สถิติ ม.6 เรื่องการวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น อ.สุนีย์

1. การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น
การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น
1.1การวัดค่ากลางของข้อมูล
ข้อมูล
1.1.1คา่เฉลี่ยเลขคณิต 1.1.2มธัยฐาน 1.1.3ฐานนิยม
1.1.4คา่เฉลี่ยเรขาคณิต 1.1.5ฮาร์โมนิค
ความหมายของคา ตา่งๆที่จะชว่ยให้เข้าใจวิธีการทางสถิติมากขึ้น มีดังนี้
กลุม่ประชากร หมายถึง กลุม่ที่มีลักษณะที่เราสนใจ หรือกลุม่ที่เราต้องการจะศึกษาหาข้อมูลที่เกยี่วข้อ
ง เปรียบเหมือนเอกภพสัมพัทธ์ในเรื่องเซต
กลุม่ตัวอยา่ง หมายถึง ส่วนหนึ่งของกลุม่ประชากรที่เราสนใจ ในกรณีที่กลุม่ประชากรที่จะศึกษานั้นเ
ป็นกลุม่ขนาดใหญ่ เกินความสามารถหรือความจา เป็นที่ต้องการ หรือเพื่อประหยัดในด้านงบประมาณและ
เวลา สามารถศึกษาข้อมูลเพียงบางส่วนของกลุ่มประชากรได้
คา่พารามิเตอร์ หมายถึง คา่ตา่งๆที่คา นวณมาจากกลุ่มประชากร จะถือเป็นคา่คงตัว กลา่วคือ คา นวณกี่
ครั้งๆก็จะไมเ่ปลี่ยนแปลง
คา่สถิติ หมายถึง คา่ตา่งๆที่คา นวณมาจากกลุ่มตัวอยา่ง จะเป็นคา่ที่เปลี่ยนแปลงได้ตจามกลุ่มตัวอยา่งที่เ
ลือกสุ่มมา จึงถือวา่เป็นคา่ตัวแปรสุ่ม
ตัวแปร ในทางสถิติ หมายถึง ลักษณะบางอยา่งที่เราสนใจ คา่ของตัวแปร อาจอยูใ่นรูปข้อความ หรือ
ตัวเลขก็ได้
คา่ที่เป็นไปได้ หมายถึง คา่ของตัวแปรที่อาจจะเกิดขึ้นได้จริง
คา่จากการสังเกต หมายถึง คา่ที่เก็บรวบรวมได้มาจริงๆ

2. การวิเคราะห์เบื้องต้นเกี่ยวกบัเรื่องใดๆ เป็นการวิเคราะห์เพื่อทราบลักษณะโดยรวมเกี่ยวกับเรื่องนั้นๆ เชน่
1) การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นเกยี่วกบัโรงเรียนใดโรงเรียนหนึ่ง
ลักษณะโดยรวมของข้อมูลเกี่ยวกบัโรงเรียนที่ควรจะทราบคือ
จา นวนนักเรียนจา แนกตามชั้นเรียนที่เปิดสอน
จา นวนนักเรียนโดยเฉลี่ยตอ่ห้อง
จา นวนครูจา แนกตามเพศ อายุ และระดับการศึกษา
2) การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นเกยี่วกบัความเป็นอยู่ของประชาชนในท้องที่แห่งหนึ่ง
ลักษณะโดยรวมของข้อมูลเกี่ยวกบัความเป็นอยู่ของประชาชนที่ควรจะทราบคือ
จา นวนสมาชิกโดยเฉลี่ยของครอบครัว
จา นวนครอบครัวจา แนกตามอาชีพ
รายได้เฉลี่ยตอ่ครอบครัว และการกระจายรายได้ในแตล่ะครอบครัว
ลักษณะโดยรวมของข้อมูลตามตัวอยา่งข้างต้น
จะเห็นได้วา่มาจากการวิเคราะห์ที่เกียวกบัเรื่องตา่งๆต่อไปนี้ทั้งสิ้น
การแจกแจงความถี่ของข้อมูล
การหาคา่กลางของข้อมูล
การหาคา่การกระจายของข้อมูล
กลา่วได้วา่ การสรุปหรืออธิบายและนาเสนอข้อมูลด้วยคา่สถิติชุดหนึ่ง
บอกลักษณะบางประการที่เป็นประโยชน์ต่อการทา ความเข้าใจข้อมูลชุดนั้นได้
รวมทั้งการนาไปใช้ในเชิงวิเคราะห์หรือชว่ยในการตัดสินใจ
คา่สถิติที่สาคัญมากสองคา่คือคา่ที่บอกแนวโน้มสู่ส่วนกลางของข้อมูล
กบัคา่ที่บอกถึงการกระจายของคา่ตา่งๆจากคา่กลางในข้อมูลชุดนั้น

