินเวอร์สของความสัมพันธ์
เมื่อถึงจุดนี้ครูอาจย้ากับนักเรียนว่าไม่ควรยึดติดกับตัวแปรมากเกินไป เช่น x หรือ a ไม่จาเป็นต้องเป็นตัวแปร
สาหรับสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับเสมอไป เป็นต้น และการหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์เป็นเพียงการสลับที่
ของสมาชิกตัวหน้ากับตัวหลังของคู่อันดับที่อยู่ในความสัมพันธ์เท่านั้น อีกทั้งอินเวอร์สของความสัมพันธ์ยังเป็น
ความสัมพันธ์แบบหนึ่ง ทั้งนี้ครูอาจให้นักเรียนช่วยกันคิดว่าถ้า r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B นั่น
คือ r A B แล้ว r 1 จะเป็นความสัมพันธ์จากเซตใดไปเซตใด หรือเป็นสับเซตของเซตใด
สาหรับปัญหาชวนคิดที่ทิ้งไว้ในสื่อควรอ่านออกเป็นภาษาพูดว่า r เป็นความสัมพันธ์บนจานวนจริงที่
สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r มากกว่าหรือเท่ากับสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r ทาให้ได้ว่า อินเวอร์ส
ของความสัมพันธ์ r ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ r 1 คือความสัมพันธ์บนจานวนจริงที่สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ
ใน r 1 น้อยกว่าหรือเท่ากับสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r 1 และเขียนเป็นเซตแบบบอกเงื่อนไขได้เป็น
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
r 1
{(y, x ) | x นั่นเอง อย่างไรก็ดีครูควรย้าว่าตามความนิยมนั้นมักจะเขียน (x, y) เป็นสมาชิกใน
y}
ความสัมพันธ์ ดังนั้นสาหรับปัญหาชวนคิดนี้ ในฐานะที่ r 1 เป็นความสัมพันธ์เช่นกันจึงนิยมเขียน
r 1 {(x , y ) | y x } เหมือนในตัวอย่างที่ยกให้ดูก่อนหน้ามากกว่า
นอกจากนี้การที่สลับสมาชิกตัวหน้ากับตัวหลังของคู่อันดับในความสัมพันธ์ r เพื่อให้ได้เป็น r 1 นั้น
ส่งผลให้ Dr Rr และ Rr Dr
1 1
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในตอนนีได้ยกตัวอย่างให้นักเรียนเห็นการหาโดเมนและเรนจ์ของอินเวอร์สของความสัมพันธ์จากความสัมพันธ์ r ที่
้
กาหนดให้ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขโดยใช้ความสัมพันธ์ที่ว่า Dr Rr และ Rr Dr ดังนั้นครูควรทบทวน
1 1
การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข
สาหรับตัวอย่าง 3 ที่กาหนดให้ r {(x , y ) | y 3x 1 เมื่อ x 3} และหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r ได้
x 1
เป็น r 1
(x, y ) y เมื่อ x 10 จากนั้นทิ้งคาถามไว้ว่า Dr 1 Rr หรือไม่ ครูควรย้ากับนักเรียนว่า
3
การกาหนดเงื่อนไขของ x ที่ว่า x 3 ในเงื่อนไขของความสัมพันธ์ r เป็นการกาหนดโดเมนให้ความสัมพันธ์ r นี้
แล้ว ดังนั้นจะได้ทันทีว่า Dr [3, ) Rr ดังนั้นในการหา Rr จะพิจารณาค่า y 3x 1 ที่เป็นไปได้เมื่อ
1
x 3 ซึ่งจะได้ว่า สาหรับ x 3 ทาให้ y 3x 1 3(3) 1 10 นั่นคือ Rr [10, ) ซึ่งเป็นเงื่อนไข
ของ x ความสัมพันธ์ r 1 จึงสรุปได้ว่า Dr [10, ) Rr นั่นเอง
1
