Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

1. Γιατί; Why? Warum?
Μάκης Χατζόπουλος
Καθηγητής Μαθηματικών στο 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης
Συγγραφέας
lisari.blogspot@gmail.com
Μαθηματική Εβδομάδα Θεσσαλονίκη 2018

2. ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Γιατί δεν μαθαίνουμε στους μαθητές μας τις αποδείξεις όλων των
θεωρημάτων, προτάσεων και πορισμάτων; Γιατί αρκούμαστε σε μερικές
αναφορές; Αυτό το φαινόμενο παρατηρείται από την Α΄ Λυκείου μέχρι
τη Γ΄ Λυκείου. Από το μάθημα της Άλγεβρας μέχρι και στο μάθημα της
Γεωμετρίας. Μήπως αυτό είναι η πηγή του κακού; Μήπως μετατρέψαμε τα
μαθηματικά μας ιστορία; Μήπως καταλήξαμε σε απομνημόνευση κανόνων,
τύπων και μεθοδολογιών; Μήπως στραγγίσαμε τη γνώση και κρατήσαμε το
συμπέρασμα; Μήπως χάσαμε… τα μαθηματικά που γνωρίζουμε και αγαπάμε;
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

3. ΕΙΣΑΓΩΓΉ
Ας δούμε αρχικά τι αναφέρει το Αναλυτικό Πρόγραμμα
σπουδών 2015 – 16 (ΦΕΚ 162 /Β) γι’ αυτό το θέμα.
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

4. 1.2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Η Μαθηματική Απόδειξη είναι ο τρόπος με τον οποίον τα μαθηματικά επιβεβαιώνουν μία αλήθεια. Η ιστορική βάση
της Μαθηματικής απόδειξης (και της επιστήμης της ΛΟΓΙΚΗΣ γενικότερα) βρίσκονται στον Αριστοτέλη (βλ.
ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΤΕΡΑ), και γενικώς θεωρείται από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα του πολιτισμού και ειδικότερα εκ
των βάσεων της σημερινής επιστήμης. Όμως φοβούμεθα ότι σε πολλούς αποφοίτους του λυκείου μας δίδεται η
εντύπωση ότι η μαθηματική απόδειξη είναι κάτι ανιαρό ή περιττό ή απάνθρωπο ή ασύλληπτο κλπ. Η μαθηματική
απόδειξη προφανώς βασίζεται (και ΔΕΝ έρχεται σε αντίθεση) με την καθημερινή εμπειρία του ανθρώπου, στον
διάλογο που γίνεται σε παρέες και σε δημόσιους χώρους, στον πολιτικό διάλογο στην βουλή, στην επιχειρηματολογία
συμβολαιογραφικών και νομικών κειμένων, στον δικανικό διάλογο κλπ. Πηγαίνει όμως παραπέρα από αυτά. Ας
δούμε ένα παράδειγμα. Αν κάποιος επιχειρήσει να μετρήσει το άθροισμα των γωνιών τριγώνου με το μοιρογνωμόνιο,
με το GeoGebra κλπ , θα καταλήγει σε αθροίσματα που πλησιάζουν πάρα πολύ τις δύο ορθές, όμως ποτέ δεν θα είναι
κανείς απόλυτα σίγουρος ότι είναι πάντα ακριβώς δύο ορθές.
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

5. Περαιτέρω, αν υπάρχει ήδη αβεβαιότητα για το τρίγωνο, πολύ δύσκολα προχωρεί κανείς να τολμήσει να κάνει
σκέψεις και εικασίες για ν-γωνα γενικά, ή σκέψεις γύρω από την γεωμετρία του σύμπαντος κλπ. Εν ολίγοις, η
μαθηματική απόδειξη ναι μεν στηρίζεται σε όλη την υπόλοιπη ανθρώπινη εμπειρία, όμως είναι μία εκλέπτυνση της
σκέψης που εξασφαλίζει βεβαιότητα και γενίκευση. Όμως, ενώ η θέση αυτή έχει ευρεία αποδοχή, μάλλον δεν
προκύπτει αβίαστα στον μαθητή από την παρουσίαση μιας «αδιατάρακτης» σειράς όρων του γνωστού κουαρτέτου
ΑΞΙΩΜΑΤΑ-ΟΡΙΣΜΟΙ-ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο συγγραφέας του βιβλίου και ο καθηγητής στην τάξη θα
πρέπει σε επιλεγμένα σημεία να «διαταράξει» την ροή και να παρέμβει και να σχολιάσει ανάλογα κλπ. Θα πρέπει να
αποφεύγονται αποδείξεις τις οποίες ο μαθητής αδυνατεί να κατανοήσει το πώς ανακαλύφθηκαν, π.χ. η απόδειξη του
τύπου του ΗΡΩΝΑ. . Ο τονισμός αποδείξεων προτάσεων του τύπου «1 > 0» ή «τόξο κύκλου έχει μοναδικό μέσον»,
είναι μάλλον ανιαρές για τον μαθητή και δεν αναδεικνύουν στην αξία της μαθηματικής απόδειξης. Η αξία της
μαθηματικής απόδειξης θα αναδειχθεί μέσω θεωρημάτων που περιέχουν κάτι το ενδιαφέρον και απροσδόκητο, π.χ.
το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού πολυγώνου είναι 4 ορθές. κλπ.
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