3. การวิเคราะห์ขอ้มูลเบื้องต้นเป็นการนาขอ้มูลที่ได้ทั้งเชิงปริมาณและคุณภาพไปวิเคราะห์เพื่อไปสรุ
ปลักษณะของประชากร
ซึ่งผลที่ได้สามารถนาไปใช้ในการตัดสินใจตอ่ไปการวิเคราะห์สามารถแบง่ได้เป็น2ขั้นตอนคือ
1.การวิเคราะห์ขอ้มูลเบื้องต้น หรือทเี่รียกวา่ สถิติพรรณนา(descriptive statistics)ได้แก่
การแจกแจงความถี่
การหาคาเฉลี่ย
การหาคา่สัดสวน
การหาคา่ร้อยละ
การวดแนวโน้มสู่ศนูย์กลาง เป็นต้น
2.การวิเคราะห์ขอ้มูลขั้นสูง หรือที่เรียกวา่ สถิติอนุมาน(inferential statistics)ไดแกj
การประมาณคา่
การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ
การวิเคราะห์ความแปรปรวน เป็นต้น
1.1การวัดค่ากลางของข้อมูล
คา่กลางของข้อมูล คือ
คา่สถิติหรือตัวเลขตัวหนึ่งที่ได้จากการวิเคราะห์ คา่ที่ได้นั้นเราถือเป็นตัวแทนของข้อมูล และทา ให้รู้สึกวา่ค่
ากลางของข้อมูลเป็นคา่ที่อยูใ่นตา แหน่งกลางๆของข้อมูล ดังตัวอยา่งตอ่ไปนี้
หากผู้บริหารของโรงเรียนต้องการทราบผลการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมธัยมศึกษาปี
ที่ 4,5 และ6
หัวหน้าสาขาวิชาคณิตศาสตร์ไมจ่า เป็นต้องรายงานผลการเรียนของนักเรียนแตล่ะคนให้ผู้บริหารทราบ
แตจ่ะรายงานเพียงคา่เฉลี่ยหรือคา่กลางของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนแตล่ะชั้นก็เพียงพอที่จะตัดสิ
นใจได้โดยกวา้งๆวา่ ผลการเรียนของนักเรียนแตล่ะชั้นเป็นอยา่งไร

4. ในการวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น นอกจากจะทา โดยสร้างตารางแจกแจงความถี่แล้ว
การหาคา่กลางของข้อมูลมาเป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมดจะทา ให้สะดวกในการจดจา หรือสรุปเรื่องราวเกี่ย
วกบัข้อมูลตา่งๆและจะชว่ยทา ให้เกิดการวิเคราะห์ข้อมูลถูกต้องมากขึ้น
การหาคา่กลางของข้อมูลมีวิธีหาหลายวิธี แตล่ะวิธีมีข้อดีและข้อเสีย
และมีความเหมาะสมในการนาไปใช้ไมเ่หมือนกนั
ขึ้นอยูก่บัลักษณะข้อมูลและวัตถุประสงค์ของผู้ใช้ข้อมูลนั้นๆ
ตัวอย่าง จงพิจารณาวา่ข้อมูลแต่ละชุดเหมาะที่จะใช้การวัดคา่กลางของข้อมูลชนิดใด
(คา่เฉลี่ยเลขคณิต/มธัยฐาน/ฐานนิยม)
ข้อมูลชุด ก. ได้แก่159 , 163 , 165 , 166 , 183 , 185 ตอบ มธัยฐาน
ข้อมูลชุด ข. ได้แก่15 , 16 , 15 , 18 , 17 , 14 , 16 ตอบ คา่เฉลี่ยเลขคณิต
ข้อมูลชุด ค. ได้แก่3 , 3 , 4 , 4 , 5 , 6, 18 ตอบ ฐานนิยม
1.1.1คา่เฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean)
หมายถึง การหารผลรวมของข้อมูลทั้งหมดด้วยจานวนข้อมูลทั้งหมด
การหาคา่เฉลี่ยเลขคณิตสามารถหาได้ 2 วิธี
1. คา่เฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ไมไ่ด้แจกแจงความถี่ สามารถคา นวณได้จากสูตร

