Dokumen ini membahas sifat-sifat gelanggang dalam aljabar, termasuk definisi, operasi penjumlahan dan perkalian, serta hukum-hukum terkait yang berlaku dalam struktur gelanggang. Berbagai teorema dan pembuktian disajikan untuk menunjukkan sifat-sifat ini, termasuk hukum pencoretan, perkalian dengan nol, dan ketunggalan unsur invers. Penjelasan ini penting untuk memahami dasar-dasar struktur aljabar dan aplikasinya dalam matematika.

1. STRUKTUR ALJABAR II
( Sifat - sifat Ring )
KELOMPOK 1
Satrio Primaguna ( 1711500064 )
Siti Eliyah ( 1714500065 )
Ulfa Nur Afifah ( 1714500067 )
PMTK 6C
Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Pancasakti Tegal
2017

2. A. Sifat – sifat Gelanggang
1. Definisi
Misalkan (R, +, .) suatau gelanggang,maka (R, +) adalah suatu grup komitatif,
sehingga semua sifat yang belaku dalam grup aditif ( Penjumlahan) berlaku pla dalam
gelanggang. Misalnya -(-a) = , ∀ a ∊ R; dan –(a + b) = (-a) + (-b), ∀ a, b ∊ R. Oleh karena
itu sifat-sifat seperti itu dapat diterapkan dalam gelanggang.
Sifat-sifat
I. Az = za = z, ∀ a ∊ R dan z adalah elemen nol dalam R
Bukti :
Misalkan (R, +, . )adalah suatu gelanggang dengan elemen nol z dan elemen
kesatuan u
Ambil a ∊ R dan az = a (z + z) (sifat elemen nol z)
az = az + az (sifat distributif kanan)
az + z = az + az (sifat elemen nol z)
z = az (sifat kanselasi penjumlahan)
jadi az = z , untuk setiap a dalam R
II. A(-b) = (-a)b = -(ab), ∀ a, b ∊ R
Bukti :
Ambil a ∊ R dan dan a(-b) + ab = a(-b + b) (sifat distributif kanan)
= az
A(-b) + ab = z
Hal ini berkaitan bahwa a(-b) = -(ab)
Begitu pula (-a)b + ab = (-a + a)b (sifat distributif kiri)
= zb
= z
(-a)b + ab = z
(-a)b =-(ab)
Jadi (-a)b = a(-b) = -(ab), untuk setiap a, b dalam R
III. (-a)(-b) = ab, ∀ a,b ∊ R
Bukti :
Ambil a, b ∊ R maka menurut (II) (-a)(-b) = -(a(-b))
= -(-(ab))
= ab
Jadi (-a)(-b) = ab, untuk setiap a dan b dalam R
IV. (-a)(-b) = ab, ∀ a,b ∊ R
Bukti :
Ambil a, b ∊ R maka
(a+b) + ((-a) + (-b)) = ((a + b) + (-a) + (-b)) (sifat asisiatif penjumlahan)
= (a + (b + (-a))) + (-b)

3. = (a + ((-a) + b) + (-b)
= (a + (-a)) + (b + (-b))
= z + z
= z
Jadi –(a + b) = (-a) + (-b), untuk setiap a dan b dalam R Kanselasi
V. A(b – c) = ab – ac, ∀ a, b, c ∊ R
Bukti :
Ambil a, b ∊ R dan a(b – c) = a(b + (-c))
= ab + a(-c) ( Sifat distributif kanan)
= ab + (-ac)
= ab – ac
Jadi a(b – c) = ab – bc untuk setiap a dan b dalam R
VI. (-u)a = -a, ∀ a ∊ R dan u adalah elemen kesatuan dalam R
2. Definisi
Suatu himpunan tak kosong R disebut suatu ring jika di dalam R didefinisikan dua
buah operasi biner yang dilambangkan dengan + dan ⋅ sedemikian hingga untuk setiap a, b,
c ∊ R berlaku hal-hal berikut:
1. a + b ∊ R [R bersifat tertutup terhadap operasi +]
2. a + b = b + a [Operasi + bersifat komutatif]
3. (a + b) + c = a + (b + c) [Sifat asosiatif operasi +]
4. Terdapat elemen 0 ∊ R sedemikian hingga a + 0 = a untuk setiap a ∊ R [R memiliki
unsur identitas terhadap penjumlahan, dilambangkan dengan 0]
5. Untuk setiap a ∊ R terdapat elemen –a ∊ R sedemikian hingga a + (-a) = 0 [Setiap
anggota R memiliki invers terhadap operasi +]
6. a ⋅ b ∊ R [R bersifat tertutup terhadap operasi ∙]
7. a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c [Sifat asosiatif operasi ∙]
8. a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c dan (b + c) ⋅ a = b⋅ a + c⋅a [Sifat distributif operasi ∙ terhadap +]
Operasi + yang terdapat pada syarat 1 sampai dengan 4 biasa dinamakan operasi
tambah atau penjumlahan, sedangkan operasi⋅ pada syarat 6 sampai dengan 8 biasa
dinamakan operasi kali atau perkalian. Ring R dengan operasi tambah (+) dan operasi kali
( ⋅ ) biasa dilambangkan dengan (R,+,-). Jika (R,+,∙) suatu ring maka berlakulah sifat-sifat
berikut:

