https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
Τα άγνωστα προβλήματα που διδάσκονταν στους μαθητές της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας.
Η εικόνα του εξωφύλλου είναι από την ιστοσελίδα: www.moonbattery.com
https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
Η μαθηματική σκέψη ως προνόμιο των πολλών
Σε κάθε βήμα, παντού Μαθηματικά
Όλοι μας είμαστε ικανοί μαθηματικοί χωρίς να το έχουμε συνειδητοποιήσει
Νικηφόρος Θεοτόκης: Η διδακτική προσέγγιση της θεωρίας των λογαρίθμων στην Ελ...Dr. Maria D. Chalkou
https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
Η διδασκαλία των λογαρίθμων σύμφωνα με ελληνικό χειρόγραφο του 18ου αι. του Νικηφόρου Θεοτόκη.
Στην εισήγηση αυτή (5η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα ΕΜΕ Θεσσαλονίκης, Μάρτιος 2013) γίνεται κατ΄ αρχάς αναφορά σε ορισμένα ιστορικά στοιχεία της θεωρίας των λογαρίθμων τα οποία προέκυψαν κατά τη διάρκεια της μεταγραφής της μελέτης και του μαθηματικού σχολιασμού του κώδικα 72 του 18ου αι. του Νικηφόρου Θεοτόκη, ο οποίος βρέθηκε στη Βιβλιοθήκη της Δημητσάνας, όπου και εδιδάσκετο το περιεχόμενό του. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η διδακτική πρόταση του συγγραφέα, από την οποία προκύπτει μία διαφορετική προσέγγιση της διδασκαλίας του κεφαλαίου των λογαρίθμων από αυτή που χρησιμοποιείται σήμερα στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός ότι αυτή η διδακτική πρόταση του Νικηφόρου Θεοτόκη καθώς και όλο το υπόλοιπο υλικό του χειρογράφου προοριζόταν να διδαχθεί σε σχολεία της τουρκοκρατούμενης Ελλάδας στα τέλη του 18ου αι, λίγες μόλις δεκαετίες πριν από την επανάσταση του 1821.
Το χειρόγραφο 72 του Νικηφόρου Θεοτόκη
Ο κώδικας 72 περιλαμβάνει τη Γεωμετρία και την Αριθμητική του Νικηφόρου Θεοτόκη, ο οποίος ήταν από τους πρώτους επιστήμονες που προσπάθησαν να συνδυάσουν τις γνώσεις των αρχαίων Ελλήνων με τις σύγχρονες των δυτικών, και που ανέγραψε στο εκπαιδευτικό πρόγραμμα των ελληνικών σχολείων ως πρωτεύοντα μαθήματα τα Μαθηματικά και τη Φυσική. Επιπλέον υπήρξε αυτός που πρωτοεισήγαγε τις Κωνικές Τομές και τον Απειροστικό Λογισμό στη διδακτέα ύλη. Χρησιμοποιούσε δε τα έργα των Tacquet, Ozanam και του Wolff ο οποίος υπήρξε μαθητής του Leibniz.
https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
Τα άγνωστα προβλήματα που διδάσκονταν στους μαθητές της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας.
Η εικόνα του εξωφύλλου είναι από την ιστοσελίδα: www.moonbattery.com
https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
Η μαθηματική σκέψη ως προνόμιο των πολλών
Σε κάθε βήμα, παντού Μαθηματικά
Όλοι μας είμαστε ικανοί μαθηματικοί χωρίς να το έχουμε συνειδητοποιήσει
Νικηφόρος Θεοτόκης: Η διδακτική προσέγγιση της θεωρίας των λογαρίθμων στην Ελ...Dr. Maria D. Chalkou
https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
Η διδασκαλία των λογαρίθμων σύμφωνα με ελληνικό χειρόγραφο του 18ου αι. του Νικηφόρου Θεοτόκη.
Στην εισήγηση αυτή (5η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα ΕΜΕ Θεσσαλονίκης, Μάρτιος 2013) γίνεται κατ΄ αρχάς αναφορά σε ορισμένα ιστορικά στοιχεία της θεωρίας των λογαρίθμων τα οποία προέκυψαν κατά τη διάρκεια της μεταγραφής της μελέτης και του μαθηματικού σχολιασμού του κώδικα 72 του 18ου αι. του Νικηφόρου Θεοτόκη, ο οποίος βρέθηκε στη Βιβλιοθήκη της Δημητσάνας, όπου και εδιδάσκετο το περιεχόμενό του. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η διδακτική πρόταση του συγγραφέα, από την οποία προκύπτει μία διαφορετική προσέγγιση της διδασκαλίας του κεφαλαίου των λογαρίθμων από αυτή που χρησιμοποιείται σήμερα στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός ότι αυτή η διδακτική πρόταση του Νικηφόρου Θεοτόκη καθώς και όλο το υπόλοιπο υλικό του χειρογράφου προοριζόταν να διδαχθεί σε σχολεία της τουρκοκρατούμενης Ελλάδας στα τέλη του 18ου αι, λίγες μόλις δεκαετίες πριν από την επανάσταση του 1821.