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในตอนนีได้พยายามชี้ให้นักเรียนเห็นความสัมพันธ์ระหว่างกราฟของความสัมพันธ์และกราฟของอินเวอร์สของ
้
ความสัมพันธ์นั้นๆ โดยไม่ได้แสดงการพิสูจน์
การพิสูจน์ว่ากราฟของความสัมพันธ์ r และอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r มีเส้นตรง y x เป็นแกนสมมาตรนั้น
ครูอาจเริ่มให้นักเรียนพยายามสังเกตจากการพิจารณาว่าจุดที่อยู่เหนือแกน X เช่น (1,2) หากใช้แกน X เป็นแกน
สมมาตรแล้วจุดนี้จะไปตรงกับจุดใดใต้แกน X ลองทาเช่นนี้หลายๆ จุด จากนั้นอาจเปลี่ยนเป็นจุดที่อยู่ทางขวาของ
แกน Y เช่น (1,2) แล้วใช้แกน Y เป็นแกนสมมาตร เพื่อให้นักเรียนช่วยกันพิจารณาว่าจะตรงกับจุดใดที่อยู่ทางซ้าย
ของแกน Y ครูควรแนะให้นักเรียนพยายามสังเกตระยะห่างระหว่างจุดสองจุดที่สมมาตรกันตามแนวแกน X (หรือ
Y ) จนน่าจะได้ข้อสรุปว่าจุด (a, b ) และ (c, d ) จะสมมาตรกันเมื่อเทียบกับแกน X (หรือ Y ) เมื่อ
1. ระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุด (a, b) ไปยังแกน X (หรือ Y ) เท่ากับระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุด (a, b) ไปยัง
แกน X (หรือ Y ) และ
2. เส้นตรงที่ผ่านจุด (a, b) และ (c, d ) ตั้งฉากกับแกน X (หรือ Y )
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จากนั้นครูให้นักเรียนจินตนาการต่อโดยการหมุนแกน X (หรือ Y ) ไป 45 องศาจนกลายเป็นเส้นตรง y x เพื่อ
ชี้ให้เห็นว่าเงื่อนไขในการสมมาตรยังคงเป็นจริงอยู่สาหรับแกนสมมาตรที่เป็นเส้นตรง y x นี้ อย่างไรก็ดีในการ
พิสูจน์ข้อความทั้งสองนี้ต้องอาศัยความรู้ทางเรขาคณิตวิเคราะห์เข้ามาช่วยดังนี้
1. ระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุด (a, b) ไปยังเส้นตรง Ax By C 0 คือ | Aa 2
Bb
2
C|
หน่วย
A B
2. ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (a, b) และ (c, d ) คือ d b
c a
3. ความชันของเส้นตรง y mx c คือ m
4. เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อผลคูณของความชันของเส้นตรงทั้งสองเส้นนี้เท่ากับ 1
ต่อไปนี้จะพิสูจน์ว่ากราฟของความสัมพันธ์ r สมมาตรกับกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r โดยมีเส้นตรง
y x เป็นแกนสมมาตร
พิสูจน์ เพื่อให้ได้ข้อสรุปดังกล่าวเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าสาหรับ (a, b) ใดๆ ที่ (a, b) r จะได้ว่า (a, b) สมมาตรกับ
(b, a ) โดยมีเส้นตรง y x เป็นแกนสมมาตร
ให้ (a, b) r ดังนั้น (b, a ) r 1 เนื่องจาก | a b | | b a | จะได้ว่าระยะทางที่สั้นที่สุดจาก (a, b) ไปยัง
เส้นตรง y x ซึ่งคือ | a b|
หน่วย เท่ากับ ระยะทางที่สั้นที่สุดจาก (b, a ) ไปยังเส้นตรง y x ซึ่งคือ | b a|
2 2
หน่วย ต่อมาเนื่องจากความชันของเส้นตรงที่เชื่อมจุด (a, b) และ (b, a ) เท่ากับ a b
1 และความชันของ
b a
เส้นตรง y x เท่ากับ 1 ทาให้ได้ว่าเส้นตรงที่เชื่อมจุด (a, b) และ (b, a ) ตั้งฉากกับเส้นตรง y x สรุปได้ว่า
สาหรับ (a, b) ใดๆ ที่ (a, b) r จะได้ว่า (a, b) สมมาตรกับ (b, a ) โดยมีเส้นตรง y x เป็นแกนสมมาตร นั่นคือ
