1. Σελίδα 1 από 18
Β α σ ι κ έ ς κ α ι π ρ ο α π α ι τ ο ύ μ ε ν ε ς γ ν ώ σ ε ι ς θ ε ω ρ ί α ς
Στοιχεία άλγεβρας
1. Αριθμοί
Σύνολο Φυσικών αριθμών:  0,1,2,3,...
Σύνολο Ακέραιων αριθμών:  ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...   
Σύνολο Ρητών αριθμών:
α
/α,β ακέραιοι με β 0
β
 
  
 
Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. 3
3, 7, 2,...
Το σύνολο Πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς.
Τα σύνολα        0 , 0 , 0 , 0    τα συμβολίζουμε * * * *
, , , αντίστοιχα.
2. Αντίθετοι – Αντίστροφοι (ιδιότητες στο )
Αν α  τότε υπάρχει ο α  που ονομάζεται αντίθετος του α και ισχύει  α α 0   .
Αν *
α  τότε υπάρχει ένας νέος αριθμός *1
α
 που ονομάζεται αντίστροφος του α και ισχύει
1
α 1
α
  , α 0 .
3. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) παραστάσεων
Όταν έχουμε δύο ή περισσότερες παραστάσεις, ονομάζουμε ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ)
αυτών την ελάχιστη παράσταση που διαιρείται από καθεμία των προηγουμένων. Το ΕΚΠ σχη-
ματίζεται από τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες γραμμένους μια φορά ο καθένας με το
μεγαλύτερο εκθέτη.
4. Διάταξη στην ευθεία των πραγματικών αριθμών
Ορίζουμε: α β α β 0   
Ιδιότητες:
 Αν α 0 και β 0 τότε α β 0  , αν α 0 και β 0 τότε α β 0 
 Αν α β και γ 0 τότε α γ β γ  
 Αν α β και γ 0 τότε α γ β γ  
 Αν α β και γ δ τότε α γ β δ  
 Αν α β και γ δ και α,β,γ,δ θετικοί τότε α γ β δ  
 Αν α β 0  τότε ν ν
α β , ν 
 Αν α β και α,β ομόσημοι  αβ 0 τότε
1 1
α β

 Αν α β και β γ τότε α γ
 Αν α β  α γ β γ  
 Αν
α
0
β
  αβ 0 (ομόσημοι), β 0

2. Σελίδα 2 από 18
 Αν
α
0
β
  αβ 0 (ετερόσημοι), β 0
5. Απόλυτη τιμή
Η απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται α και ορίζεται ως εξής:
α, αν α 0
α
α, αν α 0

 
 
Γεωμετρικά η απόλυτη τιμή α παριστάνει την απόσταση του αριθμού α από το μηδέν, πάνω
στον άξονα x 'x .
Επίσης, η απόλυτη τιμή του  α β α β  παριστάνει την απόσταση των αριθμών α και β πάνω
στον άξονα x 'x .
Ιδιότητες Απολύτων:
1. α 0 , α α , α α 
2.
2 2
α α
3. 2
α α
4. α α 
5. α β α β  
6.
αα
β β
 , *
β 
7. α β β α  
8. α β α β α β     (τριγωνική ανισότητα)
9. o ο οx x δ χ δ χ χ δ       , δ 0
10. α) Αν θ 0 τότε x θ χ θ ή χ θ    
β) χ α χ α ή χ α    
γ) Αν θ 0 τότε x θ θ x θ    
δ) Αν θ 0 τότε x θ x θ ή x θ    
6. Ταυτότητες
    2 2
α β α β α β   
    
2 22 2 2 2
α β α 2αβ β α β α β 2αβ        
  
2 2 2
α β α 2αβ β   
      
3 33 2 2 3 3 3
α β α 3α β 3αβ β α β α β 3αβ α β          
  
3 3 2 3 3
α β α 3α β 3αβ β    
   3 3 2 2
α β α β α αβ β    
   3 3 2 2
α β α β α αβ β    
  
