65

1. Номер варіанту визначається за останньою цифрою
навчального шифру студента (цифра 0 – варіант 10).
Відповіді слід надіслати у вигляді документу з розширенням
«.doc» або «.pdf»
Завдання 1. Розв’язати СЛАР методом Крамера:
1.1.





−=+−
=+−
=++
.243
,223
,52
321
321
321
xxx
xxx
xxx 1.2.





=++
=−−
=++
.1
,142
,4332
321
321
321
xxx
xxx
xxx 1.3.





=++
−=−+
=++
.2
,33
,122
31
321
321
xx
xxx
xxx
1.4.





=++
=−+−
=++
.22
,134
,123
321
321
321
xxx
xxx
xxx 1.5.





=−+
=++
=++
.1232
,23
,324
321
321
321
xxx
xxx
xxx 1.6.





=++
=+
=+−
.02
,3
,2233
321
32
321
xxx
xx
xxx
1.7.





=+−
=+−
=++
.143
,323
,52
321
321
321
xxx
xxx
xxx 1.8.





=++
=++
=−+
.1423
,232
,022
321
321
321
xxx
xxx
xxx 1.9.





=++
=−+
=++
.12
,132
,232
321
321
321
xxx
xxx
xxx
1.10
.





=++
=−+
=++
.2233
,232
,132
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Завдання 2. Дано точки .,,, DCBA Зобразити у декартовій
прямокутній системі координат) піраміду ABCD , і знайти:
1) площу трикутника ABC ;
2) об’єм піраміди, побудованої на векторах ,АВ
uuur
АС
uuur
і .АD
uuur
2.1. A(1;1;0); B(5;4;0); C(–1;0;3); D(3;3;–1).
2.2. A(0;2;0); B(–3;0;1); C(–3;3;3); D(2;1;4).
2.3. A(0;0;0); B(4;1;2); C(–1;2;–1); D(3;4;–3).
2.4. A(2;1;0); B(5;0;4); C(3;5;1); D(3;3;3).
2.5. A(0;0;0); B(–4;–3;1); C(1;2;–2); D(3;–1;–1).

2. 2.6. A(0;2;1); B(3;3;–2); C(–2;4;2); D(1;6;–1).
2.7. A(0;0;1); B(2;–3;–3); C(4;2;2); D(–3;1;1).
2.8. A(–2;0;0); B(–6;–3;1); C(–6;–1;2); D(–4;–4;3).
2.9. A(0;0;0); B(3;4;2); C(2;1;3); D(–1;–1;2).
2.10. A(1;0;–2); B(5;2;–3); C(3;4;–3); D(–2;–3;0)
Завдання 3. Дано точки A, B, C, D. Потрібно знайти:
1) рівняння площини АВС;
2) відстань від точки D до площини ABC;
3) рівняння площини АВD;
4) кут між площинами АВС і АВD;
5) рівняння прямих АВ і АD та кут між ними;
6) кут між площиною АВС і прямою АВ.
( ) ( ) ( ) ( )1. 3; 2; 1 , 4;3; 2 , 2;7;0 , 2;0;4 .A B C D− − − −
( ) ( ) ( ) ( )2. 5; 2;7 , 4;0;3 , 0;2;1 , 5;2; 1 .A B C D− − −
( ) ( ) ( ) ( )3. 6;3;0 , 0;6;1 , 5;8;0 , 1;0;6 .A B C D
( ) ( ) ( ) ( )4. 1;0;3 , 2; 2;2 , 0;5;1 , 8;7;0 .A B C D− −
( ) ( ) ( ) ( )5. 6;5;0 , 6;11;0 , 2;9;0 , 6;8;6 .A B C D− − − −
( ) ( ) ( ) ( )6. 3; 2;1 , 5;4;0 , 1;6; 2 , 2;1;3 .A B C D− − −
( ) ( ) ( ) ( )7. 4; 3;6 , 3;2;2 , 1;2;1 , 4;3; 1 .A B C D− − − −
( ) ( ) ( ) ( )8. 5;2; 1 , 0;5;0 , 5;8; 1 , 1; 1;7 .A B C D− − −
( ) ( ) ( ) ( )9. 1;1;2 , 3; 2;3 , 1;4;0 , 7;6; 1 .A B C D− − − −
( ) ( ) ( ) ( )10. 5;4;1 , 5;10;1 , 1;8;1 , 5;7;7 .A B C D− − − −
Завдання 4. Дослідити функцію на неперервність і побудувати
схематичний графік.
4.1. 1
1
1
( ) .
1 х
f x
е +
=
+
4.2.
1
, 3;
3
( ) 3, 3 0;
3, 0.
x
х
f xх x
x