กราฟของความสัมพันธ์ r สมมาตรกับกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r โดยมีเส้นตรง y x เป็นแกน
สมมาตร
เมื่อถึงจุดนี้ครูอาจเริ่มถามคาถามนาเพื่อให้นักเรียนช่วยกันคิดและอภิปราย อาทิเช่น
1. ถ้า r หรือ r A A เมื่อ A เป็นเซตใดๆ แล้ว r 1 คือเซตใด
2. จากข้อ 1. นักเรียนพอจะสังเกตได้ว่า r r 1 ให้นักเรียนช่วยกันยกตัวอย่างความสัมพันธ์อื่นๆ
นอกเหนือจากความสัมพันธ์ในข้อ 1. ที่มีสมบัติว่า r r 1
3. จากตัวอย่างในสื่อจะเห็นว่ากราฟของความสัมพันธ์ r และ r 1 อาจจะตัดกันหรือไม่ตัดกันก็ได้ ถ้ากราฟของ
r และ r 1 ตัดกันแล้วจะต้องตัดกันบนเส้นตรง y x เท่านั้นหรือไม่
เป็นต้น
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อได้ผ่านการกระตุ้นความคิดและอภิปรายแล้วครูอาจยกตัวอย่างความสัมพันธ์ต่างๆ จากสื่อเรื่องความสัมพันธ์และ
ฟังก์ชันทั้งสองชุดที่ผ่านมาให้นักเรียนฝึกหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ นอกจากนี้ยังอาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม
ตัวอย่าง 1 กาหนดให้ r {(1, 0), (2,1), (3, 5), (4, 3), (5,2)} จงหา r 1 พร้อมทั้ง Dr และ Rr 1 1
วิธีทา r 1
{(0,1), (1,2), (5, 3), (3, 4), (2, 5)} โดยที่ Dr 1 {0, 1, 2, 3, 5} Rr และ
Rr 1 {1, 2, 3, 4, 5} Dr
ตัวอย่าง 2 กาหนดให้ r {(x, y ) | y | x | 1} จงหา r 1 พร้อมทั้งระบุ Dr และ Rr จากนั้นให้วาดกราฟ
1 1
ของ r และ r 1 บนระนาบ XY เดียวกัน
วิธีทา r 1 {(y, x ) | y | x | 1} {(x, y ) | x | y | 1} {(x , y ) || y | x 1} ทั้งนี้หากต้องการเขียน
เงื่อนไขของ r 1 ในรูปของ y อย่างแจ่มชัดอาจเขียนได้เป็น
r 1 {(x , y ) | x 1 0 และ (y x 1 หรือ y (x 1))} ทาให้เห็นได้ชัดว่า Dr 1 [1, ) Rr
และ Rr 1 Dr
สาหรับกราฟของ r และ r 1 วาดได้ดังรูป
4
r
3 y=x
2
r-1
1
3 2 1 1 2 3
1
2
3
หมายเหตุ สังเกตว่าสาหรับตัวอย่าง 2 การพยายามเขียนเงื่อนไขของ r 1 ในรูปของ y อย่างแจ่มชัดทาให้เกิดความ
เยิ่นเย้อ ครูควรให้นักเรียนช่วยกันสังเกตว่าควรจะเขียนในรูปแบบไหนดีกว่า
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 3 สาหรับจานวนจริงบวก a และ b ใดๆ ที่ a b กาหนดให้กราฟของความสัมพันธ์
x2 y2
r (x , y ) 2 1 เป็นวงรีที่มีแกน X และ แกน Y เป็นแกนสมมาตรโดยวงรีนี้ตัดแกน X ที่จุด
a b2
( a, 0) และ (a, 0) และตัดแกน Y ที่จุด (0, b ) และ (0, b ) ดังรูป
b
-a a
-b
จงหา r 1 พร้อมทั้งระบุ Dr และ Rr จากนั้นให้วาดกราฟของ r และ r 1 บนระนาบ XY เดียวกัน
1 1
y2 x2
วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า r 1
(x , y ) 1 จากกราฟจะได้ว่า Dr [ a, a ] Rr 1 และ
a2 b2
Rr [ b,b ] Dr 1 สาหรับกราฟของ r และ r 1 บนระนาบ XY เดียวกันวาดได้ดังนี้
y=x
a
r-1
b
r
-a -b b a
-b
-a
นักเรียนควรสังเกตว่าในกรณีที่ a b 1 จะได้ว่า r {(x, y ) | x 2 y 2 1} r 1 ซึ่งทั้งคู่มีกราฟเป็นรูป
วงกลมรัศมีหนึ่งหน่วยที่มีจุดกาเนิดเป็นจุดศูนย์กลาง ทาให้จุดตัดของ r และ r 1 มีเป็นจานวนอนันต์และจุดตัดทุก
2 2 2 2