2 2 2 2
α β γ α β γ 2αβ 2βγ 2γα       
  
2 2 2 2
α β γ α β γ 2αβ 2βγ 2γα       
7. Τριώνυμο
Κάθε παράσταση της μορφής   2
f x αx βx γ   , α,β,γ  , α 0 ονομάζεται τριώνυμο.
Ορίζουμε τη διακρίνουσα 2
Δ β 4αγ 
Ρίζες τριωνύμου

3. Σελίδα 3 από 18
 Αν Δ 0 τότε το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες 1 2ρ ,ρ με 1
β Δ
ρ
2α
 
 , 2
β Δ
ρ
2α
 

 Αν Δ 0 τότε το τριώνυμο έχει μια διπλή ρίζα την 1 2
β
ρ ρ
2α

 
 Αν Δ 0 τότε το τριώνυμο δεν έχει ρίζες στο , δηλαδή η εξίσωση είναι αδύνατη στο
Παραγοντοποίηση τριωνύμου
 Αν Δ 0 τότε   2
1 2αx βx γ α x ρ x ρ    
 Αν Δ 0 τότε
2
2 β
αx βx γ α x
2α
 
    
 
 Αν Δ 0 τότε το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται
Τύποι του VIETA
 1 2
β
S ρ ρ
α

  
 1 2
γ
P ρ ρ
α
  
 2 2
αx βx γ 0 x Sx P 0      
Πρόσημο τριωνύμου   2
f x αx βx γ  
 Αν Δ 0
 Αν Δ 0
 Αν Δ 0
Γραφική παράσταση τριωνύμου

4. Σελίδα 4 από 18
8. Πολυώνυμο – Παραγοντοποίηση πολυωνύμου
Πολυώνυμα   ν ν 1
ν ν 1 1 οP x α x α x ... α x α
     , ν ν 1 1 οα ,α ,...,α ,α  και ν  .
 Κάθε πολυώνυμο έχει το πολύ τόσες ρίζες όσος είναι ο βαθμός του.
 Πιθανές ακέραιες ρίζες της ν ν 1
ν ν 1 1α x α x ... α x α 0
     με ν ν 1 1 οα ,α ,...,α ,α  , είναι
οι διαιρέτες του σταθερού όρου α.
 Ένα πολυώνυμο  P x έχει παράγοντα το x ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του  P x ,
δηλαδή αν και μόνο αν  P ρ 0 .
 Παραγοντοποίηση πολυωνύμου γίνεται ποιο γρήγορα με το σχήμα Horner.

5. Σελίδα 5 από 18
9. Εξισώσεις – Ανισώσεις που μετατρέπονται σε πολυωνυμικές
Ανισώσεις της μορφής
 
 
A x
0
B x
 ή
 
 
A x
0
B x


 
 
A x
0
B x
     A x B x 0  με  B x 0

 
 
A x
0
B x
     A x B x 0  με  B x 0

 
 
A x
0
B x
     A x B x 0  με  B x 0

 
 
A x
0
B x
     A x B x 0  με  B x 0
 Στις ρητές και στις άρρητες εξισώσεις ή ανισώσεις προσέχουμε τους περιορισμούς. Δηλαδή:

 
 
A x
0
B x
 πρέπει  B x 0
  A x κ πρέπει  A x 0

 
 
A x
λ
B x
 πρέπει  B x 0
10. Δυνάμεις – Ρίζες πραγματικών αριθμών
Ορίζουμε  ν *
α α α ... α ν φορές , ν και ν 2     
Ιδιότητες δυνάμεων
 κ λ κ λ
α α α 
 

κ
κ λ
λ
α
α
α


  
κκ κ
α β α β  

κκ
κ
α α
β β
 
  
 
, β 0
 Αν α 0 , 0
α 1 , ν
ν
1
α
α


 Αν ν περιττός τότε ν ν
x α x α  
 Αν ν άρτιος τότε ν ν
x α x α ή x α    
Ρίζες πραγματικών αριθμών
 Αν α 0 , η α παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης 2
x α και ονομάζεται τε-
τραγωνική ρίζα του α .
 Αν α 0 , η ν
α παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης ν
x α και ονομάζεται νι-
οστή ρίζα του α .
Ιδιότητες ριζών
 2
α α
 α β α β   με α 0 και β 0