6. Τι λέει με λίγα λόγια;
Ότι η απόδειξη είναι ο τρόπος με τον οποίο τα μαθηματικά επιβεβαιώνουν την ύπαρξή
τους! Την αλήθεια τους!
Τη θεμελίωσε ο Αριστοτέλης και εμείς μέρα με την μέρα, χρόνο με το χρόνο την
αποδομούμε!
Επίσης, το πρόγραμμα σπουδών μας λέει με τον πιο ξεκάθαρο τρόπο ότι η μαθηματική
απόδειξη βοηθάει στην εκλέπτυνση της σκέψης και εξασφαλίζει τη γενίκευσή της! Οι
αποδείξεις που πρέπει να αποφεύγονται, μας συστήνει το έγγραφο, είναι οι αποδείξεις
που ο μαθητής δεν κατανοεί το πώς ανακαλύφθηκαν! Και όχι αν είναι δύσκολες ή
μακροσκελείς!
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

7. Σκεφτείτε ένα κεφάλαιο ή μια έννοια που οι μαθητές συνήθως
δυσκολεύονται. Πείτε μου ένα οποιοδήποτε κεφάλαιο …
α) Τριγωνομετρία
β) Θεωρήματα συνέχειας σε κλειστό διάστημα
γ) Λογάριθμοι
δ) Ολοκληρώματα
ε) Διάταξη
στ) Αναλογίες (Θεώρημα Θαλή) κτλ.
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

8. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος όλων αυτών; Δεν λέμε αποδείξεις, δεν λέμε όλες τις
αποδείξεις! Απλά παραθέτουμε τύπους και μεθοδολογίες, πολλές μεθοδολογίες δίνοντας
εντολές πως θα κινηθούμε σε κάθε είδος άσκησης. Μα αυτό είναι μαθηματικά ή
εγχειρίδιο (manual); Οι ασκήσεις έπρεπε να απορρέουν από τη λογική που κινηθήκαμε
στη θεωρία, στα θεωρήματα, στις ιδιότητες, στις αποδείξεις, αυτές είναι οι πρώτες
ασκήσεις που θα έπρεπε να μας διδάσκουν και όχι μεθοδολογίες!
Για να θυμηθούμε, τι διδαχτήκαμε στο Πανεπιστήμιο; Κυρίως αποδείξεις! Καμία εκτός!
Και θεωρούμαστε πλέον ότι είμαστε καταρτισμένοι, γνώστες, έχουμε αντίληψη 100%
του αντικειμένου! Παίρνουμε πτυχίο! Εμείς τι λέμε σήμερα στους μαθητές μας;
Δεχτείτε το, ισχύει!
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

9. π
συν ω ημω
2
 
   
 
2

Τι σημαίνει
ημ(π-ω)=ημω
αν δεν κάνουμε την απόδειξη; Και τελικά οι μαθητές πώς θα
το συγκρατήσουν;
Μήπως περιμένουμε από τα κολπάκια ότι το π δεν αλλάζει τον
τριγωνομετρικό αριθμό και η γωνία είναι στο 2ο
τεταρτημόριο άρα το ημίτονο είναι θετικό;
Μήπως με αυτές τις ευρεσιτεχνίες δεν ανοίγουμε το μυαλό
των μαθητών αλλά το κλείνουμε;

10. Στο ίδιο μήκος κύματος βρίσκονται και οι παρακάτω αποδείξεις:
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

11. Πώς θα δεχθεί ο μαθητής ότι
αν δεν έχει διδαχθεί πρώτα την απόδειξη της παραγώγου του πηλίκου
των συναρτήσεων; Επίσης, προκύπτει και ένα πρόβλημα, πώς θα θυμάται
ο μαθητής τη σειρά που τα διδάχθηκε; Όλες οι προτάσεις θα του
φαίνονται ίδιες! Σίγουρα θα σας έχουν ρωτήσει «… κύριε πρέπει να
θυμόμαστε και με ποια σειρά τα διδαχθήκαμε για να κάνουμε την
απόδειξη;».
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