จุดยกเว้นจุด , และ , ไม่อยู่บนเส้นตรง y x
2 2 2 2
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 4 กาหนดให้ r {(x, y ) | x 2y} จงหา r 1 พร้อมทั้งระบุ Dr และ Rr จากนั้นให้วาดกราฟของ r
1 1
และ r 1 บนระนาบ XY เดียวกัน
วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า r 1
{(x , y ) | y 2x } โดยที่ Dr 1 Rr 1 สาหรับกราฟของ r และ r 1 วาดได้
ดังรูป
y=x
r-1
r
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องอินเวอร์สของความสัมพันธ์
จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ต่อไปนี้โดยการสลับบทบาทของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังของ
ความสัมพันธ์ แล้วเขียนเงื่อนไขที่ได้ในรูปของ y อย่างแจ่มชัด พร้อมทั้งระบุ Dr และ Rr จากนั้นให้วาดกราฟ
1 1
ของ r และ r 1 บนระนาบ XY เดียวกัน
1. r {(x, y) | y x 2}
2. r {(x, y ) | y 4 x2}
3. r {(x, y) || x y | 1}
4. r {(x , y ) | x 3 y}
5. r {(x , y ) | y x2 2}
6. r {(x , y ) | y 2x 1 เมื่อ x 2}
7. r {(x , y ) | y x2 เมื่อ x 2}
8. r {(x, y) || y | x 2}
จงวาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์จากกราฟของความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้บนระนาบเดียวกัน
9. 10.
2
4
1
2
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 6 4 2 2 4 6
2
1
4
2
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. บทนิยามของฟังก์ชัน
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในตอนนีได้แนะนาแนวคิดหลักของเรื่องฟังก์ชันและบทนิยามของฟังก์ชัน ครูควรย้าอีกครั้งว่าฟังก์ชันเป็น
้
ความสัมพันธ์พิเศษแบบหนึ่งที่ไม่ต้องการให้เกิดการจับคู่ชนิดที่ใช้สมาชิกตัวหน้าซ้า (บางครั้งอาจเรียกการจับคู่ที่ใช้
สมาชิกตัวหน้าซ้ากันว่าเป็นแบบ one-to-many ซึ่งไม่เป็นฟังก์ชัน)
จากนิยามทาให้ตอบปัญหาที่ทิ้งไว้ในชวนคิดว่าการจับคู่แบบในแผนภาพนี้ไม่มีการใช้สมาชิกตัวหน้าซ้า ดังนั้นจึงเป็น
ฟังก์ชัน (แม้ว่าจะใช้สมาชิกตัวหลังซ้ากันก็ตาม บางครั้งเรียกการจับคู่ที่ใช้สมาชิกตัวหลังซ้าแบบนี้ว่า many-to-one)
เมื่อถึงตอนนี้ครูอาจค่อยๆ ชี้ให้นักเรียนเห็นว่า ยังไม่ได้มีการพูดให้ชัดเจนว่าการจับคู่ที่จะมาพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชัน
หรือไม่นั้น มีเซตของสมาชิกตัวหน้าคือเซตใด เซตของสมาชิกตัวหลังคือเซตใด เป็นเพียงแต่การให้แนวคิดหลัก
เกี่ยวกับการจับคู่ว่าแบบใดเป็นหรือแบบใดไม่เป็นฟังก์ชันก่อนเท่านั้น ในตอนต่อไปถึงจะลงไปในรายละเอียดว่าหาก
เราระบุเซตของสมาชิกตัวหน้าและเซตของสมาชิกตัวหลังของการจับคู่หรือความสัมพันธ์ที่เราจะพิจารณาว่าเป็น
หรือไม่เป็นฟังก์ชัน จะต้องมีเงื่อนไขอื่นๆ เพิ่มเติมอีก
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในช่วงนี้ได้ยกตัวอย่างความสัมพันธ์ที่หลากหลายเพื่อให้นักเรียนพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่ โดยหากเป็น