α α
ββ
 με α 0 και β 0
 Αν α 0 τότε  
ν
ν
α α και νν
α α
 ν ν να β α β   με α 0 και β 0

ν
ν
ν
α α
ββ
 με α 0 και β 0

6. Σελίδα 6 από 18

μ μ νν
α α

 με α 0

ν ρ μ ρ μν
α α
 
 με α 0 , *
ν 
  
κ
κν ν
α α με α 0 , *
ν,κ 
 νν να β α β   με α 0 και β 0 , *
ν 
 Αν α,β μη αρνητικοί αριθμοί τότε ισχύει ν να β α β  
 Η εξίσωση ν
x α , α 0 και ν περιττός , έχει ακριβώς μία λύση, την ν
α
 Η εξίσωση ν
x α , α 0 και ν άρτιος , έχει ακριβώς δύο λύσεις, τις ν
α και ν
α
11. Μετατροπή κλάσματος με άρρητο παρονομαστή σε ρητό παρανομαστή

α β α βα
ββ β β
 
 

με β 0


  

2 2 23 3 3
2 33 3 33
α β α β α βα
ββ β β β
με β 0

 
   
 α γ δ α γ δα
γ δγ δ γ δ γ δ
 
 
   
με γ δ και γ,δ 0

 
   
 α γ δ α γ δα
γ δγ δ γ δ γ δ
 
 
   
με γ δ και γ,δ 0
Τριγωνομετρία
1. Ορισμοί τριγωνομετρικών αριθμών σε ορθογώνιο τρίγωνο και σε τριγωνομετρικό
κύκλο.

γ
συνΒ
α


β
ημΒ
α


β
εφΒ
γ


γ
σφΒ
β

Ορισμοί στον τριγωνομετρικό κύκλο
  συνω x τετμημένη του Μ
  ημω y τεταγμένη του Μ
  Eεφω y τεταγμένη του Ε
  Eσφω x τετμημένη του Σ

7. Σελίδα 7 από 18
 χχ'  άξονας συνημιτόνων
 yy '  άξονας ημιτόνων
 ε  ευθεία εφαπτομένων
 δ  ευθεία συνεφαπτομένων
 1 συνω 1  
 1 ημω 1  
Μοίρες – ακτίνια
Ο τύπος που μετατρέπει τις μοίρες μ σε ακτίνια α (rad) και αντίστροφα είναι ο εξής: ο
α μ
π 180

2. Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών τόξων και γωνιών
Γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί
σε μοίρες σε rad ημω συνω εφω σφω
o
0 0 0 1 0 -
o
30
π
6
1
2
3
2
3
3
3
o
45
π
4
2
2
2
2
1 1
o
60
π
3
3
2
1
2
3
3
3
o
90
π
2
1 0 - 0
3. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες
 2 2
ημ ω συν ω 1 

ημω
εφω
συνω


συνω
σφω
ημω

 εφω σφω 1 
 2
2
1
συν ω
1 εφ ω



2
2
2
εφ ω
ημ ω
1 εφ ω


4. Σημαντικοί τριγωνομετρικοί τύποι
  συν α β συνα συνβ ημα ημβ    
  συν α β συνα συνβ ημα ημβ    
  ημ α β ημα συνβ ημβ συνα    
  ημ α β ημα συνβ ημβ συνα    
 2 2 2 2
συν2α συν α ημ α 1 2ημ α 2συν α 1     
 2 2 2α α α
συνα συν ημ 1 2 ημ 2 συ
2 2 2
      
  
εφα εφβ
εφ α β
1 εφα εφβ

 
 

8. Σελίδα 8 από 18
  
εφα εφβ
εφ α β
1 εφα εφβ

 
 
  
σφα σφβ 1
σφ α β
σφβ σφα
 
 

  
σφα σφβ 1
σφ α β
σφβ σφα
 
 

 ημ2α 2 ημα συνα  
 2
2 εφα
εφ2α
1 εφ α




2
σφ α 1
σφ2α
2 σφα



 2 1 συν2α
συν α
2


 2 1 συν2α
ημ α
2


 2 1 συν2α
εφ α
1 συν2α



 2
2 εφα
ημ2α
1 εφ α




2
2
1 εφ α
συν2α
1 εφ α



5. Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο – Τριγωνομετρικοί αριθμοί γύρω από τις θέσεις
π
2
και
3π
2