Το χειρόγραφο 72 του Νικηφόρου Θεοτόκη
Ο κώδικας 72 περιλαμβάνει τη Γεωμετρία και την Αριθμητική του Νικηφόρου Θεοτόκη, ο οποίος ήταν από τους πρώτους επιστήμονες που προσπάθησαν να συνδυάσουν τις γνώσεις των αρχαίων Ελλήνων με τις σύγχρονες των δυτικών, και που ανέγραψε στο εκπαιδευτικό πρόγραμμα των ελληνικών σχολείων ως πρωτεύοντα μαθήματα τα Μαθηματικά και τη Φυσική. Επιπλέον υπήρξε αυτός που πρωτοεισήγαγε τις Κωνικές Τομές και τον Απειροστικό Λογισμό στη διδακτέα ύλη. Χρησιμοποιούσε δε τα έργα των Tacquet, Ozanam και του Wolff ο οποίος υπήρξε μαθητής του Leibniz.
Τσικοπούλου Στάμη, Φερεντίνος Σπύρος
Έρκυνα, Επιθεώρηση Εκπαιδευτικών– Επιστημονικών Θεμάτων, Τεύχος 14ο, 32-47, 2018
Υπάρχουν λάθη στα Μαθηματικά που είναι σχεδόν αδύνατο να τα
αποφύγουν οι μαθητές;
Αρχικά θα αναφερθούμε στις δύο βασικές θεωρίες μάθησης που
ερμηνεύουν τα λάθη στα μαθηματικά (παραδοσιακές και νεώτερες διδακτικές και
παιδαγωγικές προσεγγίσεις). Στη συνέχεια, επειδή τα λάθη στα μαθηματικά οφείλονται
κυρίως στα εμπόδια που συναντούν οι μαθητές κατά τη διαδικασία της μάθησης, θα
γίνει μια σύντομη παρουσίαση των εμποδίων που συνδέονται με τη μαθησιακή
διαδικασία (εμπόδια συναισθηματικού και κοινωνικού τύπου, καθώς και εμπόδια
οντογενετικής, διδακτικής και επιστημολογικής προέλευσης). Στη μελέτη αυτή θα
επικεντρωθούμε κυρίως στα εμπόδια επιστημολογικής προέλευσης, τα οποία
οφείλονται στην ίδια τη φύση του μαθηματικού αντικειμένου και χαρακτηρίζονται από
την επανεμφάνισή τους τόσο στην ιστορία των μαθηματικών όσο και στη μάθηση των
μαθηματικών από το άτομο και τα οποία είναι σχεδόν αδύνατο να τα αποφύγουν οι
μαθητές. Ακόμη, θα επιχειρηθεί μια κατάταξη των επιστημολογικών εμποδίων, θα
παρατεθούν ορισμένα χαρακτηριστικά παραδείγματα και θα δοθούν κάποιες ερμηνείες
για την προέλευσή τους.
Λέξεις κλειδιά: επιστημολογικά εμπόδια, λάθη στα μαθηματικά, αναλογικός και
προσθετικός συλλογισμός, υπεργενίκευση.
Δείγμα Μεταγραφής Ελληνικού Μαθηματικού Χειρογράφου του 18ου αι. της Ιστορική...Dr. Maria D. Chalkou
Πρόκειται για την Ευκλείδεια Γεωμετρία, όπως την παρουσίασε προς διδασκαλία στα Ελληνικά Σχολεία ο Νικηφόρος Θεοτόκης. Το έργο εγράφη στο εξωτερικό και εστάλη για να διδαχθεί περί τα τέλη του 18ου αι. λίγες μόλις δεκαετίες πριν την Επανάσταση του 1821. Το χειρόγραφο θεωρείται σταθμός για την παιδεία της εποχής, καθώς είναι το πρώτο κατά την εποχή της τουρκοκρατίας, στο οποίο αναγράφεται ύλη μη στοιχειωδών Μαθηματικών. Προγενέστερό του υπήρχε μόνον η Οδός Μαθηματικής του Ανθρακίτη το οποίο όμως περιείχε αποκλειστικά κλασικά Μαθηματικά ενώ στερείται παντελώς των σύγχρονων. Από την αλληλογραφία των Διδασκάλων του Γένους προκύπτει ότι διδάχθηκε σε διάφορα σχολεία της εποχής και έχαιρε ευρείας εκτίμησης.