ความสัมพันธ์ที่เขียนในรูปแบบแจกแจงสมาชิก สามารถพิจารณาได้โดยง่ายว่ามีการใช้สมาชิกตัวหน้าซ้ากันหรือไม่
แต่หากเป็นความสัมพันธ์ที่เขียนในรูปแบบบอกเงื่อนไขอาจตัองใช้วิธีเชิงพีชคณิต หรือการเขียนกราฟในการช่วย
พิจารณา
ครูอาจให้ข้อสังเกตว่าถ้าเงื่อนไขของความสัมพันธ์มีพจน์ของ | y | หรือ y n เมื่อ n เป็นจานวนคู่แล้ว
ความสัมพันธ์ดังกล่าวมีสิทธิจะไม่เป็นฟังก์ชัน ทั้งนี้เพราะเครื่องหมายของ y จะถูกเปลี่ยนเป็นบวกทั้งหมด
์
ภายใต้กฎดังกล่าวข้างต้น ทาให้ x หนึ่งตัวมีสิทธิ์จับคู่กับ y ที่เป็นบวกหรือลบก็ได้ภายใต้เงื่อนไขของ
ความสัมพันธ์นั้นๆ อย่างไรก็ดีต้องตรวจสอบเงื่อนไขอื่นๆ ประกอบการตัดสินใจด้วย
ครูอาจยกตัวอย่างความสัมพันธ์ที่หลากหลายจากสื่อทั้งสองชุดที่ผ่านมาเพื่อให้นักเรียนช่วยกันตรวจสอบว่าเป็น
ฟังก์ชันหรือไม่ นอกจากนี้ครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 5 จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ r {(x , y ) | y x3 2x 1} เป็นฟังก์ชันหรือไม่
วิธีทา ให้ (x, y ) r และ (x , z ) r จะได้ว่า y x3 2x 1 และ z x3 2x 1 ดังนั้น y z นั่น
คือ r เป็นฟังก์ชัน
ตัวอย่าง 6 จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ r {(x, y) || y | x3 2x 1} เป็นฟังก์ชันหรือไม่
วิธีทา เนื่องจาก | 1 | 1 | 1 | ดังนั้น (0, 1) r และ (0,1) r นั่นคือ r ไม่เป็นฟังก์ชัน
ตัวอย่าง 7 จงวาดกราฟของความสัมพันธ์ r {(x , y ) | x 2 y2 1 และ xy 0} แล้วพิจารณาจากกราฟ
ว่าความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่
วิธีทา ความสัมพันธ์นี้เขียนเป็นกราฟได้ดังรูป
1.0
0.5
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5
0.5
1.0
จะเห็นว่าเส้นตรง x 0 ผ่านกราฟของความสัมพันธ์สองจุด ดังนั้นความสัมพันธ์นี้ไม่เป็นฟังก์ชัน สังเกตว่า
หากเงื่อนไขเพิ่มเติมเปลี่ยนเป็น xy 0 จะได้ว่าความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชัน
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในตอนนีได้แนะนาการเขียนสัญลักษณ์แทนความสัมพันธ์ f ที่เป็นฟังชันในรูป y
้ f (x )
เมื่อมาถึงจุดนี้ครูควรเน้นว่าการเขียนสัญลักษณ์ต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเป็นสมาชิกของฟังก์ชันนั้นมีความสาคัญที่
นักเรียนต้องคุ้นเคย และสามารถเชื่อมโยงสิ่งเหล่านี้เข้าด้วยกันให้ได้ กล่าวคือ ถ้า f เป็นฟังก์ชันและ (x, y ) f จะ
ได้ว่า y f (x ) หรือ (x, f (x )) f หรือ อีกนัยหนึ่งคือจุด (x, y) อยู่บนกราฟของฟังก์ชัน f นอกจากนี้การที่
ฟังก์ชัน f เป็นความสัมพันธ์ที่สมาชิกตัวหน้าหนึ่งตัวจับคู่กับสมาชิกตัวหลังเพียงตัวเดียวเท่านั้นเป็นเงื่อนไขสาคัญที่
ทาให้สามารถเขียนฟังก์ชัน f ในรูป y f (x ) ได้ เพื่อความเข้าใจมากยิ่งขึ้นครูควรยกตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง 8 กาหนดให้ f {(x, y ) | y 3x 2 2x 1} จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชัน (ทาไม) ดังนั้นสามารถเขียนได้ใน
รูป f (x ) 3x 2 2x 1 สังเกตว่า f (1) 3(12 ) 2(1) 1 6 นั่นคือ (1, f (1)) (1, 6) f และจุด (1, 6)
