Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Makalah Statistika Dasar

Makalah Statistika Dasar

  • Be the first to comment

Makalah Statistika Dasar

  1. 1. Makalah Statistika Dasar DISUSUN OLEH Dwi Rati Dhea Karima (06081281419064) Ria Defti Nurharinda (06081181419066) Merisa Januarti (06081181419068) Mata Kuliah : Statistika Dasar Dosen Pembimbing : 1. Prof. Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si 2. Puji Astuti, S.Pd M.Sc Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Sriwijaya 2015
  2. 2. 2 DAFTAR ISI 1. Daftar Isi.......................................................................................................... 2 2. Pengertian Statistik, Statistika, Statistik Deskriptif Dan Statistik Inferensial, dan Macam-Macam Data.................................................................................. 3 3. Penyajian Data dan Aplikasi Pada Data Penelitian.......................................... 8 4. Daftar Distribusi Frekuensi dan Aplikasi Pada Data Penelitian ..................... 18 5. Ukuran Pemusatan, Ukuran Penyebaran ......................................................... 27 6. Ukuran Keruncingan........................................................................................ 42 7. Distibusi Binomial, Poisson............................................................................. 52 8. Distribusi Normal dan Aplikasinya.................................................................. 58 9. Uji Normalitas dan Homogenitas..................................................................... 67 10. Uji Hipotesis..................................................................................................... 88 11. Uji Hipotesis Satu Rata-rata............................................................................. 103 12. Uji Hipotesis Dua Rata-Rata............................................................................ 108 13. Daftar Pustaka.................................................................................................. 114
  3. 3. 3 Pengertian Statistik, Statistika, Statistik Deskriptif Dan Statistik Inferensial, Macam-Macam Data
  4. 4. 4 PengertianStatistik dan Statistika Statistik adalah kumpulan angka-angka mengenai suatu masalah, sehingga dapat memberikan gambaran mengenai masalah tersebut atau statistik adalah data ringkasan berbentuk angka(kuantitatif). Misalnya statistik penduduk adalah data atau keterangan berbentuk angka ringkasan penduduk(jumlah,rata-rata,umur,persentase buta huruf, dll) Kata statistik juga diartikan sebagai suatu ukuran yang dihitung dari sekumpulan data yang merupakan wakil dari data tersebut. 1. Rata โ€“ rata berat badan dari mahasiswa yang mengikuti kuliah hari ini adalah 51kg 2. 90% dari mahasiswa yang mengikuti kuliah ini berasal dari kota โ€œAโ€ 3. Kecelakaan lalu lintas itu kebanyakanakibat kecerobohan pengemudi angkutan itu Statistika adalah metode ilmiah yang mempelajari pengumpulan, pengaturan, perhitungan, penggambaran dan penganalisaan data, penarikan kesimpulan yang valid berdasarkan penganalisaan yang dilakukan, dan pembuatan keputusan yang rasional. Statistika adalah ilmu yang mengumpulkan,menata,menyajikan,manganalisis,dan menginterpretasi-kan data menjadi informasi untuk membantu pengambilan keputusan yang efektif. Dalam melakukan suatu penelitian harus dilandasi dengan penggunaan metode ilmiah Syarat metode ilmiah: ๏ถ Dasar : fakta/data yg reliable, valid, ternilai,teori yg relevan ๏ถ Sifat : universal, obyektif. Jujur dan terbuka. Logis,kritis, analistis, dinamis dan inovatif ๏ถ Populasi Sebuah kumpulan dari semua kemungkinan orang-orang,benda-benda dan ukuran lain dari objek yang menjadi perhatian ๏ถ Sampel Suatu bagian dari populasi tertentu yang menjadi perhatian. Statistika Deskriptifdan Statistika Inferensial Metode statistik berdasarkan pengertiannya secara garis besar dapat digolongkan menjadi: a. Statistik Deskriptif (statistik deduktif) Statistik deskriptif adalah statistik yang menggambarkan kegiatan berupa pengumpulan data,penyusunan data,pengolahan data,dan penyajian data dalam bentuk tabel,grafik ataupun diagram,agar memberikan gambaran yang teratur,ringkas, dan jelas mengenai suatu keadaan atau peristiwa. Atau statistika deskriptif adalah statistika yang hanya menggambarkan dan menganalisis kelompok data yang diberikan tanpa penarikan kesimpulan mengenai kelompok data yang lebih besar Statistik deskriptif terdiri atas: ๏ƒผ Distribusi Frekuensi yaitu penyusunan data dari nilai terkecil sampai nilai terbesar yang kemudian disajikan dalam bentuk tabel atau diagram.
  5. 5. 5 ๏ƒผ Ukuran pemusatan yaitu terdiri atas rata-ratahitung, rata-rata letak,rata- rata harmonis dan rata-rata geometris serta median dan modus. ๏ƒผ Ukuran penyebaran terdiri atas rentangan(rank),simpangan rata- rata,varians,dan simpangan baku. b. Statistika Inferensial (statistik induktif) Statistik inferensial adalah statistik yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan yang bersifat umum dari data yang telah disusun dan diolah. Hal-hal yang berhubungan dengan statistika inferensial adalah: ๏ƒผ Melakukan penafsiran tentang karakteristik populasi dengan menggunakan data yang diperoleh dari sampel ๏ƒผ Membuat prediksi atau ramalan tentang masalah untuk masa yang akan datang ๏ƒผ Menentukan ada tidaknya hubungan antarkarakteristik ๏ƒผ Menguji hipotesis ๏ƒผ Membuat kesimpulan secara umum mengenai populasi. Macam โ€“ macam Data โ€ข Menurut sifatnya a. Data Kualitatif adalah data yang bukan berupa angka, data berupa kategori/atribut/berupa kata-kata. Misal tingkat kepuasan. Contoh: 1. Harga emas hari ini mengalami kenaikan. 2. Sebagian dari produksi barang โ€œAโ€ pada Perusahaan โ€œXโ€ b. Data Kuantitatif adalah data yang berupa angka atau bilangan yang nilainya dapat berubah โ€“ ubah. Contoh: 1. Luas bangunan hotel itu adalah 5700m2 2. Tinggi badan Sandi mencapai 170cm 3. Banyak perguruan tinggi di kota โ€œBโ€ ada 4 buah Dalam hal ini, data kuantitatif dibagi menjadi dua bagian yaitu berdasarkan proses mendapatkanya dengan berdasarkan tipe skala pengukuran 1. Berdasarkan Proses Mendapatkanya o Data Diskrit adalah data yang diperoleh dengan cara menghitung atau membilang. Contoh: 1. Banyak kursi yang ada diruagan ini adalah 75 buah 2. Jumah siswa yang megikuti mata kuliah ini mencapai 110 orang
  6. 6. 6 3. Banyak anak dalam keluarga Dini ada 6 orang o Data Kontinu adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh: 1. Panjang benda itu adalah 15cm 2. Jarak antara kota Bandung dengan kota cirebon adalah 130km 3. Berat badan Dhea adalah 50kg 2. Berdasarkan Tipe Skala Pengukuran o Data Nominal adalah pengelompokan objek berdasarkan kategori tertentu. Contoh: Angka (1) untuk Laki-laki dan angka (2) untuk Perempuan o Data Ordinal adalah data yang berasal dari suatu objek atau kategori yang telah disusun secara berjenjang menururt bersarnya. Contoh: Perankingan prestasi murid dalam suatu kelas dari yang tertinggi sampai terendah o Data Interval adalah data hasil pengukuran yang dapat diurutkan atas dasar kriteria tertentu serta menunjukkan semua sifat yang dimiliki oleh data ordinal. Contoh: suhu 3 buah benda A, B, dan C masing-masing 20oc, 30oc, dan 40oc o Data Rasio adalah data perbandingan yang memperlihatkan perbedaan antara data satu dengan data yang lain. Data rasio memiliki titik 0 mutlak. Contoh: Pengukuran berat. o Menurut Sumbernya a. Data Internal adalah data yang diperoleh dari suati instansi (lembaga, organisasi) b. Data Eksternal adalah data yang diperoleh dari luar instansi atau lembaga. Data eksternal dibagi menjadi 2 yaitu: 1. Data Primer adalah datayang diperoleh atau dikumpulkan sendiri oleh peneliti, misal dengan wawancara, observasi, atau penelitian. Contoh: 1. Pemerintah melalui Biro Pusat Statistik (BPS) ingin mengetahui jumlah penduduk indonesia, maka BPS mengirimkan petugas-petuganya untuk mendatangi secara langsung rumah tangga yang ada di indonesia. 2. Perusahaan susu โ€œSegar Jayaโ€ ingin mengetahui jumlah konsumsi susu yang diminum oleh masyarakat dikelurahan kejaksaan maka petugas dari peerusahaan tersebut secara langsung mendatangi rumah tangga yang ada dikelurahan kejaksaan.
  7. 7. 7 2. Data Sekunder adalah data yang diperoleh dari berbagai sumber yang telah ada Contoh: Misalkan seorang peneliti memerlukan data mengenai jumlah penduduk disebuah kota dari tahun 1960 sampai 1970 maka orang itu dapat memperolehnya di BPS. 3. Menurut cara memperolehnya a. Data primer adalah data yang dikumpulkan dan diolah sendiri oleh suatu organisasi serta diperoleh langsung dari objeknya. Contoh: 1. Pemerintah melalui Biro Pusat Statistik (BPS) ingin mengetahui jumlah penduduk indonesia, maka BPS mengirimkan petugas- petuganya untuk mendatangi secara langsung rumah tangga yang ada di indonesia. 2. Perusahaan susu โ€œSegar Jayaโ€ ingin mengetahui jumlah konsumsi susu yang diminum oleh masyarakat dikelurahan kejaksaan maka petugas dari peerusahaan tersebut secara langsung mendatangi rumah tangga yang ada dikelurahan kejaksaan. b. Data sekunder adalah data yang diperoleh dalam bentuk sudah jadi,sudah dikumpulkan dan diolah oleh pihak lain,biasanya data itu dicatat dalam bentuk publikasi-publikasi. Contoh: Misalkan seorang peneliti memerlukan data mengenai jumlah penduduk disebuah kota dari tahun 1960 sampai 1970 maka orang itu dapat memperolehnya di BPS. ๏‚ท Menurut Waktu a. Data Time-series adalah data yang menggambarkan sesuatu dari waktu ke waktu. Contoh: Data pengunjung perpustakan dari tahun ke tahun b. Data Cross-section adalah data yang menunjukkan titik waktu tertentu c. Data Panel adalah data yang berisi gabungan data time-series dengan data cross section
  8. 8. 8 Penyajian Data dan Aplikasi pada Data Penelitian
  9. 9. 9 Pengertian Penyajian Data Penyajian data merupakan salah satu kegiatan dalam pembuatan laporan hasil penelitian yang telah dilakukan agar dapat dipahami dan dianalisis sesuai dengan tujuan yang diinginkan.Data yang disajikan harus sederhanaan jelas agar mudau dibaca.Penyajian data juga dimaksudkan agar para pengamatd dapat dengan mudah memahami apa yang kita ajikan untuk selanjutnya dilakukan penilaian atau perbandingan dan lain lain. Cara Penyajian Data 1. Penyajian Data Dalam Bentuk Tulisan (Textular Presentation) Penyajian dalan bentuk tulisan sebenarnya merupakan gambaram umum tentang kesimpulan hasil pengamatan.Dalam bidang kedokteran,penyajian dalm bentuk tulisan hanya digunakan untuk memberikan informasi. Penyajian dalam bentuk tulisan banyak digunakan dalam bidang sosial,ekonomi,pssikologi dan lain laindan berperan sebagai laporan hasil penelitian kualitatif.Misalnya,untuk mengetahui persepsi masyarakat tentang suatu produk yang telah dipasarkan atau penerimaan,pendapat serta kepercayaan masyarakat terhadap suatu program pemerintah atau program pelayanan pada manyarakat atau keberadaan petugas kesehatan yang terdapat didaerah. Contoh : Seorang direktur sebuah rumah sakit memberikan informasi tentang kondisi rumah sakit yang dipimpinnya. โ€œPenderita yang menjalani rawat inap dirumah sakit ini jumlahnya meningkat dari tahun ketahun hingga tidak tertampung dan sebagian besar terdapat dibagian penyakit dalam.Dengan semakin banyak penderita yang menjalani rawat inap menunjukkan bahwa pelayanan yang kita berikan sudah cukup memadai.Yang masih harus kita tingkatkan adalah penambahan gedung dan sarana ynag dibutuhkan seperti tempat tidur,terutam dibagian penyakit dalamโ€ 2. Penyajian Data Dalam Bentuk Tabel (Table Persentation) Penyajian dalam bentuk tabel merupakan penyajian data dalam bentuk angka yang disusun secara teratur dalam bentuk kolom dan baris.Penyajian dalam bentuk tabel banyak digunakan pada penuilsan laporan hasil penelitian dengan maksud agar
  10. 10. 10 orang mudah memperoleh gambaran rinci tentang hasil penelitian yang telah dilakukan.Suatu tabel yang lengkap terdiri dari : ๏‚ท Nomor tabel Bila tabel yang disajikan lebih dari satu makna hendaknya diberi nomor agar mudah untuk mencari kembali bila dibutukan.Nomor tebel biasanya ditempatkan diatas sebelah kiri sejajar denga judul tabel. ๏‚ท Judul Tabel Setiap tabel yang disajikan harus diberikn judul karena dari judul tabel orang dapat mengetahui tentang apa yang disajikan. ๏‚ท Catatan Pendahuluan Catatan pendahuluan biasanya diletakkan dibawah judul dan berfungsi sebagai keterangan tambahan tentang tahun pembuatan tabel atau jumlah pengamatam yang dilakukan. ๏‚ท Badan Tabel Badan atbel terdiri dari judul kolom,judul baris,judul kompartemen dan sel. ๏‚ท Catatan kaki Catatan kaki dimaksudkan untuk memberi keterangan terhadap singkatan atau ukuran yang digunakan.Bisanya dengan member tanda yang sesuai dengan tanda yang terdapat dikanan atas singkatan yang digunakan.Tanda yang biasanya dapat berupa *x dan lain lain.Catatan kaki diletakkan dibawah kiri tabel. ๏‚ท Sumber Data Sumber data diletakan dibagian kiri bawah(dibawah catatan kaki),sumber ini mempunyai arti penting bila data yang sajikan berupa data sekunder. Contoh Judul tabel Catatan pendahuluan Judul Kompartemen Judul Jumlah Catatan kaki : Sumber :
  11. 11. 11 3. Penyajian Data DalamBentuk Grafik ( Grafical Or Diagram Presentation) Grafik merupakan salah satu bentuk penyajian data statistik yang banyak dilakukan dalam berbagai bidang,termasuk bidang kedokteran karna penyajian dalam bentuk grafik lebih menarik dan mudah dipahami. Manfaat Grafik Penyajian dalam bentuk grafik bermanfaat untuk hal-hal sebagai berikut: Membandingkan beberapa variable,beberapa kategori dalam variable atau satu variable pada waktu dan tempat yang berbeda. Meramalkan perubahan yang terjadi dengan berjalan nya waktu ( time series ) Mengetahui adanya hubungan dua variable atau lebih. Memberikan penerangan pada masyarakat. Macam-macam Bentuk Penyajian Data 1. Tabel Jenis Jenis Tabel 1. Tabel Baris Kolom adalah tabel biasa yang terdiri dari baris dan kolom 2. Tabel Kontigensi Tabel kontingensi merupakan bagian dari tabel baris kolom, akan tetapi tabel ini mempunyai ciri khusus, yaitu untuk menyajikan data yang terdiri atas dua faktor atau dua variabel, faktor yang satu terdiri atas b kategori dan lainnya terdiri atas k kategori, dapat dibuat daftar kontingensi berukuran b x k dengan b menyatakan baris dan k menyatakan kolom. Contoh: DATA MURID SEKOLAH DI DAERAH INDERALAYA MENURUT TINGKAT SEKOLAH DAN JENIS KELAMIN TAHUN 2015 Baris Kolom
  12. 12. 12 Jenis Kelamin Tingkatan Sekolah SD SMP SMA Jumlah Laki-laki 4.758 2.795 1.459 9.012 Perempuan 4.032 2.116 1.256 7.404 Jumlah 8.790 4.911 2.715 16.416 Daftar kontingensi di atas merupakan daftar kontingensi 2x3 karena terdiri atas 2 baris dan kolom. 3. Tabel Distribusi Frekuensi Tabel Distribusi frekuensi adalah suatu daftar atau tabel yang membagi data dalam beberapa kelas. Contoh: Data Nilai Ulangan Matematika Kelas VII A SMP NEGERI 3 OKU Nilai Frekuensi 55-61 3 62-68 7 69-75 8 76-82 5 83-89 7 90-95 10 Jumlah 40 2. Diagram Jenis-jenis Diagram 1. Diagram Batang Diagram batang adalah bentuk penyajian data statistik dalam bentuk batang persegi panjang. Diagram batang memudahkan perbandingan antara kumpulan- kumpulan data yang berbeda.
