STATISTIKA

1. “UKURAN PEMUSATAN, UKURANPENYEBARAN “
Disusun Oleh :
Nama Kelompok :
1. Anita Juliani ( 06081181419006)
2. Putri Yani ( 06081181419072)
3. Siti Sholekah ( 06081181419011)
Dosen pengasuh :
1. Prof.Dr.Ratu Ilma I.P.,M.Si.
2. Puji Astuti.M.Sc.
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
ANGKATAN 2014

2. A. Ukuran Pemusatan Data
1. Pengertian ukuran pemusatan data
Ukuran pemusatan data adalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan gambaran yang
lebih jelas dan singkat tentang pusat data yang juga mewakili seluruh data.
2. Macam-macam ukuran pemusatan data
2.1 Rata-rata (Mean)
2.1.1 Rata-rata daridata tunggal
Rata-rata hitung dari data tunggal dapat diperolah dengan cara menjumlahkan seluruh nilai
dan membaginya dengan banyaknya data. Dirumuskan dengan :
Keterangan :
x̄ = Mean
∑ 1𝑛
𝑖=1 = Jumlah seluruh data
n = banyaknya data
Contoh :
Perhitungan mean nilai hasil ulangan harian dalam bidang studi agama islam, PMP,Bahasa Indonesia,
Bahasa inggris, IPS dan IPA seorang siswa Madrasah Aliyah Negeri.
X F
9 1
8 1
7 1
6 1
5 1
4 1
∑x= 39 N=6
Dari tabel diatas telah kita peroleh ∑x= 39, sedangkan N=6. Dengan demikian :
x̄ =
∑x
𝑁
=
39
6
= 6,50
2.1.2Rata-rata hitung dari data yang telah dikelompokkan
Untuk data kelompokkan mean dapat diperoleh dengan menggunakan dua metode, yaitu
metode panjang dan metode singkat.
2.1.3 Mencari mean data kelompokkan dengan menggunakan metode panjang
x̄ =
∑ 1𝑛
𝑖=1
𝑛

3. Pada perhitungan mean yang menggunakan metode panjang, semua kelompokan data
(interval) yang ada terlebih dahulu dicari, nilai tengah midpoint-nya. Setelah itu, tiap midpoint
diperkalikan dengan frekuensi yang dimilikki oleh masing-masing interval yang bersangkutan.
Rumus :
Contoh :
Nilai hasil tes seleksi bidang studi bahasa inggris dari sejumlah 800 orang calon yang mengikuti tes
seleksi penerimaan calon sisiwa pada sebuah SMA swasta
Interval nilai F
75-79 8
70-74 16
65-69 32
60-64 160
55-59 240
50-54 176
45-49 88
40-44 40
35-39 32
30-34 8
total 800= N
Dari tabel diatas tentukan rata-ratanya ?
Jawab :
Perhitungan rata-rata dengan menggunakan metode panjang
Interval nilai F X fX
75-79 8 77 616
70-74 16 72 1152
65-69 32 67 2144
60-64 160 62 9920
55-59 240 57 13680
50-54 176 52 9152
45-49 88 47 4136
40-44 40 42 1680
35-39 32 37 1184
30-34 8 32 256
total 800= ₐ - 43920= ∑fX
Dari tabel diatas telah kita peroleh ∑fX=43920, adapun N=800. Dengan demikian :
x̄ =
∑fX
𝑁
=
43920
800
= 54,90
x̄ =
∑fX
𝑁