อยู่บนกราฟของ f ดังรูป
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
8
6
4
2
2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0
จากกราฟจะเห็นว่าจุด (0,1) อยู่บนกราฟของฟังก์ชัน f นั่นคือ (0,1) f และ f (0) 1 นอกจากนี้ยังอาจสังเกต
ว่าสาหรับจานวนจริง a ใดๆ f (a 1) 3(a 1)2 2(a 1) 1 3a 2 8a 6
นั่นคือ (a 1, f (a 1)) (a 1, 3a 2 8a 6) f สุดท้ายครูอาจย้าว่าการเขียนฟังก์ชันนี้ในรูป
f (x ) 3x 2 2x 1 ทาให้ได้ว่า f ( ) 3( )2 2( ) 1 โดย เป็นสมาชิกในโดเมนของฟังก์ชันนี้
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องบทนิยามของฟังก์ชัน
จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ในข้อ 1 – 5 ว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ
ax b
1. r (x, y ) y เมื่อ a และ b เป็นจานวนจริง และ c และ d เป็นจานวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
cx d
2. r {(x, y) | x 4 y2 }
3. r {(x , y ) | y a |x b | c} เมื่อ a, b และ c เป็นจานวนจริง
4. r {(x , y ) | y 4 y x2 x}
5. r {(x , y ) | y x2 2|x | 5}
f (1) f (2) (f (0) f (3))
6. กาหนดให้ f {(0,1), (1,2), (2, 5), (3, 4), (5, 3)} จงหาค่าของ
f (5)
7. กาหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีกราฟดังรูป
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
1 1 2 3 4 5
จงหาค่าของ f (0) f (4)
สาหรับข้อ 8 – 10 กาหนดให้ f (x ) 2x x 2 และ g(x ) 1 3x
8. จงหาค่าของ f (3) g( 5)
9. จงหาเงื่อนไขของจานวนจริง a ที่จะทาให้ g(3a 1) เป็นจานวนจริง
10. จงหาผลบวกของระยะตัดแกน Y ของกราฟของฟังก์ชัน f และ ระยะตัดแกน X ของกราฟของฟังก์ชัน g
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
x3 x2 4x | a |
1. กาหนดให้ S { 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} และ f (x ) 4 2
โดย
x bx 2
ที่ a S และ b S จงหาจานวนคู่อันดับ (a,b) S S ทั้งหมดที่ทาให้ f (1) 0
9 x2
2. กาหนดให้ r (x, y ) y จงหา r 1 โดยเขียนเงื่อนไขในรูปของ y อย่างเด่นชัด พร้อมทั้งระบุ
9 x2
โดเมนของ r 1
1
3. กาหนดให้ r {(x , y ) | y 36 x2} และ s (x, y ) y จงหา Dr Rs 1 และ
|x | 3
Rr Ds 1
2
4. กาหนดให้ r (x, y ) | y | จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือไม่
4 x2
4|x | 2
ก. Rr 1 ( ,2) (2, ) ข. r 1
(x, y ) y
|x |
5. กาหนดให้ r {(x, y ) | 2y 3 3yx 2 y2 x2 จงหา Dr
0} 1
6. กาหนดให้ k เป็นค่าคงตัว และ r {(x, y ) | x k x y k y } จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือไม่
ก. ถ้า k 1 แล้ว r เป็นฟังก์ชัน ข. ถ้า k 1 แล้ว r เป็นฟังก์ชัน
7. กาหนดให้ f {(x, y ) | y (x 1)2 เมื่อ x 1} จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือไม่
ก. f เป็นฟังก์ชัน ข. f 1 {(x, y ) | y 1 | x | เมื่อ x 0}
x2 9
8. กาหนดให้ r (x , y ) y จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่
x 3