4. 1. Hukum pencoretan: Jika a + b = a + c maka b = c dan jika a + b = c + b maka a = c
Bukti :
Misalkan a, b, c ∊ R dan a + b = a + c
Karena a ∊ R, terdapat –a ∊ R sedemikian hingga –a + a = 0. Tambahkan masing-
masing ruas dengan –a sebagai berikut:
-a + (a + b) = -a + (a + c)
Dengan sifat asosiatif penjumlahan dalam ring, diperoleh:
(-a + a) + b = (-a + a) + c
0 + b = 0 + c
b = c
Jadi, a + b = a c ⇒ b = c (terbukti)
Selanjutnya, misalkan a, b, c ∊ R dan a + b = c + b.
Karena b ∊ R, terdapat –b ∊ R sedemikian hingga b + (-b) = 0. Tambahkan masing-
masing ruas dengan –b sebagai berikut:
(a + b) + (-b) = (c + b) + (-b)
Dengan sifat asosiatif penjumlahan dalam ring, diperoleh:
a + (b+(-b)) = c + (b+(-b))
a + 0 = c + 0
a = c
Jadi, a + b = c + b ⇒ a = c
2. Perkalian dengan nol: a∙ 0 = 0 dan 0∙ a = 0
Bukti :
Misalkan a ∊ R sembarang. Karena sifat tertutup R terhadap perkalian a ∙ 0 ∊
R. Selanjutnya, a∙ 0 = a∙(0 + 0)
a∙0 = a∙0 + a∙0 [sifat distributif dalam ring]
Karena a∙ 0 + 0 = a∙ 0 persamaan terakhir di atas dapat dinyatakan sebagai
a∙0 + 0 = a∙ 0 + a∙0

5. Dengan hukum pencoretan, diperolehlah 0 = a∙ 0.
Jadi, untuk setiap a ∊ R berlaku a∙0 = 0. (terbukti)
Selanjutnya,
0∙a = (0 + 0)a
0 ∙ a = 0∙a + 0.a
Karena 0∙a + 0 = 0∙a persamaan terakhir di atas dapat dinyatakan sebagai
0∙a + 0 = 0∙a + 0∙a
Dengan hukum pencoretan, diperolehlah 0 = 0∙a.
Jadi, untuk setiap a ∊ R berlaku 0∙a = 0
3. Ketunggalan nol: Jika e ∊ R sedemikian hingga untuk setiap a ∊ R berlaku a + e = a
dan e + a = a maka e = 0. [0 adalah satu-satunya unsur identitas terhadap penjumlahan
di R.]
Bukti:
Misalkan e ∊ R memenuhi a + e = a dan e + a = a untuk setiap a ∊ R.
Karena 0 ∊ R, berlaku: e + 0 = 0 ............................................................................... (1)
Karena 0 adalah unsur identitas terhadap penjumlahan, e + 0 = e
....................................(2)
Dari (1) dan (2), disimpulkan e = 0. (terbukti)
4. Ketunggalan unsur invers terhadap penjumlahan: Untuk setiap a ∊ R terdapat satu
dan hanya satu –a ∊ R sedemikian hingga a + (-a) = 0 dan (-a) + a = 0.
Bukti:
Misalkan a ∊ R sembarang. Misalkan –a, a* ∊ R adalah invers-invers dari a. Akan
dibuktikan
bahwa a* = -a.
Karena –a, a* ∊ R adalah invers-invers dari a, berlakulah (-a) + a = 0 dan a + a* = 0.
Dengan sifat asosiatif penjumlahan pada R, diperoleh:
(-a + a) + a* = -a + (a + a*)