12. 0x
Μήπως οι αποδείξεις των προτάσεων αποτελούν τα τεχνάσματα που
ακολουθούμε στις ασκήσεις; Μήπως είναι οι μεθοδολογίες που
προτείνουμε στους μαθητές μας;Τους λέμε μια ειδική κατηγορία
ασκήσεων με προσθαφαίρεση όρου! Μα αυτό δεν το διδαχθήκαμε στην
απόδειξη της παραγώγου του γινομένου; Λέμε κατηγορία ασκήσεων που
θέτουμε συνάρτηση, μα αυτό δεν το διδαχθήκαμε στην απόδειξη της
πρότασης αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 είναι και συνεχής στο σημείο
αυτό;
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

13. Λέμε εύκολα την κατηγορία «μηδενική επί φραγμένη» αλλά
αυτό δεν παραπέμπει στο όριο
που είναι εφαρμογή στο σχολικό βιβλίο;
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

14. Γιατί είναι εκτός η απόδειξη:
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

15. όταν είναι εντός η παρακάτω άσκηση του σχολικού βιβλίου;
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

16. Γιατί είναι εκτός αυτή η απόδειξη
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

17. όταν είναι εντός οι παρακάτω ασκήσεις του σχολικού βιβλίου;
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

18. Επίσης, γιατί είναι εκτός η απόδειξη της παραγοντικής Ολοκλήρωσης στο
ορισμένο Ολοκλήρωμα;
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

19. όταν υπάρχει η απόδειξη στο αόριστο; Την αναφέρω με ένα πιο τεχνικό τρόπο
παρουσίασης:
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

20. Επίσης, γιατί είναι εκτός η απόδειξη της Ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής στο
ορισμένο Ολοκλήρωμα;
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

21. όταν υπάρχει η απόδειξη στο αόριστο; Μήπως με το «κόψιμο – ράψιμο» της ύλης
ξεχάσαμε να την μεταφέρουμε; Ή μήπως οι αρμόδιοι θεωρούν ότι δεν αποτελεί
διδακτική πρόταση; Ας θυμηθούμε την απόδειξη:
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

22. Γιατί δεν υπάρχει η απόδειξη του τύπου Chasles (όπως αναφέρεται στην
βιβλιογραφία);
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

23. Η απόδειξη είναι η εξής:
Έστω F μια αρχική συνάρτηση της f στο διάστημα Δ, τότε:
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

24. Επειδή η απόδειξη προκύπτει από το Θεμελιώδες Θεώρημα του
Ολοκληρωτικού Λογισμού που βρίσκεται στην επόμενη παράγραφο (3.5)
χάσαμε για μια απόδειξη δύο σειρών μια διδακτική απόδειξη που
στηρίζονται σε αυτήν αρκετές ασκήσεις.
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

25. Γιατί η απόδειξη του Θεωρήματος Μέσης Τιμής είναι εκτός;
Τη θυμάστε;
……………………………………………………………………………
Αρκεί να εφαρμόσουμε το Θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση
στο διάστημα [α, β].
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

26. Τι πιο όμορφο από το να εξηγήσουμε ότι τα όλα τα θεωρήματα έχουν μια
συνέχεια! Μια διαδοχή! Τι πιο διδακτικό από μία εφαρμογή του Rolle; Επίσης,
οι μαθητές διαπιστώσουν με τον πιο σαφή τρόπο ότι το Θεώρημα Μέσης Τιμής
και Rolle έχει την ίδια λογική που έχουν τα Θεωρήματα Bolzano και
Ενδιαμέσων Τιμών.
Τα βοηθήματα ασφυκτιούν με τέτοιες ασκήσεις εύρεσης της αρχικής
συνάρτησης.
Τα παλαιότερα θέματα των Πανελλαδικών Εξετάσεων είχαν αρκετά ανάλογα
ερωτήματα και τα δεχόμασταν! Όταν όμως τα αντιμετωπίζουμε στην απόδειξη
ενός θεωρήματος γιατί τότε μας ενοχλούν;
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

27. Επίσης, η απόδειξη του Θεωρήματος των διχοτόμων είναι μια εξαιρετική άσκηση στο
Θεώρημα Θαλή και γενικότερα στην Γεωμετρία που είναι εκτός ύλης! Εγώ κάθε χρόνο
δίνω ένα Φύλλο Εργασίας στην εισαγωγή του θεωρήματος (μαζί με την βοηθητική
ευθεία) και την αποδεικνύουν οι μαθητές ως άσκηση! Κανονικά καμία απόδειξη ΔΕΝ
έπρεπε να είναι εκτός! Μα καμία! Όσο δύσκολη και ας είναι. Πόσο μάλλον αν μας
δικαιολογεί κάποιους τύπους, κάποιες προτάσεις.
Δέχομαι στις μικρότερες τάξεις να βγαίνουν κάποιες εκτός στις εξετάσεις, αλλά όχι
από την αρχή της χρονιάς.
Θα πρέπει να διδάσκονται όλες με κάθε λεπτομέρεια.
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