4. 2.1.4 Mencarimean data kelompokkan dengan menggunakan singkat
Rumus yang digunakan :
Keterangan :
x̄ = Rata-rata (mean)
x’= mean terkaan atau mean taksiran
∑fX᾿ = jumlah dari hasil perkalian antara titik tengah buatan sendiri dengan frekuensi dari masing-
masing interval.
N= Number of Cases
2.1.5 Rata-rata Geometris dan data tunggal
Rata-rata geometris G dari sekumpulan angka X1,X2,....,Xn, adalah akar pangkat n dari
perkalian angka-angka tersebut, dinyatakan dengan rumus :
Contoh :
Tentukan rata-rata geometris dari 4,9,6!
Jawab :
G=√4.9.63
G=√2163
G=6
2.1.6 Rata-rata geometris dari data yang dikelompokkan
Untuk mencari rata-rata geometris dari data kelompokkan dengan menggunakan rumus :
Log G =
∑(𝑓𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑥𝑖)
∑𝑓𝑖
2.1.7 Rata-rata harmonis data tunggal
Rata-rata harmonis data tunggal dirumuskan dengan :
x̄ = x’+ i (
∑𝐟𝐗᾿
𝑵
)
G=√ 𝑥₁. 𝑥₂. 𝑥n𝑛
H=
𝑛
∑ 1
𝑥1
𝑛
𝑖=1

5. 2.1.8 Rata-rata harmonis dari data yang dikelompokkan
Rata-rata harmonis dari data yang dikelompokkan dapat dicari dengan rumus :
2.2 Median
Median adalah nilai tengah dari kumpulan data yang diurutkan(disusun) dari data terkecil
sampai data terbesar.
2.2.1 Median dari data tunggal
Contoh :
Diketahui data sebagaiberikut :
3,2,5,2,4,6,6,7,9,6. Carilah mediannya!
Jawab : Setelah data diurutkan didapat 2,2,3,4,5,6,6,6,7,9
Karena n genap maka mediannya :
Me=
5+6
2
Me= 5,5
2.2.2 Median dari data yang telah dikelompokkan
Untuk mencari nilai dari median yang telah dikelompokkan dengan menggunakan rumus :
Keterangan :
b= batas bawah kelas median
p= panjang kelas
n= banyaknya data
F=jumlah frekuensi sebelum kelas median
f= frekuensi kelas median
Contoh :
Tentukanlah median dari data berikut !
Tabel 1.1
Tinggi Frekuensi (f)
H=
𝑛
∑
𝑓
𝑥𝑖
Me= b + P(
1
2
𝑛−𝐹
𝑓
)

6. 150-154 3
155-159 5
160-164 10
165-169 13
170-174 7
175-179 2
Penyelesaian :
a. Tabel 1.1 dilengkapi dengan nilai yang diperlukan sehingga menjadi sepertitabel 1.2
Tabel 1.2 frekuensi dan frekuensi kumulatif tinggi
Tinggi Frekuensi (f) Frekuensi
kumulatif (fk)
150-154 3 3
155-159 5 8
160-164 10 18
165-169 13 31
170-174 7 38
175-179 2 40
∑𝑓1 = 40
b. Tentukan kelas yang memuat median, yaitu dengan menghitung nilai
1
2
n =
1
2
(40)= 20. Berarti kelas median terletak pada kelas 165-169.
b= 164,5; F= 18, f=13, P=5
Me= b + P(
1
2
𝑛−𝐹
𝑓
)
Me= 164,5 + 5(
1
2
40−18
13
)
Me= 165,27
Jadi, mediannya adalah 165,27.
2.3 Modus
Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang frekuensinya paling
besar.
2.3.1 Modus dari data tunggal
Contoh :
Tentukan modus dari data berikut ini !
1,2,3,2,2,3,4,5,6,2
Jawab :
Setelah diurutkan diperoleh : 1,2,2,2,2,3,3,4,5,6