  13. 13. 13 Contoh: Berikut adalah tabel data buah kesukaan 30 siswa SMP NEGERI 3 OKU kelas VIIA NO Nama Buah Frekuensi 1 Apel 5 2 Jeruk 7 3 Mangga 8 4 Melon 2 5 Durian 8 Jumlah 30 Sumber: Data Buatan Data di atas dapat di sajikan ke dalam bentuk diagram batang sebagai berikut 2. Diagram Garis Grafik Diagram garis merupakan diagram yang digunakan untuk menggambarkan keadaan yang serba terus menerus atau berkesinambungan. Contoh: Berikut adalah data Pengunjung Perpustakaan Universitas Sriwijaya dari Bulan Januari โ€“ Mei 2015 No Bulan Frekuensi 1 Januari 1523 2 Februari 1489 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Apel Jeruk Mangga Melon Durian Data buah kesukaan 30 siswa SMP NEGERI 3 OKU kelas VIIA
  14. 14. 14 3 Maret 2115 4 April 2018 5 Mei 2212 Jumlah 9357 Sumber: Data Buatan Data di atas dapat disajikan kedalam bentuk diagram garis grafik seperti berikut 3. Diagram Lambang Diagram yang disajikan dalam bentuk piktogram atau lambang-lambang yang dipakai untuk mendapatkan gambaran kasar sesuatu hal dan sebagai alat visual bagi orang awam. Contoh: Untuk melukiskan pegawai di berbagai jabatan, diagram simbulnya dapat dilihat seperti di bawah ini: 0 500 1000 1500 2000 2500 Januari Februari Maret April Mei data Pengunjung Perpustakaan UniversitasSriwijaya dari Bulan Januari โ€“ Mei 2015
  15. 15. 15 Sumber: Buku Metode Statistika 4. Diagram Lingkaran DIagram Lingkaran adalah gambaran grafik informasi kuantitatif menggunakan lingkaran yang dibagi menjadi beberapa sektor yang ukuran relatifnya sesuai dengan proporsi kuantitas. Contoh: 16% 16% 23% 21% 24% Data Pengunjung PerpustakaanUniversitas Sriwijaya dari Bulan Januari โ€“ Mei2015 Januari Februari Maret April Mei Diagram Lingkaran
  16. 16. 16 5. Diagram Peta Diagram ini juga dinamakan kartogram. Dalam pembuatannya digunakan peta geografis tempat data terjadi. Dengan demikian diagram ini adalah diagram yang melukiskan keadaan yang dihubungkan dengan tempat kejadian. Salah satu contoh dari diagram ini adalah Peta Bumi. 16% 16% 23% 21% 24% Data Pengunjung PerpustakaanUniversitas Sriwijaya dari Bulan Januari โ€“ Mei2015 Januari Februari Maret April Mei Diagram Pastel
  17. 17. 17 6. Diagram Titik Diagram titik juga disebut sebagai diagram pencar. Diagram ini digunakan untuk mengetahui apakah antara dua variabel mempunyai hubungan (korelasi) yang saling mempengaruhi atau tidak.
  18. 18. 18 Daftar Distribusi Frekuensi dan Aplikasi pada Data Penelitian
  19. 19. 19 Pengertian Daftar Distribusi Frekuensi Distribusi frekuensi adalah suatu susunan data mulai dari data terkecil sampai data terbesar yang membagi banyaknya data kedalam beberapa kelas. Dalam daftar ini, dicatat berapa banyaknya data, atau frekuensi , yang ada dalam masing-masing kelas. Kelebihan dan Kekurangan Daftar Distribusi Frekuensi Kelebihan: โ€ข Data menjadi lebih sederhana โ€ข Mudah dibaca sebagai bahan Informasi โ€ข Dapat mengetahui gambaran secara menyeluruh Kekurangan: โ€ข Rincian atau informasi awal menjadi hilang Tabel Distribusi Frekuensi dan Jenis-jenisnya Tabel distribusi frekuensi adalah alat penyajian data statistik yang terdiri dari baris dan kolom, yang memuat angka-angka untuk menggambarkan distribusi atau pembagian frekuensi dari variabel yang sedang menjadi objek penelitian. Tabel Distribusi Frekuensi dibedakan menjadi beberapa jenis sebagai berikut: 1. Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal Tabel distribusi frekuensi data tunggal memuat frekuensi dari data yang tidak di kelompokkan. 2. Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompok Tabel distribusi frekuensi data yang telah dikelompokkan memuat frekuensi data yang didistribusikan dalam kelompok-kelompok satu kelas yangg berbeda. 3. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Tabel distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi yang menyatakan frekuensi total yang ada dibawah atau di atas batas bawah suatu kelas. 4. Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Tabel distribusi frekuensi relatif adalah perbandingan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi seluruh yang dinyatakan dalam persentase. 5. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Relatif atau Ogive
  20. 20. 20 Membuat Tabel Distribusi Frekuensi ๏‚ท Range atau Jangkauan Daerah jangkauan data (range) adalah selisih data terbesar dengan data terkecil, yang dinotasikan dengan: ๏‚ท Limit kelas Limit/tepi kelas bawah (Tb) diperoleh dengan mengurangi setengah satuan dari batas kelas bawah. Sedangkan limit/tepi kelas atas (Ta) diperoleh dengan mengurangi setengah satuan dari batas kelas atas. ๏‚ท Banyak Kelas Banyaknya kelas dalam satu tabel distribusi frekuensi. Dalam menentukan banyaknya kelas, ada suatu aturan yang diberikan oleh H. A STRUGES, yang selanjutnya disebut aturan Struges yaitu sebagai berikut: Keterangan: K= banyak kelas n= banyak data (frekuensi) ๏‚ท Interval Kelas atau Lebar Kelas Interval kelas atau lebar kelas adalah selisih data terbesar dengan data terkecil dibagi dengan banyak kelas. Interval kelas ditentukan oleh rumus: ๏‚ท Batas Kelas Batas kelas suatu interval kelas adalah nilai-nilai ujung yang terdapat pada suatu kelas. Nilai ujung pada bawah suatu interval disebut batas bawah. Nilai unjung pada atas suatu interval adalah batas atas. ๏‚ท Titik tengah kelas Titik tengah kelas didapatkan dengan mencari rataan batas kelas atas dan batas kelas bawah, atau dengan kata lain R= Xmaks - Xmin K = 1 + 3,3 log n ๐‘ƒ = ๐‘… ๐พ
  21. 21. 21 Titik tengah dianggap sebagai nilai yang mewakili suatu kelas interval contoh: Membuat Tabel Distribusi Frekuensi Sumber: data buatan ยฝ (batas kelas bawah + batas kelas atas) Data Nilai Ulangan Matematika 40 Siswa Kelas VII A SMP NEGERI 3 OKU 70 90 55 78 85 70 80 95 63 78 65 90 75 92 88 55 75 88 88 65 90 80 63 92 70 85 65 92 95 75 70 90 65 85 90 75 80 55 88 65
  22. 22. 22 Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal Nilai Frekuensi 55 3 63 2 65 5 70 4 75 4 78 2 80 3 85 3 88 4 90 5 92 3 95 2 Jumlah 40 Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompok Nilai Frekuensi 55-61 3 62-68 7 69-75 8 76-82 5 83-89 7 90-95 10 jumlah 40
  23. 23. 23 Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Nilai Frekuensi Relatif % 55-61 3 7,5 62-68 7 17,5 69-75 8 20 76-82 5 12,5 83-89 7 17,5 90-95 10 25 jumlah 40 100 Diagram Batang 0 2 4 6 8 10 12 55-61 62-68 69-75 76-82 83-89 90-96 Nilai Frekuens i Tepi Bawah Tepi Atas Kumulatif โ‰ค Kumulatif โ‰ฅ 55-61 3 54,5 61,5 3 40 62-68 7 61,5 68,5 10 37 69-75 8 68,5 75,5 18 30 76-82 5 75,5 82,5 23 22 83-89 7 82,5 89,5 30 17 90-95 10 89,5 95,5 40 10
  24. 24. 24 Diagram Garis Diagram Lingkaran 0 2 4 6 8 10 12 55-61 62-68 69-75 76-82 83-89 90-95 55-61 62-68 69-75 76-82 83-89 90-96
  25. 25. 25 Diagram Histogram Diagram Poligon
  26. 26. 26 Diagram Kumulatif Relatif atau Ogive 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 BANYAKSISWA Ogive Positif Ogive Negatif
  27. 27. 27 Ukuran Pemusatan, Ukuran Penyebaran dan Dispersi
  28. 28. 28 UKURAN PEMUSATAN DATA Pengertian Ukuran Pemusatan Data Ukuran pemusatan data dalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang pusat data yang juga mewakili seluruh data. Macam-Macam Ukuran Pemusatan Data 1. Rata-rata (mean) Mean dari sekumpulan bilangan adalah jumlah bilangan bilangan dibagi oleh banyaknya bilangan. Dalam bahasa Inggris, nilai rata-rata hitung dikenal dengan istilah Arithmetic Mean atau sering dikenal dengan nama mean saja Rata-rata hitung dari populasi diberi simbol (baca: miu) dan rata-rata hitung dari sample diberi simbol (baca: eks bar). a) Rata-rata Hitung Data Tunggal Rata-rata hitung dari data tunggal dapat diperoleh dengan menjumlahkan seluruh nilai dan membaginya dengan banyaknya data. ๐‘ฅฬ… = ๐‘ฅ1 + ๐‘ฅ2 + ๐‘ฅ3 + โ‹ฏ+ ๐‘ฅ ๐‘› ๐‘› Atau ๐‘ฅฬ… = โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘– ๐‘› ๐‘–=1 ๐‘› Keterangan: ๐‘ฅฬ… = rata-rata ( baca x bar) โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘– ๐‘› ๐‘–=1 = jumlah seluruh data ๐‘› = banyaknya data Contoh 1 Hitunglah rataan dari 6,5,9,7,8,8,7,6 ! Jawab: ๐‘ฅฬ… = 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9 8 ๐‘ฅฬ… = 56 8 = 7 Contoh 2
  29. 29. 29 Jumlah buku yang diproduksi oleh sebuah mesin cetak selama tujuh hari adalah sebagai berikut 25.000, 20.000, 24.000, 15.000, 30.000, 35.000, dan 40.000. berapa ribu rata-rata produksi perhari? Jawab: ๐‘ฅฬ… = 15.000+ 20.000 + 24.000 + 25.000 + 30.000 + 35.000 + 40.000 7 ๐‘ฅฬ… = 189.000 7 ๐‘ฅฬ… = 27.000 Jadi rata-rata produksi 27.000 per hari. b) Rata-rata Hitung Data Tunggal Kelompok Rata dengan nilai tengah (๐‘ฅ๐‘–) ๐‘ฅฬ… = โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘ฅ๐‘– โˆ‘ ๐‘“๐‘– Keterangan: ๐‘ฅ๐‘–= Nilai tengah kelas interval ๐‘“๐‘–= frekuensi Contoh 3 Nilai Matematika 50 Siswa Kelas X SMAN 1 Indralaya Nilai Frekuensi 52 โ€“ 58 59 โ€“ 65 66 โ€“ 72 73 โ€“ 79 80 โ€“ 86 87 โ€“ 93 94 โ€“ 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50 Berdasarkan table di atas , tentukan rata-rata! Jawab: Untuk mencari rata-rata hitung, kita gunakan nilai tengah (๐‘ฅ๐‘–) Nilai ๐‘ฅ๐‘– ๐‘“๐‘– ๐‘“๐‘– ๐‘ฅ๐‘– 52 โ€“ 58 59 โ€“ 65 66 โ€“ 72 73 โ€“ 79 80 โ€“ 86 87 โ€“ 93 94 โ€“ 100 55 62 69 76 83 90 97 2 6 7 20 8 4 3 110 372 483 1520 664 360 291 Jumlah 50 3800