ก. 9 Dr 1 ข. Rr [0, 9) (9, ) 1
9. กาหนดให้ r {(x, y ) | y x 2 1 เมื่อ x 0} จงหา r 1 โดยเขียนเงื่อนไขในรูปของ y อย่างเด่นชัด
10. ถ้า r {(x , y ) | y x 2 และ y 2x } จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r 1
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องอินเวอร์สของความสัมพันธ์
1. r 1
{(x , y ) | y x2 2 และ x 0} ; Dr [0, ) และ Rr
1 [2, ) 1
6 r-1
5 y=x
4
3
2
r
1
0 1 2 3 4 5
2. r 1
{(x , y ) | x 2 y2 4 และ x 0}
{(x , y ) | x 0 และ (y 4 x2 หรือ y 4 x 2 )} ;
Dr 1 [0,2] และ Rr 1 [ 2,2]
2
r-1
2
r
1
1
2 1 1 2
2 1 1 2
1
1
2
2
r y=x
2
1
r-1
2 1 1 2
1
2
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. r 1
{(x, y) || y x| 1} {(x , y ) | y x 1 หรือ y x 1} r ;
Dr 1 Rr 1
2
y=x
r = r-1 1
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5
1
2
4. r 1
{(x , y ) | y 3 x } ; Dr 1 ( , 3] และ Rr 1 [0, )
3
r
y=x
2
1 r-1
1 1 2 3
1
5. r 1
{(x, y ) | y x 2 หรือ y x 2} ; Dr 1 [ 2, ) และ Rr 1
2
r
1
y=x
2 1 1 2
1
r-1
2
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
x 1
6. r 1
(x, y ) y และ x 3 ; Dr 1 ( , 3) และ Rr 1 ( ,2)
2
3
y=x
r
2
r-1
1
2 1 1 2 3
1
2
7. r 1
{(x , y ) | y 2 x เมื่อ y 2} {(x , y ) | (y x เมื่อ x 4) หรือ y x};
Dr 1 [0, ) และ Rr 1 ( ,2]
10
8 y=x
r 6
4
2
6 4 2 2 4 6 8
2 r-1
4
8. r 1
{(x , y ) | y |x | หรือ y | x |} ; Dr 1 Rr 1
4
y=x
r r-1
2
4 2 2 4
2
4
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. 10.
2
r y=x
4
y=x
r-1
1
2
r-1 r
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
6 4 2 2 4 6
1
2
2 4
เฉลยแบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องบทนิยามของฟังก์ชัน
1. เป็นฟังก์ชัน เนื่องจากสาหรับ x1 และ x2 ใดๆ ในโดเมนของ r ถ้า x1 x2 แล้ว
ax 1 b ax 2 b
y1 y2 ทุก a และ b ที่เป็นจานวนจริง และ c และ d ที่เป็นจานวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์
cx 1 d cx 2 d
พร้อมกัน
2. ไม่เป็นฟังก์ชัน เนื่องจาก ( 3, 1) r และ ( 3,1) r และ 1 1
3. เป็นฟังก์ชัน เนื่องจาก สาหรับ x1 และ x2 ใดๆ ในโดเมนของ r ถ้า x1 x2 แล้ว
y1 a | x1 b | c a | x 2 b | c y2 ทุก a, b และ c ที่เป็นจานวนจริง
4. ไม่เป็นฟังก์ชัน เนื่องจาก (0, 1) r และ (0, 0) r และ 1 0
5. เป็นฟังก์ชัน เนื่องจาก สาหรับ x1 และ x2 ใดๆ ในโดเมนของ r ถ้า x1 x2 แล้ว
y1 x12 2 | x1 | 5 x 22 2 | x2 | 5 y2
4 4
6. 1 7. 4 8. 21 9. a 10.
9 3
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. 18 ตัว
1 x2
2. r 1
(x, y ) y 3 เมื่อ x 0 และ Dr 1 [0,1]
1 x2
3. Dr Rs 1 [ 6, 3) (3, 6] และ Rr Ds 1 [0, )
1 1
4. ก ผิด และ ข ถูก 5. Dr 1 , 6. ก ถูก และ ข ผิด 7. ก ถูก และ ข ถูก 8. ก ถูก และ ข ถูก
3 2
9. r 1 {(x, y ) | y x 1}
10. Dr 1 [0, 4] และ Rr 1 [0,2]
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
36