2. Числова послідовність
Числова послідовність задана, якщо будь-якому
натуральному числу n поставлене у
відповідність деяке число an
3; 10; 11; 13; 16; 20;…
4; 7; 10; 13; 16 …
Послідовність задають за допомогою формули
n-го члена, тоді неважко обчислити будь-який
його член.
Послідовність (an) задана формулою
an = n3 ,nєN, 1; 8; 27; 64;…
3. Числова послідовність
Послідовності бувають скінченні і нескінченні.
Послідовність(an) називається зростаючою
(спадною), якщо для будь-якого номера n
правдива нерівність: an+1>an (an-1<an),
an – попередній член, an+1–наступний член
послідовності.
2; 4; 6; 8; 10; 12;… - зростаюча.
1
2
;
1
4
;
1
6
;… - спадна
4. Числова послідовність (an), кожний член якої,
починаючи з другого, дорівнює попередньому, до
якого додане одне і те саме число, називається
арифметичною прогресією.
Це число позначають буквою d і називають
різницею арифметичної прогресії.
1; 3; 5; 7; 9 – арифметична прогресія
a1=1; d=2 .
30; 25; 20; 15; 10; 5;…
a1=30; d = -5
АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ
5. Перші члени арифметичної прогресії будуть:
a1; a1+d; a1+2d;a1+3d;…
-50; -40; -30; -20;…
a1 = -50; d = 10 .
Формула n-го члена арифметичної прогресії:
an = a1+d (n-1), n єN
a6= -50+10(6-1) = -50 + 10 × 5 = 0;
a6 = 0 .
6. Для арифметичної прогресії кожний її член,
починаючи з другого, дорівнює середньому
арифметичному сусідніх з ним членів, тобто:
an =
𝐚 𝐧−𝟏+𝐚 𝐧−𝟏
𝟐
,
де n ≥ 2, nєN.
Сума двох членів скінченної арифметичної
прогресії, рівновіддалених від її кінців,
дорівнює сумі крайніх членів.
Формула суми перших nчленів арифметичної
прогресії:
Sn=
𝐚 𝟏+𝐚 𝐧
𝟐
n, або
Sn =
𝟐𝐚 𝟏+𝐝(𝐧−𝟏)
𝟐
n, nєN
4; 7; 10; 13; 16;…
a1 = 4; d = 3 .
S5 =
4+16
2
× 5 = 50
або
S5=
2×4+3(5−1)
2
× 5 = 50 .
8. Знайти перший член арифметичної прогресії (аn), в якій а27 = 291, d = 11 .
Розв’язання:
an = a1 + d(n-1); a = an - d(n-1);n = 27; a27 = 291; d = 11 ;
a1 = 291 – 11(27-1);a1 = 291 – 286;a1 = 5 . Відповідь: 5
Знайти різницю арифметичної прогресії (an), в якій а1 = 28; а21 = -52 .
Розв’язання:
an = a1 + d(n-1); d(n-1) = an – a1; d =
𝐚 𝐧− 𝐚 𝟏
𝐧−𝟏
;
n = 21, a21 = -52; a1 = 28;d =
−𝟓𝟐−𝟐𝟖
𝟐𝟏−𝟏
=
−𝟖𝟎
𝟐𝟎
= 4 . Відповідь: -4.
Знайти номер арифметичної прогресії (аn), який дорівнює 46, якщо а1 = 32,
d = 0,4
Розв’язання:
an = a1 + d(n-1); n-1 =
𝐚 𝐧− 𝐚 𝟏
𝐝
; n =
𝐚 𝐧− 𝐚 𝟏
𝐝
+ 1 .
an = 46,a1 = 32; d = 0,4; n =
𝟒𝟔−𝟑𝟐
𝟎,𝟒
+ 1 =
𝟏𝟒
𝟎,𝟒
+ 1 = 35+1 = 36 .
Відповідь: 36
9. Знайти перший член і різницю арифметичної прогресії (an), якщо:
а 𝟓+ а 𝟏=𝟐𝟒
а 𝟗+ а 𝟑=𝟓𝟒
Розв’язання:
an = a1 + d(n-1);
а5 = а1+4d,
a9 =a1+8d, отже,
𝐚 𝟓+ 𝐚 𝟏= 𝟐𝐚 𝟏+𝟒𝐝
𝐚 𝟗+ 𝐚 𝟑= 𝟐𝐚 𝟏+𝟏𝟎𝐝
отримаємо систему:
𝟐𝐚 𝟏+𝟒𝐝=𝟐𝟒,
𝟐𝐚 𝟏+𝟏𝟎𝐝=𝟓𝟒;
𝐚 𝟏+𝟐𝐝=𝟏𝟐,
𝐚 𝟏+𝟓𝐝=𝟐𝟕;
𝟑𝐝 = 𝟏𝟓,
𝐚 𝟏=𝟏𝟐−𝟐𝐝;
𝐝 = 𝟓,
𝐚 𝟏=𝟏𝟐−𝟐𝐝 .
Відповідь: a = 2; d= 5 .
10. Геометрична прогресія
Геометричною прогресією називають послідовність ,
кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому,
помноженому на одне й те саме число q (q≠0, |q|≠1), яке
називають знаменником геометричної прогресії:
, де .
Визначається n-й член геометричної прогресії за формулою
,
де n – номер члена, - n-й член, - перший член, q – знаменник
прогресії.
11. Модуль кожного члена геометричної прогресії,
починаючи з другого, є середнім геометричним
двох сусідніх членів:
Якщо всі члени числової послідовності,
починаючи з другого задовольняють умові
то ця послідовність є геометричною прогресією.
Суму перших n членів геометричної
прогресії можна знайти і за формулою
12. Нескінченно спадна геометрична прогресія –
це нескінченна геометрична прогресія,
знаменник q якої за модулем є меншим за 1,
тобто |q|<1.
Ця сума визначається за формулою
.
Приклад. Обчисліть суму.
.
Відповідь: 2.
Нескінченно спадна геометрична
прогресія
.