  30. 30. 30 ๐‘ฅฬ… = โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘ฅ๐‘– โˆ‘ ๐‘“๐‘– = 3800 50 = 76 Selain menggunakan nilai tengah, rata-rata hitung data yang sudah dikelompokkan dapat dicari dengan menggunakan rata-rata sementara, yaitu dengan mengambil ๐‘ฅ๐‘– dengan frekuensi terbanyak dan memberi tanda Q, yang dinyatakan dengan rumus: ๐‘ฅฬ… = ๐‘ฅ0 + ๐‘ ๐‘› โˆ‘ ๐‘“๐‘–. ๐‘๐‘– Keterangan: ๐‘ฅ0 = rata-rata sementara ๐‘ = panjang kelas ๐‘›= banyaknya kelas Contoh 4 Dengan menggunakan rata-rata sementara, contoh 3 dapat diselesaikan sebagai berikut: Nilai ๐‘ฅ๐‘– ๐‘“๐‘– ๐‘๐‘– ๐‘“๐‘– ๐‘ฅ๐‘– 52 โ€“ 58 59 โ€“ 65 66 โ€“ 72 73 โ€“ 79 80 โ€“ 86 87 โ€“ 93 94 โ€“ 100 55 62 69 76 83 90 97 2 6 7 20 8 4 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 110 372 483 1520 664 360 291 Jumlah 50 3800 Jawab: ๐‘ฅฬ… = ๐‘ฅ0 + ๐‘ ๐‘› โˆ‘ ๐‘“๐‘–. ๐‘๐‘– ๐‘ฅฬ… = 76 + 7 50 (0) ๐‘ฅฬ… = 76 c) Rata-rata Geometris Untuk data tunggal Rata-rata geometris G dari sekumpulan angka ๐‘‹1. ๐‘‹2. ๐‘‹3 โ€ฆ ๐‘‹ ๐‘› adalah akar pangkat n dari perkalian angka-angka tersebut, dinyatakan dengan rumus maka: ๐บ = โˆš ๐‘‹1. ๐‘‹2. ๐‘‹3 โ€ฆ ๐‘‹ ๐‘› ๐‘› Atau
  31. 31. 31 log ๐บ = 1 ๐‘› (log ๐‘‹1 + log ๐‘‹2 + log ๐‘‹3 + โ‹ฏ+ log ๐‘‹ ๐‘›) Contoh 5 Tentukan rata-rata geometris dari 4, 9, 6! Jawab: ๐บ = โˆš4 .9.6 3 ๐บ = โˆš216 3 ๐บ = 6 Untuk data kelompok log ๐บ = โˆ‘(๐‘“๐‘– log ๐‘ฅ๐‘–) โˆ‘ ๐‘“๐‘– Contoh 6 Nilai Matematika 50 Siswa Kelas X SMAN 1 Indralaya Nilai Frekuensi 52 โ€“ 58 59 โ€“ 65 66 โ€“ 72 73 โ€“ 79 80 โ€“ 86 87 โ€“ 93 94 โ€“ 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50 Berdasarkan table di atas , tentukan rata-rata geometrisnya! Jawab: Nilai ๐‘ฅ๐‘– ๐‘“๐‘– ๐‘™๐‘œ๐‘”๐‘ฅ ๐‘– ๐‘“๐‘– ๐‘™๐‘œ๐‘”๐‘ฅ๐‘– 52 โ€“ 58 59 โ€“ 65 66 โ€“ 72 73 โ€“ 79 80 โ€“ 86 87 โ€“ 93 94 โ€“ 100 55 62 69 76 83 90 97 2 6 7 20 8 4 3 1,7403 1,7924 1,8388 1,8808 1,9190 1,9542 1,9868 3,4806 10,7544 12,8716 37,6160 15,3520 7,8168 5,9601 Jumlah 50 93,8515 log ๐บ = โˆ‘(๐‘“๐‘– log ๐‘ฅ๐‘–) โˆ‘ ๐‘“๐‘– log ๐บ = 93,8515 50
  32. 32. 32 log ๐บ = 1,8770 ๐บ = 75,4 d) Rata-rata Harmonis Data tunggal ๐ป = ๐‘› 1 ๐‘ฅ1 + 1 ๐‘ฅ2 + 1 ๐‘ฅ3 + โ‹ฏ+ 1 ๐‘ฅ ๐‘› Contoh 6 Nilai ulangan matematika tiga siswa adalah 90,80,70. Tentkan nilai rata-rata harmonisnya! Jawab: ๐ป = 3 1 90 + 1 80 + 1 70 ๐ป = 3 0,0379 ๐ป = 79,16 Data Kelompok ๐ป = ๐‘› โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘ฅ ๐‘– Contoh 7 Nilai Matematika 50 Siswa Kelas X SMAN 1 Indralaya Nilai Frekuensi 52 โ€“ 58 59 โ€“ 65 66 โ€“ 72 73 โ€“ 79 80 โ€“ 86 87 โ€“ 93 94 โ€“ 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50 Berdasarkan table di atas , tentukan rata-rata harmonisnya! Jawab: Nilai ๐‘ฅ๐‘– ๐‘“๐‘– ๐‘“๐‘– ๐‘ฅ ๐‘– 52 โ€“ 58 59 โ€“ 65 66 โ€“ 72 73 โ€“ 79 55 62 69 76 2 6 7 20 0,1361 0,0968 0,1014 0,2631
  33. 33. 33 80 โ€“ 86 87 โ€“ 93 94 โ€“ 100 83 90 97 8 4 3 0,0964 0,0444 0,0309 Jumlah 50 0,6694 ๐ป = ๐‘› โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘ฅ ๐‘– ๐ป = 50 0,6694 ๐ป = 74,69 2. Median Median (๐‘€ ๐‘’) adalah nilai tegah dari kumpulan data yang telah diurutkan (disusun) dari yang terkecil hingga ke terbesar. a) Data tunggal Data tunggal yang memiliki data ganjil setelah diurutkan ๐‘€ ๐‘’ = ๐‘๐‘Ž๐‘›๐‘ฆ๐‘Ž๐‘˜ ๐‘‘๐‘Ž๐‘ก๐‘Ž+1 2 Data tunggal yang memiliki data genap setelah diurutkan ๐‘€ ๐‘’ = ๐‘๐‘Ž๐‘›๐‘ฆ๐‘Ž๐‘˜ ๐‘‘๐‘Ž๐‘ก๐‘Ž 2 Tetapi,hasil median untuk data genap adalah hasil ๐‘€ ๐‘’ + data sesudahnya. Contoh 8 Diketahui data sebagai berikut: 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 50. Tentukan median dari data di atas! Jawab: Data setelah diurutkan : 35, 40, 45, 50, 65, 70, 70, 80, 90 Jumlah data ganjil maka mediannya adalah data yang terletak di tengah-tengah. Jadi, ๐‘€ ๐‘’ = 65. b) Data kelompok ๐‘€ ๐‘’ = ๐‘‡ ๐‘ + ๐‘ƒ { 1 2 ๐‘› โˆ’ ๐‘“ ๐‘˜๐‘ข๐‘š ๐‘“ } Keterangan: ๐‘‡ ๐‘ = batas bawah kelas interval yang mengandung Me f = frekuensi kelas interval yang mengandung Me ๐‘“ ๐‘˜๐‘ข๐‘š =fkekuensi kumulatif sebelum kelas interval yang mengandung Me
  34. 34. 34 ๐‘ƒ =panjang kelas interval Contoh 9 Nilai Matematika 50 Siswa Kelas X SMAN 1 Indralaya Nilai Frekuensi 52 โ€“ 58 59 โ€“ 65 66 โ€“ 72 73 โ€“ 79 80 โ€“ 86 87 โ€“ 93 94 โ€“ 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50 Berdasarkan table di atas , tentukan mediannya! Jawab: ๐‘€ ๐‘’ = ๐‘‡ ๐‘ + ๐‘ƒ { 1 2 ๐‘› โˆ’ ๐‘“ ๐‘˜๐‘ข๐‘š ๐‘“ } ๐‘€ ๐‘’ = 72,5 + 7 { 25โˆ’ 13 20 } ๐‘€ ๐‘’ = 72,5 + 4,2 ๐‘€ ๐‘’ = 76,7 3. Modus Modus (๐‘€ ๐‘œ) adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang frekuensinya terbesar. a) Data tunggal Untuk modus data tunggal langsung melihat data yang sering muncul. Contoh 10 Diketahui data sebagai berikut: 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 50. Tentukan modus dari data di atas! Jawab: Modusnya adalah 70. b) Data Kelompok Menghitung modus data kelompok digunakan rumus: ๐‘€ ๐‘œ = ๐‘‡ ๐‘ + ๐‘ƒ ๐‘1 ๐‘2 + ๐‘1
  35. 35. 35 Contoh 11 Tentukan modus dari data berikut! Nilai Frekuensi 52 โ€“ 58 59 โ€“ 65 66 โ€“ 72 73 โ€“ 79 80 โ€“ 86 87 โ€“ 93 94 โ€“ 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50 Jawab: Frekuensi terbanyak pada kelas interval 73 โ€“ 79, berarti modusnya terletak pada kelas 73 โ€“ 79. ๐‘€ ๐‘œ = ๐‘‡ ๐‘ + ๐‘ƒ ๐‘1 ๐‘2 + ๐‘1 ๐‘€ ๐‘œ = 72,5 + 7 13 13 + 12 ๐‘€ ๐‘œ = 72,5 + 3,64 ๐‘€ ๐‘œ = 76,14 UKURAN PENYEBARAN DATA DAN DISPERSI Ukuran Letak 1. Kuartil Kuartil adalah ukuran letak yang membagisuatu kelompok data menjadi empat bagian yang sama besar. a) Kuartil untuk data tunggal ๐‘„1 = ๐‘› + 1 4 ๐‘„2 = 2(๐‘› + 1) 4 ๐‘„3 = 3(๐‘› + 1) 4 Contoh 12 Diketahui data sebagai berikut: 2, 4, 3, 3, 6, 5, 9. Tentukan ๐‘„1, ๐‘„2, dan ๐‘„3! Jawab: ๐‘„1 = ๐‘› + 1 4 = 7 + 1 4 = 2
  36. 36. 36 ๐‘„2 = 2(๐‘› + 1) 4 = 2(7+ 1) 4 = 4 ๐‘„3 = 3(๐‘› + 1) 4 = 3(7 + 1) 4 = 6 b) Kuartil untuk data kelompok ๐‘„1 = ๐‘‡ ๐‘ + ๐‘ƒ 1 4 ๐‘› โˆ’ ๐‘“ ๐‘˜๐‘ข๐‘š ๐‘“ ๐‘„2 = ๐‘‡ ๐‘ + ๐‘ƒ 2 4 ๐‘› โˆ’ ๐‘“ ๐‘˜๐‘ข๐‘š ๐‘“ ๐‘„3 = ๐‘‡ ๐‘ + ๐‘ƒ 3 4 ๐‘› โˆ’ ๐‘“ ๐‘˜๐‘ข๐‘š ๐‘“ Contoh 13 Tentukan ๐‘„1, ๐‘„2, dan ๐‘„3 dari table berikut! Nilai Frekuensi 52 โ€“ 58 59 โ€“ 65 66 โ€“ 72 73 โ€“ 79 80 โ€“ 86 87 โ€“ 93 94 โ€“ 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50 Jawab: ๐‘„1 = ๐‘‡ ๐‘ + ๐‘ƒ 1 4 ๐‘› โˆ’ ๐‘“ ๐‘˜๐‘ข๐‘š ๐‘“ = 65,5 + 7 1 4 (50) โˆ’ 8 7 = 65,5 + 5,5 = 71 ๐‘„2 = ๐‘‡ ๐‘ + ๐‘ƒ 2 4 ๐‘› โˆ’ ๐‘“ ๐‘˜๐‘ข๐‘š ๐‘“ = 72,5 + 7 2 4 (50) โˆ’ 15 20 = 72,5 + 3,5 = 76
  37. 37. 37 ๐‘„3 = ๐‘‡ ๐‘ + ๐‘ƒ 3 4 ๐‘› โˆ’ ๐‘“ ๐‘˜๐‘ข๐‘š ๐‘“ = 79,5 + 7 3 4 (50) โˆ’ 45 8 = 79,5 + 2,2 = 81,7 2. Desil Desil (๐ท๐‘–) adalah nilai-nilai yang membagi sekumpulan data terurut menjadi sepuluh bagian yang sama. Terdapat sembilan jenis desil, yaitu desil pertama (D1), desil kedua (D2),โ€ฆ, desil kesembilan (D9). Desil ke-5 (D5) sama dengan median. Desil-desil ditentukan dengan jalan: Susun data menurut urutan,tentukan letak desil & tentukan nilai desil. a) Data tunggal: Di = nilai ke ๐‘–(๐‘›+1) 10 , i = 1,2,โ€ฆ, 9 Contoh 14 Tentukan D6 dari data tersebar di bawah ini: 9,9,10,13,14,17,19,19,21,22,23,25,27,29,33,35,39,43,47. Jawab: n = 20, letak D6 = 6 10 (20 + 1) = 12,6 Nilai D6 = nilai data ke 12 + 0,6 (nilai data ke 13 โ€“ nilai data ke 12 = 25 + 0,6 (27 โ€“ 25) = 26,2 b) Data kelompok: ๐ท๐‘– = ๐ต๐‘– + ๐‘ ๐‘– 10 ๐‘› โˆ’ ๐‘“ ๐‘“ ๐ท๐‘– Keterangan: ๐ต๐‘– = batas bawah kelas interval yang mengandung ๐ท๐‘– ๐‘ = panjang kelas interval ๐‘› = banyak data ๐‘“ = frekuensi kumulatif sebelum ๐ท๐‘– ๐‘“ ๐ท๐‘–= frekuensi kelas interval yang mengandung ๐ท๐‘–
  38. 38. 38 Contoh 15 Tentukan nilai ๐ท2 dari table berikut! Nilai Frekuensi 52 โ€“ 58 59 โ€“ 65 66 โ€“ 72 73 โ€“ 79 80 โ€“ 86 87 โ€“ 93 94 โ€“ 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50 Jawab: ๐ท๐‘– = ๐ต๐‘– + ๐‘ ๐‘– 10 ๐‘› โˆ’ ๐‘“ ๐‘“ ๐ท๐‘– = 65,5 + 7 2 10 (50) โˆ’ 8 7 = 65,5 + 0,28 = 65,78 3. Persentil Persentil adalah nilai yang membagi data menjadi seratus bagian yang sama besar setelah data yang disusun dari yang terkecil hingga ke terbesar. a) Persentil untuk data tunggal ๐‘ƒ๐‘– = ๐‘– 100 (๐‘› +1) Contoh 16 Diketahui data 6, 7, 9, 4, 3, 4, 7, 8, 5, 7 Tentukan ๐‘ƒ20 dan ๐‘ƒ80 ! Jawab: Setelah diurutkan data menjadi 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 Letak ๐‘ƒ20 = 20 100 (10 + 1) = 2,2 ๐‘ƒ20 = 4 + 0,2 (4โˆ’ 4) = 4 Letak ๐‘ƒ80 = 80 100 (10 + 1) = 8,8 ๐‘ƒ20 = 7 + 0,2 (8 โˆ’ 7) = 7,8 b) Persentil data kelompok ๐‘ƒ๐‘– = ๐‘‡ ๐‘ + ๐‘ƒ ๐‘Ÿ๐‘– โˆ’ ๐น ๐‘“ Keterangan: ๐‘‡ ๐‘ = batas bawah kelas interval yang mengandung ๐‘ƒ
  39. 39. 39 ๐‘ = panjang kelas interval ๐น = jumlah frekuensi sebelum ๐‘ƒ๐‘– ๐‘“ = frekuensi kelas ๐‘ƒ๐‘– Contoh 17 Tentukan nilai ๐‘ƒ10 dan ๐‘ƒ90 dari table berikut! Nilai Frekuensi 52 โ€“ 58 59 โ€“ 65 66 โ€“ 72 73 โ€“ 79 80 โ€“ 86 87 โ€“ 93 94 โ€“ 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50 Jawab: ๐‘ƒ10 = 58,5 + 7 10 100 (50)โˆ’ 2 6 = 58,5 + 7 3 6 = 58,5 + 3,5 = 6,2 ๐‘ƒ90 = 86,5 + 7 90 100 (50)โˆ’ 43 4 = 86,5 + 7 2 4 = 86,5 + 3,5 = 90 Ukuran Dispersi 1. Range Range atau jangkauan adalah merupakan pengukuran yang paling sederhana, dan didefinisikan sebagai jarak antara nilai yang tertinggi dengan nilai yang terendah. Dengan kata lain bahwa range merupakan beda antara skor data terbesar dan skor data terkecil, dan dirumuskan sebagai berikut. R = XT โ€“ Xt Keterangan: R = range XT = Skor terbesar Xt = Skor terkecil 2. Dengan Kuartil Selisih kuartil satu (๐‘„1), dan kuartil tiga (๐‘„3) disebut RAK (rentang antar kuartil).