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Συνέδριο 2015 Νικηφορος Θεοτοκης: Οι λογαριθμοι...Dr. Maria D. Chalkou
https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
Presentation at the Conference of the Hellenic Mathematical Society at Kastoria in 2015. I have used a mathematical manuscript of thw 18th cent. found at Demetsana of Arkadia.
https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
ΟΤΑΝ Ο ΟΥΝΝΟΣ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΔΑ
Στη μακρινή χώρα του Βορά, ο χαριτωμένος Ούννος κηπουρός ήταν δυστυχισμένος επειδή επί 20 χρόνια αγωνιζόταν μάταια να πετύχει ένα γκολ στο παιχνίδι που έπαιζε με τους άλλους Ούννους. Τότε η γριά Ελληνίδα μάγισσα του είπε ότι μία φιλομαθής και δουλευταρού Ελληνίδα έχει κάτι που θα τον βοηθήσει να σκοράρει. Τί έκανε τότε ο μικρός κηπουρός; Ο πονηρός κηπουρός λοιπόν, προβληματίστηκε περίπου 8 χρόνια και μετά έδρασε αστραπιαία, κατά πως τον διέταξαν τα γνωστά σε όλους μας γονίδιά του.....
The codex vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th century, ff. 11r-126rDr. Maria D. Chalkou
https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria
ΟΤΑΝ Ο ΟΥΝΝΟΣ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΔΑ
Στη μακρινή χώρα του Βορά, ο χαριτωμένος Ούννος κηπουρός ήταν δυστυχισμένος επειδή επί 20 χρόνια αγωνιζόταν μάταια να πετύχει ένα γκολ στο παιχνίδι που έπαιζε με τους άλλους Ούννους. Τότε η γριά Ελληνίδα μάγισσα του είπε ότι μία φιλομαθής και δουλευταρού Ελληνίδα έχει κάτι που θα τον βοηθήσει να σκοράρει. Τί έκανε τότε ο μικρός κηπουρός;Ο πονηρός κηπουρός λοιπόν, προβληματίστηκε περίπου 8 χρόνια και μετά έδρασε αστραπιαία, κατά πως τον διέταξαν τα γνωστά σε όλους μας γονίδιά του.....
3. Η ερώτηση πλανάται αδιάκοπα σε όλη τη διάρκεια της
σχολικής θητείας, στις περισσότερες αίθουσες
διδασκαλίας, στο δρόμο προς το σχολείο, στο γυρισμό
προς το σπίτι, μέσα στο ίδιο το σπίτι κατά τη διάρκεια
της μελέτης.
Οι ενήλικοι, στην πλειονότητά τους, δεν έχουν βρει μία
ικανοποιητική απάντηση. Πολλοί εξ αυτών που
ακολούθησαν επαγγελματική σταδιοδρομία άσχετη
προς τη επιστήμη των Μαθηματικών, αναρωτιούνται,
αν όλες εκείνες οι ατελείωτες ώρες της διδασκαλίας
αυτού του υποχρεωτικού μαθήματος ήταν χαμένος
χρόνος και κόπος.
Δρ. Μαρία Χάλκου
http://www.drchalkou.simplesite.com
6. Προσοχή γιατί τα Μαθηματικά παίζουν μαζί μας ΄΄κρυφτό΄΄.
Είναι παντού, και ας μην το καταλαβαίνουμε.
Στα φιλολογικά μαθήματα υποβόσκει η Μαθηματική
Λογική.
Αν γίνεις κομμωτής χρειάζεσαι τις αναλογίες για να
παρασκευάσεις τη βαφή, τη συμμετρία για το κούρεμα.
Αν γίνεις καλός ράφτης, θα δημιουργείς στο χαρτί τα κομμάτια
του ρούχου που θα ράψεις. Χρειάζεσαι λοιπόν τη γεωμετρία.
Αλλά, και αν μείνεις στο σπίτι, και θέλεις να προσαρμόσεις μια
συνταγή μαγειρικής στις ανάγκες σου, πάλι τις αναλογίες θα
χρειαστείς.
Δρ. Μαρία Χάλκου
http://www.drchalkou.simplesite.com
10. Χαλαρώνεις με την παρέα σου, και σχεδιάζετε να πάτε για
φαγητό.
Ο Γιώργος θέλει να φάει ψάρι, η Μαρία φιλέτο μοσχαρίσιο, ο
Νίκος δεν θέλει να πάει μακρυά γιατί πρέπει να γυρίσει
γρήγορα σπίτι του, ο Αλέξης και η Καίτη θέλουν χωριατικο
περιβάλλον, κ.λπ.
