1. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรี
สอง
โดยทำาเป็นกำาลังสองสมบูรณ์…ด้วย
ตนเอง
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่
3
(A+B)2
= A2
+ 2AB + B2
(A-B)2
= A2
- 2AB + B2
จุดประสงค์การเรียนรู้
 เพื่อให้นักเรียนสามารถแยก
ตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
โดยทำาเป็นกำาลังสองสมบูรณ์ได้
วิธีการเรียนด้วยตนเอง
1. เตรียมกระดาษทดสำาหรับคิดหาคำาตอบ
2. ศึกษาตัวอย่างและตอบคำาถามแต่ละกิจกรรม
3. แต่ละกิจกรรมจะมีเฉลยอยู่ด้านซ้ายทำาเสร็จ
แล้วจึงดูเฉลย
4. ถ้ากิจกรรมใดตอบคำาถามไม่ได้ควรศึกษา
กิจกรรมนั้นอีกครั้ง
5. เมื่อศึกษาครบทุกกิจกรรมแล้ว ลองทดสอบ
เพื่อประเมินผลตนเองในกิจกรรมสุดท้ายถ้า
ไม่ผ่านตามเกณฑ์ที่กำาหนดไว้ควรศึกษาใหม่
อีกครั้ง
จัดทำาโดย
นายเอนก พรมศรี
โรงเรียนส่วนบุญโญปถัมภ์ ลำาพูน
กิจกรรมที่ 1 : พหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำาลัง
สอง
A2
– B2
= (A-B)(A+B)
หน้า 2
- หลัง 2
= (หน้า - หลัง ) ( หน้า + หลัง )
ตัวอย่างการแยกตัวประกอบที่เป็นผลต่างกำาลังสอง
1. x2
– 9 = x2
- 32
จัดรูปให้เป็นกำาลังสองก่อน
= (x-3)(x+3) #
2. 25x2
- 16 = 52
x2
- 42
จัดรูปให้เป็นกำาลังสองก่อน
= (5x )2
- 42
= (5x-4)(5x+4) #
3. x2
– 5 = x2
- ( 5 )2
จัดรูปให้เป็นกำาลังสองก่อน
= (x - 5 )(x + 5 ) #
สบายมากเลย
ลองทำาดูบ้างน่ะ…
เฉลย
4. x2
– 25 = ………………….
(x+5)(x-5)

2. 5. x2
– 81 = ………………….
(x+9)(x-9)
6. x2
– 169 = ………………….
(x+13)(x-13)
7. 49x2
– 9 =…………………
(7x+3)(7x-3)
8. x2
– 8 = …………………
(x- 8 )( x+ 8 )
9. 25x2
– 64 =………………
(5x-8)(5x+8)
10. 9x2
- y2
=………………
(3x-y)(3x+y)
กิจกรรมที่ 2 : การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง
โดยทำาให้อยู่ในรูปกำาลังสองสมบูรณ์
กรณี a = 1
รูปทั่วไป : (A+B)2
= A2
+ 2AB + B2
(น+ล)2
= น 2
+ 2 นล + ล 2
;
น = หน้า , ล = หลัง
ตัวอย่าง 1 : จงแยกตัวประกอบของ x2
+ 6x + 5
โดยอาศัยรูปกำาลังสองสมบูรณ์
วิธีทำา x2
+ 6x + 5 จาก (น
+ล)2
= น 2
+ 2 นล + ล 2
จะได้ รูปใหม่ x2
+ 6x + 5 = x2
+ 2x(3) +
(3)2
– (3)2
+ 5
= ( x+3 )2
- 9 + 5
= ( x+3 )2
- 4
= ( x+3 )2
- 22
( ผล
ต่างกำาลังสองไง )
= ( x+3-2 )( x+3+2 )
จะได้ x2
+ 6x + 5 = ( x+1 )
( x+5 ) #
ตัวอย่าง 2 : จงแยกตัวประกอบของ x2
+ 6x + 1
โดยอาศัยรูปกำาลังสองสมบูรณ์
วิธีทำา x2
+ 6x + 1 = x2
+ 2x(3) +
(3)2
– (3)2
+ 1
= ( x+3 )2
- 9 + 1
= ( x+3 )2
- 8
= ( x+3 )2
- ( 8 )2
= ( x+3- 8 )( x+3+ 8 ) #
มีต่อหน้าถัดไปจ้า…
กิจกรรมลองทำาดู แสดงวิธีการแยก
ตัวประกอบในกระดาษทดดูน่ะ
1. x2
+ 4x + 3 = x2
+ 2x (…) + (…)2
– (…)2
+
3
= ( x + ……. )2
- 1

3. = (………….)(…………..)
(x+1)(x+3)
2. x2
+ 2x + 1 = x2
+ 2x (…) + (…)2
–
(…)2
+ 1
= ( x + ……. )2
= (………….)(…………..)
(x+1)(x+1)
3. x2
+ 6x + 7 = (………….)(…………..)
(x+3- 2 )(x+3+ 2 )
4. x2
+ 6x - 5 = (………….)(…………..)
(x+3- 14 )(x+3+ 14 )
5. x2
+ x - 3 = (………….)(…………..)
(x+ 2
1
- 4
13
)(x+ 2
1
+ 4
13
)
คิด…ใหญ่เลยเรา
กิจกรรมที่ 3 : การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง
โดยทำาให้อยู่ในรูปกำาลังสองสมบูรณ์
กรณี a = 1
รูปทั่วไป : (A-B)2
= A2
- 2AB + B2
(น-ล)2
= น 2
- 2 นล + ล 2
; น =
หน้า , ล = หลัง
ตัวอย่าง 1 : จงแยกตัวประกอบของ x2
- 6x - 72
โดยอาศัยรูปกำาลังสองสมบูรณ์
วิธีทำา x2
- 6x – 72 = x2
– 2x(3) + (3)2
-
(3)2
- 72
= ( x-3 )2
– 9 – 72
= ( x-3 )2
– 81
= ( x-3 )2
- 92
จัดเป็น
กำาลังสอง
= ( x-3-9 )( x-3+9 )
= (x-12)(x+6) #
ตัวอย่าง 2 : จงแยกตัวประกอบของ x2
- 3x - 10
โดยอาศัยรูปกำาลังสองสมบูรณ์
วิธีทำา x2
- 3x – 10 = x2
– 2x( 2
3
) + ( 2
3
)2
-
( 2
3
)2
- 10
= ( x - 2
3
)2
– 4
9
– 4
10
= ( x - 2
3
)2
– 4
49
= ( x - 2
3
)2
- ( 2
7
)2
จัดเป็นกำาลังสอง
= ( x - 2
3
- 2
7
)( x - 2
3
+ 2
7
)
= (x - 5)(x+2) #

4. ลองฝึกทำาโจทย์ในหน้าถัดไปซิ…
กิจกรรมประลองฝีมือ
หนูๆทดสอบฝึมือตนเองโดยคิดเปรียบเทียบ
จากตัวอย่างในกระดาษทดน่ะจ๊ะ
จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้โดยอาศัย
การทำาให้อยู่ในรูปกำาลังสองสมบูรณ์
เฉลย
1. x2
- x - 2
( x+1)(x-2)
2. x2
- 2x - 2 ( x-1
+ 3 )(x –1 - 3 )
3. x2
- 6x + 7 ( x-3
+ 2 )(x –3 - 2 )
4. x2
- 5x + 3 ( x-
2
5
+ 2
13
)(x – 2
5
- 2
13
)
ฮิๆฮิๆ…ง่ายจัง
โอ้ย…หายใจไม่
ออกแล้ว
กิจกรรมที่ 4 : การแยกตัวประกอบโดยอาศัยการทำา
เป็นกำาลังสองสมบูรณ์ กรณี a > 1
ตัวอย่างที่ 1 : 2x2
+ 8x + 5
วิธีทำา 2x2
+ 8x + 5 = 2 ( x2
+ 4x + 2
5
) ต้องจัดให้ a = 1 ก่อน
= 2 [ x2
+ 2x(2) + 22
– 22
+ 2
5
]
= 2 [ (x+2)2
– 4 + 2
5
] ทำาส่วน
ให้เท่ากันก่อน
= 2 [ (x+2)2
– 2
3
]
= 2 [(x+2)2
– ( 2
3
) 2
] จัดให้
เข้าสูตรผลต่างกำาลังสอง
= 2 [ (x+2 - 2
3
)(x+2+ 2
3
) ]
= ( 2x + 4 - 3 )( x + 2 + 2
3
)
นำา 2 คูณวงเล็บแรกทุกตัว
#
ลองทำาดูบ้างซิ

5. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
เฉลย
1. 2x2
– 5x – 3
(2x+1)(x-3)
2. 5x2
– 2x – 1 ห้ามดูเฉลยน่ะ
จ๊ะ (5x+1+ 6 )(x+ 5
6
5
1
− )
3. 3x2
+ 11x + 6 (x +3)(3x
+2 )
กิจกรรมที่ 5 : การแยกตัวประกอบโดยอาศัยการทำา
เป็นกำาลังสองสมบูรณ์ กรณี a < 1
ตัวอย่าง : จงแยกตัวประกอบของ -2x2
+ 3x +
1 จัดวงเล็บนี้ตามกิจกรรมที่ 3 ไง
วิธีทำา -2x2
+ 3x + 1 = -2 [ x2
- 2
3
x
- 2
1
] ต้องจัดให้ a = 1 ก่อนโดยดึง –2 ออก
= -2 [ x2
– 2( 4
3
)x + ( 4
3
)2
– ( 4
3
)2
- 2
1
]
= -2 [ (x - 4
3
)2
- 16
9
- 2
1
]
ทำาส่วนให้เท่ากันก่อน
= -2 [ (x - 4
3
)2
- 16
17
]
= -2 [(x - 4
3
)2
- ( 4
17
)2
จัด
ให้เข้าสูตรผลต่างกำาลังสอง
= -2 [ (x - 4
3
+ 4
17
)( x - 4
3
-
4
17
)
= ( -2x + 2
3
- 2
17
)( x - 4
3
- 4
17
)
นำา -2 คูณวงเล็บแรก
#
จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
1. –x2
+ x + 3 ( -x + 2
1
- 2
7
)
( x + 2
1
+ 2
7
)
2. –3x2
+ 6x + 12 ( -3x + 1 –3 5 )
( x – 1 - 5 )
กิจกรรมที่ 6 : กิจกรรมทดสอบและ
ประเมินผลการเรียนรู้ของตนเอง
1.x2
+ 14x – 3
2.x2
- 6x + 7

6. 3.x2
- 8x + 3
4.-x2
+ 3x + 10
5.6x2
– 7x – 3
6.–6x2
+ 17x – 5
เกณฑ์การประเมินผล
ทำาถูก 6 ข้อ อยู่ในระดับ “ดีมาก”
ทำาถูก 4 – 5 ข้อ อยู่ในระดับ “ดี”
ทำาถูก 3 ข้อ อยู่ในระดับ “พอใช้”
ทำาถูก 1 – 2 ข้อ อยู่ในระดับ
“ปรับปรุง” ควรศึกษาใหม่
โชคดีเจ้า
การเรียน...แม้เหนื่อยยาก
แม้ลำาบาก...มิใช่น้อย
จงสู้...อย่าท้อถอย
เพื่อรอคอย...ชัยชนะ

7. 3.x2
- 8x + 3
4.-x2
+ 3x + 10
5.6x2
– 7x – 3
6.–6x2
+ 17x – 5
เกณฑ์การประเมินผล
ทำาถูก 6 ข้อ อยู่ในระดับ “ดีมาก”
ทำาถูก 4 – 5 ข้อ อยู่ในระดับ “ดี”
ทำาถูก 3 ข้อ อยู่ในระดับ “พอใช้”
ทำาถูก 1 – 2 ข้อ อยู่ในระดับ
“ปรับปรุง” ควรศึกษาใหม่
โชคดีเจ้า
การเรียน...แม้เหนื่อยยาก
แม้ลำาบาก...มิใช่น้อย
จงสู้...อย่าท้อถอย
เพื่อรอคอย...ชัยชนะ