7. Modus (Mo)= 2
2.3.2 Modus dari data yang telah dikelompokkan
Untuk menghitung modus dari data yang telah dikelompokkan dengan menggunakan rumus :
Contoh :
Tentukan modus data berikut!
Tinggi Frekuensi (f)
150-154 3
155-159 5
160-164 10
165-169 13
170-174 7
175-179 2
Penyelesaian :
Kelas yang memuat modus adalah kelas 165-169 (karena mempunyai frekuensi yang terbanyak)
b= 164,5 ; b1= 13-10 = 3; b2= 13-7= 6; P= 5
Mo=b + P
𝑏1
𝑏1+𝑏2
Mo=164,5 + 5
3
3+6
Mo= 164,5 + 1,7
Mo= 166,2
Jadi, modusnya adalah 166,2.
3. Hubungan antara rata-rata (x̄ ),Median (Me), dan Modus (Mo)
Terdapat hubungan empiris antara (x̄ ), (Me), dan (Mo), yaitu
atau
Contoh soal :
Dari beberapa kali ujian pelajaran Matematika, Bahasa Inggris, dan Kimia, seorang siswa
mendapatkan nilai dalam bentuk distribusi seperti pada tabel 1.1. pada mata pelajaran apa siswa itu
mendapatkan hasil yang terbaik ?
Mo=b + P
𝑏1
𝑏1+𝑏2
Mo= x̄ - 3 (x̄ - Me) Mo= 3 Me-2 x̄

8. Tabel 1.1 median dan modus beberapa pelajaran
Pelajaran Median Modus
Matematika 7,5 6,0
Bahasa Inggris 7,5 7,0
Kimia 6,5 7,5
Penyelesaian :
Hasil terbaik dilihat dari rata-rata hasil ujian
Mo= 3 Me-2 x̄
Pelajaran Matematika :
6,0= 3 (7,5 )-2 x̄
6,0= 22,5- 2 x̄
2 x̄ = 22,5-6,0 = 16,5
x̄ = 8, 25
Pelajaran Bahasa Inggris :
7,0= 3 (7,5 )-2 x̄
7,0= 22,5- 2 x̄
2 x̄ = 22,5-7,0 = 15,5
x̄ = 7, 75
Pelajaran Kimia :
7,5= 3 (6,5 )-2 x̄
7,5= 19,5- 2 x̄
2 x̄ = 19,5 -7,5= 12
x̄ = 6
Rata-rata tertinggi terdapat pada mata pelajaran Matematika. Jadi, nilai terbaik terdapat pada pelajaran
Matematika.
B.Ukuran Penyebaran Data
1. Pengertian ukuran penyebaran data
Ukuran penyebaran data adalah berbagai macam ukuran statistik yang dapat digunakan untuk
mengetahui luas penyebaran data,atau variasi data, atau bomogenitas data, atau stabilitas data.
2. Macam-macam ukuran penyebaran data

9. 2.1 Kuartil
Kuartil adalah ukuran letak yang membagi suatu kelompok data menjadi empat bagian yang
sama besar.
2.4.1 Cara menghitung kuartil untuk data yang tidak berkelompok
Nilai kuartil dari sebuah data dapat ditentukan jika data tersebut sudah diurutkan dari nilai Nil
Jika nomor urutan tersebut bukan bilangan cacah maka harus digunakan interpolasi.
Contoh :
Tentukan kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas dari data berikut!
Nilai Frekuensi (fi) Frekuensi Kumulatif (fk)
4 3 3
5 9 12
6 13 25
7 13 38
8 0 48
9 2 50
∑ fi= 50
Penyelesaian :
Letak kuartil bawah (Q1) pada data urutan
Ke
1
4
(n + 1) =
1
4
(51)= 12,75
Letak kuartil tengah ( Q2) pada data urutan
Ke
1
2
(n + 1) =
1
2
(51) = 25,50
Letak kuartil atas (Q3) pada data urutan
Ke
3
4
(n + 1) =
3
4
(51) = 38,25
Karena, nomor urutan bukan bilangan cacah maka digunakan interpolasi. Sehingga diperoleh :
Q1= Y12 + 0,75 (Y13-Y12)= 5 + 0,75 (6-5) = 5,75
Q2= Y25 + 0,50 (Y26-Y25) = 6 + 0,5 (7-6) = 6,5
Q3= Y38 + 0,25 (Y39-Y38)= 7 + 0,25 (8-7) = 7,25
Letak Q1:
𝑛+1
4
Letak Q2 :
2(𝑛+1)
4
Letak Q3 :
3(𝑛+1)
4

