Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. Περί «κομμένης» ύλη και D’ L Hospital ο λόγος!
Σε αυτή την ανάρτηση θα προσπαθήσουμε να βάλουμε τα πράγματα σε μια σειρά για
να μην υπάρχει ανησυχία και μουρμούρες, άγχος και ανασφάλεια.
Τα μηνύματα έχουν πληθύνει και είναι πιο εύκολο να κάνω μια γενική τοποθέτηση από
το να απαντάω χωριστά.
Η νέα αναπροσαρμοσμένη εξεταστέα ύλη ήδη έχει κυκλοφορήσει και επίσημα από το
Υπουργείο Παιδείας και έχουν ξεκινήσει οι πρώτες συζητήσεις και τα πηγαδάκια
μεταξύ των συναδέλφων για τα πιθανά θέματα των εξετάσεων.
Τι λένε;
Μπορούν οι μαθητές να χρησιμοποιήσουν τους κανόνες D’ L Hospital (DLH); Αν τα
εφαρμόσουν θα λάβουν όλες τις μονάδες;
Όσοι το αναφέρουν τα παραπάνω θεωρούν δεδομένο ότι θα δούμε σίγουρα ένα θέμα
με απαιτητικό όριο απροσδιόριστης μορφής 0/0 ή /  που θα χρειάζεται DLH!
Σωστά; Άρα αν θα το λάβει σωστό ή όχι η επιτροπή έπεται = ακολουθεί, σωστά;
Η ερώτηση είναι απλή:
Γιατί τότε και να μην προτείνουν και το
1
x
0
xe dx ; Ή τις ασύμπτωτες της συνάρτησης
 
2
2
x 3
f x
x 1



; Ή το θεώρημα του Darboux; Ή γιατί τα τελευταία έτη δεν έκαναν
ερώτηση για τη συνάρτηση ολοκλήρωμα;
Ο σκοπός της εξεταστέας ύλης, το λέει και κιόλας ο τίτλος της, ορίζει τι είναι εντός
ύλης και τι πρέπει να προτείνει ο θεματοδότης. Οι θεματοδότες, κατά κύριον λόγο (εδώ
αστειεύομαι) είναι καλοί άνθρωποι! Δεν θέλουν να παγιδεύσουν τους μαθητές, δεν
έχουν σκοπό να τους θέσουν κάτι που ενώ ήταν εκτός, αυτοί το προτείνουν. Ιδίως και
λόγω εποχής τα θέματα δεν μπορεί να είναι εκδικητικά.
Γνωρίζω ότι αρκετοί θα διαφωνήσετε και θα αναφέρετε και πολλά παραδείγματα από
το παρελθόν που τέθηκαν θέματα εξετάσεων που ακροβατούσαν στα όρια της ύλης (το
διατύπωσα πολύ ευγενικά). Αυτό δεν σημαίνει ότι κρίθηκαν πετυχημένα και έμειναν
στην ιστορία ως πρότυπα θέματα. Ούτε θεωρώ ότι τα θέματα των εξετάσεων
επιστρέφουν σε αυτή τη λογική. Κάθε χρόνο είναι και πιο κοντά στο επίπεδο των
μαθητών και του σχολικού βιβλίου. Επίσης, το επίπεδο των μαθητών δεν είναι το ίδιο
με το επίπεδο των μαθητών πχ. 2007 άρα δεν χρειάζεται να βάλεις ένα ακραίο ερώτημα
για να εξετάσεις τον άριστο μαθητή. Τα τελευταία χρόνια διαπιστώνουμε ότι αρκεί να
θέσουμε μια απλή άσκηση από την Β ομάδα για να τον προβληματίσουμε!
Πάμε όμως στο ερώτημα, τι θα γίνει ΑΝ κάποιος μαθητής εφαρμόσει DLH σε ένα
όριο. Θα του δώσουμε όλες τις μονάδες;
Ως καθηγητές πρέπει να του πούμε όλα τα παραπάνω! Ότι ΔΕΝ είναι στην ύλη και όλα
τα σχετικά. Προφανώς, αν δεν μπορεί να το λύσει με τις γνωστές διαδικασίες (βασικά
όρια, παραγοντοποίηση, αντικατάσταση, συζυγή παράσταση) ας κάνει DLH, έτσι και
αλλιώς όλα (περίπου) τα σχολεία το έχουν διδάξει, δεν είναι κρυφό. Όμως, ως
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
11.04.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 3

2. εκπαιδευτικός θα ήθελα να ΜΗΝ δώσω ΚΑΜΙΑ μονάδα στον μαθητή που θα κάνει
DLH στα εξής όρια
x 0 x 1 x 0
2 2
x x 1 ημx
, ,
x x 1 x
lim lim lim
  