  40. 40. 40 RAK = ๐‘„3 โˆ’ ๐‘„1 3. Simpangan Rata-rata a) Data tunggal ๐‘†๐‘… = โˆ‘ | ๐‘ฅ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅฬ…|๐‘› ๐‘–=1 ๐‘› Keterangan: SR = simpangan rata-rata ๐‘ฅฬ… = nilai-rata ๐‘ฅ๐‘– = data ke-i Contoh 18 Hitunglah simpangan rata-rata data berikut! 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9 Jawab: ๐‘ฅฬ… = 70 10 = 7 ๐‘†๐‘… = โˆ‘ | ๐‘ฅ ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅฬ…|๐‘› ๐‘–=1 ๐‘› = |4 โˆ’ 7| + |45 โˆ’ 7| + |6 โˆ’ 7| + |7 โˆ’ 7| + |7 โˆ’ 7| + |7 โˆ’ 7| + |8 โˆ’ 7| + |8 โˆ’ 7| + |9 โˆ’ 7| + |9 โˆ’ 7| 10 = 3 + 2 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 2 + 2 10 = 12 10 = 1,2 b) Data kelompok ๐‘†๐‘… = โˆ‘ ๐‘“๐‘– | ๐‘ฅ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅฬ…| ๐‘“๐‘– Contoh 19 Tentukan nilai simpangan rata-rata dari table berikut! Nilai Frekuensi 52 โ€“ 58 59 โ€“ 65 66 โ€“ 72 73 โ€“ 79 80 โ€“ 86 87 โ€“ 93 94 โ€“ 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50
  41. 41. 41 Jawab: Nilai f ๐‘ฅ๐‘– ๐‘ฅ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅฬ… ๐‘“๐‘– | ๐‘ฅ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅฬ…| 52 โ€“ 58 59 โ€“ 65 66 โ€“ 72 73 โ€“ 79 80 โ€“ 86 87 โ€“ 93 94 โ€“ 100 2 6 7 20 8 4 3 55 62 69 76 83 90 97 21 14 7 0 7 14 21 42 84 49 0 56 56 63 Jumlah 50 350 ๐‘†๐‘… = โˆ‘ ๐‘“๐‘– | ๐‘ฅ ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅฬ…| ๐‘“๐‘– = 350 50 = 7 Jadi simpangan rata-rata adalah 7. 4. Simpangan Baku (S2) dan Simpangan Standar (S) a) Data tunggal ๐‘†2 = โˆ‘ ( ๐‘ฅ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅฬ…)2๐‘› ๐‘–=1 ๐‘› ๐‘† = โˆš โˆ‘ ( ๐‘ฅ ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅฬ…)2๐‘› ๐‘–=1 ๐‘› Contoh 20 Hasil ulangan matematika seorang siswa selama 7 kali adalah sbb: 3, 5, 5, 6, 7, 8, 8. Hitunglah simpangan standarnya! Jawab: ๐‘ฅฬ… = 42 7 = 6 ๐‘ฅ๐‘– ๐‘ฅ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅฬ… ( ๐‘ฅ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅฬ…)2 3 5 5 6 7 8 8 -3 -1 -1 0 1 2 2 9 1 1 0 1 4 4 โˆ‘( ๐‘ฅ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅฬ…)2 = 20 ๐‘†2 = โˆ‘ ( ๐‘ฅ1 โˆ’ ๐‘ฅฬ…)2๐‘› ๐‘–=1 ๐‘› ๐‘†2 = 20 7 Simpangan standar ๐‘† = โˆš๐‘†2 = โˆš2,82 = 1,69
  42. 42. 42 b) Data Kelompok ๐‘†2 = โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘ฅ๐‘– 2 โˆ’ ( โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘ฅ๐‘– โˆ‘ ๐‘“๐‘– ) 2 ๐‘› ๐‘† = โˆš โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘ฅ ๐‘– 2 โˆ’ ( โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘ฅ ๐‘– โˆ‘ ๐‘“๐‘– ) 2 ๐‘› Contoh 21 Hitunglah simpangan standar dari table berikut! Nilai Frekuensi 52 โ€“ 58 59 โ€“ 65 66 โ€“ 72 73 โ€“ 79 80 โ€“ 86 87 โ€“ 93 94 โ€“ 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50 Jawab: Nilai ๐‘ฅ๐‘– ๐‘“๐‘– ๐‘“๐‘– ๐‘ฅ๐‘– ๐‘ฅ๐‘– 2 ๐‘“๐‘– ๐‘ฅ๐‘– 2 52 โ€“ 58 59 โ€“ 65 66 โ€“ 72 73 โ€“ 79 80 โ€“ 86 87 โ€“ 93 94 โ€“ 100 55 62 69 76 83 90 97 2 6 7 20 8 4 3 110 372 483 1520 664 360 291 3025 3844 4761 5776 6889 8100 9490 6050 23064 33327 115520 55112 32400 28227 Jumlah 50 3800 293700 ๐‘† = โˆš โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘ฅ ๐‘– 2 โˆ’ ( โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘ฅ ๐‘– โˆ‘ ๐‘“๐‘– ) 2 ๐‘› ๐‘† = โˆš293.700 โˆ’ ( 3800 50 ) 2 50 ๐‘† = โˆš 293.700 โˆ’ 288.800 50 ๐‘† = โˆš100 ๐‘† = 10
  43. 43. 43 UKURAN KEMIRINGAN DAN KERUNCINGAN
  44. 44. 44 Ukuran Kemiringan Ukuran kemiringan adalah ukuran yang menyatakan sebuah model distribusi yang mempunyai kemiringan tertentu. Apabila diketahui besarnya nilai ukuran ini maka dapat diketahui pula bagaimana model distribusinya, apakah distribusi itu simetrik, positif, atau negatif. 1. Koefisien Kemiringan (Modus) Koefisien kemiringan = ๐‘ฅฬ…โˆ’๐‘€ ๐‘œ ๐‘  Keterangan: ๐‘ฅฬ… = rata-rata Mo = Modus s = simpangan baku Contoh 1 Dari suatu sebaran data diketahui nilai rata-ratanya ๐‘ฅฬ… = 45,2, modus 43,5 dab S = 19,59. Tentukan koefisien kemiringannya! Jawab: Koefisien kemiringan = ๐‘ฅฬ…โˆ’๐‘€ ๐‘œ ๐‘  = 45,2โˆ’43,5 19,59 = 0,08 Hasil koefisien kemiringan adalah 0,08 (positif) berarti sebaran datanya miring ke kanan, seperti tampak pada kabar di bawah ini. M o M d X Kurva Condong Positif Mo Md X KurvaCondong Positif Kurva Condong NegatifKurva Simetris
  45. 45. 45 2. Koefisien Kemiringan (Median) Koefisien kemiringan = 3(๐‘ฅฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…โˆ’๐‘€ ๐‘’) ๐‘  Keterangan: ๐‘ฅฬ… = rata-rata Me = Median s = simpangan baku Contoh 2 Diketahui data nilai tugas akhir statistika dasar 40 mahasiswa Universitas Sriwijaya. Tentukan koefisien kemiringan data berikut! Nilai Frekuensi 60-62 5 63- 65 6 66- 68 3 69- 71 11 72- 74 15 Jawab: Nilai ๐’‡ ๐’™๐’Š ๐’‡. ๐’™๐’Š ๐’™๐’Š โˆ’ ๐’™ฬ… (๐’™๐’Š โˆ’ ๐’™ฬ… ) 2 ๐’‡. (๐’™๐’Š โˆ’ ๐’™ฬ… ) 2 60-62 5 61 305 -7,875 60,02 300,1 63- 65 6 64 384 -4,875 23,77 142,62 66- 68 3 67 201 -1,875 3,52 10,56 69- 71 11 70 770 1,125 1,27 13,97 72- 74 15 73 1095 4,125 17,02 255,3 Jumlah 40 2755 722,55 ๐’™ฬ… = ฮฃ๐’‡.๐’™๐’Š ฮฃ๐’‡ = 2755 40 = 68,875 ๐‘ 2= ฮฃ๐’‡( ๐’™๐’Š โˆ’ ๐‘ฅ ฬ… ) 2 ๐‘› = 722,55 40 = 18,06 S = 4,25
  46. 46. 46 Me= Tb+P ( 1 2 ๐‘›โˆ’๐น๐‘˜๐‘œ๐‘š ๐‘“ ) = 68,5 + 3( 1 2 40โˆ’14 11 ) = 68,5 + 3(0,55) = 70,15 Koefisien kemiringan = 3 (๐‘ฅฬ… โˆ’ ๐‘€ ๐‘’) ๐‘  = 3 (68,875 โˆ’ 70,15) 4,27 = 3 (โˆ’1,275) 4,25 = โˆ’0,9 Karena koefisien kemiringannya negatif mendekati nol, maka kurva condong ke kiri. 3. Koefisien kemiringan menggunakan nilai kuartil Koefisien kemiringannya = ๐‘„3+๐‘„1 โˆ’2๐‘„2 ๐‘„3 โˆ’ ๐‘„1 Keterangan: ๐‘„1 = kuartil ke satu ๐‘„2 = kuartil ke dua ๐‘„3 = kuartil ke tiga Menurut Pearson, dari hasil koefisien kemiringan diatas, ada tiga kriteria untuk mengetahui model distribusi dari sekumpulan data (baik data berkelompok maupun data tidak berkelompok), yaitu : Jika koefisien kemiringan < 0, maka bentuk distribusinya negatif Jika koefisien kemiringan = 0, maka bentuk distribusinya simetrik Jika koefisien kemiringan > 0, maka bentuk distribusinya Positif Contoh 3 Misalkan berat badan bayi (dicatat dalam Kg) yang baru lahir dirumah sakit bersalin โ€œBundaโ€ dapat dilihat dalam tabel berikut. KurvaCondong Negatif
  47. 47. 47 Berat badan (kg) f 2,5 โ€“ 26 2,7 โ€“ 2,8 2,9 โ€“ 30 3,1 โ€“ 3,2 3,3 โ€“ 3,4 3,5 โ€“ 3,6 2 3 5 7 6 5 Jumlah 28 Hitung koefisien kemiringannya dengan menggunakan nilai Kuartil ! Jawab: Koefisien kemiringannya = ๐‘„3+๐‘„1 โˆ’2๐‘„2 ๐‘„3 โˆ’ ๐‘„1 Berat badan (kg) f ๐‘“ ๐‘˜ Ket. 2,5 โ€“ 26 2,7 โ€“ 2,8 2,9 โ€“ 30 3,1 โ€“ 3,2 3,3 โ€“ 3,4 3,5 โ€“ 3,6 2 3 5 7 6 5 2 5 10 17 23 28 ๐‘„1 ๐‘„2 ๐‘„3 Jumlah 28 ๐‘„1 = โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ ? ๐‘„1= 1 4 (n) ๐‘„1 = 1 4 (28) ๐‘„1 = 7 (kelas interval ke 3) Maka ๐‘„1 = Tb + p 1 4 ๐‘›โˆ’๐‘“ ๐‘˜๐‘ข๐‘š ๐‘“ ` ` = 2,85 + 0,2 7โˆ’5 5 = 2,85 + 0,08 = 2,93
  48. 48. 48 ๐‘„2 = โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ ? ๐‘„2= 2 4 (n) ๐‘„2 = 2 4 (28) ๐‘„2 = 14 (kelas interval ke 4) Maka ๐‘„2 = Tb + p 2 4 ๐‘›โˆ’๐‘“ ๐‘˜๐‘ข๐‘š ๐‘“ ` ` = 3,05 + 0,2 14โˆ’10 7 = 3,05 + 0,11 = 3,16 ๐‘„3 = โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ ? ๐‘„3= 3 4 (n) ๐‘„3 = 3 4 (28) ๐‘„3 = 21 (kelas interval ke 5) Maka ๐‘„2 = Tb + p 2 4 ๐‘›โˆ’๐‘“ ๐‘˜๐‘ข๐‘š ๐‘“ ` ` = 3,25 + 0,2 21โˆ’17 0 = 3,25 + 0,13 = 3,38 Sehingga koefisien kemiringannya = ๐‘„3+๐‘„1 โˆ’2๐‘„2 ๐‘„3 โˆ’ ๐‘„1 = 3,38+2,93โˆ’2(3,16) 3,38โˆ’2,93 = ๐‘„3+๐‘„1โˆ’2๐‘„2 ๐‘„3 โˆ’ ๐‘„1 = โˆ’0.022 4. Rumus Momen Untuk data tunggal โˆ3= โˆ‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅฬ…) 3 ๐‘›๐‘†3
  49. 49. 49 Untuk data kelompok โˆ3= โˆ‘(๐‘ฅโˆ’๐‘ฅฬ…) 3 ๐‘›๐‘†3 โˆ3= ๐‘3 ๐‘ 3 { โˆ‘ ๐‘“ ๐‘ˆ3 ๐‘› โˆ’ 3{ โˆ‘ ๐‘“๐‘ˆ2 ๐‘› }{ โˆ‘ ๐‘“๐‘ˆ ๐‘› } + 2{ โˆ‘ ๐‘“ ๐‘ˆ ๐‘› } 3 } Jika โˆ3< 0 maka bentuk distribusinya negatif Jika โˆ3= 0 maka bentuk distribusinya simetrik Jika โˆ3> 0 maka bentuk distribusinya positif 5. Rumus Bowley โˆ= Q3+ Q1โˆ’ Q2 ๐‘„3โˆ’ ๐‘„1 Koefisien: โˆ= Koefisien Kemiringan, Q1= kuartil pertama, Q2= kuartil kedua Q3= kuartil ketiga Jika Q3- Q2= Q3+ Q1- 2Q2=0 maka โˆ=0 dan distribusi datanya simetri Jika Q1 = Q2 maka nilai โˆ=1 dan distribusi datanya miring ke kanan Jika Q2 = Q3 dan nilai โˆ=-1 maka distribusi datanya miring ke kiri. Menggunakan nilai persentil โˆ= P90 โˆ’ 2P50 + P10 ๐‘ƒ90 โˆ’ ๐‘ƒ10 Keterangan: ๐‘ƒ10= persentil ke 10 ๐‘ƒ50= persentil ke 50, ๐‘ƒ90= persentil ke 90 Ukuran Keruncingan (Kurtosis) Ukuran keruncingan adalah kepuncakan dari suatu distribusi, biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal. Sebuah distribusi yang mempunyai puncak relatif tinggi dinamakan leptokurtik, sebuah distribusi mempunyai puncak mendatar dinamakan platikurtik, distribusi normal yang puncaknya tidak terlalu tinggi atau tidak mendatar dinamakan mesokurtik.