 ο
συν 180 θ συνθ  

 ο
ημ 180 θ ημθ 
  ο
εφ 180 θ εφθ  
  ο
σφ 180 θ σφθ  
  συν θ συνθ 
  ημ θ ημθ  
  εφ θ εφθ  
  σφ θ σφθ  
  ο
συν 180 θ συνθ  
  ο
ημ 180 θ ημθ  
  ο
εφ 180 θ εφθ 
  ο
σφ 180 θ σφθ 
  ο
συν 90 θ ημθ 
  ο
ημ 90 θ συνθ 
  ο
εφ 90 θ σφθ 
  ο
σφ 90 θ εφθ 
  ο
συν 90 θ ημθ  
  ο
ημ 90 θ συνθ 
  ο
εφ 90 θ σφθ  
  ο
σφ 90 θ εφθ  
  ο
συν 270 θ ημθ  
  ο
ημ 270 θ συνθ  
  ο
εφ 270 θ σφθ 
  ο
σφ 270 θ εφθ 
  ο
συν 270 θ ημθ 
  ο
ημ 270 θ συνθ  
  ο
εφ 270 θ σφθ  
  ο
σφ 270 θ εφθ  
6. Επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων
 Αν συνx συνθ τότε x 2κπ θ  ή x 2κπ θ  , κ 
 Αν ημx ημθ τότε x 2κπ θ  ή x 2κπ π θ   , κ 
 Αν εφx εφθ τότε x κπ θ  , κ 
 Αν σφx σφθ τότε x κπ θ  , κ 
7. Βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις (περιοδική-άρτια-περιττή συνάρτηση, μονο-
τονία-ακρότατα συνάρτησης)
 Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός α-
ριθμός T 0 τέτοιος ώστε για κάθε x A να ισχύει:
o x T A, x T A   

9. Σελίδα 9 από 18
o      f x T f x T f x   
o Ο πραγματικός αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της f
π.χ. Περιοδικές συναρτήσεις είναι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις:  f x συνx ,
 f x ημx ,  f x εφx ,  f x σφx
 Μια συνάρτηση f : A  λέγεται άρτια αν:
o Για κάθε x A ισχύει x A 
o    f x f x  για κάθε x A
Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον
άξονα yy '.
 Μια συνάρτηση f : A  λέγεται περιττή αν:
o Για κάθε x A ισχύει x A 
o    f x f x   για κάθε x A
Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας
την αρχή των αξόνων  O 0,0 .
Μονοτονία συνάρτησης:
 Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της,
όταν για οποιαδήποτε 1 2x ,x Δ ισχύει:
Αν 1 2x x τότε    1 2f x f x
 Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της,
όταν για οποιαδήποτε 1 2x ,x Δ ισχύει:
Αν 1 2x x τότε    1 2f x f x
 Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότο-
νη.
Ακρότατα:
 Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει ελάχιστο στο ox A όταν
   of x f x , για κάθε x A . Η τιμή  of x λέγεται ελάχιστο της συνάρτησης f .
 Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει μέγιστο στο ox A όταν    of x f x ,
για κάθε x A . Η τιμή  of x λέγεται μέγιστο της συνάρτησης f .
Μελέτη τριγωνομετρικών συναρτήσεων
  f x ημx , x  , 1 ημx 1  

10. Σελίδα 10 από 18
Η f είναι περιοδική με περίοδο 2π και για αυτό τη μελετάμε σε διάστημα πλάτους 2π π.χ.
 0,2π
Η συνάρτηση  f x ημx είναι περιττή γιατί      f x ημ x ημx f x       και έτσι η γραφι-
κή παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή  O 0,0 των αξόνων. Ακόμα έχει μέγιστο στο
o
π
x
2
 με
π
f 1
2
 
 
 
και ελάχιστο στο 1
3π
x
2
 με
3π
f 1
2
 
  
 