5. เมอื่ (เอ็กซ์บาร์) คือ คา่เฉลี่ยเลขคณิต
คือ ผลบวกของข้อมูลทุกคา่
คือ จา นวนข้อมูลทั้งหมด
ตัวอยา่ง จากการสอบถาม อายุของพนักงานบริษัทกลุม่หนึ่งเป็นดังนี้ 34,35,32,36,37,42,27
จงหาคา่เฉลี่ยเลขคณิตของอายุของพนักงานกลุ่มนี้
วิธีทา
=34+35+32+36+37+42+27
7
=243
7
=34.71
ตัวอยา่ง จากการสอบถามอายุของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้ 14 , 16 , 14 , 17 , 16 , 14 , 18 , 17
1) จงหาคา่เฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียนกลุ่มนี้
2) ถ้ามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน และมีอายุเป็น 17 ปี คา่เฉลี่ยเลขคณิตเป็นเทา่ใด
3) เมอื่ 3 ปีที่แล้ว คา่เฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียนกลุ่มนี้เป็นเทา่ใด
1) วิธีทา
=
14+16+14+17+16+14+18+17
8
จะได้คา่เฉลี่ยเลขคณิตของนักเรียนกลุ่มนี้ คือ 15.75 ปี
2) วิธีทา
=
14+16+14+17+16+14+18+17+17
9
เดิมมีนักเรียน 8 คน แตมี่นักเรียนเพิ่มใหมอี่ก 1 คน
รวมมีนักเรียน 9 คน จะได้คา่เฉลี่ยเลขคณิต คือ 15.89 ปี
3) วิธีทา เมอื่ 3 ปีที่แล้ว 11 13 11 14 13 11 15 14 อายุปัจจุบัน 14 16 14 17 16 14 18 17

6. =11+13+11+14+13+11+15+14
8
เมอื่ 3 ปีที่แล้ว คา่เฉลี่ยเลขคณิตของอายุของนักเรียนกลุ่มนี้ คือ 12.75 ปี
ตัวอยา่ง โรงเรียนแห่งหนึ่งสารวจอายุของผู้เข้าชมนิทรรศการทางวิชาการ พบวา่อายุผู้เข้าชมนิทรรศการ 10
คนแรกของวนันี้เป็นดังนี้ 22 32 40 41 12 14 15 50 51 13
จงหาคา่เฉลี่ยเลขคณิตของอายุผู้เข้าชมนิทรรศการ 10 คนแรกของวนันี้
ตัวอยา่ง ในการสอบวิชาสถิติของนักเรียนโรงเรียนปราณีวิทยา ปรากฏวา่นักเรียนชั้น ม.6/1 จา นวน 40 คน
ได้คา่เฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเทา่กับ 70 คะแนน นักเรียนชั้น ม.6/2 จา นวน 35 คน
ได้คา่เฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเทา่กับ 68 คะแนน นักเรียนชั้น ม.6/3 จา นวน 38 คน
ได้คา่เฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเทา่กับ 72 คะแนน
จงหาคา่เฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนทั้ง 3 ห้องรวมกนั
วิธีทา รวม =
=
= 70.05
2. คา่เฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ สามารถคา นวณได้จากสูตร

7. เมอื่ คือ คา่เฉลี่ยเลขคณิต
คือ ความถี่ของข้อมูล
คือ คา่ของข้อมูล(ในกรณีการแจกแจงความถี่ไมเ่ป็นอันตรภาคชั้น)
หรือ จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น(ในกรณีการแจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น)
หาได้จาก
คือ ผลรวมความถี่ทั้งหมด หรือ จา นวนข้อมูลทั้งหมด
2.1 การหาคา่เฉลี่ยเลขคณิตข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในกรณีที่ข้อมูลไมเ่ป็นอันตรภาคชั้น
ตัวอยา่ง จากการสอบถามอายุของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้ 14 , 16 , 14 , 17 , 16 , 14 , 18 , 17
จงหาคา่เฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียนกลุ่มนี้
วิธีทา สร้างตารางแจกแจกความถี่ข้อมูล
คา่ข้อมูล( ) ความถี่( )
14 3 42
16 2 32
17 2 34
18 1 18
. = 8 = 126

8. แทนคา่สูตร =
=
= 15.75
ดังนั้นคา่เฉลี่ย อายุนักเรียนกลุม่นี้ = 15.75 ปี
2.2 การหาคา่เฉลี่ยเลขคณิตข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในกรณีที่ข้อมูลเป็นอันตรภาค ชั้น (Class Interval)
หรือเรียกสั้นๆ วา่ "ชั้น" หมายถึง ชว่งของคะแนนในแตล่ะพวกที่แบง่
ตัวอยา่ง จากข้อมูลในตารางแจกแจงความถี่ จงหาคา่เฉลี่ยเลขคณิต
คะแนน ความถี่
5-9 3
10-14 4
15-19 3
20-24 7
25-29 6
30-34 4
35-39 2
40-44 3
. N=32
วิธีทา
คะแนน
ความถี่(
)
จุดกื่งกลางอันตรภาคชั้น(
)
5-9 3 7 21