Μόλις έχει τεθεί ένα μαθηματικό πρόβλημα, χωρίς να το έχετε
πάρει είδηση. Η εκφώνησή του είναι : ΠΟΥ ΘΑ ΠΑΜΕ ΓΙΑ
ΦΑΓΗΤΟ;
Οι παράμετροί του είναι όλες οι ΄΄απαιτήσεις΄΄ σας.
Και όπως κάθε μαθηματικό πρόβλημα, μπορεί να έχει 1 λύση,
πολλές λύσεις, ή ακόμα χειρότερα -επειδή θα μείνετε νηστικοί-
καμμία λύση.
Δρ. Μαρία Χάλκου
http://www.drchalkou.simplesite.com
11. Είσαι επιχειρηματίας, και φωνάζεις τον Μαθηματικό
να σου πει, αν σε ένα χρόνο μπορείς να αγοράσεις το
τελευταίο μοντέλο της Πόρσε, ή να στείλεις τη γυναίκα
σου για 1 μήνα στο Παρίσι για …….. διακοπές και ψώνια.
Είσαι σεισμολόγος στο αστεροσκοπείο στην Πεντέλη
και λες ότι ο σεισμός του 2000 στην Αθήνα ήταν 5,7
ρίχτερ. Ο συνάδελφός σου από την Πάτρα λέει ότι ήταν
6,2 ρίχτερ, αλλά κανείς δεν κάνει λάθος. Τι συμβαίνει;
Είσαι Ινδονήσιος, και σου λένε ότι πλησιάζει τσουνάμι
10 cm, αλλά μπορεί να είναι και 9, ή 12. Έχει σημασία,
αν δεν μπορούν να σου πουν ακριβώς;
Δρ. Μαρία Χάλκου
http://www.drchalkou.simplesite.com
13. Θα απογοητευτείς, αλλά 1 και 1 δεν κάνουν πάντα 2 στα
ΜαθημαΓΙΚΑ.
Γιατί υπάρχουν προβλήματα που προσεγγίζονται όχι με βάση
κάποια μεθοδολογία που δίνει ακριβή λύση, αλλά με τα
δεδομένα που μέχρι τώρα συλλέξαμε για το συγκεκριμένο
πρόβλημα. Προσπαθούμε λοιπόν τότε, να δημιουργήσουμε μία
μέθοδο, δηλαδή μία σχέση, μία συνάρτηση, ή μία εξίσωση
χρησιμοποιώντας τα μέχρι τώρα στοιχεία, και η οποία να δίνει
λύση στο πρόβλημά μας.
Η ιδιαιτερότητα της μοντελοποίησης βρίσκεται στο ότι μπορεί
να δημιουργηθούν περισσότερες από μία συναρτήσεις, ή
εξισώσεις άρα περισσότερες λύσεις από μία.
Δρ. Μαρία Χάλκου
http://www.drchalkou.simplesite.com
14. Στο Δημοτικό ένα κατα κόρον χρησιμοποιούμενο λογισμικό είναι τα
περίφημα Γραφικά της Χελώνας , που οδηγούνται από τον Η/Υ ο
οποίος τρέχει τη γλώσσα Logo . Αυτά σχεδιάστηκαν αρχικά ως
εκπαιδευτικό εργαλείο , ώστε να επιτρέπουν στο παιδί να εξερευνά τη
Γεωμετρία σχεδιάζοντας με συγκεκριμένο απλό τρόπο τα διάφορα
σχήματα και ανακαλύπτοντας τις ιδιότητές τους.
Τα Γραφικά της Χελώνας αποτελούν μια γραφική ερμηνεία των L-Systems.
Χρησιμοποιούνται σήμερα , παράλληλα με άλλες τεχνικές, για την κατασκευή
Fractal καμπύλων, όπως π.χ. η καμπύλη και η Νιφάδα von Koch.
Μιά και αναφερθήκαμε στη Νιφάδα von Koch , να παρατηρήσουμε ότι
αυτή μπορεί να προκύψει ως όριο μιάς παραγόμενης ακολουθίας
συμπαγών συνόλων του συστήματος von Koch και είναι -μαζύ με το
σύνολο Cantor , το τρίγωνο Sierpinski , την καμπύλη Peano κ.λπ.- ένα
από τα λεγόμενα «μαθηματικά τέρατα» που χρησιμοποιούνται ως
αντιπαραδείγματα για να δείξουμε π.χ. ότι υπάρχουν καμπύλες που
«γεμίζουν» ένα ολόκληρο τετράγωνο
Δρ. Μαρία Χάλκου
http://www.drchalkou.simplesite.com