.
  f x συνx , x  , 1 συνx 1  
Η f είναι περιοδική με περίοδο 2π και για αυτό τη μελετάμε σε διάστημα πλάτους 2π π.χ.
 0,2π
Η συνάρτηση  f x συνx είναι άρτια γιατί      f x συν x συνx f x     και έτσι η γραφική
παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy '. Ακόμα έχει μέγιστο στα 1x 0 , 2x 2π με
 f 0 1 ,  f 2π 1 και ελάχιστο στο 3x π με  f π 1  .
  f x εφx ,
π
x κπ όπου κ
2
 
    
 

11. Σελίδα 11 από 18
Η f είναι περιοδική με περίοδο π και για αυτό τη μελετάμε σε διάστημα πλάτους π π.χ.
π π
,
2 2
 
 
 
Η συνάρτηση f είναι περιττή γιατί      f x εφ x εφx f x       και έτσι η γραφική παρά-
σταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή  O 0,0 των αξόνων. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο
π π
,
2 2
 
 
 
. Οι ευθείες
π
x
2
  ,
π
x
2
 είναι κατακόρυφοι ασύμπτωτοι της γραφικής παράστασης
της f .
  f x σφx ,  x κπ όπου κ  
Η f είναι περιοδική με περίοδο π και για αυτό τη μελετάμε σε διάστημα πλάτους π π.χ.
 0,π
Η συνάρτηση είναι περιττή γιατί      f x σφ x σφx f x       και έτσι η γραφική παράστα-
ση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή  O 0,0 των αξόνων. Η ευθεία x π και ο άξονας yy ' εί-
ναι κατακόρυφοι ασύμπτωτοι της γραφικής παράστασης της f . Η f είναι γνησίως αύξουσα στο
 0,π .
Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση
1. Εκθετική συνάρτηση (Μελέτη και μονοτονία) – Επίλυση εκθετικών εξισώσεων – α-
νισώσεων

12. Σελίδα 12 από 18
Εκθετική συνάρτηση ορίζουμε τη συνάρτηση  f : 0,  με   χ
f x α , α 0 και α 1 , δη-
λαδή    α 0,1 1,  
 Αν α 1 τότε για την   x
f x α ισχύουν:
o έχει πεδίο ορισμού το
o έχει σύνολο τιμών το διάστημα
 0,
o είναι γνησίως αύξουσα στο δηλα-
δή για κάθε 1 2x ,x  , αν 1 2x x
τότε 21 xx
α α
o η γραφική της παράσταση τέμνει τον
άξονα yy ' στο σημείο  Α 0,1 και
έχει ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιά-
ξονα των x .
 Αν 0 α 1  τότε για την   x
f x α ι-
σχύουν:
o έχει πεδίο ορισμού το
o έχει σύνολο τιμών το διάστημα
 0,
o είναι γνησίως φθίνουσα στο δηλα-
δή για κάθε 1 2x ,x  , αν 1 2x x
τότε 21 xx
α α
o η γραφική της παράσταση τέμνει τον
άξονα yy ' στο σημείο  Α 0,1 και
έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα
των x .
Σχόλιο χρήσιμο για ασκήσεις με εκθετικές εξισώσεις
 Αν 1 2x x τότε 21 xχ
α α (λόγω μονοτονίας της   x
f x α ) οπότε με απαγωγή σε άτοπο
έχουμε 21 xx
1 2α α x x  
 Για την επίλυση εκθετικών ανισώσεων εφαρμόζουμε τη μονοτονία της   x
f x α , προσέ-
χοντας αν α 1 ή 0 α 1 
 Στη διαδικασία επίλυσης εκθετικών εξισώσεων ή ανισώσεων μπορούμε να εφαρμόζουμε
τις ιδιότητες των δυνάμεων.
2. Έννοια λογαρίθμου (Ορισμός – Ιδιότητες) – Λογαριθμική συνάρτηση και μελέτη αυ-
τής
Λογαριθμική συνάρτηση ορίζουμε τη συνάρτηση  f : 0,  με   αf x log x , α 0 και
α 1 , x 0 .
Ισχύει: θ
αlog x θ α x  