9. 10-14 4 12 48
15-19 3 17 51
20-24 7 22 154
25-29 6 27 162
30-34 4 32 128
35-39 2 37 74
40-44 3 42 126
. N=32 .
=
764
แทนคา่สูตร =
=
= 23.86 ปี
ดังนั้นคา่เฉลี่ย อายุนักเรียนกลุม่นี้ = 23.86 ปี

10. ตัวอย่าง จากข้อมูลในตาราง จงหาคา่เฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียนกลุ่มนี้
การหาคา่เฉลี่ยเลขคณิตถว่งน้าหนัก
การหาคา่เฉลี่ยเลขคณิตถว่งน้าหนัก ใช้เมอื่ข้อมูลแตล่ะคา่มีความสาคัญไมเ่ทา่กนั เชน่
การคิดเกรดเฉลี่ย เมอื่แตล่ะวิชามีจา นวนหน่วยกิตไมเ่ทา่กนั
ถ้าให้ W1 , W2 , W3 , … , WN เป็นความสาคัญหรือน้าหนักของคา่จากการสังเกต
X1 , X2 , X3 , … , XN ตามลา ดับเเล้ว

11. ตัวอยา่ง จงหาเกรดเฉลี่ยของนางสาวดา เมอื่ผลการเรียนของนางสาวดา แสดงดังตาราง
1.1.2มธัยฐาน(Median)
มธัยฐาน คือ คา่ที่มีตา แหน่งอยูก่ึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด
เมอื่เรียบเรียงข้อมูลจากตา่น้อยที่สุดไปหาคา่ที่มากที่สุด หรือจากคา่ที่มากที่สุดไปหาคา่ที่น้อยที่สุด
เราอาจใช้ตัวยอ่ “Med” แทนคา่มธัยฐานของข้อมูล
คา่มธัยฐานอาจเป็นคา่ใดคา่หนึ่งของข้อมูล หรืออาจเป็ฯคา่ที่คา นวณขึ้นมาใหม่
ซึ่งไมต่รงกบัคา่ของข้อมูลใดๆก็ได้ คา่มธัยฐานนิยมใช้กบัข้อมูล ซึ่งสูงกวา่หรือต่า กวา่คา่อื่นมากๆ
1. การหาคา่มธัยฐานของข้อมูลที่ไมแ่จกความถี่
เมอื่จัดเรียงข้อมูลชุดหนึ่งซึ่งมี N คา่ ตา แหน่งของมธัยฐาน จะคา นวณได้จากสูตร

12. ตัวอยา่ง จงหามธัยฐานของข้อมูลดังนี้ 5, 8, 3, 20, 100, 6
วิธีทา เรียงข้อมูลจากน้อยไปมากได้ดังนี้ 3 5 6 8 20 100
ตา แหน่งของคา่มธัยฐาน คือ = (6+1)/2 = 3.5
ดังนั้น คา่มธัยฐาน คือ = (6+8)/2 = 7 Ans
2. การหาคา่มธัยฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว
ซึ่งสามารถหาคา่มธัยฐานได้จากสูตร
เมอื่จัดเรียงข้อมูลชุดหนึ่งซึ่งมี N คา่ ตา แหน่งของมธัยฐาน จะคา นวณได้จากสูตร
ตัวอยา่ง จงหามธัยฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ ดังตาราง
ความสูง (ซม.) จานวน (คน) ความถี่สะสม

13. 143-147 2 2
148-152 5 7
153-157 7 14
158-162 11 25
*163-167 7 32
168-172 5 37
173-177 3 40
วิธีทา ตา แหน่งของคา่มธัยฐาน = N/2 = 40/2 = 20
L = (157+198)/2 = 157.5
แทนคา่ในสูตร Med = 157.5 + [(20-14)/11]5
≈ 160.23
ดังนั้น คา่มธัยฐานของความสูง คือ ≈ 160.23
ตัวอยา่ง อายุเฉลี่ยของเด็กกลุม่หนึ่งมีการแจกแจงความถี่ดังนี้ ถ้ามธัยฐานของเด็กกลุม่นี้เทา่กับ 7 ปีจงหคา่ x
อายุ (ปี) จา นวนเด็ก(คน) ความถี่สะสม
1-3 3 3
4-6 X 3+X
7-9 6 9+X
10-12 4 13+X
วิธีทา ตา แหน่งของมธัยฐานคือ = N/2 = (13+X)/2
L = 6.5
แทนคา่ในสูตร Med 7 = 6.5 + [(13+X)/2 - (3+X)]5
7 = (33/4)-(X/4)
X = 5