  50. 50. 50 Dari hasil koefisien kurtosis diatas, ada tiga criteria untuk mengetahui model distribusi dari sekumpulan data, yaitu : โ€ข Jika koefisien kurtosisnya < 0,263 maka distribusinya adalah platikurtik โ€ข Jika koefisien kurtosisnya = 0,263 maka distribusinya adalah mesokurtik โ€ข Jika koefisien kurtosisnya > 0,263 maka distribusinya adalah leptokurtik 1. Rumus Quartile Coefficient of kurtosis K = 1 2 ( ๐‘„3โˆ’ ๐‘„1) ๐‘ƒ90โˆ’ ๐‘ƒ10 Keterangan : Q1 = kuartil kesatu Q3 = kuartil ketiga P10 = Persentil ke 10 P90 = Persentil ke 90 Jika koefisien kurtosisnya < 0,263 maka distribusinya adalah platikurtis Jika koefisien kurtosisnya = 0,263 maka distribusinya adalah mesokurtis Jika koefisien kurtosisnya > 0,263 maka distribusinya adalah leptokurtis Leptokurtis Platikurtis Mesokurtis SIMETRIS MEAN = MEDIAN = MODUS
  51. 51. 51 2. Rumus Moment coefficient of Kurtosis Data tidak berkelompok: โˆ4= 1 ๐‘› โˆ‘ (๐‘ฅ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅฬ…) 4 ๐‘†4 ๐‘› ๐‘–=1 Data berkelompok: โˆ4= 1 ๐‘› โˆ‘ ๐‘“๐‘– ( ๐‘ฅ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅฬ…)4๐‘› ๐‘–=1 ๐‘†4 atau โˆ4= ๐‘ƒ4 ๐‘ 4 { โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘๐‘– 4๐‘˜ ๐‘–=1 ๐‘› โˆ’ 4 ( โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘๐‘– 3๐‘˜ ๐‘–=1 ๐‘› ) ( โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘๐‘– ๐‘˜ ๐‘–=1 ๐‘› ) + 6 ( โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘๐‘– 2๐‘˜ ๐‘–=1 ๐‘› )( โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘๐‘– ๐‘˜ ๐‘–=1 ๐‘› ) 2 โˆ’ 3( โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘๐‘– ๐‘˜ ๐‘–=1 ๐‘› ) 4 } Keterangan : โˆ4 = koefisien kurtosis ๐‘ฅ๐‘– = nilai data ke-i ๐‘ฅฬ… = nilai rata-rata ๐‘“๐‘– = frekuensi kelas ke-i n = banyak data S = simpangan standar ๐‘๐‘– = skala c untuk kelas ke-i Derajat keruncingan lebih mudah dihitung dengan memakai cara transformasi, yaitu ; Jika ฮฑ4 > 3, leptokurtis Jika ฮฑ4 = 3, mesokurtis Jika ฮฑ4 < 3, platikurtis Contoh 4 Pengadaan Buku Pelajaran Matematika (dalam satuan buah) dari 40 sekolah di Kecamatan Kalidoni sebagai berikut: 138 164 150 132 144 125 149 157 146 158 140 147 136 148 152 144
  52. 52. 52 168 126 138 176 163 119 154 165 146 173 142 147 135 153 140 135 161 145 135 142 150 156 145 128 (data buatan) Berdasarkan data berkelompok diatas, hitunglah tingkat keruncingan grafik dengan menggunakan rumus Moment coefficient of Kurtosis ! Jawab: Pengadaan buku matematika dari 40 sekolah di kecamatan Kalidoni ๐‘† = ๐‘ƒ ๐‘› โˆšโˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘๐‘– 2 โˆ’ (โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘๐‘– ) 2๐‘˜ ๐‘–=1 ๐‘† = 9 40 โˆš40(95)โˆ’ (9) 2 S = 0,225 . 60,98 = 13,72 โˆ4= ๐‘ƒ4 ๐‘ 4 { โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘๐‘– 4๐‘˜ ๐‘–=1 ๐‘› โˆ’ 4 ( โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘๐‘– 3๐‘˜ ๐‘–=1 ๐‘› ) ( โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘๐‘– ๐‘˜ ๐‘–=1 ๐‘› ) + 6 ( โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘๐‘– 2๐‘˜ ๐‘–=1 ๐‘› )( โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘๐‘– ๐‘˜ ๐‘–=1 ๐‘› ) 2 โˆ’ 3( โˆ‘ ๐‘“๐‘– ๐‘๐‘– ๐‘˜ ๐‘–=1 ๐‘› ) 4 } โˆ4 = 94 13,724 { 563 40 โˆ’ 4( โˆ’39 40 )( โˆ’9 40 ) + 6( 95 40 )( โˆ’9 40 ) 2 โˆ’ 3 ( โˆ’9 40 ) 4 }
  53. 53. 53 โˆ4 = 6.561 35.433,68 {14,075 โˆ’ 4(โˆ’0,975)(โˆ’0,225) + 6 (2,375)(โˆ’0,225)(โˆ’0,225)โˆ’ 3(0,0020)} โˆ4= 0,185 (14,075 โ€“ 0,876 +0,72 โ€“ 0,0078) โˆ4= 2,57 Nilai koefisien keruncingan โˆ4= 2,57 ; โˆ4< 3, maka kurvanya agak datar atau platikurtis
  54. 54. 54 DISTRIBUSI BINOMIAL DAN POISSON
  55. 55. 55 Distribusi Binomial Distribusi ini ditemukan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan Swiss bernama Jacob Bernauli. Oleh karena itu distribusi binomial ini dikenal juga sebagai distribusi bernauli. Suatu percobaan binomial ialah yang memenuhi persyaratan berikut : 1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang 2. Tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokkan sukses atau gagal. 3. Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya. 4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya Ciri-ciri Distribusi Binomial. Distribusi Binomial dapat diterapkan pada peristiwa yang memiliki ciri-ciri percobaan Binomial atau Bernoulli trial sebagai berikut : 1. Setiap percobaan hanya mempunyai 2 kemungkinan hasil : sukses(hasil yang dikehendakai, dan gagal(hasil yang tidak dikehendaki) 2. Setiap percobaan beersifat independen atau dengan pengembalian 3. Probabilita sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p. Sedangkan probabilita gagal dinyatakan dengan q, dan jumlah p dan q harus sama dengan satu. 4. Jumlah percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya. Penerapan Distribusi Binomial Beberapa kasus dimana distribusi normal dapat diterapkan yaitu: 1. Jumlah pertanyaan dimana anda dapat mengharapkan bahwa terkaan anda benar dalam ujian pilihan ganda 2. Jumlah asuransi kecelakaan yang harus dibayar oleh perusahaan asuransi. 3. Jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket selama satu musim Distribusi binomial ๐‘( ๐‘ฅ) = ๐‘ƒ( ๐‘‹ = ๐‘ฅ) = ( ๐‘ ๐‘ฅ ) ๐œ‹(1 โˆ’ ๐œ‹) ๐‘โˆ’๐‘ฅ Dimana ๐‘:banyaknya percobaan A ๐œ‹:peuang kejadian A (1 โˆ’ ๐œ‹)=banyak kejadian bukan A
  56. 56. 56 Distribusi binom mempunyai parameter, diantaranya yang akan kita gunakan ialah rata- rata dan simpangan baku. Rumusnya adalah :๐œ‡ = ๐‘๐œ‹ dan ๐œŽ = โˆš ๐‘๐œ‹(1 โˆ’ ๐œ‹) Contoh Soal: Probabilitas seorang bayi tidak di imunisasi polio adalah 0,2 (p). Pada suatu hari di Puskesmas "X" ada 4 orang bayi. Hitunglah peluang dari bayi tersebut 2 orang belum imunisasi polio. Jadi, di dalam kejadian binomial ini dikatakan b (r=2, n=4, p=0,2 q= 0,8) Penyelesaian : Katakanlah bayi tersebut A,B,C,D. Dua orang tidak diimunisasi mungkin adalah A&B, A&C, A&D, B&C, B&D, C&D. Rumus : nPr = n! Pr qn-r r! (n-r)! = 4! (0,2)2 (0,8)2 2! (4-2)! = 0,154 Selain memakai rumus binomial, permasalahan ini juga dapat dikerjakan dengan memakai tabel binomial, caranya adalah dengan menentukan n.misalnya dari contoh soal adalah 4, dilihat pada kolom pertama kolom kedua adalah kemungkinan x, dalam permasalahan ini adalah r=2. p dilihat pada baris paling atas dalam hal ini p=0,2, ditarik garis dari p=20 sampai ke n = 4dan r = 2, ditabel didapatkan 0,973. Ini adalah peluang kumulatif dari p (r=0) + p (r=1) + p (r=2). Jadi kalau mau mendapatkan p(r=2) saja, maka 0,973-0,819 = 0,154 Contoh soal: 1. Kepala bagian produksi PT SAMSUNG melaporkan bahwa rata - rata produksi televisi yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak sebanyak 4 buah televisi, berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2 ? Jawab : p ( rusak ) = 0,15, q ( baik ) = 0,85, x = 2, n = 4 Rumus : b ( x ; n ; p ) = nCx px q n-x b (x = 2 ; 4 ; 0,12 ) = 4C2 (0,15)2 (0,85)(4 โ€“ 2) = 0,0975 Analisis : Dengan jumlah 0,0975 atau 9,75% dari sampel acak sebanyak 4 buah televisi dan rata โ€“ rata produk rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15%, dapat dikatakan kecil. Namun pada kenyataannya, meskipun dilihat secara persentase kecil (hanya 9,75%)
  57. 57. 57 yang namanya produk rusak harus tetap dikurangi atau bahkan dihilangkan untuk mengurangi kerugian. Distribusi Poisson Distribusi poisson termasuk salah satu distribusi probabilitas dengan variabel random deskrit. Distribusi ini digunakan pada n yang kecil.oleh karena itu sering disebut hukum nilai kecil. Distribusi poison mula-mula ditemukan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan Prancis bernama Simeon Denis Poisson (1781-1849). Distribusi poisson sering digunakan pada penelitian operasional untuk menentukan probabilitas peristiwa yang jarang terjadi dala periode pendek. Di bidang kedokteran sering kita jumpai peristiwa dengan variabel random yang jarang terjadi. Misal nya, jumlah kunjungan penderita unit gawat darurat dalam waktu 3 jam ataupun mendapatkan kasus yang jarang dijumpai walaupun dilakukan dengan sampel yang besar. Dalam hal demikian penggunaan distribusi binomial kurang tepat. Untuk menentukan probabilitas dengan menggunakan distribusi poisson harus mengikuti beberapa syarat sebagai berikut: 1.Terjadinya event sangat jarang dalam periode pendek. 2.Probabilitas setiap periode selalu konstan. 3.Untuk terjadinya beberapa event dalam periode pendek hampir mendekati nol 4.Merupakan event yang independent. Ciri-ciri distribusi Poisson โ€ข Percobaan di satu selang tertentu tak bergantung pada selang lain. โ€ข Peluang terjadinya satu percobaan singkat atau pada daerah yang kecil(jarang terjadi) โ€ข Peluang lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktuyang singkat tersebut, dapat diabaikan. Rumus: , ! )P( x e X X ๏ฌ ๏ฌ ๏€ญ ๏€ฝ
  58. 58. 58 P(X) = probabilitas terjadinya event x! = x faktorial ฮป = rata-rata terjadinya event per periode tertentu e = 2,71828 e- ฮป = dapat dilihat pada tabel poison contoh : Misalkan diketahui bahwa disuatu daerah terdapat 1,5% anak balita yang menderita gizi kurang.kita ambil sampel sebanyak 300 anak. Berapa probabilitas untuk mendapatkan anak dengan gizi kurang? Misalkan x adalah jumlah anak dengan gizi kurang dalam 300 anak maka; ฮป = 1,5% x 300 =4,5 bila tidak terdapat anak dengan gizi kurang maka : P(0) = (4,5)0 x e-4,5 = 0,0111 Dan probabilitas diperoleh anak dengan gizi kurang adalah 1-0,0111= 0,9889 Pendekatan distribusi binomial ke distribusi poison. Telah kita pelajari bersama bahwa pemakaian rumus distribusi binomial sangat melelahkan , untuk menghindarkan perhitungan yang melelahkan dapat digunakan rumus distribusi poison jika n cukup besar dengan probabilitas sangat kecil. Pendekatan binomial ke poison dapat terjadi dengan memuaskan jika n sama dengan atau lebih besar dari 20 dan probabilitas lebih kecil atau sama dengan 0,05. Rumus : , ! )( )P( x enp X npX ๏€ญ ๏€ฝ Contoh: dari berbagai laporan diketahui bahwa terjadinya syok anafilaktik setelah mendapatkan suntikan penisilan adalah 0,001. Bila kita ingin menyuntikkan penisilin kepada 200 orang, berapa probabilitas untuk terjadinya syok anafilaktik sebanyak 0,1,2 dan lebih dari 2. penyelesaian np = 200 x 0,001 = 0,2 P(0) = (0,2)0 (e-0,2)/ 0! = 0,8187
  59. 59. 59 P(1) = (0,2)1 (e-0,2)/ 1! = 0,16 P(2)= (0,2)2 (e-0,2)/ 2! = 0,01 P(>2)= 1- [ P(0)+P(1)+P(2)] = 1-[ 0,8187+0,16+0.01] =1-0,9887 = 0,0113 Dari hasil diatas dapat disimpulkan bahwa probabilitas terjadinya 2 atau lebih syok anafilaktik adalah sama dan makin besar probabilitas maka akan semakin kecil hasilnya atau praktis tidak terjadi syok anafilaktik pada penyuntikan 200 orang.
  60. 60. 60 DISTRIBUSI NORMAL DAN APLIKASINYA
  61. 61. 61 Distribusi Normal Dikenalnya distribusi normal diawali oleh kemajuan yang pesat dalam pengukuran pada abad ke 19. Pada waktu itu, para ahli matematika dihadapkan pada suatu tantangan mengenai fenomena variabilitas pengamat atau interna yang artinya bila seorang mengadakan pengukuran berulang-ulang maka hasilnya akan berbeda-beda. Yang menjadi pertanyaan adalah nilai manakah yang dianggap paling tepat dari semua hasil pengukuran tersebut. Maka kemudian berdasarkan kesepakatan maka nilai rata-rata dianggap paling tepat dan semua penyimpangan dari rata-rata dianggap suatu kesalahan atau error. Abraham de Moivre adalah yang pertama kali memperkenalkan distribusi normal ini dan kemudian dipopulerkan oleh Carl Fredreich Gauss. Sehingga nama lain distribusi ini adalah distribusi Gauss. Gauss mengamati hasil dari percobaan yang dlakukan berulang-ulang, dan dia menemukan hasil yang paling sering adalah nilai rata-rata. Penyimpangan baik ke kanan atau ke kiri yang jauh dari rata-rata, terjadinya semakin sedikit. Sehingga bila disusun maka akan terbentuk distribusi yang simetris. Pentingnya distribusi normal dalam statistika Satu-satunya distribusi probabilitas dengan variabel random kontinu adalah distribusi normal. Ada 2 peran yang penting dari distribusi normal : Memiliki beberapa sifat yang mungkin untuk digunakan sebagai patokan dalam mengambil suatu kesimpulan berdasarkan hasil sampel yang diperoleh. Pengukuran sampel digunakan untuk menafsirkan parameter populasi. Distribusi normal sangat sesuai dengan distribusi empiris, sehingga dapat dikatakan bahwa semua kejadian alami akan membentuk distribusi ini. Karena alasan inilah sehingga distribusi ini dikenal sebagai distribusi normal dan grafiknya dikenal sebagai kurva normal atau kurva gauss.