αφού νιώθω ότι έχει λάβει γραμμή «κάνε DLH» αγνοώντας τις οδηγίες.
Επίσης, νιώθω ότι αγνοεί τις βασικές γνώσεις του 1ου Κεφαλαίου Ανάλυσης. Με βάζει
σε βάσιμες υποψίες να πιστεύω ότι σε ένα ανάλογο διαγώνισμα στην παράγραφο 1.8
δεν θα ήξερε να τα υπολογίσει! Εγώ, ο εκπαιδευτικός που στο διαγώνισμα μου στο 1ο
κεφάλαιο δεν θα δεχόμουν τη λύση με DLH, έτσι και τώρα ως διορθωτής θεωρώ ότι
δεν πρέπει να δεχθώ αυτή τη λύση. Όμως πάμε να δούμε τι έχει γίνει όταν είχαμε
ανάλογα θέματα στα όρια των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας. Τι κάναμε τότε ως
διορθωτές όταν κάποιος μαθητής έκανε DLH; Λαμβάναμε την απάντησή του σωστή,
όσο και να σας φαίνεται περίεργο (ίσως σε ένα ή δύο εξεταστικά κέντρα να μην είχαν
δοθεί όλες τις μονάδες)!
Συνοψίζω!
Άρα, για να αποφύγουν οι θεματοδότες αυτή την προστριβή και την πόλωση των
απόψεων (που σημαίνει αρκετές ώρες διαβούλευση τις επόμενες ημέρες των θεμάτων,
άραγε ποιος θα το ήθελε;) θα αποφύγουν, όπως ο διάβολος το λιβάνι, ένα απαιτητικό
όριο που θα λύνεται και με τους κανόνες τους DLH. Τέτοια όρια υπάρχουν και είναι
πάρα πολλά! Για παράδειγμα οι άρρητες συναρτήσεις, δηλαδή
x
2
x x 1
x 1
lim

 

,
x
2
2
x x 1 x
x x 1 x
lim

  
  
κτλ.
επίσης, όλα τα όρια δεν είναι απροσδιόριστες μορφές, άρα μπορούμε να δούμε όρια
της μορφής
x x x x 0
ημx συνx 1 1 ln x
, , xημ ,
x x x x
lim lim lim lim
   
  
 
 
κτλ.
ή όλα τα όρια της μορφής α/0.
Τέλος, αν αναζητούμε το σύνολο τιμών για μία συνάρτηση που η εύρεση του ορίου σε
ένα από τα άκρα του πεδίου ορισμού της χρήζει κανόνα DLH, τότε μπορεί να δοθεί ως
δίκλαδη που μπορούμε να βρούμε εύκολα το όριό της στο άλλο άκρο. Για παράδειγμα,
η συνάρτηση  f x xln x , αν ζητηθεί το σύνολο τιμών της, τότε το όριο  x 0
x ln xlim


θέλει απλά τον κανόνα DLH, οπότε για να το αποφύγουμε αυτό το απαιτητικό όριο
μπορεί η συνάρτηση να δοθεί ως εξής:
 
3
x 1
3 x 1
f x x 1
x ln x ,x 1
 
 
 
 
11.04.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 3

3. Εύχομαι το θέμα DLH και Πανελλαδικέ Εξετάσεις να κλείσει κάπου εδώ γιατί οι
περαιτέρω συζητήσει δεν βοηθούν στη ψυχολογία των μαθητών και κυρίως τη δική
μας!
Παιδιά δεν είναι καταστροφή η αφαίρεση του κανόνα DLH από την εξεταστέα ύλη
των εξετάσεων 2020, καταστροφή είναι η αναβολή των ποδοσφαιρικών αγώνων στην
Πρέμιερ Λιγκ τη στιγμή που η Λίβερπουλ ήταν έτοιμη να σηκώσει το πρωτάθλημα
μετά από 30 χρόνια!
Αγαπητοί συνάδελφοι οφείλουμε να εμπιστευτούμε την επιτροπή και να της
συμπαρασταθούμε στο πράγματι δύσκολο έργο που έχει να αντιμετωπίσει. Δεν
χρειάζεται να πιέζουμε και να αγχώνουμε, εδώ δεν το κάνει ο καθηγητής Τσιόδρας!
Επίσης, εύχομαι να μην δω το γνωστό και αγαπημένο μου όριο του σχολικού βιβλίου
x 0 2
1 συνx
x
lim


! Έχει καταπληκτική λύση χωρίς τον κανόνα του DLH, αλλά είναι πολύ
απλή η λύση του αν χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον κανόνα. Αυτόν το γόρδιο δεσμό
ΔΕΝ πρέπει να συζητάμε μετά τις εξετάσεις.
Αθήνα 11/4/2020
Σημείωση: Αυτό το άρθρο έγινε χωρίς να βγει κανείς από το σπίτι.
11.04.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 3