14. 1.1.3ฐานนิยม (Mode)
ฐานนิยมคือคา่กลางของข้อมูล
ซึ่งจะเป็นข้อมูลที่มีคา่ของคะแนนที่ซ้า กนัมากที่สุด(มีความถี่สูงสุดของข้อมูลชุดนั้น) เชน่
ข้อมูลที่เป็นขนาดรองเท้า ชนิดของน้ามนัที่ใช้กบัรถยนต์ ยี่ห้อเครื่องดื่ม เป็นต้น
เป็นการอธิบายลักษณะของข้อมูลชุดหนึ่งๆด้วยคา่จากข้อมูลที่มีจา นวนซ้า มากที่สุด
การหาฐานนิยมของข้อมูลหาได้จากการดูวา่ข้อมูลใดมีความถี่สูงสุดหรือปรากฏบอ่ยครั้งที่สุด
ข้อมูลนั้นจะเป็นฐานนิยมของข้อมูลชุดนั้นซึ่งบางชุดอาจมีจา นวนซ้า สูงสุดเพียงคา่เดียว
หรือจา นวนซ้า หลายคา่หรือบางชุดอาจไมมี่จา นวนซ้า เลยซึ่งจะไมส่ามารถบอกค่าฐานนิยมได้
ข้อควรระวงัในการหาฐานนิยม
1.ถ้าข้อมูลชุดหนึ่ง มีข้อมูลแตล่ะตัวมีความถี่เทา่กนัหมดจะถือวา่ข้อมูลนั้นไมมี่ฐานนิยม
2.ถ้าข้อมูลชุดหนึ่ง มีข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดเทา่กนัมากกวา่หนึ่งข้อมูล ในที่นี่จะไมพิ่จารณาหาฐานนิยม
การหาคา่ฐานนิยมมี2วิธีได้แก่
1)การหาฐานนิยมกรณีที่ข้อมูลมีการแจกแจงความถี่แบบเรียงคะแนนแต่ละจา นวน
2)การหาฐานนิยมของข้อมูลที่จัดหมวดหมู่( Grouped Data )
ในการหาฐานนิยมของข้อมูลที่จัดหมวดหมู่
วิธีที่ 1 ให้สูตร
เมอื่ Mo = ฐานนิยม (Mode)

15. L = ขีดจา กดัลา่งของคะแนนในชั้นที่มีความถี่สูงสุด
I = อันตรภาคชั้น
= ผลตา่งของความถี่มากที่สุดกับความถี่ของชั้นกอ่นหน้า
= ผลตา่งของความถี่มากที่สุดกับความถี่ของชั้นที่ถัดไปทางคะแนนมาก
ตัวอยา่ง จากข้อมูลในตารางแจกแจงความถี่ จงหาฐานนิยม
คะแนน ความถี่ (fi)
5 – 9
10 – 14
15 – 19
20 – 29
25 – 29
30 – 34
35 – 39
40 – 44
3
4
3
7
6
4
2
3
N = 32
วิธีทา
1. คา่ฐานนิยมอยูใ่นชั้น 20 – 24 (คา่ที่มากที่) ขีดจา ดักลา่ง คือ 19.5
2. คา่ i คือ 19.5
3.
4.

