Downloaded 22 times
More Related Content
числові послідовності
- 1.
- 2. Числова послідовність Числова послідовністьзадана, якщо будь-якому натуральному числу n поставлене у відповідність деяке число an 3; 10; 11; 13; 16; 20;… 4; 7; 10; 13; 16 … Послідовність задають за допомогою формули n-го члена, тоді неважко обчислити будь-який його член. Послідовність (an) задана формулою an = n3 ,nєN, 1; 8; 27; 64;…
- 3. Числова послідовність Послідовності буваютьскінченні і нескінченні. Послідовність(an) називається зростаючою (спадною), якщо для будь-якого номера n правдива нерівність: an+1>an (an-1<an), an – попередній член, an+1–наступний член послідовності. 2; 4; 6; 8; 10; 12;… - зростаюча. 1 2 ; 1 4 ; 1 6 ;… - спадна
- 4. Числова послідовність (an),кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додане одне і те саме число, називається арифметичною прогресією. Це число позначають буквою d і називають різницею арифметичної прогресії. 1; 3; 5; 7; 9 – арифметична прогресія a1=1; d=2 . 30; 25; 20; 15; 10; 5;… a1=30; d = -5 АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ
- 5. Перші члени арифметичноїпрогресії будуть: a1; a1+d; a1+2d;a1+3d;… -50; -40; -30; -20;… a1 = -50; d = 10 . Формула n-го члена арифметичної прогресії: an = a1+d (n-1), n єN a6= -50+10(6-1) = -50 + 10 × 5 = 0; a6 = 0 .
- 6. Для арифметичної прогресіїкожний її член, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному сусідніх з ним членів, тобто: an = 𝐚 𝐧−𝟏+𝐚 𝐧−𝟏 𝟐 , де n ≥ 2, nєN. Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців, дорівнює сумі крайніх членів. Формула суми перших nчленів арифметичної прогресії: Sn= 𝐚 𝟏+𝐚 𝐧 𝟐 n, або Sn = 𝟐𝐚 𝟏+𝐝(𝐧−𝟏) 𝟐 n, nєN 4; 7; 10; 13; 16;… a1 = 4; d = 3 . S5 = 4+16 2 × 5 = 50 або S5= 2×4+3(5−1) 2 × 5 = 50 .
- 7. Написати 4 першихчлени послідовності, заданою формулою n-го члена. Знайти a8. Розв’зання: а) an= 2n– 1 ; a1 = 1; а2 = 3; а3 = 5; а4 = 7; a8 = 15 б) an = (-1)n+1 a1 = -1; а2 = -1 а3 = 1; а4 = -4; а8 = -1; в) аn = 𝐧 𝟐 𝐧; a1= 𝟏 𝟐 ;a2 = 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐 ; a3 = 𝟑 𝟐 𝟑 = 𝟑 𝟖 ; a4 = 𝟒 𝟐 𝟒 = 𝟏 𝟒 ; a8 = 𝟖 𝟐 𝟖 = 𝟏 𝟑𝟐 . Відповідь: а) 1, 3, 5, 7…а8 = 15; б) 1; -1; 1; - 1;…а8 = 1; в) 𝟏 𝟐 ; 𝟏 𝟐 ; 𝟑 𝟖 ; 𝟏 𝟒 ;…а8 = 𝟏 𝟑𝟐 . Знайти 16-й член арифметичної прогресії (аn), в якій перший член дорівнює 5, різниця дорівнює 2 Розв’язання: an = a1 + d(n-1);n = 16;a1 = 5; d = 2; a16 = 35 . Відповідь: 35
- 8. Знайти перший членарифметичної прогресії (аn), в якій а27 = 291, d = 11 . Розв’язання: an = a1 + d(n-1); a = an - d(n-1);n = 27; a27 = 291; d = 11 ; a1 = 291 – 11(27-1);a1 = 291 – 286;a1 = 5 . Відповідь: 5 Знайти різницю арифметичної прогресії (an), в якій а1 = 28; а21 = -52 . Розв’язання: an = a1 + d(n-1); d(n-1) = an – a1; d = 𝐚 𝐧− 𝐚 𝟏 𝐧−𝟏 ; n = 21, a21 = -52; a1 = 28;d = −𝟓𝟐−𝟐𝟖 𝟐𝟏−𝟏 = −𝟖𝟎 𝟐𝟎 = 4 . Відповідь: -4. Знайти номер арифметичної прогресії (аn), який дорівнює 46, якщо а1 = 32, d = 0,4 Розв’язання: an = a1 + d(n-1); n-1 = 𝐚 𝐧− 𝐚 𝟏 𝐝 ; n = 𝐚 𝐧− 𝐚 𝟏 𝐝 + 1 . an = 46,a1 = 32; d = 0,4; n = 𝟒𝟔−𝟑𝟐 𝟎,𝟒 + 1 = 𝟏𝟒 𝟎,𝟒 + 1 = 35+1 = 36 . Відповідь: 36
- 9. Знайти перший члені різницю арифметичної прогресії (an), якщо: а 𝟓+ а 𝟏=𝟐𝟒 а 𝟗+ а 𝟑=𝟓𝟒 Розв’язання: an = a1 + d(n-1); а5 = а1+4d, a9 =a1+8d, отже, 𝐚 𝟓+ 𝐚 𝟏= 𝟐𝐚 𝟏+𝟒𝐝 𝐚 𝟗+ 𝐚 𝟑= 𝟐𝐚 𝟏+𝟏𝟎𝐝 отримаємо систему: 𝟐𝐚 𝟏+𝟒𝐝=𝟐𝟒, 𝟐𝐚 𝟏+𝟏𝟎𝐝=𝟓𝟒; 𝐚 𝟏+𝟐𝐝=𝟏𝟐, 𝐚 𝟏+𝟓𝐝=𝟐𝟕; 𝟑𝐝 = 𝟏𝟓, 𝐚 𝟏=𝟏𝟐−𝟐𝐝; 𝐝 = 𝟓, 𝐚 𝟏=𝟏𝟐−𝟐𝐝 . Відповідь: a = 2; d= 5 .
- 10. Геометрична прогресія Геометричною прогресієюназивають послідовність , кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число q (q≠0, |q|≠1), яке називають знаменником геометричної прогресії: , де . Визначається n-й член геометричної прогресії за формулою , де n – номер члена, - n-й член, - перший член, q – знаменник прогресії.
- 11. Модуль кожного членагеометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім геометричним двох сусідніх членів: Якщо всі члени числової послідовності, починаючи з другого задовольняють умові то ця послідовність є геометричною прогресією. Суму перших n членів геометричної прогресії можна знайти і за формулою
- 12. Нескінченно спадна геометричнапрогресія – це нескінченна геометрична прогресія, знаменник q якої за модулем є меншим за 1, тобто |q|<1. Ця сума визначається за формулою . Приклад. Обчисліть суму. . Відповідь: 2. Нескінченно спадна геометрична прогресія .