6. 0 + a* = -a + 0
a* = -a
Jadi, invers-invers dari a ∊ R adalah unsur-unsur yang sama satu sama lain. Dengan
kata lain, setiap a ∊ R memiliki satu dan hanya satu buah invers di R.
5. a∙ (-b) = -(ab) dan (-a)∙ b = -(a ∙ b)
Bukti:
Misalkan a, b ∊ R sembarang.
a ∙b + a∙(-b) = a∙ (b + (-b)) [sifat distributif dalam ring]
a ∙b + a∙(-b) = a∙ 0 [-b adalah invers dari b terhadap penjumlahan, sehingga b + (-b) = 0]
a∙b + a∙(-b) = 0 [lihat butir 2 di atas mengenai perkalian dengan 0]
a∙ (-b) = -(a∙ b) [ketunggalan invers terhadap penjumlahan, lihat butir 4 di atas]
(terbukti)
Selanjutnya,
(-a)∙b + a∙b = (-a + a)∙b [sifat distributif dalam ring]
(-a)∙b + a∙b = 0∙ b [-a adalah invers dari a terhadap penjumlahan, sehingga –a + a = 0]
(-a)∙b + a∙b = 0 [lihat butir 2 di atas mengenai perkalian dengan 0]
(-a)∙b = -(a∙b) [ketunggalan invers terhadap penjumlahan, lihat butir 4 di atas] (terbukti)
6. (-a) ∙ (-b) = a∙ b
Bukti:
Misalkan a, b ∊ R sembarang.
Perhatikan bahwa ∙0 = 0 dan 0∙(-b) = 0, sehingga a∙0 = 0∙(-b) [lihat butir 2 di atas,
perkalian dengan nol.] Selanjutnya, karena –b adalah invers dari b dan –a adalah invers
dari a (terhadap penjumlahan), -b+b = 0 dan a+(-a) = 0. Substitusikan masing-masing 0
ini ke persamaan sebelumnya, diperoleh:
a.(-b + b) = (a+(-a))∙(-b)
a∙(-b) + a∙b = a∙ (-b) + (-a)∙(-b)
a∙b = (-a)∙(-b) [hukum pencoretan, lihat butir 1 di atas] (terbukti)

7. 7. –(-a) = a
Bukti:
Misalkan a ∊ R sembarang. Karena a ∊ R, terdapat (–a) ∊ R sedemikian hingga (–a) + a
= 0.
Karena (–a) ∊ R, terdapat –(-a) ∊ R sedemikian hingga (-a) + (-(-a)) = (-(-a)) + (-a) =
0. Akan ditunjukkan bahwa –(-a) = a.
Perhatikan bahwa -a + a = 0 dan 0 = (-a) + (-(-a)), sehingga -a + a = -a + (-(-a)).
Dengan hukum pencoretan (lihat butir 1 di atas), diperolehlah a = -(-a). (terbukti)
Teorema 2.2 :
Suatu gelanggang tidak memuat pembagi nol jika dan hanya jika berlaku sifat
Bukti :
Misalkan r suatu gelanggang tanpa pembagi nol
Ambil a, b, c dalam R , sehingga a ≠ z dan ab = ac maka
Ab – ac = z
A(b-c) = z, untuk a ≠ z, maka berlaku
B – c = z, sehingga
B = z
Jadi sifat kanselasi kiri berlaku dalam R
Teorema 2.3
Setiap medan tidak memuat pembagi nol
Bukti :
Misal F adalah suatu medan
Ambil a, b ∊ F sedemikian sehingga ab = z
Apabila a ≠ z maka a¯¹ ∊ F sehingga a a¯¹ = u, dan diperoleh
a¯¹(ab) = a¯¹ z
(a¯¹ a ) z = z
u b = z
b = z
apabila b ≠ z, maka b¯¹ ∊ F , sehingga dari
ab = z diperoleh
(ab)b¯¹ = z b¯¹
A(bb¯¹) = z
Au = z
A =z
Jadi, untuk ab = z maka a= z atau b = z, sehingga medan F tidak memuat pembagi nol,