16. แทนคา่ = =
ดังนั้น ฐานนิยมของข้อมูลในตารางนี้คือ 23.5
ตัวอยา่ง จงหาฐานนิยมของ
1. 3,4,4,4,5,8 จะได้ฐานนิยม=4
2. 3,4,4,5,5,8 จะได้ฐานนิยม=4,5
3. 3,4,5,6,7,8 ไมมี่ฐานนิยม
4. 5,5,5,5,5,5 ไมมี่ฐานนิยม
ตัวอยา่ง จงหาฐานนิยมของขนาดรองเท้าของนักเรียนจา นวน 17 คน ซึ่งมีขนาด 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6,
6, 6, 7, 7, 7, 8 ตามลา ดับ
วิธีทา ฐานนิยมของขนาดรองเท้าของนักเรียนทั้ง 17 คน คือ ขนาด 6 เพราะมีรองเท้าขนาด 6 มากที่สุด คือ 6
คน กลา่วคือ นักเรียนส่วนใหญใ่ช้รองเท้าขนาด 6
การหาฐานนิยมโดยวิธีดังกลา่วนี้จะเห็นได้วา่ ข้อมูลบางชุดอาจจา ไมมี่ฐานนิยมเลยก็ได้
หรืออาจจะมีฐานนิยมเกินกวา่หนึ่งคา่ก็ได้ เชน่ ข้อมูลชุดหนึ่ง ประกอบด้วย 4, 6, 3, 5, 7, 8, 10, 9, 12, 14, 2,
11, 13 จะไมมี่ฐานนิยมเลย เพราะข้อมูลแตล่ะคา่มีความถี่เทา่กนัหมดคือ แตล่ะคา่ปรากฏเพียงครั้งเดียว
ข้อมูลอีกชุดหนึ่งประกอบด้วย 4, 5, 6, 7, 4, 5, 6, 5, 5, 7, ,7 , 7, 7, 5 มีฐานนิยมสองคา่ คือ 5 และ 7
เนื่องจากทั้งสองคา่นี้มีความถี่สูงสุดเทา่กนัคือ 5 ในกรณีที่ขัอมูลชุดใดมีฐานนิยมมากกวา่ 2 คา่
อาจจะถือได้วา่ข้อมูลชุดนั้นไมมี่ฐานนิยมได้

17. นอกจากการหาฐานนิยมตามวิธีในตัวอยา่งที่กลา่วมาแล้ว ยังสามารถพิจารณาจากแผนภาพได้
ดังตัวอยา่งตอ่ไปนี้
จา นวนประตูที่ทีมฟุตบอลของโรงเรียน ก ข ค และ ง ทา ได้ในการแขง่ขันของปีที่ผา่นมา
ชนิดของยานพาหนะที่แลน่ผา่นโรงเรียนในชว่งเวลา 7.30-8.30 น. ในวนัเปิดภาคเรียนที่ 1
ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง

18. (1) แทนรถยนต์นั่งส่วนบุคคล
(2) แทนรถปิกอัพ
(3) แทนรถประจา ทาง
(4) แทนรถจักรยานยนต์
ฐานนิยมคือรถยนต์นั่งส่วนบุคคล
ในการคา นวณหาคา่กลางของข้อมูล อาจคา นวณหาจากแผนภาพต้น - ใบ ที่กา หนดให้ได้
ดังตัวอยา่งตอ่ไปนี้
ตัวอยา่ง จากแผนภาพต้น - ใบ แสดงข้อมูลซึ่งเป็นความสูง (เซนติเมตร)ของนักเรียนกลุม่หนึ่ง ดังนี้
จงหา 1) จา นวนนักเรียนทั้งหมด
2) คา่เฉลี่ยเลขคณิต มธัยฐาน และ ฐานนิยมของความสูงของนักเรียน
วิธีทา 1) จัดเรียงข้อมูลในแผนภาพต้น - ใบ โดยเรียงจากน้อยไปมากได้ดังนี้

19. นักเรียนในกลุม่นี้มีทั้งหมด 20 คน
ตัวอยา่ง คะแนนสอบจากคะแนนเต็ม 100 คะแนน ของนักเรียนกลุม่หนึ่งจา นวน 16 คน
ที่สอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาวิทยาศาสตร์เป็นดังนี้
คณิตศาสตร์ 75 93 87 56 60 73 78 69
83 89 94 97 65 73 87 85
วิทยาศาสตร์ 68 73 98 87 65 64 70 73
72 78 81 83 68 57 63 75

20. จากสร้างตารางภาพต้น - ใบ และหาคา่ตอ่ไปนี้จากแผนภาพที่ได้
1) คะแนนสูงสุด และต่า สุด มธัยฐาน และฐานนิยมของแตล่ะวิชา
2) เมอื่พิจารณาจากแผนภาพที่ได้คา่เฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาใดควรมีคา่สูงกวา่ อีกวิชาหนึ่ง
พร้อมให้เหตุผล
วิธีทา จากข้อมูลสร้างแผนภาพต้น - ใบ และจัดข้อมูลให้เรียงลา ดับจากน้อยไปมากได้ดังนี้
1.1.4คา่เฉลี่ยเรขาคณิต (Geometric mean)
คา่เฉลี่ยเรขาคณิต คือคา่กลางของข้อมูลชุดหนึ่งใช้อักษรย่อ G.M. หาได้จากสูตร
เมอื่ Xi เป็นข้อมูลตัวที่ i เมอื่ i = 1, 2, 3,... , N และ N เป็นจา นวนข้อมูลทั้งหมด