28. Η απόδειξη είναι αιτιολόγηση, είναι η σκέψη είναι η πορεία των μαθηματικών. Η
λογική διαδοχή, η τεκμηρίωση της έννοιας. Αν δεν έχουμε αποδείξεις τότε δεν
έχουμε μαθηματικά, έχουμε κάτι άλλο, ιστορία, απομνημόνευση τύπων και
εφαρμογές. Πιστή τήρηση μεθοδολογιών και τεχνασμάτων που δεν κινητοποιούν
τη σκέψη.
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

29. Προτάσεις (γιατί δεν πρέπει να «γκρεμίζουμε» αλλά και να «χτίζουμε»)
1)Να διδάσκονται όλες οι αποδείξεις που είναι γραμμένες στα σχολικά
βιβλία.
2) Στην Γεωμετρία να αποδεικνύονται (ως ασκήσεις) και όλα τα
πορίσματα (παρόλο που δεν έχουν απόδειξη τα σχολικά βιβλία). Είναι οι
καλύτερες εφαρμογές μετά από τα θεωρήματα. Απλές και σύντομες
ασκήσεις που ο μαθητής μαθαίνει – εφαρμόζει τα θεωρήματα.
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

30. 3) Όσα θεωρήματα στη Γ΄ Λυκείου ΔΕΝ έχουν απόδειξη ή σαφή και πειστική Γεωμετρική
ερμηνεία τότε να αφαιρεθούν από την ύλη. Θέλετε συγκεκριμένη αναφορά; Μα το
Θεώρημα του De l Hospital είναι μία ξεκάθαρη περίπτωση! Αν και οι οδηγίες μας
υποδεικνύουν να κάνουμε μια αναφορά στις εφαπτόμενες και την προσέγγιση κοντά στο x0
κτλ. παρόλα αυτά δεν ξέρω κατά πόσο γίνεται στο σχολείο λίγο πριν ολοκληρώσουμε τις
παραγώγους και μπούμε στην τελική ευθεία.
Άρα πρέπει να επιλέξουμε, μελετάμε τις προτάσεις όπως πρέπει ή τις αφαιρέσουμε αφού μας
υπεραπλουστεύει τις ασκήσεις των ορίων και αντί να μιλάμε για μαθηματικά στους μαθητές τους δίνουμε
έτοιμους τύπους που δεν τους κατανοούν; Θεωρώ ότι σχεδόν κανείς μαθητής δεν το εφαρμόζει σωστά ή
τουλάχιστον δεν το γράφει σωστά. Αν δεχόμαστε την ύπαρξη του θεωρήματος τότε ας δεχτούμε από τους
μαθητές μας και τις ευρέσεις των παρακάτω ορίων…
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

31. με την βοήθεια του D L Hospital!
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

32. 4) Να γίνεται αναφορά ότι το Θεώρημα Ενδιαμέσων τιμών είναι η γενίκευση του
Θεωρήματος Bolzano άρα οι ασκήσεις να εφαρμόζονται με το πρώτο που έχει και
απόδειξη.
Το ίδιο ισχύει με το Θεώρημα Μέσης Τιμής και το Θ. Rolle (αφού έχει γίνει η απόδειξη του Θ.Μ.Τ). Το
βιβλίο έχει αυτά τα 4 θεωρήματα για να προχωρήσει στις συνέπειες των θεωρημάτων και όχι για να είναι
το κύριο σημείο μελέτης του βιβλίου. Δείτε πόσες ασκήσεις έχει το βιβλίο στο Θεώρημα Bolzano,
Ενδιαμέσων τιμών, Rolle και ΘΜΤ. Ελάχιστες! Όλο το βάρος το ρίχνει στα συμπεράσματά τους. Έτσι
πρέπει να διδάσκεται από εδώ και στο εξής. Κατά αναλογία, όχι καθ’ υπέρβαση. Δεν είναι τυχαίο που τα
δύο τελευταία έτη τα θεωρήματα αυτά δεν ήταν στο επίκεντρο των Πανελλαδικών Εξετάσεων (εκτός από
τις Επαναληπτικές εξετάσεις 2017 που τα είδαμε όλα μαζί!).
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

33. Επίλογος
Ο Serge Lang στη γοητεία των μαθηματικών λέει κατά λέξη: «Ένας μαθηματικός ασχολείται
συνήθως με τη λύση ενός προβλήματος. Από αυτό προκύπτουν νέα προβλήματα, τόσο
όμορφα όσο εκείνο που έλυσε».
Και συμπληρώνω, η ομορφιά των μαθηματικών κρύβεται στην απόδειξη, στην κατάκτηση της
κορυφής, στην εύρεση του κρυφού μονοπατιού που σε οδηγεί στην κορύφωση.
Ο λόγος που είμαι εδώ!
Όπερ ἔδει δεῖξαι ή ὅπερ ἔδει ποιῆσαι!
29/4/2018Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος