การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม 

1. 2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม บางครั้ง
อาจทาได้โดยจัดพหุนามนั้นให้อยู่ในรูปผลต่างของกาลังสอง
กาลังสองสมบูรณ์ ผลบวกของกาลังสาม ผลต่างของกาลัง
สาม หรือนาแนวคิดในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
ที่อยู่ ในรูปอื่น ๆ มาใช้ จากนั้นนักเรียนสามารถนาความรู้ที่
เคยเรียนมาแล้วมาใช้ในการแยกตัวประกอบต่อได้ ดังต่อไปนี้

2. 2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสงกว่าสามที่สามารถจัดให้อยู่ในรูป
ผลต่างของกาลังสอง
ตัวอย่างที่ 1
จงแยกตัวประกอบของ x4 – 256
วิธีทา x4 – 256= (x2)2 – 162
= (x2 + 16)(x2 – 16)
= (x2 + 16)(x + 4)(x – 4)
ดังนั้น x4 – 256 = (x2 + 16)(x + 4)(x – 4)
เนื่องจาก x2 – 16 เป็นพหุนาม ที่อยู่
ในรูปผลต่างของกาลังสอง จึงสามารถ
แยกตัวประกอบได้อีก

3. 2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
ตัวอย่างที่ 2
จงแยกตัวประกอบของ 16x4 – 812
วิธีทา 16x4 – 812 = (4x)2 – 92
= (4x2 + 9)(4x2 – 9)
= (4x2 + 9)[(2x)2 – 3]
= (4x2 + 9)(2x + 3)(2x – 3)
ดังนั้น 16x4 – 812 = (4x2 + 9)(2x + 3)(2x – 3)
เนื่องจาก 4x2 – 9 เป็นพหุนาม ที่อยู่
ในรูปผลต่างของกาลังสอง จึงสามารถ
แยกตัวประกอบได้อีก

4. 2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสามที่สามารถจัด
ให้อยู่ในรูปกาลังสองสมบูรณ์
ตัวอย่างที่ 3
จงแยกตัวประกอบของ x4 – 8x + 16
วิธีทา x4 – 8x + 16 = (x2)2 – 2(x)(4) – 42
= (x2 – 4)2
= [(x + 2)(x – 2)]2
= (x + 2)2(x – 2)2
ดังนั้น x4 – 8x + 16 = (x + 2)2(x – 2)2

5. 2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
ตัวอย่างที่ 4
จงแยกตัวประกอบของ 49x4 + 70x2 + 25
วิธีทา 49x4 + 70x2 + 25 = (7x2)2 + 2(7x)(5) + 52
= (7x2 + 5)2
ดังนั้น 49x4 + 70x2 + 25 = (7x2 + 5)2

6. 2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสามที่สามารถจัด
ให้อยู่ในรูปผลบวกของกาลังสาม หรือผลต่างของกาลังสาม
ตัวอย่างที่ 5
จงแยกตัวประกอบของ x6 + 27
วิธีทา x6 + 27 = (x2)3 + 33
= (x2 + 3)[(x2)2 – (x2)(3) + 32]
= (x2 + 3)(x4 – 3x + 9)
ดังนั้น x6 + 27 = (x2 + 3)(x4 – 3x + 9)

7. 2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ x6 – 64
วิธีทา x6 – 64 = (x3)2 – 82
= (x3 + 8)(x3 – 8)
= (x3 + 23)(x3 – 23)
= [(x + 2)(x2 – 2x + 4)][(x – 2)(x2 + 2x + 4)]
= (x + 2)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x2 + 2x + 4)
ดังนั้น x6 – 64 = (x + 2)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x2 +2x + 4)

8. 2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสามที่สามารถใช้
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
ตัวอย่างที่ 7
จงแยกตัวประกอบของ 4 – 5x - 36
วิธีทา x4 – 5x2 – 36 = (x2 – 9)(x2 + 4)
= (x + 3)(x – 3)(x2 + 4)
ดังนั้น x4 – 5x2 – 36 = (x + 3)(x – 3)(x2 + 4)

9. 2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
ตัวอย่างที่ 8
จงแยกตัวประกอบของ 70x4 + 58x2 + 12
วิธีทา 70x4 + 58x2 + 12 = 2(35x4 + 29x2 + 6)
= 2(5x2 + 2)(7x2 + 3)
ดังนั้น 70x4 + 58x2 + 12 = 2(5x2 + 2)(7x2 + 3)

10. 2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกของกาลังสาม
ในกรณีทั่วไป ถ้าให้ A แทนพจน์หน้า B แทนพจน์หลัง จะแยกตัวประกอบ
ของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวก ของกาลังสามได้ตามสูตร ดังนี้
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลต่างของกาลังสาม
ในกรณีทั่วไป ถ้าให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะแยกตัว
ประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลต่างของกาลังสามได้ตามสูตร ดังนี้
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
สรุปท้ายบท

11. 2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม อาจทาได้โดยจัดพหุนามนั้น
ให้อยู่ในรูป
 ผลต่างของกาลังสอง
 กาลังสองสมบูรณ์
 ผลบวกของกาลังสาม
 ผลต่างของกาลังสาม
หรือนาแนวคิดในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่อยู่ในรูปอื่น ๆ มาใช้
สรุปท้ายบท