21. ถ้า เป็นข้อมูล N จา นวน ซึ่งเป็นจา นวนบวกทุกจา นวน
คา่เฉลี่ยเรขาคณิต
ในกรณีทีj มีความถี่ และ
หมายเหตุ เนื่องจากการหาคา่ G.M. ต้องมีการคา นวณหากรณฑ์ที่ N ของจา นวน
ซึ่งทา ให้การใช้สูตรดังกลา่วข้างต้นไมส่ะดวกใน กรณี ที่ข้อมูลมีคา่มากๆ
และต้องใช้เครื่องคิดเลขในการคา นวณ ดังนั้นเพื่อความสะดวกจึงใช้ลอการิทึมชว่ย
โดยจะได้สูตรในการหาคา่ G.M. ดังนี้
**สาหรับข้อมูลที่ไมไ่ด้แจกแจงความถี่
**สาหรับข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว
โดยที่
เมอื่ แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ i โดยที่ i คือ 1 , 2 , . . . , k

22. แทนความถี่ของข้อมูลอันตรภาคชั้นที่ i
แทนจา นวนอันตรภาคชั้น
ตัวอย่าง ถ้า สิรินภามีเงินใช้จา่ย 9,300 บาท หรือ 93 หน่วย และต้องการใช้ให้หมดภายใน 5 วนั
โดยใช้จา่ยในวนัที่ 1 - 5 ดังนี้ 48 24 12 6 3 จงหาคา่เฉลี่ยเรขาคณิตของการใช้จา่ยตอ่วนั
วิธีทา
ดังนั้น คา่เฉลี่ยเรขาคณิตของการใช้จา่ยตอ่วนัประมาณ 1,200 บาท
หมายเหตุ คา่เฉลี่ยเรขาคณิตมีประโยชน์ในการหาคา่เฉลี่ยของข้อมูลในกรณีที่คา่ของข้อมูล
สูงหรือต่า กวา่คา่อื่นๆ รวมอยูบ่างคา่หรือหลายค่ามาก
กรณีเชน่นี้คา่เฉลี่ยเรขาคณิตใช้เป็นคา่กลางของข้อมูลได้ดีกวา่คา่เฉลี่ยเลข คณิต
เนื่องจากคา่ที่สูงหรือต่า มากเหลา่นี้ จะมีผลกระทบตอ่คา่เฉลี่ยเรขาคณิตของข้อมูลไมม่ากนัก
1.1.5ฮาร์โมนิค

23. เป็นคา่กลางที่ใช้กบัข้อมูลที่มีลักษณะพิเศษ เชน่ ข้อมูลเกี่ยวกบัระยะทางตอ่ชั่วโมง
จา นวนหน่วยตอ่เวลา
ข้อมูลที่มีลักษะเป็นอัตราส่วน
คา่เฉลี่ยฮาร์โมนิก (H.M.)เหมาะกบัข้อมูลอัตราส่วน เชน่ ระยะทาง / ชั่วโมง,งาน / เวลา
สูตร (ไมแ่จกแจง)
(แจกแจงแล้ว)
วิธีการคา นวณหาคา่ HM
1. แปลงข้อมูลแบบ = 1/x (Recipocal transformation)
2. หาคา่เฉลี่ยเลขคณิตของ ( )
3. กลับเศษเป็นส่วนของคา่เฉลี่ย (1/ ) จะได้คา่ HM
ตัวอยา่ง ถ้าขับรถยนต์จากกรุงเพทฯ-ไปจังหวดัสระบุรีด้วยความเร็ว 60 กม./ชม. และขับกลับด้วยความเร็ว
40 กม./ชม. จงหาความเร็วเฉลี่ย
จากสูตร HM = 2(1/60+1/40) = 48 กม./ชม.
ตัวอยา่ง สินค้าชนิดหนึ่งมีหลายราคาได้แก่50 60 70 80 100 65 42 บาท
โดยผู้ขายต้องการนาสินค้าเหลา่นี้ปนกนัโดยใช้เงินลงทุนสินค้าเหลา่นี้แต่ละราคาเทา่กนั
จงหาราคาสินค้าเฉลี่ย
1. แปลงข้อมูลได้ดังนี้

24. = 0.02 0.016667 0.014286 0.0125 0.01 0.01585 0.02381
2.หาคา่เฉลี่ยของข้อมูลดังกลา่ว
( ) = 0.016092
HM = (1/ ) 1/0.016092) = 62.14129 บาท
คุณสมบัติของ HM
1. ข้อมูลไมมี่เลข 0
2. พิจารณาข้อมูลปริมาณในเชิงยอดรวมต้องเทา่กนั
ตัวอยา่ง จงหาคา่เฉลี่ยฮาร์โมนิคของข้อมูล 3.,40,50
จากข้อมูล จะได้ว่า X1 = 30, X2 = 40 X3 = 50 และ N = 3