10. 2.4.2 Kuartil untuk data berkelompok
Untuk mencari nilai kuartil data berkelompok dengan menggunakan rumus :
Keterangan :
b= tepi bawah kelas Q
P = panjang kelas
F= jumlah frekuensi sebelum kelas Q
f= frekuensi kelas Q
n= jumlah data
Contoh :
Nilai pelajaran Matematika dari 40 orang siswa dikelompokkan seperti tabel 1.22
Tabel 1.22 Frekuensi Nilai Matematika
Nilai Frekuensi (fi)
42-46 1
47-51 5
52-56 5
57-61 15
62-66 8
67-71 4
72-76 2
∑ fi=40
Tentukan :
a. Kuartil bawah
b. Kuartil tengah, dan
c.Kuartil atas
Penyelesaian :
Tabel 1.23 Frekuensi dan frekuensi kumulatif nilai matematika
Nilai Frekuensi (fi) Frekuensi kumlatif (fk)
42-46 1 1
Q1 = b + P
1
4
𝑛−𝐹
𝑓
Q2 = b + P
1
2
𝑛−𝐹
𝑓
Q3 = b + P
3
4
𝑛−𝐹
𝑓

11. 47-51 5 6
52-56 5 11
57-61 15 26
62-66 8 34
67-71 4 38
72-76 2 40
∑ fi=40
a. Kuartil bawah atau kuartil ke-1 (Q1)
Untuk menentukan nilai Q1 maka kita caridulu kelas yang memuat Q1,yaitu dengan menghitung nilai
1
4
n =
1
4
(40) = 10. Berarti, kelas yang memuat Q1 adalah 52-56 =, (fk=11)
Maka diperoleh b= 51,5; F=6; f= 5; P= 5
Sehingga kuartil bawahnya :
Q1 = b + P
1
4
𝑛−𝐹
𝑓
Q1= 51,5 + 5
10−6
5
Q1= 51,5 + 4 = 55,5
Jadi, kuartil bawahnya adalah 55,5.
b. Kuartil tengah atau kuartil ke-2 (Q2)
Untuk menentukan nilai Q2 maka kita caridulu kelas yang memuat Q2,yaitu dengan menghitung nilai
1
2
n =
1
2
(40) = 20. Berarti, kelas yang memuat Q2 adalah 57-61 =, (fk=15)
Maka diperoleh b= 56,5; F=11; f= 15; P= 5
Sehingga kuartil tengahnya :
Q2 = b + P
1
2
𝑛−𝐹
𝑓
Q2= 51,5 + 5
20−11
15
Q2= 56,5 +3 = 59,5
Jadi, kuartil tengahnya adalah 59,5.
c. Kuartil atas atau kuartil ke-3 (Q3)
Untuk menentukan nilai Q3 maka kita caridulu kelas yang memuat Q3,yaitu dengan menghitung nilai
3
4
n =
3
4
(40) = 30. Berarti, kelas yang memuat Q3adalah 61-66 =, (fk=)34
Maka diperoleh, b= 61,5; F=26; f= 8; P= 5

