การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม 

1. บทที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง
เมื่อเรียนจบบทนี้แล้วนักเรียนจะสามารถ
1. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสามที่อยู่ในรูปผลบวกกาลังสามและผลต่างกาลังสาม
โดยใช้สูตร
2. แยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม ที่สามารถจัดให้อยู่ในรูปผลต่างของ
กาลังสอง กาลังสองสมบูรณ์ ผลบวกของกาลังสาม หรือผลต่างของกาลังสาม โดยใช้
สมบัติการเปลี่ยนหมู่ สมบัติการสลับที่ หรือสมบัติการแจกแจง
จุดประสงค์ของบทเรียน

2. บทที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง
• สมบัติของเลขยกกาลัง
(am)n = amn เมื่อ a เป็นจานวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ m และ n เป็นเลขชี้กาลังที่เป็นจานวนเต็ม
เช่น (103)2 = 103  2 = 106
210 = 25  2 = (25)2
(ab)n = an bn เมื่อ a, b เป็นจานวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ n เป็นเลขชี้กาลังที่เป็นจานวนเต็ม
เช่น (2 x 5)3 = 23  53 = 1,000
• พหุนามดีกรีสองที่อยู่ในรูป x2 + bx + c แยกตัวประกอบเป็น (x + m)(x + n) ได้ เมื่อ mn = c และ m + n = b
โดยที่ b, c, m และ n เป็นจานวนเต็ม
เช่น x + 5x +6 = (x + 2)(x + 3)
• พหุนามดีกรีสองที่อยู่ในรูป ax2 + bx + c แยกตัวประกอบเป็น (px + r)(qx + s) ได้ เมื่อ pq = a, rs = c
และ ps + qr = b โดยที่ a, b, c, d, q, r, s เป็นจานวนเต็ม และ a  0
เช่น 6x2 – 7x – 3 = (2x – 3)(3x + 1)
ทบทวนความรู้ก่อนเรียน

3. บทที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง
• ถ้า A และ B เป็นพหุนาม จะแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นกาลังสองสมบูรณ์ได้ตามสูตร ดังนี้
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
• ถ้า A และ B เป็นพหุนาม จะแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นผลต่างของกาลังสองได้ตามสูตร ดังนี้
A2 – B2 = (A + B)(A – B)
ทบทวนความรู้ก่อนเรียน
นักเรียนเคยทราบมาแล้วเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่อยู่ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นจานวนเต็ม
และ a  0 ให้ได้เป็นตัวประกอบที่มีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์และค่าคงตัวเป็นจานวนเต็ม ในบทนี้จะกล่าวถึงการแยกตัวประกอบ
ของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์และค่าคงตัวเป็นจานวนเต็มให้ได้เป็นตัวประกอบที่มีสัมประสิทธิ์ของ
แต่ละพจน์และค่าคงตัวเป็นจานวนเต็มเท่านั้น
ทักษะในการแยกตัวประกอบของพหุนามนี้ จะเป็นพื้นฐานการเรียนรู้ในระดับที่สูงขึ้น สามารถนาไปใช้แก้ปัญหาในสถานการณ์
ได้มากขึ้น

4. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม
ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์เป็น
จานวนเต็ม และตัวประกอบที่ได้มามีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์เป็นจานวนเต็มด้วย
1. (x + 5) (x2 – 5x + 25) = x3 – 5x2 + 25x + 5x2 – 25x + 125
= x3 + 125
= x3 + 53
2. (2x + 3) (4x2 – 6x + 9) = 8x3 – 12x2 + 18x + 12x2 – 18x + 27
= 8x3 + 27
= (2x)3 + 33
พิจารณาการหาผลคูณของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้

5. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม
จากผลคูณในข้อที่ 1 ถึงข้อ 4 ข้างต้น จะเห็นว่าเมื่อมีผลคูณเป็นพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกของกาลังสามหรือ
ผลต่างของกาลังสาม สามารถใช้สมบัติของการเท่ากันเขียนพหุนามที่เป็นผลคูณนั้นในรูปการคูณของพหุนามได้ นั่นคือ
จะได้การแยกตัวประกอบของ x3 + 53 , (2x)3 + 33 , x3 – 53 และ (2x)3 – 33 เป็นดังนี้
1. x3 + 53 = (x + 5) (x2 – 5x + 25)
2. (2x)3 + 33 = (2x + 3) (4x2 – 6x + 9)
3. x3 – 53 = (x – 5) (x2 + 5x + 25)
4 .(2x)3 – 33 = (2x – 3) (4x2 + 6x + 9)
3. (x – 5) (x2 + 5x + 25) = x3 + 5x2 + 25x – 5x2 – 25x – 125
= x3 – 125
= x3 – 53
4. (2x – 3) (4x2 + 6x + 9) = 8x3 + 12x2 + 18x – 12x2 – 18x – 27
= 8x3 – 27
= (2x)3 – 33
เรียกพหุนาม เช่น x3 + 53 และ (2x)3 + 33 ว่า ผลบวกของกาลังสาม
และ เรียกพหุนาม เช่น x3 – 53 และ (2x)3 – 33 ว่า ผลต่างของกาลังสาม

6. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม
พิจารณา x3 – 53 = (x – 5)(x2 + 5x + 25)
หรือ x3 – 53 = (x – 5)[x2 + (x)(5) + 52]
และพิจารณา (2x)3 – 33 = (2x – 3)(4x2 + 6x + 9)
หรือ (2x)3 – 33 = (2x – 3)[(2x)2 + (2x)(3) + 32]
จะเห็นว่า การแยกตัวประกอบของพหุนามข้างต้นมีลักษณะพิเศษที่สังเกตได้ดังนี้
(พจน์หน้า)3 – (พจน์หลัง)3 = (พจน์หน้า – พจน์หลัง)[(พจน์หน้า)2 + (พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2]
พิจารณา x3 + 53 = (x + 5)(x2 – 5x + 25)
หรือ x3 + 53 = (x + 5)[x2 – (x)(5) + 52]
และพิจารณา (2x)3 + 33 = (2x + 3)(4x2 – 6x + 9)
หรือ (2x)3 + 33 = (2x + 3)[(2x)2 – (2x)(3) + 32]
จะเห็นว่า การแยกตัวประกอบของพหุนามข้างต้นมีลักษณะพิเศษที่สังเกตได้ดังนี้
(พจน์หน้า)3 + (พจน์หลัง)3 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง)[(พจน์หน้า)2 – (พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2]
พจน์หน้าคือ x พจน์หลังคือ 5
พจน์หน้าคือ 2x พจน์หลังคือ 3
พจน์หน้าคือ x พจน์หลังคือ 5
พจน์หน้าคือ 2x พจน์หลังคือ 3

7. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม
ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x3 + 125
วิธีทา x3 + 125 = x3 + 53
= (x + 5) [x2 – (x)(5) + 52]
= (x + 5) (x2 – 5x + 25)
ดังนั้น x3 + 125 = (x + 5) (x2 – 5x + 25)
ในกรณีทั่วไป เมื่อ A และ B เป็นพหุนาม เรียกพหุนามที่อยู่ในรูป A3 + B3 ว่าผลบวกของกาลังสาม และ
เรียกพหุนามที่อยู่ในรูป A3 – B3 ว่าผลต่างของกาลังสาม
การแยก ตัวประกอบของพหุนามทาได้ตามสูตรดังนี้
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 27x3 + 64
วิธีทา 27x3 + 64 = (3x)3 + 43
= (3x + 4) [(3x)2 – (3x)(4) + 42]
= (3x + 4) (9x2 – 12x + 16)
ดังนั้น 27x3 + 64 = (3x + 4) (9x2 – 12x + 16)

8. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม
ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ (2x + 1)3 + (x – 3)3
วิธีทา (2x + 1)3 + (x – 3)3 = [(2x + 1) + (x – 3)][(2x + 1)2 – (2x + 1)(x – 3) + (x – 3)2]
= (2x + 1 + x – 3)[(4x2 + 4x + 1) – (2x2 – 6x+x – 3) + (x2 – 6x + 9)]
= (3x – 2) (4x2 + 4x + 1 – 2x2 + 5x + 3 + x2 – 6x + 9)
= (3x – 2) (3x2 + 3x + 13)
ดังนั้น (2x + 1)3 + (x – 3)3 = (3x – 2) (3x2 + 3x + 13)
ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 1,000 – x3
วิธีทา 1,000 – x3 = 103 – x3
= (10 – x)[102 + (10)(x) + x2]
= (10 – x)[100 + 10x + x2]
ดังนั้น 1,000 – x3 = (10 – x)[100 + 10x + x2]
ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ x3 – 126
วิธีทา x3 – 126 = x3 – 63
= (x – 6) [x2 + (x)(6) + 62]
= (x – 6) (x2 + 6x + 36)
ดังนั้น x3 – 126 = (x – 6) (x2 + 6x + 36)

9. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม
ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ 8x3 – 27y3
วิธีทา 8x3 – 27y3 = (2x)3 – (3y)3
= (2x – 3y)[(2x)2 + (2x)(3y) + (3y)2]
= (2x – 3y) (4x2 + 6xy +9y2)
ดังนั้น 8x3 – 27y3 = (2x – 3y) (4x2 + 6xy +9y2)
ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ (x – 3)3 – (3x + 2)3
วิธีทา (x – 3)3 – (3x + 2)3 = [(x – 3) – (3x + 2)][(x – 3)2 + (x – 3)(3x + 2) + (3x + 2)2]
= (x – 3 – 3x – 2)(x2 – 6x + 9 + 3x2 + 2x – 9x – 6 + 9x2 + 12x + 4)
= (– 2x – 5)(13x2 – x + 7)
ดังนั้น (x – 3)3 – (3x + 2)3 = (– 2x – 5)(13x2 – x + 7)

10. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม
จากสูตร A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
เพื่อให้ง่ายต่อการจดจาและนาไปใช้ อาจจาโดยย่อ ดังนี้
(หน้า)3 + (หลัง)3 = (หน้า + หลัง)[(หน้า)2 – (หน้า)(หลัง) + (หลัง)2 ]
(หน้า)3 – (หลัง)3 = (หน้า – หลัง)[(หน้า)2 + (หน้า)(หลัง) + (หลัง)2]
จาไว้ใช้
ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 2.1 ก

11. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง บางครั้งอาจทาได้โดยจัดพหุนามนั้นให้อยู่ในรูป
ผลต่างของกาลังสอง กาลังสองสมบูรณ์ ผลบวกของกาลังสาม ผลต่างของกาลังสาม หรือนาแนวคิดใน
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่อยู่ ในรูปอื่น ๆ มาใช้ จากนั้นนักเรียนสามารถนาความรู้ที่เคย
เรียนมาแล้วมาใช้ในการแยกตัวประกอบต่อได้ ดังต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบของ 16x4 – 812
วิธีทา 16x4 – 812 = (4x)2 – 92
= (4x2 + 9)(4x2 – 9)
= (4x2 + 9)[(2x)2 – 3]
= (4x2 + 9)(2x + 3)(2x – 3)
ดังนั้น 16x4 – 812 = (4x2 + 9)(2x + 3)(2x – 3)
ตัวอย่างที่ 9 จงแยกตัวประกอบของ x4 + x2 + 1
วิธีทา x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2
= (x2 + 1)2 – x2
= [(x2 + 1) + x][(x2 + 1) – x]
= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
ดังนั้น x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
เพื่อให้ได้ (x2 + 1)2 จะต้องมีพจน์ 2x2 แต่
เนื่องจากพจน์กลางของพหุนาม x4 + x2 +
1 ไม่มีพจน์ 2x2 แต่มีพจน์ x2 จึงต้องเพิ่มอีก
x2 แล้วลบออกด้วย x2

12. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม
ตัวอย่างที่ 10 จงแยกตัวประกอบของ x4 + 4
วิธีทาx4 + 4 = (x2)2 + 22
= [(x2)2 + 2(2)x2 + 22] – 2(2)x2
= (x2 + 2)2 – 4x2
= (x2 + 2)2 – (2x)2
= [(x2 + 2) + 2x][ (x2 + 2) – 2x]
= (x2 + 2x + 2) (x2 – 2x + 2)
ดังนั้น x4 + 4 = (x2 + 2x + 2) (x2 – 2x + 2)
เพื่อให้ได้ (x2 + 2)2 จะต้องมีพจน์
2(2)x2 แต่เนื่องจากไม่มีพจน์ 2(2)x2
ของพหุนาม x4 + 4 จึงต้องเพิ่ม
พจน์ 2(2)x2 เข้าไปแล้วลบออกด้วย
2(2)x2

13. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม
ตัวอย่างที่ 11 จงแยกตัวประกอบของ x6 – 64
วิธีทา
วิธีที่ 1 แยกตัวประกอบโดยจัดพหุนาม x6 – 64 ให้อยู่ในรูปของ
ผลต่างกาลังสองก่อน
x6 – 64 = (x3)2 – 82
= (x3 + 8)(x3 – 8)
= (x3 + 23)(x3 – 23)
= (x + 2)(x2 – 2x + 4)(x – 2)(x2 + 2x + 4)
= (x + 2)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x2 + 2x + 4)
ดังนั้น x6 – 64 = (x + 2)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x2 + 2x + 4)
วิธีที่ 2 แยกตัวประกอบโดยจัดพหุนาม x6 – 64 ให้อยู่ในรูปของ
ผลต่างกาลังสามก่อน
x6 – 64 = (x2)3 – 43
= (x2 – 4)(x4 + 4x2 + 16)
= (x + 2)(x – 2)[(x4 + 8x2 + 16) – 4x2]
= (x + 2)(x – 2)[(x2 + 4)2 – (2x)2]
= (x + 2)(x – 2)[(x2 + 4) + 2x][(x2 + 4) – 2x]
= (x + 2)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x2 + 2x + 4)
ดังนั้น x6 – 64 = (x + 2)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x2 + 2x + 4)
ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 2.1 ข

14. 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็ม
ตัวอย่างที่ 12 จงแยกตัวประกอบของ x3 – 6x2 + 12x – 8
วิธีทา x3 – 6x2 + 12x – 8 = (x3 – 8) – (6x2 – 12x)
= (x3 – 22) – 6x(x – 2)
= (x – 2)(x2 + 2x +4) – 6x(x – 2)
= (x – 2)[(x2 + 2x +4) – 6x]
= (x – 2)(x2 – 4x +4)
= (x – 2)(x – 2)(x – 2)
ดังนั้น x3 – 6x2 + 12x – 8 = (x – 2)(x – 2)(x – 2)
หรือ x3 – 6x2 + 12x – 8 = (x – 2)3
ในบางครั้งการแยกตัวประกอบของพหุนาม อาจต้องจัดพจน์ใหม่โดยใช้สมบัติการเปลี่ยนหมู่ สมบัติการสลับที่
และสมบัติการแจกแจง ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 13 จงแยกตัวประกอบของ 16x4 – y2 + 2y – 1
วิธีทา 16x4 – y2 + 2y – 1 = 16x4 – (y2 – 2y + 1)
= 16x4 – (y2 – 1)2
= (4x2)2 – (y2 – 1)2
= [4x2 + (y – 1)][4x2 – (y – 1)]
= (4x2 + y – 1)(4x2 – y – 1)
ดังนั้น 16x4 – y2 + 2y – 1 = (4x2 + y – 1)(4x2 – y – 1)
ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 2.1 ค