Задачі з параметрами

1. ОСОБЛИВОСТІ ПІДГОТОВКИ
ДО ЗНО З МАТЕМАТИКИ
ЗАДАЧІ З ПАРАМЕТРАМИ
НЕЛІН Є.П., к.п.н., професор кафедри математики
Харківського національного
педагогічного університету
імені Г.С. Сковороди

2. • Підготовку до ЗНО
доцільно проводити
за змістовно-методичними
лініями курсу математики

3. ЧИСЛА І ВИРАЗИ

4. ЧИСЛА І ВИРАЗИ

10. Задачі, які вимагають
логічних міркувань і найпростіших
обчислень

12. Головний принцип ефективної
підготовки до розв’язування
завдань ЗНО
• Формування загальних
методів розв’язування,
а не розв’язування окремих
завдань

13. ФУНКЦІЇ

23. РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

28. 2x - 3 -x + 1 ≤ x

32. Завдання з параметрами

34. Два види
(за вимогою)
“Розв’яжіть …” “Дослідіть …”

35. “Дослідіть …”
Розв’язати
і дослідити
одержані
розв’язки
Застосування
властивостей
функцій
Застосування
властивостей
квадратного
тричлена
Дослідження
кількості
розв ’язків –
графічна
іллюстрація

39. ГЕОМЕТРІЯ

49. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ, ПОЧАТКИ
ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА СТАТИСТИКИ

53. Особливості підготовки учнів до
розв’язування відкритих завдань
з розгорнутою відповіддю

55. Якщо виконується розв’язування рівняння,
то до ключових моментів можна віднести
основні етапи відповідного розв’язування.
Зокрема,
якщо для розв’язування використовуються
рівняння-наслідки, то до запису розв’язання
повинна входити перевірка одержаних
коренів, а
якщо використовуються рівносильні
перетворення рівняння, то до запису
розв’язання повинно входити врахування
ОДЗ заданого рівняння.

56. Слід мати на увазі, що врахувати ОДЗ
заданого рівняння можна одним із трьох
способів:
1) записати ОДЗ і розв’язати всі одержані
обмеження;
2) записати ОДЗ, не розв’язувати одержані
обмеження, але в кінці підставити одержані
корені в обмеження ОДЗ і з’ясувати,
задовольняє чи не задовольняє
розглядуваний корінь усім обмеженням
ОДЗ;
3) зовсім не записувати обмеження ОДЗ до
розв’язання, але записати пояснення, що
ОДЗ заданого рівняння було враховано
автоматично в наведеному розв’язуванні.

57. Також слід враховувати, що іноді
рівносильні перетворення доводиться
виконувати не на всій ОДЗ заданого
рівняння, а на тій її частині, в якій
знаходяться корені заданого рівняння
 в цьому випадку про це також
повинно бути записано в розв’язанні.

58. Якщо для розв’язування рівняння
використовуються властивості функцій, то до
запису розв’язання слід включити
обґрунтування відповідних властивостей
функцій; при цьому, для обґрунтування
зростання або спадання функції чи для
оцінки області значень функції може
використовуватися похідна.
Аналогічно, при записі розв’язування
нерівності ключові моменти розв’язування
пов’язані з вибраним методом розв’язування
(рівносильні перетворення чи загальний
метод інтервалів).

74. Завдання 38 6 балів
• Розв’яжіть рівняння
2(tg2 x + ctg2 x+2) + a2 = 3a(tg x + ctg x),
, де n Z
n
я к щ о x

 
2

77. Геометрія
СТЕРЕОМЕТРІЯ
Обгрунтовується тільки те, що буде використано в розв’язанні
Задачі, пов’язані з многогранниками
• 1. Обґрунтувати положення висоти многогранника.
• 2. Обґрунтувати, що просторові кути і просторові
відстані позначені правильно.
• 3. Якщо розглядається переріз многогранника, то
обґрунтувати його форму (якщо ця форма
використовується для розв‘язування)
• 4. Якщо розглядається комбінація многогранника
та тіла обертання, то описати взаємне розміщення
їх елементів.
• 5. На кожному кроці розв’язування вказуємо, з
якого трикутника визначаємо елементи і, якщо він
прямокутний, пояснюємо чому

82. 36. Основою піраміди SABCD є квадрат ABCD.
Грань SAD - правильний трикутник, площина
якого перпендикулярна до площини основи.
Знайдіть кут нахилу грані SBC до основи.

83. 36. Основою піраміди SABCD є квадрат ABCD. Грань SAD -
правильний трикутник, площина якого перпендикулярна до
площини основи. Знайдіть кут нахилу грані SBC до основи.
1. Пл. SAD  пл. ABCD. Проведемо SО  AD,
тоді SО  пл. ABCD, тобто SО – висота піраміди.
2. Проведемо ОМ  BC, тоді S М  BC (за теоремою
про три перпендикуляри), отже,  S М О – лінійний
кут двогранного кута при ребрі BC, тобто кут
нахилу грані SBC до основи.
3. Нехай AD = х (х > 0). З правильного трикутника
SAD його висота SО = . Враховуючи, що
ABCD - квадрат і ОМ  BC, одержуємо, що ОМ = х.
4. З прямокутного трикутника SОМ
(SО  пл. ABCD): тоді
3
2
x
S
A B
CD
3
32
2
tg
x
SO
SM O
OM x
   
3
2
SM O arctg 
О М

84. Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат ABCD зі
стороною 3 см. Бічне ребро AA1 дорівнює 4 см. Знайдіть площу
перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину
A перпендикулярно до прямої BA1
D1
A
B
A1
C
D
B1
C1

85. Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат ABCD зі
стороною 3 см. Бічне ребро AA1 дорівнює 4 см. Знайдіть площу
перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину
A перпендикулярно до прямої BA1
• I Спосіб одержання перерізу
1. Користуючись тим, що   BA1 ,
одержуємо, що  проходить
через AD і AM  BA1 .
• IІ Спосіб одержання перерізу
1. Побудувати AM  BA1 , провести
через AM і AD площину  і
довести, що   BA1 .
D1
A
B
A1
C
D
B1
C1

MN

86. I Спосіб одержання перерізу
1. Оскільки   BA1 , то пряма AM перетину
площин  і AA1B1B перпендикулярна до BA1
(AM  BA1). Враховуючи, що AD  AA1B1B ,
одержуємо AD  BA1 . Але   BA1 , отже,
AD лежить в площині  (тобто
 проходить через AD і AM  BA1 ).
2. Оскільки площини протилежних бічних
граней прямокутного паралелепіпеда
попарно паралельні, то відповідні прямі їх
перетину з площиною  теж будуть попарно
паралельні: MN  AD, AM DN . Отже,
AMND — паралелограм. Але AD  AA1B1B ,
отже, AD  AM , тобто
AMND — прямокутник.
Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат ABCD зі стороною 3 см. Бічне ребро AA1
дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через
вершину A перпендикулярно до прямої BA1
D1
A
B
A1
C
D
B1
C1

MN

87. IІСпосіб одержання перерізу
1. Проведемо в площині AA1B1B AM  BA1
Через AM і AD проведемо площину  .
Доведемо, що   BA1 .
AD  AA1 B1B , отже AD  BA1 . Враховуючи, що
за побудовою AM  BA1 , одержуємо   BA1
2. Оскільки площини протилежних бічних
граней прямокутного паралелепіпеда
попарно паралельні, то відповідні прямі їх
перетину з площиною  теж будуть попарно
паралельні: MN  AD, AM DN . Отже,
AMND — паралелограм. Але AD  AA1B1B ,
отже, AD  AM , тобто
AMND — прямокутник.
Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат ABCD зі стороною 3 см. Бічне ребро AA1
дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через
вершину A перпендикулярно до прямої BA1
D1
A
B
A1
C
D
B1
C1

MN

88. Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат ABCD зі стороною 3
см. Бічне ребро AA1 дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу
паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину A
перпендикулярно до прямої BA1
• І спосіб обчислення площі
Sперерізу = Sпрямокутника AMND = AD AM
• ІІ спосіб обчислення площі
D1
A
B
A1
C
D
B1
C1

MN
ортог. проекц.
cos cos cos
ABCD ABCD
п е р е р із у
S S S
S
M AB 
  


89. ПІДГОТОВКА УЧНІВ ДО
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
ЗАВДАНЬ З
ПАРАМЕТРАМИ

90. Загальні методи розв’язування
рівнянь і нерівностей
Спеціальні прийоми розв’язування
основних видів рівнянь і нерівностей
1. Раціональні
2. Ірраціональні
3. Тригонометричні
4. Показникові
5. Логарифмічні
Розв’язування рівнянь Розв’язування нерівностей
Використання
рівнянь - наслідків
Використання
рівносильних перетворень
Загальний метод
інтервалів
Використання властивостей функцій
Найпростіші
Більш
складні

91. Cкладники ознайомлення учнів з досвідом
відомих способів діяльності
по розв’язуванню тригонометричних
рівнянь і нерівностей
1. Загальні методи

94. 2. Спеціальні прийоми

97. Розв’язати рівняння cos x = 1 + x2
2
2
1 ( ) 1 ( ) 1
cos 1,
cos 1 0
1 1f x g x
x
x x x
x   

    
 
Використання ІКТ для набуття здатності
висувати та перевіряти справедливість гіпотез

98. Cкладники ознайомлення учнів з досвідом відомих способів діяльності
по розв’язуванню тригонометричних
рівнянь і нерівностей з параметрами
1. Загальні методи
2. Спеціальні прийоми

99. ЗАГАЛЬНІ
МЕТОДИ
ЗАГАЛЬНІ
МЕТОДИ
розв’язування
рівнянь і нерівностей
ЗАГАЛЬНІ
МЕТОДИ
розв’язування
рівнянь і нерівностей
з параметрами

100. Два види
(за вимогою)
“Розв’яжіть …” “Дослідіть …”

101. “Дослідіть …”
Розв’язати
і дослідити
одержані
розв’язки
Застосування
властивостей
функцій
Застосування
властивостей
квадратного
тричлена
Дослідження
кількості
розв ’язків –
графічна
іллюстрація

102. Cкладники ознайомлення учнів з досвідом відомих способів діяльності
по розв’язуванню тригонометричних
рівнянь і нерівностей з параметрами
1. Загальні методи
2. Спеціальні прийоми

103. Завдання 33 (6 балів) 2017 р.
33. Розв’яжіть систему рівнянь залежно від значення параметра а

107. Ключові моменти розв’язування

108. Завдання з параметрами

110. Завдання 32 (4 бали)

113. Основні етапи розв’язування
Обгрунтування
5

115. Завдання 32 (4 бали)
32. Основою правильної призми ABCA1B1C1 є рівносторонній трикутник ABC. Точка K -
середина ребра ВС. Площина, що проходить через точки А, К та В1, утворює з
площиною основи призми кут . Визначте об’єм призми ABCA1B1C1 , якщо відстань від
вершини А до грані BB1C1С дорівнює d.

119. Основні етапи розв’язування
Обгрунтування