  62. 62. 62 Ciri-ciri distribusi normal Distribusi normal mempunyai beberapa sifat dan ciri, yaitu: ๏‚ท Disusun dari variable random kontinu ๏‚ท Kurva distribusi normal mempunyai satu puncak (uni-modal) ๏‚ท Kurva berbentuk simetris dan menyerupai lonceng hingga mean, median dan modus terletak pada satu titik. ๏‚ท Kurva normal dibentuk dengan N yang tak terhingga. ๏‚ท Peristiwa yang dimiliki tetap independen. ๏‚ท Ekor kurva mendekati absis pada penyimpangan 3 SD ke kanan dan ke kiri dari rata-rata dan ekor grafik dapat dikembangkan sampai tak terhingga tanpa menyentuh sumbu absis. Distibusi normal standar Suatu distribusi normal tidak hanya memiliki satu kurva, tetapi merupakan kumpulan kurva yang mempunyai ciri-ciri yang sama.sehingga harus ditentukan 1 pegangan sebagai distribusi nprmal yang standar. Ada 2 cara untuk menentukan distribusi normal : 1. cara ordinat:
  63. 63. 63 Menggunakan rumus distribusi normal berikut : ๐‘“( ๐‘ฅ) = 1 ๐œŽโˆš2๐œ‹ ๐‘’ โˆ’ 1 2 ( ๐‘ฅโˆ’๐œ‡ ๐œŽ )2 ยต = rata-rata ฯƒ = simpang baku ฯ€ = 3,1416 (bilangan konstan) e = 2,7183 (bilangan konstan) X = absis dengan batas -โˆž < X < ฯ€ Bila nilai ยต dan ฯƒ tetap maka setiap nilai x akan menghasilkan nilai y sehingga bila nilai x dimasukkan dalam perhitungan berkali-kali dengan julah tak terhingga maka akan dihasilkan suatu kurva distribusi normal. Terdapat banyak kurva normal dengan bentuk yang berlainan, tergantung dari besar dan kecilnya ฯƒ. ๏‚ท Bila ฯƒ besar, kurva yang terbentuk mempunyai puncak yang rendah, sebaliknya bila ฯƒ kecil akan menghasilkan puncak kurva yang tinggi. ๏‚ท Dapat pula bentuk kurva normal dengan ยต yang berbeda atau dengan ยต dan ฯƒ yang berbeda
  64. 64. 64 2. Cara luas Kurva normal adalah kurva yang simetris, yang berarti bahwa kurva ini akan membagi luas kurva menjadi 2 bagian yang sama.Seluruh luas kurva = 1 atau 100% dan rata-rata (ยต) membagi luas kurva menjadi 2 bagian yang sama.Berarti luas tiap belahan adalah 50%. Setiap penyimpangan rata-rata dapat ditentukan presentase terhadap seluruh luas kurva penyimpangan ke kanan dan ke kiri : -.penyimpangan 1 SD = 68,2% dari seluruh luas kurva. -.penyimpangan 2 SD = 95,5% dari seluruh luas kurva. -.penyimpangan 3 SD, = 99,7% dari seluruh luas kurva.
  65. 65. 65 Proses standarisasi dapat dilakukan dengan transformasi rumus (kurva normal standar) ๐‘ = x โˆ’ ยต ฯƒ x = nilai variable random ยต = rata-rata distribusi ฯƒ = simpang baku Z = nilai standar, yaitu besarnya penyimpangan suatu nilai terhadap rata-rata yang dinyatakan dari unit SD. Standarisasi penting dilakukan karena ada variabel random yang memiliki satuan yang berbeda-beda, seperti cm, kg, bulan. Untuk memudahkan perhitungan dapat digunakan sebuah table yang menunjukkan luas area di bawah kurva normal antara nilai rata-rata dan suatu nilai variable random yang dinyatakan dalam unit SD. Misalnya : luas 95% adalah 1,96 SD. Untuk transformasi distribusi normal menjadi distribusi normal standar dinyatakan ยต = 0 dan ฯƒ = 1.
  66. 66. 66 Sifat Distribusi Normal: 1. Grafiknya selalu terletak di atas sumbu x 2. Bentuk grafiknya simetris terhadap x=ยต 3. modus tercapai pada ยต= 0,3989/ ๏ณ 4. grafiknya asymptotis terhadap sumbu x 5. Luas daerah grafik sama dengan satu satuan persegi Untuk setiap nilai ยต dan ๏ณ sifat-sifat diatas selalu dipenuhi hanya bentuknya saja berubah. Untuk nilai ๏ณ yang besar, kurva semakin rendah, untuk nilai ๏ณ yang kecil, kurva semakin tinggi. Distribusi Normal Baku adalah distribusi normal dengan nilai rata-rata ยต = 0 dan simpangan baku ๏ณ = 1. fungsi desitisnya dinyatakan dalam peubah acak z seperti : ๏€จ ๏€ฉ ๏‚ฅ๏‚ฃ๏‚ฃ๏‚ฅ๏€ญ๏€ฝ ๏€ญ zezf z N 2 2 2 1 1,0; ๏ฐ Distribusi Normal dapat diubah ke dalam bentuk distribusi normal baku dengan transformasi:
  67. 67. 67 ๏ณ ๏ญ๏€ญ ๏€ฝ x Z bagi distribusi Populasi dan ๐‘ = ๐‘ฅโˆ’ ๐‘ฅฬ… ๐‘  Penggunaan Tabel Distribusi Normal Tabel distribusi normal standar terdiri dari kolom dan baris. Kolom paling kiri menunjukkan nilai Z, tertera angka 0 sampai 3 dengan satu desimal dibelakangnya. Desimal berikutnya terletak pada baris paling atas dengan angka dari 0 sampai 9. Misalnya dari hasil perhitungan diperoleh nilai Z = 1,96 ๏‚ท Maka di kolom kiri kita cari nilai1,9 dan baris atas kita cari angka 6 ๏‚ท Dari kolom 6 bergarak ke bawah, hingga pertemuan titik yang menunjukkan angka 0,4750. ๏‚ท Berarti luas daerah di dalam kurva normal antara rata-rata dengan 1,96 SD ke kanan adalah 0,475. ๏‚ท Karena luas kurva ke kanan dan ke kiri sama, maka luas penyimpangan 1,96 ke kanan dan ke kiri dari rata-rata adalah 0,95 (95%). Aplikasi distribusi normal ๏ถ Sebagai contoh aplikasi distribusi normal, dilakukan suatu evaluasi thd pengobatan TB menggunakan Rifampicin dengan rata-rata kesimpulan 200 hari dan standar deviasinya sebesar 10. Berapakah probabilitas kesembuhan antara 190 dan 210? Jawab : Mula-mula dihitung nilai Z =210 Z= (210-200)/10 = 1=0,3413 jadi probabilitas kesembuhan 190 sampai 210 = 0,3413+0,3413=0,6826=68,26
  68. 68. 68
  69. 69. 69 UJI NORMALITAS DAN HOMOGENITAS
  70. 70. 70 UJI NORMALITAS Uji normalitas berguna untuk menentukan data yang telah dikumpulkan berdistribusi normal atau diambil dari populasi normal Uji statistik normalitas yang dapat digunakan diantaranya : - Chi-Square - Kolmogorov Smirnov, - Lilliefors - Shapiro Wilk. METODE CHI SQUARE (UJI GOODNESS OF FIT DISTRIBUSI NORMAL) Metode Chi-Square atau X2 untuk Uji Goodness of fit Distribusi Normal menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan data observasi tiap kelas dengan nilai yang diharapkan. ๐‘‹2 = โˆ‘ (๐‘‚๐‘– โˆ’ ๐ธ๐‘–) ๐ธ๐‘– Keterangan : X2 = Nilai X2 Oi = Nilai observasi Ei = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal dikalikan N (total frekuensi) (pi x N) N = Banyaknya angka pada data (total frekuensi) PersyaratanMetode Chi Square (Uji Goodness of fit Distribusi Normal) โ€ข Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dalam tabel distribus frekuensi. โ€ข Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar ( n > 30 ) Signifikansi Signifikansi uji, nilai X2 hitung dibandingkan dengan X2 tabel (Chi-Square). Jika nilai X2 hitung < nilai X2 tabel, maka Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai X2 hitung > nilai X2 tabel, maka maka Ho ditolak ; Ha diterima.
  71. 71. 71 Contoh : DIAMBIL TINGGI BADAN MAHASISWA DI SUATU PERGURUAN TINGGI TAHUN 2014 Selidikilah dengan ฮฑ = 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi normal ? (Mean = 157.8; Standar deviasi = 8.09) Penyelesaian: 1. Hipotesis : Ho : Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal H1 : Populasi tinggi badan mahasiswa tidak berdistribusi normal 2. Nilai ฮฑ Nilai ฮฑ = level signifikansi = 5%= 0,05 3. Rumus Statistik penguji TINGGI BADAN JUMLAH 140 โ€“ 144 7 145 โ€“ 149 10 150 โ€“ 154 16 155 โ€“ 159 23 160 โ€“ 164 21 165 โ€“ 169 17 170 โ€“ 174 6 JUMLAH 100
  72. 72. 72 4. Derajat Bebas Df = ( k =panjang kelas) โ€“ 3 ) = ( 5 โ€“ 3 ) = 2 5. Nilai tabel Nilai tabel ; ฮฑ = 0,05 ; df = 2 ; = 5,991. Tabel (Chi-Square) 6. Daerah penolakan - Menggunakan gambar - Menggunakan rumus |0,427 | < |5,991| ; berarti Ho diterima,Ha ditolak 7. Kesimpulan Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal ฮฑ = 0,05.
  73. 73. 73 METODE LILIIEFORS ((N KECIL DAN N BESAR) Metode Lilliefors menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel distribusi frekuensi. Data ditransformasikan dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal sebagai probabilitas komulatif normal Langkah-langkah: 1. Urutkan data sampel dari yang terkecil ke terbesar (X1, X2,, X3, ..Xn) 2. Hitung rata-rata nilai skor sampel secara keseluruhan menggunakan rata-rata tunggal. 3. Hitung standar deviasi nilai skor sampel menggunakan standar deviasi tunggal 4. Hitung Zi dengan rumus s XX Z i i ๏€ญ ๏€ฝ 5. Tentukan nilai tabel Z (lihat lampiran tabel z) berdasarkan nilai Zi , dengan mengabaikan nilai negatifnya. 6. Tentukan besar peluang masing-masing nilai z berdasarkan tabel z (tuliskan dengan simbol F (zi). Yaitu dengan cara nilai 0,5- nilai tabel Z apabila nilai zi negatif (-), dan 0,5 + nilai tabel Z apabila nilai zi positif (+) 7. Hitung frekuensi kumulatif nyata dari masing-masing nilai z untuk setiap baris, dan sebut dengan S(zi) kemudian dibagi dengan jumlah number of cases (N) sampel. 8. Tentukan nilai Lo (hitung) = I F(zi) โ€“ S(zi) I dan bandingkan dengan nilai Ltabel (tabel nilai kritis untuk uji liliefors). Apabila Lo (hitung) < Ltabel maka sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal Persyaratan โ€ขData berskala interval atau ratio (kuantitatif) โ€ขData tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi โ€ขDapat untuk n besar maupun n kecil. Signifikansi Signifikansi uji, nilai | F (x) - S (x) | terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Lilliefors. Jika nilai | F (x) - S (x) | terbesar < nilai tabel Lilliefors, maka Ho diterima ; Ha ditolak.
  74. 74. 74 Jika nilai | F(x) - S(x) | terbesar > dari nilai tabel Lilliefors, maka Ho ditolak ; Ha diterima. Tabel Lilliefors pada lampiran, Tabel Harga Quantil Statistik Lilliefors Distribusi Normal CONTOH Diketahui data Hasil Ujian Akhir Semester dari 30 Mahasiswa Pendidikan Matematika, apakah data tersebut normal atau tidak? Responden Nilai (X) 1 50 2 54 3 63 4 68 5 71 6 75 7 72 8 69 9 55 10 61 11 64 12 71 13 68 14 75 15 55 16 72 17 55 18 60 19 69
  75. 75. 75 20 78 21 75 22 77 23 51 24 61 25 65 26 69 27 72 28 60 29 67 30 52 JUMLAH 1954 Untuk mencari normalitas dengan uji liliefors: 1. Tahap pertama cari rata-rata dan standar deviasi data tunggal dengan frekuensi lebih dari satu 2. Rata-rata = 133,65 30 1954 2 ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ ๏ƒฅ ๏ƒฅ f fx x Standar deviasi 224,865,67 30 45,2029 2 ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ ๏ƒฅ ๏ƒฅ f fx s
  76. 76. 76
  77. 77. 77 METODE KOLMOGOROV SMIRNOV Konsep dasar dari uji normalitas Kolmogorov Smirnov adalah dengan membandingkan distribusi data (yang akan diuji normalitasnya) dengan distribusi normal baku. Distribusi normal baku adalah data yang telah ditransformasikan ke dalam bentuk Z- Score dan diasumsikan normal. Jadi sebenarnya uji Kolmogorov Smirnov adalah uji beda antara data yang diuji normalitasnya dengan data normal baku. PERSYARATAN a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif) b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi c. Dapat untuk n besar maupun n kecil. SIGINIFIKANSI Signifikansi uji, nilai |FT โ€“ FS| terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Kolmogorov Smirnov. Jika nilai |FT โ€“ FS| terbesar <nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai |FT โ€“ FS| terbesar > nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho ditolak ; Ha diterima. Tabel Kolmogorov Smirnov pada lampiran 5, Harga Quantil Statistik Kolmogorov Distribusi Normal. Contoh: Rembang diguyur hujan hampir setiap hari selama musim penghujan ini. Olehkarenanya, Bupati Rembang ingin mengetahui bagaimana distribusi curah hujan yang ada untuk mengantisipasi terjadinya banjir dadakan di daerahnya. Dari catatan Badan Meteorologi, Klimatologi, dan Geologi (BMKG) kabupaten Rembang, diperoleh data curah hujan secara random sebagai berikut (dalam mm): 2,6 2,2 1,7 1,9 0,9 2,4 1,1 1,5 0,7 0,8 3,2 1,9 1,4 2,5 2,3
  78. 78. 78 0,9 2,8 1,6 2,3 2,1 3,3 2,4 2,2 3,0 2,5 Selidiki apakah data curah hujan tersebut berdistribusi normal ataukah tidak dengan ฮฑ = 5% dengan menggunakan uji Kolmogorv Smirnov . Jawab : 1) Ho : data berdistribusi normal H1 : data tidak berdistribusi normal 2) ฮฑ = 0,05 3) Statistik Uji 5) Keputusan Terima H0, karena 0,0906 < 2,640 6) Kesimpulan
  79. 79. 79 Dengan tingkat kepercayaan 95% disimpulkan bahwa data curah hujan tersebut berdistribusi normal.
  80. 80. 80 METODE SHAPIRO WILK Tabel Shapiro Wilk PERSYARATAN โ€ข Data berskala interval atau ratio (kuantitatif) โ€ข Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi โ€ข Data d
  81. 81. 81
  82. 82. 82 SIGNIFIKANSI Signifikansi dibandingkan dengan tabel Shapiro Wilk. Signifikansi uji nilai T3 dibandingkan dengan nilai tabel ShapiroWilk, untuk dilihat posisi nilai probabilitasnya (p). Jika nilai p > 5%, maka Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai p < 5%, maka Ho ditolak ; Ha diterima. Tabel Harga Quantil Statistik Shapiro-Wilk Distribusi Normal. Jika digunakan rumus G, maka digunakan tabel 2 distribusi normal. Contoh soal: Pemilik โ€œUsaha Pembuatan Tempe Murah Rejekiโ€ selalu mencatat tempe yang dapat diproduksinya setiap hari. Dia ingin mengetahui apakah produksi tempenya tersebut berdistribusi normal atau tidak. Kemudian didapatkan sampel dengan data sebagai berikut (dalam kg): 58, 44, 50, 69, 42, 54, 59, 47, 48, 68, 59, 45, 41, 45, 63, 55, 57, 47, 65, 56, 53, 46, 55, 45, 49, 54, 66, 57. Dengan menggunakan uji normalitas Shapiro Wilk, selidikilah data produksi tempe tersebut, apakah data tersebut berdistribusi normal pada ฮฑ = 5% ?