13. Σελίδα 13 από 18
Όταν α e γράφουμε ln x και έχουμε φυσικό λογάριθμο του x
Όταν α 10 γράφουμε log x
Για τη συνάρτηση   αf x log x ισχύουν:
  x 0, 
 y 
 Αν 0 α 1  , η f είναι γνησίως φθίνουσα δηλαδή αν 1 2x x τότε α 1 α 2log x log x
 Αν α 1 , η f είναι γνησίων αύξουσα δηλαδή αν 1 2x x τότε α 1 α 2log x log x
Έτσι η  f x ln x , όπου α e , είναι γνησίως αύξουσα.
Ιδιότητες λογαρίθμων
  α 1 2 α 1 α 2log x x log x log x  
 1
α α 1 α 2
2
x
log log x log x
x
 
  
 
 κ
α 1 α 1log x κ log x 
 αlog α 1 και αlog 1 0
 x
αlog α x και αlog x
α x
 Αν:
o α 1 τότε α 1 α 2 1 2log x log x x x  
o 0 α 1  τότε α 1 α 2 1 2log x log x x x  
 x x lnα
α e 
 , αφού lnα
α e
 α
β
α
log θ
log θ
log β
 , θ 0 , α,β 0 και α,β 1
 β
lnθ
log θ
lnβ

 β
log θ
log θ
logβ

 Αν:
o α 1 και 0 x 1  τότε αlog x 0
o α 1 και x 1 τότε αlog x 0
 Αν:
o 0 α 1  και x 1 τότε αlog x 0
o 0 α 1  και 0 x 1  τότε αlog x 0
3. Επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων – ανισώσεων
 Από τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης προκύπτει:
Αν 1 2x x , τότε α 1 α 2log x log x , έτσι με απαγωγή σε άτοπο έχουμε ότι ισχύει:
α 1 α 2 1 2log x log x x x  
 Εφαρμόζουμε τον ορισμό του λογαρίθμου και τις ιδιότητες.
 Για την επίλυση των λογαριθμικών ανισώσεων εφαρμόζουμε:
o τον ορισμό του λογαρίθμου και τις ιδιότητες

14. Σελίδα 14 από 18
o τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης
4. Λογάριθμοι στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων – ανισώσεων
Εφαρμόζοντας τους ορισμούς και τις ιδιότητες της εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης
προσπαθούμε να μετατρέψουμε την εκθετική εξίσωση – ανίσωση σε λογαριθμική ή το αντί-
στροφο ανάλογα με το πιο είναι πιο εύκολο.
Στοιχεία αναλυτικής γεωμετρίας
1. Διανύσματα
Α1. Βασικές γνώσεις στα διανύσματα
 Έστω διάνυσμα ΑΒ

με άκρα  1 1Α x , y ,
 2 2Β x , y
o ΟΑ ΑΒ ΟΒ 
  
o  2 1 2 1ΑΒ x x ,y y  

(συντεταγμένες του
ΑΒ

)
o Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ

είναι
1 2 1 2x x y y
Μ ,
2 2
  
 
 
 Έστω το διάνυσμα  α x,y

, x 0 . Τότε καλού-
με συντελεστή διεύθυνσης λ εφω όπου ω είναι
η γωνία του α

. Είναι
y
λ
x
 , x 0 .
Δηλαδή για το ΑΒ

ισχύει 2 1
ΑΒ
2 1
y y
λ
x x



 , 1 2x x
 Μέτρο του διανύσματος  α x, y

: 2 2
α x y 

 Έτσι για το ΑΒ

είναι
   
2 2
2 1 2 1ΑΒ x x y y   

δηλαδή η ευκλεί-
δεια απόσταση μεταξύ των σημείων Α, Β.
 Δύο διανύσματα  1 1α x , y

και  2 2β x ,y

είναι παράλληλα δηλαδή α β

, εάν και μό-
νο εάν η ορίζουσα  det των συντεταγμένων τους είναι μηδέν δηλαδή:
1 1
1 2 2 1
2 2
x y
x y x y 0
x y
    

15. Σελίδα 15 από 18
Α2. Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
Έστω  1 1α x , y

,  2 2β x ,y

Καλούμε εσωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων
τον αριθμό α β συνω 

.
Άρα α β α β συνω   
  
ή 1 2 1 2α β x x y y    

Ισχύει 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
x x y y
συνω
x y x y
  

  
2. Ευθεία
Β1. Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας, εξίσωση ευθείας, παράλληλες και κάθετες ευθείες, γωνία
τεμνόμενων ευθειών
 Μια ευθεία  δ καθορίζεται από τη διεύθυνση της. Ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης
αυτής λ εφω όπου ω η γωνία της  δ με τον άξονα Οx . Ισχύει: 0 ω π 
 Εξίσωση ευθεία:
o  o oε : y y λ x x   , αν ο συντελεστής διεύθυνσης της λ και η ευθεία περνάει από
το σημείο  o oΑ x , y . Αν
π
ω
2
 δεν υπάρχει λ  και τότε ox x .
Αν δίνεται σημείο Α με παραμετρική έκφραση για να ορίσουμε την ευθεία πάνω στην
οποία κινείται το Α εργαζόμαστε ως εξής:
Έστω  A 2λ 1,λ 2  . Θέτουμε x 2λ 1  και y λ 2  και απαλείφουμε την παρά-
μετρο λ δηλαδή λ y 2  άρα  x 2 y 2 1 x 3y 4 1 x 2y 5 0            .
o ε : Αx By Γ 0   με A B 0  αν B 0 τότε ε
Α
λ
Β
 
Αν    1 2δ δ τότε 1 2λ λ
Αν    1 2δ δ τότε 1 2λ λ 1  
 Για να βρούμε τη γωνία δύο ευθειών    1 2δ , δ εργαζόμαστε ως εξής:
Λαμβάνουμε διάνυσμα  1α δ

και  2β δ

Βρίσκουμε τη γωνία των διανυσμάτων α,β

.
Β2. Απόσταση σημείου από ευθεία
Απόσταση d σημείου  o oA x , y από την ευθεία  ε : Αχ Βy Γ 0   : o o
2 2
Ax By Γ
d
Α Β
 


Β3. Εμβαδόν τριγώνου (ΑΒΓ)

16. Σελίδα 16 από 18
Εμβαδόν τριγώνου (ΑΒΓ) όπου  1 2A x ,y ,  2 2B x , y ,  3 3Γ x , y :
 1
E det AB,AΓ
2

 
, όπου  det AB,AΓ
 
είναι η ορίζουσα των
συντεταγμένων ΑΒ

, ΑΓ

.
3. Κωνικές τομές
Γ1. Κύκλος – Εξισώσεις κύκλου
    
2 2 2
ο ox x y y ρ    , όπου  o oK x , y είναι το κέντρο του και ρ ακτίνα του
Όταν το κέντρο είναι η αρχή των αξόνων η εξίσωση γίνεται:
2 2 2
x y ρ  και η εξίσωση της εφαπτομένης  ε σε ένα σημείο του  1 1Α x , y είναι
2
1 1ε : xx yy ρ 
 2 2
x y Ax By Γ 0     όταν 2 2
Α Β 4Γ 0  
Ο κύκλος τότε έχει κέντρο
Α Β
Κ ,
2 2
 
  
 
και ακτίνα
2 2
Α Β 4Γ
ρ
2
 

Γ2. Μέγιστη – Ελάχιστη απόσταση σημείου του κύκλου από την αρχή των αξόνων
 ΟΑ  ελάχιστη απόσταση από το  Ο 0,0
 ΟΜ  μέγιστη απόσταση από το  Ο 0,0
Γ3. Παραβολή
 Η εξίσωση παραβολής C με εστία
p
Ε ,0
2
 
 
 
και διευθετούσα
p
δ : x
2
  είναι 2
y 2px
 Η εφαπτομένη της παραβολής 2
y 2px στο σημείο  1 1Μ x , y έχει εξίσωση:
 1 1yy p x x 
 Εξίσωση παραβολής C με εστία
p
Ε 0,
2
 
 
 
και διευθετούσα
p
δ : y
2
  είναι 2
x 2py
 Η εφαπτομένη της παραβολής 2
x 2py στο σημείο της  1 1Μ x , y έχει εξίσωση:
 1 1xx p y y 
Γ4. Έλλειψη
 Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία  Ε' γ,0 ,  Ε γ,0 και σταθερό άθροισμα
2α είναι:
2 2
2 2
x y
1
α β
  όπου 2 2
β α γ 

17. Σελίδα 17 από 18
 Η εφαπτομένη της έλλειψης C στο σημείο της  1 1Μ x , y έχει εξίσωση 1 1
2 2
xx yy
1
α β
 
 Η εκκεντρότητα της έλλειψης ορίζεται ως
γ
ε 1
α
  ή
2 2
α β
ε
α

 , άρα 2β
1 ε
α
 
 Αν 1Μ , 2Μ είναι δύο οποιαδήποτε σημεία της έλλειψης συμμετρικά ως προς Ο τότε το
ευθύγραμμο τμήμα 1 2Μ Μ λέγεται διάμετρος της έλλειψης και ισχύει  1 22β Μ Μ 2α 
2α  μήκος μεγάλου άξονα
2β  μήκος μικρού άξονα
Γ5. Υπερβολή
 Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία  Ε' γ,0 ,  Ε γ,0 και σταθερή διαφορά
2α είναι:
2 2
2 2
x y
1
α β
  όπου 2 2
β γ α 
 Η εφαπτομένη της έλλειψης C στο σημείο της  1 1Μ x , y έχει εξίσωση 1 1
2 2
xx yy
1
α β
 
 Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία  Ε' 0, γ ,  Ε 0,γ και σταθερή διαφορά
2α είναι:
2 2
2 2
y x
1
α β
  όπου 2 2
β γ α 
 Αν α β τότε έχουμε 2 2 2
x y α  που λέγεται ισοσκελής υπερβολή
 Οι ασύμπτωτες της υπερβολής
2 2
2 2
x y
1
α β
  είναι
β
y x
α
 ,
β
y x
α
 
 Οι ασύμπτωτες της υπερβολής
2 2
2 2
y x
1
α β
  είναι
α
y x
β
 ,
α
y x
β
 
 Η εκκεντρότητα της υπερβολής ορίζεται ως
γ
ε 1
α
  ή 2β
ε 1
α
 
 Η εφαπτομένη της υπερβολής C στο σημείο της  1 1Μ x , y έχει εξίσωση 1 1
2 2
yy xx
1
α β
 
Αριθμητική – Γεωμετρική πρόοδος
1. Αριθμητική πρόοδος

18. Σελίδα 18 από 18
Αριθμητική πρόοδος (Α.Π.) λέγεται μια ακολουθία  να , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον
προηγούμενο του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού, τον οποίο ονομάζουμε διαφορά της
προόδου και συμβολίζουμε με ω.
Δηλαδή ν 1 να α ω    ν 1 να α ω  
Οι όροι της Α.Π. είναι  1 1 1 1α ,α ω,α 2ω,...,α ν 1 ω   
Άρα  ν 1α α ν 1 ω   , *
ν 
 Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. αν και μόνο αν ισχύει
α γ
β
2


ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ
 Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου  να , με διαφορά ω είναι:
 ν 1 ν
ν
S α α
2
  ή  ν 1
ν
S 2α ν 1 ω
2
    
2. Γεωμετρική πρόοδος
Γεωμετρική πρόοδος (Γ.Π.) λέγεται μια ακολουθία  να , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον
προηγούμενο του με πολλαπλασιασμό επί το ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό, τον οποίο ονο-
μάζουμε λόγο της προόδου και τον συμβολίζουμε με λ.
Αν λ 0 ισχύει ν 1 να α λ   ή ν 1
ν
α
λ
α


Οι όροι της Γ.Π. είναι: 2 ν 1
1 1 1 1α ,α λ,α λ ,...,α λ 
  
Έτσι ν 1
ν 1α α λ 
  , *
ν 
 Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π., αν και μόνο αν ισχύει
2
β α γ 
Ο β λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ
 Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου  να με λόγο λ 1 είναι
ν
ν 1
λ 1
S α
λ 1



 Αν λ 1 τότε το άθροισμα των άπειρων όρων της γεωμετρικής προόδου είναι: 1α
S
1 λ