8. Teorema 2.4 :
Setiap daerah integral berhingga adalah suatu medan
Bukti :
Ingat bahwa daerh integral adalahsuatu gelanggang komutatif dengan elemen kesatuan dan
tidak memuat elemen pembagi nol, sehingga untuk membuktikan bahwa suatu daerh
integral berhingga adalah suatu medan.
Misalkan d adalah suatu daerah integral yang berorder n (suatu bilangan bula positif)
Ambil a ∊ D dengan a ≠ z
K = { ax I x ∊ D dan x ≠ z }
D memiliki sifat tertutup terhadap perkalian, maka elemen K adalah elemen D, yaitu K ⊂D
sehingga dalam K berlaku sifat kanselasi.
Jadi jika ax = ay dan a ≠ z maka
X = y, hal ini menunjukan bahwa elemen-elemen K berbeda satu dengan lainya,
sehingga K terdiri atas (n-1) elemen yang bukan elemen
B. Kelipatan dan Perpangkatan Bulat dari Elemen-elemen Suatu Gelanggang
1. Definisi 2.3 :
Misalkan ( R, +, . ) suatu gelanggang , a ∊ R dan m suatu bilangan bulat positif,
sebagai berikut :
i. Ma = a + a + a + a+ . . . + a (m kali)
ii. –ma = m(-a) = (-a)+(-a)+. . . +(-a) (n kali)
= -(ma)
iii. 0a = z
Teorema 2.5
Misalkan R suatu gelanggang, m dan n adalah suatu bilangan bulat sembarang,
maka ∀ a, b ∊ R berlaku ;
i. (m + n)a = ma + na
ii. m(a + b) = ma + mb
iii. m(na) = (mn)a = n(ma)
Bukti :
Karena m dan n bilangan-bilangan bulat, sdangkan definisi diatas memisahkan
dengan bilangan bulat positif, nol dan bilangan bulat negatif, maka teorema ini
diperhatikan dalam empat keadaan
a) Jika m dan kedudukanya bilangan bulat positif

9. b) Jika salah satu m atau n sama dengan nol dan lainya suatu bilangan bulat positif
atau bilangan bulat negatif
c) Jika salah satu dari m atau n suatu bilangan bulat positif dan lainya bilangan
bulat negatif
d) Jika m dan keduanya bilangan bulat negatif
 Jika salah satu dari m atau n sama dengan 0, misalnya n = 0 dan m suatu
bilangan bulat positif, maka
ma + na = (a + a + a +. . . + a) + 0a
= (a + a + a + . . . + a) => m+0 suku
= (m + 0)a
Jika m dan n keduanya merupakan bilangan-bilangan bulat positif, maka
ma + na = (a+a+a+. . . +a) + (a+a+a+. . . +a)
= (a+a+a+. . . + a) => ( m + n suku)
= (m + n)a
Jika salah satu dari m dab n suatu bilangan bulat positif dan lainya suatu
bilangan bulat negatif, dengan tidak mengurngi keumumanya, misalnya m
suatu bilangan bulat positif dan n suatu bilangan bulat negatif dengan m >
InI, misalkan n =-t, maka
ma + na = ma + (-t)a
= ma + t(-a)
= (a+a+a+. . . +a) + ((-a+(-a)+. . . +(-a))
= (a+a+a+. . . + a) (m-1 suku) + (a+(-a)) + (-a) + (-a) +. . . +(-a)
(t-1 suku)
= a+a+. . .+a+z+(-a)+(-a)+. . . +(-a)
= a+a+. . . +a(n-2 suku)+(a+(-a))+ (-a)+(- a)+. . .+(- a) (t-2
suku) Dan seterusnya, karena m >t, maka
= a+a+. . .+a
= (m-t)a, karena –t=n, maka
= (m+n)a
2. Definisi 2.4:
Misalkan r suatu gelanggang, a ∊ R dan m suatu bilangan bulat positif, maka
𝑎 𝑚
= a.a.a. . .a ( m kali)
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑚 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓
Teorema 2.6 :
Jika R suatu gelanggang, m dan n bilangan-bilangan bulat positif, maka untuk setiap
a ∊ R berlaku :
i. 𝑎 𝑚
. 𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚+𝑛

10. ii. (𝑎 𝑚
) 𝑛
=𝑎 𝑚𝑛
Bukti :
i. 𝑎 𝑚
. 𝑎 𝑛
= a.a.a....a (m kali) a.a.a....a (n kali)
= a.a.a....a (m+n kali)
= 𝑎 𝑚+𝑛
Idempoten dan nilpoten
Definisi 2.6
Misalkan R adalah suatu gelanggang. Jika a ∊ Rsedemikian hingga 𝑎2
= a, maka a
disebut idempoten. Jika b ∊ R dan ada suatu bilangan bulat positif terkecil n,
sedemikian hingga 𝑏 𝑛
= z, maka b disebut nilpoten.
Contoh :
M = {(
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) l a,b, c, d, bilangan − bilangan rasional} dengan penjumlahan dan
perkalian matriks adalah suatu gelanggang.
Misal :
M = (
0 3
0 1
)2
= (
0 3
0 1
) (
0 3
0 1
) = (
0 3
0 1
), maka (
0 3
0 1
) adalah
idempoten dalam M
Misal :
M = (
0 0
5 0
) = (
0 0
5 0
) (
0 0
5 0
) = (
0 0
0 0
), maka (
0 0
5 0
) adalah suatu nilpoten
berindeks 2 dalam M