< − +

= + − ≤ ≤
 >



3. 4.3.
2
5( ) .хf xе += 4.4.
2 , 0;
( ) ln , 0 ;
4, .
х x
f xх x e
x e
− ≤

= < ≤
 >
4.5 1
1
2
( ) .
1 3 х
f x
−
=
+
4.6. ( )
2
4, 0;
( ) 1 , 0 2;
1
, 2.
1
х x
f xх x
x
х

+ ≤

= − < ≤

 >
−
4.7. б)
5
2 3( ) 7 .хf x −= 4.8.
, 0;
( ) sin , 0 ;
2
, .
2 2
х x
f x x x
x x

− <

π
= ≤ <

π π
− ≥
4.9. 2
1
1
( ) .
1 х
f x
е +
=
+
4.10.
2
3, 1;
( ) 2 , 1 1;
3, 1.
х x
f xх x
x
+ ≤ −

= − < ≤
 >
Завдання 5. Обчислити похідну.
5.1. a) ( ) ( ) 21
ln sin ctg
2
y x x x= + ; б) 3 3
3 0x y x y+ − = ;в)
lncos ;
lnsin .
x t t
y t t
= +

= −
5.2. a) ( ) ( )2
ln 1 2 arcctgy x x x x= − + − ; б) 2
arccosy x= ;в)
( )2
ln 1 ;
arctg .
x t
y t t
 = +

= −
5.3. a) ( ) ( )arcsin cos 2 tgy x x x x= − − + ; б) 2
3x
x y= ; в)
;
1
1
.
1
t
x
t
y
t

= +

 =
 +
5.4. a) ( ) ( ) ( )21
arctg ln 1
2
x x
y x e e= + + ; б) cos 1x y y= + ; в)
2
sin ;
2 sin2 .
x t
y t t
 =

= +
5.5. a) ( ) ln ctg cos ln(ctg )
2
x
y x x x
 
= − + ÷
 
;б) 2 x
x y e= ; в)
2
3
2 ;
6 2 .
x t t
y t t
 = −

= −

4. 5.6. a) ( ) ( )
2
arccos sin x x
y x x x e +
= + + ; б) 3
cos cosx x y= + ; в)
cos sin ;
sin cos .
x t t t
y t t t
= −

= +
5.7. a) ( ) ( )2 2
ln cos tgy x x x= + ; б) y
x y e= ; в)
lnsin 3;
2ctg 1.
x t
y t
= +

= −
5.8. a) ( ) ln 1 arctgy x x x= + + ; б) 2
sin siny x= ; в) 2
1
;
sin
2tg .
x
t
y t

=

 =
5.9. a) ( ) ( )4 31
1 arctg
3
y x x x x x= − + − ; б) 2 y
x y e+ = ; в)
( )
e ;
2 e .
t
t
x t
y t
−
 =

= −
5.10. a) ( ) 21
2ln sin ctg
2
y x x x= + ; б) 3
cosy x y= + ; в)
lncos ;
lnsin .
x t t
y t t
= −

= +
Завдання 6. Знайти частинні похідні функції ( );u f x y=
6.1. 3
,x y
u y e= 6.2. ( )3 2 2
ln 1 5 ,u x y x y= + + + −
6.3. ( )cos 2 4 ,
y
u x y
x
= − + 6.4. ( )2
sin ,u y y x= −
6.5. ( )2 3
ln ,u x y y= − 6.6. ( )2
ln 2 .х
u y x e= +
6.7. ( )2 2
2 ,
x y
u e x y
−
= − 6.8. 3 2
5 .u x yх= −
6.9. ( )3
ln 5 ,u x y= − 6.10. 2 3
2 .u xх y у= − +