  83. 83. 83 1) Ho : data berdistribusi normal H1 : data tidak berdistribusi normal 2) ฮฑ = 0,05 3) Statistik uji 4) Perhitungan statistik uji
  84. 84. 84
  85. 85. 85 5) Keputusan Terima H0, karena nilai ๏ถ Nilai T3 terletak diantara 0,936 dan 0,966, atau nilai hitung terletak diantara 0,10 dan 0,50, yang diatas nilai ฮฑ (0,05) berarti Ho diterima. ๏ถ Atau dapat dikatakan, karena 0,9470 > 0,9240 maka terima H0. 6) Kesimpulan Dengan tingkat kepercayaan 95%, disimpulkan bahwa data produksi tempe per hari tersebut berdistribusi normal.
  86. 86. 86 UJI HOMOGENITAS Homogenitas adalah pengujian mengenai sama tidaknya variansi-variansi dua buah distribusi atau lebih. Uji homogenitas yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah Uji Homogenitas Variansi dan Uji Burlett. Uji homogenitas dilakukan untuk mengetahui apakah data dalam variabel X dan Y bersifat homogen atau tidak. UJI HOMOGINITAS VARIANS โ€ข Homogenitas variansi pada populasi diuji melalui sampel acak โ€ข Apabila hanya terdapat dua populasi maka kita dapat menggunakan metoda uji perbandingan atau selisih dua variansi โ€ข Apabila terdapat lebih dari dua populasi, Uji homoginitas yang dipakai adalah uji homogenitas Bartlett atau Uji Cochran. Uji Homogenitas varians dua kelompok TUJUAN: Untuk mengetahui apakah dua kelompok distribusi data memiliki varians yang homogin ataukah heterogin ๐น = ๐‘†1 2 ๐‘†2 2 S1ยฒ >>> varians yang lebih besar S2ยฒ >>> varians yang lebih kecil db = n1 โ€“ 1 dan n2 โ€“ 1 Ho: varians distribusi homogin KETENTUAN: Konsultasikan dengan tabel F. Jika Fh โ‰ค Ft pada taraf signifikansi tertentu (0,05 atau 0,01), maka varians homogin.
  87. 87. 87 STATISTIK UJI BARTLETT kn sn s knnk h snsknq h q ii p i iip k ๏€ญ ๏€ญ ๏€ฝ ๏ƒท๏ƒท ๏ƒธ ๏ƒถ ๏ƒง๏ƒง ๏ƒจ ๏ƒฆ ๏€ญ ๏€ญ ๏€ญ๏€ญ ๏€ซ๏€ฝ ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ ๏€ฝ ๏ƒฅ ๏ƒฅ ๏ƒฅ ๏€ญ 2 2 22 2 )1( )1( 1 1 1 )1(3 1 1 log)1(log)( 3026,2๏ฃ k = banyaknya kelompok ni = banyaknya data pada kelompok ke-I n = banyaknya seluruh data s2 i = variansi sampel pada kelompok ke-I Statistik uji Bartlett (distribusi probabilitas ๏ฃ2) Pengujian homoginitas dilakukan menurut langkah โ€ข Rumuskan hipotesis statistika โ€ข Data sampel acak โ€ข Distribusi probabilitas pensampelan โ€ข Statistik uji Bartlett โ€ข Kriteria pengujian โ€ข Keputusan Dalam hal ini distribusi probabilitas pensampelan adalan distribusi probabilitas Khi-kuadrat dengan derajat kebebasan db = k ๏€ญ 1 Contoh
  88. 88. 88 Pada taraf signifikansi 0,05, uji homogenitas variansi populasi jika sampel acak adalah A B C 4 5 8 7 1 6 6 3 8 6 5 9 4 3 5 ๏‚ท Hipotesis H0 : ๏ณ2 A = ๏ณ2 B = ๏ณ2 C H1 : Ada yang beda ๏‚ท Sampel nA = 4 nB = 6 nC = 5 s2 A = 1,583 s2 B = 2,300 s2 C = 2,700 n = 4 + 6 + 5+ = 15 k = 3 ๏‚ท DP Penyampelan DP Pensampelan adalah DP chi-kwadrat Derajat kebebasan db = k ๏€ญ 1 = 3 ๏€ญ 1 = 2 ๏‚ท Statistik uji Bartlett 254,2 315 )700,2)(4()300,2)(5()583,1)(3( )1( 2 2 ๏€ฝ ๏€ญ ๏€ซ๏€ซ ๏€ฝ ๏€ญ ๏€ญ ๏€ฝ ๏ƒฅ kn sn s ii p
  89. 89. 89 213,0 1167,1 1034,0 3026,23026,2 1167,1 12 1 4 1 5 1 3 1 )2)(3( 1 1 1 1 1 )1(3 1 1 1034,0 )700,2log4300,2log5583,1log3(254,2log)12( log)1(log)( 2 22 ๏€ฝ ๏€ฝ๏€ฝ ๏€ฝ ๏ƒท ๏ƒธ ๏ƒถ ๏ƒง ๏ƒจ ๏ƒฆ ๏€ญ๏€ซ๏€ซ๏€ซ๏€ฝ ๏ƒท๏ƒท ๏ƒธ ๏ƒถ ๏ƒง๏ƒง ๏ƒจ ๏ƒฆ ๏€ญ ๏€ญ ๏€ญ๏€ญ ๏€ซ๏€ฝ ๏€ฝ ๏€ซ๏€ซ๏€ญ๏€ฝ ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ ๏ƒฅ ๏ƒฅ h q knnk h snsknq i iip ๏ฃ ๏‚ท Kriteria pengujian Taraf signifikansi ๏ก = 0,05 DP khi-kuadrat dengan ๏ฎ = 3 ๏€ญ 1 = 2 ๏‚ท Nilai kritis ๏ฃ2 (0,95)(2) = 5,991 Tolak H0 jika ๏ฃ2 > 5,991 Terima H0 jika ๏ฃ2 ๏‚ฃ 5,991 ๏‚ท Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0
  90. 90. 90 UJI HIPOTESIS
  91. 91. 91 PengertianUji Hipotesis Hipotesis Statistik adalah pernyataan atau dugaan sementara mengenai satu atau lebih populasi. Pengujian hipotesis adalah suatu prosedur yang dilakukan dengan tujuan memutuskan apakah menerima atau menolak hipotesis mengenai paramater populasi. Pengujian hipotesis berhubungan dengan penerimaan atau penolakan suatu hipotesis. Kebenaran (benar atau salahnya ) suatu hipotesis tidak akan pernah diketahui dengan pasti, kecuali kita memeriksa seluruh populasi. Tapi tidak mungkin bahwa kita bisa memeriksa seluruh populasi. Kita dapat mengambil contoh acak, dan menggunakan informasi (atau bukti) dari contoh itu untuk menerima atau menolak suatu hipotesis. Contoh hipotesis: 1. Peluang Dewi diterima di Universitas Sriwijaya melalui tes SBMPTN adalah 0,5 2. 30% orang tua mahasiswa Fakultas Ekonomi Universitas Sriwijyaya termasuk golongan A 3. Rata-rata nilai ujian semester kelas VII SMPN 3 OKU 76,8 Jenis โ€“ Jenis Pengujian Hipotesis Berdasarkan Jenis Parameternya 1. Pengujian Hipotesis tentang rata-rata Pengujian hipotesis tentang rata-rata adalah pengujian hipotesis mengenai rata-rata populasi yang didasarkan atas informasi sampelnya. Contoh: ๏ฝ Pengujian hipotesis satu rata-rata ๏ฝ Pengujian hipotesis beda dua rata-rata ๏ฝ Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata 2. Pengujian hipotesis tentang proporsi Pengujian hipotesis tentang proporsi adalah pengujian hipotesis mengenai proporsi populasi yang didasarkan atas informasi (data) sampelnya. Contoh: ๏ฝ Pengujian hipotesis satu proporsi ๏ฝ Pengujian hipotesis beda dua proporsi ๏ฝ Pengujian hipotesis beda tiga proporsi
  92. 92. 92 3. Pengujian hipotesis tentang varians Pengujian hipotesis tentang varians adalah pengujian hipotesis mengenai varians populasi yang didasarkan atas informasi sampelnya. Contoh: ๏ฝ Pengujian hipotesis tentang satu varians ๏ฝ Pengujian hipotesis tentang kesamaan dua varians Berdasarkan Jenis Distribusinya: 1. Pengujian hipotesis dengan distribusi Z Pengujian hipotesis dengan distribusi Z adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi Z sebagai uji statistik. Dimana tabel pengujiannya disebut tabel normal standar. Hasil uji statistik ini kemudian dibandingkan dengan nilai dalam tabel untuk menerima atau menolak hipotesis nol () yang dikemukakan. Contoh: ๏ฝ Pengujian hipotesis satu dan beda dua rata-rata sampel besar ๏ฝ Pengujian hipotesis satu dan beda dua proporsi 2. Pengujian hipotesis dengan distribusi t (t-student) Pengujian hipotesis dengan distribusi t adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi t sebagai uji statistik. Dimana tabel pengujiannya disebut t-student. Hasil uji statistiknya kemudian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabel untuk menerima atau menolak hipotesis nol () yang dikemukakan. Contoh: ๏ฝ Pengujian hipotesis rata-rata (satu dan beda dua rata-rata) sampel kecil. 3. Pengujian hipotesis dengan distribusi (kai kuadrat) Pengujian hipotesis dengan distribusi (kai kuadrat) adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribuasi sebagai uji statistik. Tabel yang digunakan yaitu
  93. 93. 93 tabel . Hasil uji statistik kemuadian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabelnya untuk menerima atau menolak hipotesis nol yang dikemukakan. Contoh: ๏‚ท Pengujian hipotesis beda tiga proporsisi ๏‚ท Pengujian hipotesis independensi ๏‚ท Pengujian hipotesis kompatibilitas 4. Pengujian hipotesis dengan distribusi F (F-ratio) Pengujian hipotesis dengan distribusi F (F-ratio) adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi F (F-ratio). Tabel yang digunakan untuk pengujiannya disebut tabel F. Hasil uji statistiknya kemudian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabel untuk menerima atau menolak hipotesis nol yang dikemukakan. Contoh: ๏‚ท Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata ๏‚ท Pengujian hipotesis kesamaan dua varians Berdasarkan Jumlah Sampel: 1. Pengujian hipotesis sampel besar Pengujian hipotesis sampel besar adalah pengujian hipotesisi yang nenggunakan sampel lebih dari 30 2. Pengujian hipotesis sampel kecil Pengujian hipotesis sampel kecil adalah pengujian hipotesisi yang nenggunakan sampel kurang dari 30 Berdasarkan Arah atau Bentuk Formulasi Hipotesisnya 1. Pengujian hipotesis dua pihak (two tail test) Pengujian hipotesis dua pihak adalah pengujian hipotesis diaman hipotesis nol berbunyi โ€œsama denganโ€ dan hipotesis alternatifnya berbunyi โ€œtidak sama denganโ€. 2. Pengujian hipotesis pihak kiri atau sisi kiri Pengujian hipotesis pihak kiri adalah pengujian hipotesis dimana hipotesis nol berbunyi โ€œsama denganโ€ atau โ€œlebih besar atau sama denganโ€ dan hipotesis
  94. 94. 94 alternatifnya berbunyi โ€œlebih kecilโ€ atau โ€œlebih kecil atau sama denganโ€ . 3. Pengujian hipotesis pihak kanan atau sisi kanan Pengujian hipotesis pihak kanan adalah pengujian hipotesis nol berbunyi โ€œsama denganโ€ atau โ€œlebih kecil atau sama denganโ€ dan hipotesis alternatifnya berbunyi โ€œlebih besarโ€ atau โ€œlebih besar atau sama denganโ€. Macam-macam uji hipotesis 1. Hipotesis Deskriptif yaitu hipotesis yang tidak membandingkan atau menghubungkan dengan variabel lain. 2. Hipotesis Komparatif yaitu untuk memberikan jawaban pada permasalahan yang bersifat membedakan. 3. Hipotesis Asosiatif yaitu untuk memberikan jawaban pada permasalahan yang bersifat hubungan. 3 jenis Hipotesis Asosiatif: 1. Hipotesis hubungan simentris Yaitu hipotesis yang menyatakan hubungan bersifat kebersamaan antara dua variabel atau lebih, tetapi tidak menunjukkan sebab akibat. 2. Hipotesis hubungan sebab akibat (klausal) Yaitu hipotesis yang menyatakan hubungan bersifat mempengaruhi antara dua variabel atau lebih 3. Hipotesis hubungan Interaktif Yaitu hipotesis hubungan antara dua variabel atau lebih yang bersifat saling mempengaruhi. Prosedur pengujian hipotesis 1. Menentukan Formula Hipotesis Formula hipotesis dapat dibedakan atas dua jenis: ๏‚ท Hipotesis Nol
  95. 95. 95 Hipotesis Nol adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai suatu peryataan yang akan diuji. Disebut Hipotesis nol karena hipotesis tersebut tidak memiliki perbedaan atau perbedaannya nol dengan hipotesis sebenarnya. ๏‚ท Hipotesis alternatif atau hipotesis tandingan Hipotesis alternatif adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai lawan atau tandingan dari hipotesis nol. 2. Menentukan Taraf Nyata (Significant Level) Taraf nyata adalah besarnya taraf toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya. Taraf nyata dilambangkan dengan ฮฑ (baca: alpha), semakin tinggi taraf nyata yang digunakan, semakin tinggi pula penolakan hipotesis nol atau hipotesis yang diuji, padahal hipotesis nol benar. 3. Menentukan Kriteria Pengujian Kriteria penngujian adalah bentuk pembuatan keputusan dalam menerima atau menolak hipotesis nol dengan cara membandingkan ฮฑ tabel distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya, sesuai dengan bentuk pengujiannya. 4. Menentukan Nilai Uji Statistik Uji statistik merupakan rumusan-rumusan yang berhubungan dengan distribusi tertentu dalam pengujian hipotesis. Uji statistik merupakan perhitungan untuk menduga paramter data sampel yang diambil secara random dari sebuah populasi. 5. Membuat Kesimpulan Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam hal penerimaan atau penolakan hipotesis nol, sesuai dengan kriteria pengujiannya. Kesalahan dalam Menguji Hipotesis Ada dua macam kesalahan dalam pengujian hipotesis, yaitu: Apabila kita menyatakan diterima kemudian dibuktikan melalui penelitian kita menerimanya, maka kesimpulan yang dibuat adalah benar. 1. Apabila kita menyatakan diterima kemuadian dibuktikan melalui penelitian ditolak, maka kesimpulan yang diambil itu merupakan kesalahan yang disebut kesalahan model I (ฮฑ).