12. Sehingga kuartil atasnya :
Q3 = b + P
3
4
𝑛−𝐹
𝑓
Q2= 61,5 + 5
30−26
8
Q2= 61,5 +2,5= 64
Jadi, kuartil atasnya adalah 64.
2.2 Persentil
Persentil adalah nilai yang membagi data menjadi seratus bagian yang sama setelah data
disusun dari yang terkecil sampai ke terbesar.
2.2.1 Persentil data yang tidak berkelompok
Untuk mencari nilai persentil data yang tidak berkelompok dengan menggunakan rumus :
Contoh :
Diketahui data 6, 7, 9, 4, 3, 4, 7, 8, 5, 7
Tentukan P20 dan P80.
Jawab :
Telah diurutkan, data menjadi : 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9
Letak P1=
𝑖
100
(n+1)
 Letak P20=
20
100
(10+1) = 2,2 jadi, P20= 4 + 0,2 (4-4) = 4
 Letak P80=
80
100
(10+1) = 8,8 jadi, P80= 7+ 0,8 (8-7) = 7,8
2.5.2 Persentil data yang berkelompok :
Untuk mencari nilai persentil data yang berkelompok yaitu dengan menggunakan rumus :
Contoh :
Tentukan persentil ke-10 dan persentil ke-84 dari distribusi frekuensi berikut.
Tabel 1.26 Frekuensi dan frekuensi kumulatif skor
P1=
𝑖
100
(n+1)
Pi= b + P
𝑟𝑖−𝐹
𝑓

13. Skor (x) Frekuensi (fi) Frekuensi kumulatif (fk)
0-9 3 3
10-19 67 70
20-29 205 275
30-39 245 520
40-49 213 733
50-59 147 880
60-69 77 957
70-79 34 991
80-89 8 999
90-99 1 1000
Sfi= 1000
Penyelesaian :
a. Persentil ke-10 (P10) i= 10
Kita cari dulu kelas yang memuat P10 ,yairu dengan menghitung nilai dari
10
100
n =
10
100
(1000)= 100
Berarti kelas yang memuat P10 terletak pada kelas 20-29
Maka diperoleh, b= 19,5; F=70; f=205; P=10
Sehingga persentil ke-10 adalah
P10= b + P
10
100
𝑛−𝐹
𝑓
P10= 19,5 + 10
100−70
205
P10= 19,5 + 1,5 = 21,0.
Jadi, persentil ke-10 adalah 21,0.
b. Persentil ke-84 (P84) i= 84
Kita cari dulu kelas yang memuat P84 ,yairu dengan menghitung nilai dari
84
100
n =
84
100
(1000)= 840
Berarti kelas yang memuat P84 terletak pada kelas 50-59
Maka diperoleh, b= 49,5; F=733; f=147; P=10
Sehingga persentil ke-84 adalah
P84= b + P
84
100
𝑛−𝐹
𝑓
P84= 49,5 + 10
840−733
147
P84= 49,5 +7,3 = 56,8

14. Jadi, persentil ke-84adalah 56,8.
2.3 Desil
Desil adalah ukuran letak yang membagi sekumupulan data yang sudah diurutkan dari data
terkecil ke data terbesar dapat dibagi menjadi sepuluh bagian. Masing-masing bagian mengandung
10% data. Dengan demikian suatu sekumpulan data mempunyai 9 buah desil, yaitu D1, D2, D3,...,D9.
2.3.1 Desil data yang tidak berkelompok
D1 letaknya pada data urutan ke
1
10
(n + 1)
D2 letaknya pada data urutan ke
2
10
(n + 1)
D3 letaknya pada data urutan ke
3
10
(n + 1)
. .
. .
D9 letaknya pada data urutan ke
9
10
(n + 1)
2.3.2 Desil data yang berkelompok
Contoh :
Skor tes 1000 siswa siswa dari suatu uji coba tercatat seperti pada tabel 1.24.
Tabel 1.24 Frekuensi skor tes
Skor (x) Frekuensi (fi)
0-9 3
10-19 67
20-29 205
30-39 245
40-49 213
50-59 147
60-69 77
70-79 34
80-89 8
90-99 1
Sfi= 1000
Tentukan :
a. Desil ke-3 (D3)
b. Desil ke-6 (D6)
Penyelesaian :
Di=b + P
𝑖
10
𝑛−𝐹
𝑓