25. สรุป

27. การพิจารณาเลือกใช้คา่กลางของข้อมูลควรเลือกให้เหมาะสมกับวัตถุประสงค์
เพื่อที่จะไมใ่ห้การสรุปผลหรือการตัดสินใจผิดพลาดได้
คา่เฉลี่ยเลขคณิต
ข้อดี ข้อเสีย
1)การคา นวณหาไมยุ่ง่ยากและสามารถใช้เครื่องคิดเลขชว่ย
ในการคา นวณได้
2)ใช้ข้อมูลทุกตัว
3)เป็นที่แพร่หลาย และส่วนใหญใ่ช้เป็นคา่กลางของข้อมูล
1)ต้องเป็นข้อมูลเชิงปริมาณเทา่นั้น
2)คา่ที่คา นวณได้ไมจ่า เป็นต้อ
เป็นคา่ของข้อมูลตัวใดตัวหนึ่งเสมอไป
3)ถ้ามีข้อมูลชุดที่แตกตา่งกับตัวอื่นมากจะมีผล
ตอ่ข้อมูลชุดนี้
มธัยฐาน
ข้อดี ข้อเสีย
1)หาได้โดยนาข้อมูลทั้งหมดจัดลา ดับจากน้อยไปมากหรือมากไปน้อย
2)จะเป็นคา่ของข้อมูล ถ้ามีข้อมูลเป็นจา นวนคี่
1)ต้องเป็นข้อมูลเชิงปริมาณเทา่นั้น
2)ถ้าข้อมูลมีจา นวนมาก
การจัดเรียงทา ได้คอ่นข้างลา บาก
3)จะไมใ่ชค่า่ที่แท้จริง
หากมีข้อมูลเป็นจา นวนคู่
ฐานนิยม
ข้อดี ข้อเสีย
1)ใช้ได้กบัข้อมูลเชิงปริมาณและเชิงคุณภาพ
2)หาได้ไมย่ากโดยนับจา นวนที่เกิดขึ้นมากครั้งที่สุด
3)หาได้ง่ายจากตารางแจกแจงความถี่ แผนภูมิแทง่
แผนภูมิรูปภาพ และแผนภูมิรูปวงกลม
1)คา่ที่ได้มกัจะไมค่่อยมีความหมาย
ถ้าข้อมูลมีจา นวนน้อย
2)อาจจะมีฐานนิยมมากกวา่หนึ่งคา่
3)ข้อมูลบางชุดอาจไมมี่ฐานนิยม

28. **หมายเหตุ ข้อมูลเชิงปริมาณ คือข้อมูลที่ใช้แทนขนาดหรือปริมาณซึ่งวัดออกมาเป็นจา นวนที่แน่นอน
สามารถนามาใช้เปรียบเทียบได้
ในขณะที่ข้อมูลเชิงคุณภาพไมส่ามารถวดัได้โดยตรงแต่อธิบายลักษณะหรือคุณสมบัติได้
แหลง่ที่มา
หนังสือเรียนวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม๓
https://sites.google.com/site/peenam47/sthiti
https://wiki.stjohn.ac.th/groups/poly_appliedmathematics2/wiki/dbce4/_7_.html
http://sathiti.blogspot.com/2013/02/blog-post_15.html
http://www.tutoroui.com/web_main/14_Statistic-1/Statistic-1.html
https://sites.google.com/site/krooyinsriboon/home/lesson2
http://www.tewlek.com/anet_stat.html
http://www.stvc.ac.th/elearning/stat/csu2.html
http://www.slideshare.net/krutubtim/3-15735238
https://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/knowledge_math/stat/stat.htm
http://sathiti.blogspot.com/2013/02/blog-post_1236.html
http://www.vcharkarn.com/lesson/view.php?id=1542
http://waraphontata.blogspot.com/2012/02/blog-post_8763.html
http://www.fiet.kmutt.ac.th/e-learning/edustat/percent/mod/mode.htm
http://www.mathpaper.net/index.php/component/content/article/48-math3/193-mode
https://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/vocabulary/voc3.htm
https://sites.google.com/site/jutharatkhanthasak/kha-cheliy-rekhakhnit
http://www.thaigoodview.com/node/50743

29. http://phep.ph.mahidol.ac.th/Academics/CAI_SPSS_PHEP626/SP_Final/c7page3.htm
http://www.slideshare.net/chianvi/hamonic
น.ส.พรรัชต์ เปรนาวิน ม.6/11 เลขที่1