  96. 96. 96 Apabila kita tolak kemudian dibuktikan melalui penelitian menolaknya, maka kesimpulan yang dibuat adalah benar. 2. Apabila kita tolak kemudian dibuktikan melalui penelitian diterima, maka kesimpulan yang diambil itu merupakan kesalahan yang disebut kesalahan model II (ฮฒ)
  97. 97. 97 UJI HIPOTESIS SATU RATA โ€“ RATA
  98. 98. 98 Uji Hipotesis Satu Rata โ€“ Rata Sampel Besar Pada uji hipoteisis ini menggunakan distribusi uji Z karena sampel lebih besar dari 30. Langkah-langkah: 1. Formulasi hipotesis a) H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 H1 : ๏ญ ๏ญ๏€พ 0 b) H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 H1 : ๏ญ ๏ญ๏€ผ 0 c) H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 H1 : 0๏ญ๏ญ ๏‚น 2. Penentuan nilai taraf nyata dan nilai tabel uji Z Taraf nyata sesuai soal dan nilai Z sesuai tabel 3. Kriteria pengujian a) Untuk H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 dan H1 : ๏ญ ๏ญ๏€พ 0 H0 diterima jika ๏กzz ๏‚ฃ H0 ditolak jika z z๏€พ ๏ก b) Untuk H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 dan H1 : ๏ญ ๏ญ๏€ผ 0 H0 diterima jika ๏กzz ๏€ญ๏‚ณ H0 ditolak jika z z๏€ผ ๏€ญ ๏ก c) Untuk H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 dan H1 : 0๏ญ๏ญ ๏‚น H0 diterima jika 2/ 2/ ๏ก๏ก zzz ๏€ญ๏‚ฃ๏‚ฃ๏€ญ H0 ditolak jika z z๏€ผ ๏€ญ ๏ก 2 dan z z๏€พ ๏ก 2 4. Uji statistik z x n ๏€ฝ ๏€ญ ๏ญ ๏ณ 0 / 5. Kesimpulan
  99. 99. 99 Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan H0 Contoh: Dari 100 sekolah ternama di negara maju rata-rata menetapkan bayaran SPP $495 per bulan ,dengan simpangan baku = $45. Dengan taraf nyata 1% , ujilah : apakah rata-rata bayaran SPP sekolah ternama kurang dari $500 per bulan ? (Uji 2 arah, ๏ก/2 = 0.5%, statistik uji=z) Jawab : Diketahui: x = 495 s = 45 n=100 ๏ญ0 =500 ๏ก=1% 1. H0 : ๏ญ = 500 H1 : ๏ญ < 500 2* statistik uji : z ๏‚ฎ karena contoh besar 3* arah pengujian : pihak kiri 4* Taraf Nyata Pengujian = ๏ก = 1% = 0.01 , z0 01. = 2.33 5. kriteria pengujian ๏‚ฎ H0 diterima jika 33,2๏€ญ๏‚ณz H0 ditolak jika z < - 2.33 6. Statistik Hitung z x n ๏€ฝ ๏€ญ ๏ญ ๏ณ 0 / = 495 500 45 100 ๏€ญ / = ๏€ญ 5 4 5. = -1.11 7. Kesimpulan : z hitung = -1.11 ada di daerah penerimaan H0 H0 diterima,karena 33,2๏€ญ๏‚ณz yaitu z = -1,11, jadi rata-rata bayaran SPP sekolah ternama masih = $ 500 Uji Hipotesis Satu Rata โ€“ Rata Sampel Kecil Pada uji hipoteisis ini menggunakan distribusi uji t karena sampel lebih kecil dari 30. Lanhkah-langkah: 1. Formulasi hipotesis d) H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 H1 : ๏ญ ๏ญ๏€พ 0
  100. 100. 100 e) H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 H1 : ๏ญ ๏ญ๏€ผ 0 f) H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 H1 : 0๏ญ๏ญ ๏‚น 2. Penentuan nilai taraf nyata dan nilai tabel uji t Taraf nyata sesuai soal dan nilai t sesuai tabel, kemudian menentukan derajat kebebasan yaitu db = n -1 3. Kriteria pengujian a) Untuk H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 dan H1 : ๏ญ ๏ญ๏€พ 0 H0 diterima jika ),( ๏กdbtt ๏‚ฃ H0 ditolak jika t t db> )( ,๏ก b) Untuk H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 dan H1 : ๏ญ ๏ญ๏€ผ 0 H0 diterima jika );( ๏กdbtt ๏€ญ๏‚ณ H0 ditolak jika t t db< ๏€ญ ( ; )๏ก c) Untuk H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 dan H1 : 0๏ญ๏ญ ๏‚น H0 diterima jika ) 2 ,() 2 ,( ๏ก๏ก dbdb ttt ๏‚ฃ๏‚ฃ๏€ญ H0 ditolak jika t t db ) ๏€ผ ๏€ญ ( ,๏ก 2 dan t t db ) ๏€พ ( ;๏ก 2 4. Uji statistik ns x t / 0๏ญ๏€ญ ๏€ฝ 5. Kesimpulan Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan H0 contoh : Seorang pengawas menguji 25 guru di sebuah SMU negeri dan mendapatkan bahwa rata- rata penguasaan pekerjaan sebagai guru profesional adalah 22 bulan dengan simpangan baku = 4 bulan. Dengan taraf nyata 5% , ujilah : Apakah rata-rata penguasaan pekerjaan sebagai guru profesional tidak sama dengan 20 bulan?
  101. 101. 101 Jawab: Diketahui : x = 22 s = 4 n = 25 ๏ญ0 = 20 ๏ก = 5% 1. H0 : ๏ญ = 20 H1 : ๏ญ ๏‚น 20 2. statistik uji : t ๏‚ฎ karena contoh kecil 3. arah pengujian : 2 arah 4. Taraf Nyata Pengujian = ๏ก = 5% = 0.05 ๏ก/2 = 2.5% = 0.025 db = n-1 = 25-1 = 24 t (24; 2.5%) = 2.064 5. kriteria pengujian: H0 diterima jika ) 2 ,() 2 ,( ๏ก๏ก dbdb ttt ๏‚ฃ๏‚ฃ๏€ญ H0 ditolak jika t t db ) ๏€ผ ๏€ญ ( ,๏ก 2 dan t t db ) ๏€พ ( ;๏ก 2 6. Statistik Hitung t x s n ๏€ฝ ๏€ญ ๏ญ0 / = 22 20 4 25 ๏€ญ / = 2 08. = 2.5 7. Kesimpulan : t hitung = 2.5 ada di daerah penolakan H0 H0 ditolak, H1 diterima , rata-rata penguasaan pekerjaan sebagai guru profesional ๏‚น 20 bulan
  102. 102. 102 UJI HIPOTESIS DUA RATA โ€“ RATA
  103. 103. 103 Sampel Besar Pada uji hipoteisis ini menggunakan distribusi uji Z karena sampel lebih besar dari 30. Langkah-langkah: 1. Formulasi hipotesis g) H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 H1 : ๏ญ ๏ญ๏€พ 0 h) H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 H1 : ๏ญ ๏ญ๏€ผ 0 i) H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 H1 : 0๏ญ๏ญ ๏‚น 2. Penentuan nilai taraf nyata dan nilai tabel uji Z Taraf nyata sesuai soal dan nilai Z sesuai tabel 3. Kriteria pengujian a) . Untuk H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 dan H1 : ๏ญ ๏ญ๏€พ 0 H0 diterima jika ๏กzz ๏‚ฃ H0 ditolak jika z z๏€พ ๏ก b) Untuk H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 dan H1 : ๏ญ ๏ญ๏€ผ 0 H0 diterima jika ๏กzz ๏€ญ๏‚ณ H0 ditolak jika z z๏€ผ ๏€ญ ๏ก c) Untuk H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 dan H1 : 0๏ญ๏ญ ๏‚น H0 diterima jika 2/ 2/ ๏ก๏ก zzz ๏€ญ๏‚ฃ๏‚ฃ๏€ญ H0 ditolak jika z z๏€ผ ๏€ญ ๏ก 2 dan z z๏€พ ๏ก 2 4. Uji statistik )/()/( 2 2 21 2 1 21 nn xx z ๏ณ๏ณ ๏€ซ ๏€ญ ๏€ฝ
  104. 104. 104 5. Kesimpulan Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan H0 ๏‚ท Jika H0 diterima maka H1ditolak ๏‚ท Jika H0 ditolak maka H1diterima Contoh: Berikut adalah data nilai ujian siswa kelas 10 smu yang mengikuti kursus dengan yang tidak mengikuti kursus. Dg kursus Tanpa kursus rata-rata nilai prestasi x1 = 300 x2 = 302 Ragam s1 2 = 4 s2 2 = 4.5 ukuran sampel n1 = 40 n2 = 30 Dengan taraf nyata 5 % ujilah : Apakah rata-rata nilai ujian siswa kelas 10 smu yang mengikuti kursus lebih besar dibanding dengan yang tidak mengikuti kursus?
  105. 105. 105 Jawab : ๏ก = 5 % 1. H0 : 21 ๏ญ๏ญ ๏€ฝ H1 : 21 ๏ญ๏ญ ๏€พ 2* statistik uji : z ๏‚ฎ karena contoh besar 3* arah pengujian : pihak kanan 4* Taraf Nyata Pengujian = ๏ก = 5% , z5% = 1.645 5. kriteria pengujian : H0 diterima jika 645,,1๏‚ฃz H0 ditolak jika z > 1,645 6. Statistik Hitung )/()/( 2 2 21 2 1 21 nsns xx z ๏€ซ ๏€ญ ๏€ฝ = )30/5.4()40/4( 302300 ๏€ซ ๏€ญ 2 01 015 2 025 2 05. . . .๏€ซ ๏€ฝ ๏€ฝ = 4 7. Kesimpulan : z hitung = 4 ada di daerah penolakanH0 H0 ditolak, H1 diterima Jadi, nilai ujian siswa kelas 10 smu yang mengikuti kursus lebih besar dibanding dengan yang tidak mengikuti kursus Sampel Kecil Pada uji hipoteisis ini menggunakan distribusi uji t karena sampel lebih kecil dari 30. Lanhkah-langkah: 1. Formulasi hipotesis a) H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 H1 : ๏ญ ๏ญ๏€พ 0 b) H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 H1 : ๏ญ ๏ญ๏€ผ 0
  106. 106. 106 c) H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 H1 : 0๏ญ๏ญ ๏‚น 2. Penentuan nilai taraf nyata dan nilai tabel uji t Taraf nyata sesuai soal dan nilai t sesuai tabel, 3. Kriteria pengujian a) Untuk H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 dan H1 : ๏ญ ๏ญ๏€พ 0 H0 diterima jika ),( ๏กdbtt ๏‚ฃ H0 ditolak jika t t db> )( ,๏ก b) Untuk H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 dan H1 : ๏ญ ๏ญ๏€ผ 0 H0 diterima jika );( ๏กdbtt ๏€ญ๏‚ณ H0 ditolak jika t t db< ๏€ญ ( ; )๏ก c) Untuk H0 : ๏ญ ๏ญ๏€ฝ 0 dan H1 : 0๏ญ๏ญ ๏‚น H0 diterima jika ) 2 ,() 2 ,( ๏ก๏ก dbdb ttt ๏‚ฃ๏‚ฃ๏€ญ H0 ditolak jika t t db ) ๏€ผ ๏€ญ ( ,๏ก 2 dan t t db ) ๏€พ ( ;๏ก 2 4. Uji statistik Untuk pangamatan tidak berpasangan ๐‘ก0 = ๐‘‹ฬ…1 โˆ’ ๐‘‹ฬ…2 โˆš ( ๐‘›1 โˆ’ 1) ๐‘ 1 2 + ( ๐‘›2 โˆ’ 1) ๐‘ 2 2 ๐‘›1 + ๐‘›2 โˆ’ 2 ( 1 ๐‘›1 + 1 ๐‘›2 ) ๐‘ก0 memiliki distribusi dengan ๐‘‘๐‘ = ๐‘›1 + ๐‘›2 โˆ’ 2 Untuk pengamatan berpasangan ๐‘ก0 = ๐‘‘ฬ… ๐‘† ๐‘‘ โˆš๐‘› Keterangan : ๐‘‘ฬ… = rata-rata dari nilai d ๐‘† ๐‘‘ = simpangan baku dari nilai d
  107. 107. 107 ๐‘› = bayaknya pasangan ๐‘ก0 memiliki distribusi dengan ๐‘‘๐‘ = ๐‘› โˆ’ 1 5. Kesimpulan Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan H0 ๏‚ท Jika H0 diterima maka H1ditolak ๏‚ท Jika H0 ditolak maka H1diterima Contoh : Berikut adalah data nilai test guru berprestasi yang lulus dari universitas negeri dengan guru yang lulus dari universitas swasta Universitas negeri Unuversitas swasta rata-rata x1 = 20 x2 = 12 Ragam s1 2 = 3.9 s2 2 = 0.72 ukuran sampel n1 = 13 n2 = 12 Dengan taraf nyata 1 % ujilah : Apakah rata-rata nilai test guru berprestasi yang lulus dari universitas negeri dengan guru yang lulus dari universitas swasta tidak sama? Jawab : ๏ก = 1 % 1. H0 : 21 ๏ญ๏ญ ๏€ฝ H1 : 21 ๏ญ๏ญ ๏‚น 2* statistik uji : t ๏‚ฎ karena contoh kecil 3* arah pengujian : 2 pihak
  108. 108. 108 4* Taraf Nyata Pengujian = ๏ก = 1% = 0.01 ๏ก/2 = 0.5% = 0.005 t (23; 0.5%) = 2.807 5. kriteria pengujian db = n1 +n2 - 2 = 13+ 12 - 2 = 23 H0 diterima jika ) 2 ,() 2 ,( ๏ก๏ก dbdb ttt ๏‚ฃ๏‚ฃ๏€ญ H0 ditolak jika t t db ) ๏€ผ ๏€ญ ( ,๏ก 2 dan t t db ) ๏€พ ( ;๏ก 2 6. Statistik Hitung )/()/( 2 2 21 2 1 21 nsns xx t ๏€ซ ๏€ญ ๏€ฝ = 60.0 8 36.0 8 06.030.0 8 )12/72.0()13/9.3( 12-20 ๏€ฝ๏€ฝ ๏€ซ ๏€ฝ ๏€ซ = 13,33 7. Kesimpulan : t hitung = 13.33 ada di daerah penolakan H0 H0 ditolak, H1 diterima , rata-rata nilai test guru berprestasi yang lulus dari universitas negeri dengan guru yang lulus dari universitas swasta tidak sama.
  109. 109. 109 Daftar Pustaka Herrhyanto, Nar dan Hamid, H.M Akib. Statistika Dasar, Jakarta: Universitas Terbuka, 2009 Sudjana, Metode Statistika, Bandung: Tarsito, 1982 โ€œPengertian Statistika dan Data Baruโ€. 3 Desember 2015. https://ilma69.wordpress.com โ€œPengertian Dasar Statistika dan Statistik (Part 1)โ€.4 Desember 2015. https://localonsite.wordpress.com/2013/09/10/pengertian-dasar-statistika-dan-statistik- part-1 Subana, Dkk. Statistika Pendidikan, Bandung: Cv Pustaka Setia, 2000 http://www.scribd.com/doc/25182223/Metode-Shapiro-Wilk http://www.scribd.com/doc/23910549/UJI-NORMALITAS

ร—