15. Tabel 1.24 dilengkapi dengan nilai yang diperlukan sehingga menjadi seperti pada tabel 1.25.
Tabel 1.25 frekuensi dan frekuensi kumulatif skor
Skor (x) Frekuensi (fi) Frekuensi kumulatif (fk)
0-9 3 3
10-19 67 70
20-29 205 275
30-39 245 520
40-49 213 733
50-59 147 880
60-69 77 957
70-79 34 991
80-89 8 999
90-99 1 1000
Sfi= 1000
a. desil ke-3 (D3)
Kita cari dulu kelas yang memuat D3, yaitu dengan menghitung nilai dari
3
10
n =
3
10
(1000)= 300
Berarti kelas yang memuat D3 terletak pada kelas 30-39
Maka diperoleh, b= 29,5; F=275; f=245; P=10
Sehingga desil ke-3 adalah
D3= b + P
3
10
𝑛−𝐹
𝑓
D3= 29,5 + 10
300−275
245
D3= 29,5 + 1,0 = 30,5
Jadi, desil ke-3adalah 30,5.
b. desil ke-6 (D6)
Kita cari dulu kelas yang memuat D6, yaitu dengan menghitung nilai dari
6
10
n =
6
10
(1000)= 600
Berarti kelas yang memuat D6 terletak pada kelas 40-49
Maka diperoleh, b= 39,5; F=520; f=213; P=10
Sehingga desil ke-6 adalah
D6= b + P
6
10
𝑛−𝐹
𝑓
D6= 39,5 + 10
600−520
213

16. D6= 39,5 + 3,7 = 43,2
Jadi, desil ke-6 adalah 43,2.
2.1 range
Range (R) adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukkan jarak penyebaran antara skor
(nilai) yang terendah (Lowest score) sampaiskor (nilai) yang tertinggi (Highest Score) . Dengan
rumus :
Keterangan :
R= range yang kita cari
H= Skor atau nilai yang tertinggi (Highest score)
L= Skor atau nilai yang terendah (Lowest Score)
2.1.1 Penggunaan Range
Range kita gunakan sebagai ukuran,apabila didalam waktu yang sangat singkat kita ingin
memperoleh gambaran tentang penyebaran data yang sedang kita selidiki dengan mengabaikan faktor
ketelitian atau kecermatan.
2.1.2 Kebaikan dan kelemahan range
Kebaikan range sebagai salah satu ukuran penyebaran data ialah dengan menggunakan range
dalam waktu singkat dapat diperoleh gambaran umum mengenai luas penyebaran data yang sedang
kita hadapi. Sedangkan kelemahannya ialah range akan sangat tergantung kepada nilai-nilai
ekstrimnya. Dan range sebagai ukuran penyebaran data, tidak memperhatikan distribusi yang terdapat
didalam range itu sendiri.
2.2 Deviasi
Deviasi adalah selisih atau simpangan dari masing-masing skor atau interval, dari nilai rata-
rata hitungnya (deviation from the mean).
2.2.1 Deviasi rata-rata
Deviasi rata-rata adalah jumlah harga mutlak deviasi dari tiap-tiap skor, dibagi dengan
banyaknya skor itu sendiri.
2.2.2 Deviasi Standar
Deviasi standar ialah deviasi rata-rata yang tadinya memilikki kelemahan, telah dibakukan
atau distandarisasikan, sehingga memilikki kadar kepercayaan atau reliabilitas yang lebih mantap,
oleh karena itu, dalam dunia analisis statistik deviasi standar ini mempunyai kedudukan yang amat
penting.
R = H-L

17. Daftar Pustaka
Riduwan. 2008. Dasar-dasar Statistika. Bandung : Alfabeta.
Sabandar, Jozua. 2009. Matematika.Jakarta : Bumi Aksara.
Sudijono, Anas. 2012. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta : Rajawali Pers.
Sudjana. 2001. Metode Statistika. Bandung : Tarsito.