Modul ini membahas konsep relasi dan fungsi matematika. Terdapat penjelasan tentang relasi, fungsi, macam-macam fungsi seperti fungsi konstan, linear, kuadrat, identitas, dan modulus. Juga dibahas sifat-sifat fungsi seperti fungsi injektif. Modul ini bertujuan memberikan pemahaman dasar tentang relasi dan fungsi bagi mahasiswa pendidikan matematika.

1. MODUL AJAR MATEMATIKA
Kode Modul : MA31RF
Pokok Bahasan : Relasi dan Fungsi
Penyusun : Nur Muchamad
Website : matematika.mdl2.com
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON
2014

2. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “RELASI DAN FUNGSI” 1
RELASI DAN FUNGSI
A. Konsep Relasi Dan Fungsi
a. Relasi
Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota satu himpunan ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan 퐴 ke himpunan 퐵adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota himpunan 퐴 ke anggota-anggota himpunan 퐵.
Contoh Relasi:
1. Relasi “ayah dari”
2. Relasi “satu kurangnya dari”
3. Relasi “kuadrat dari”

3. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “RELASI DAN FUNGSI” 2
b. Fungsi
Suatu relasi dari himpunan 퐴 ke himpunan 퐵 disebut fungsi dari 퐴 ke 퐵 jika setiap anggota 퐴 dipasangkan dengan tepat satu anggota 퐵.
Jika 푓 adalah suatu fungsi dari 퐴 ke 퐵, maka:
1. Himpunan 퐴 disebut Domain (daerah asal),
2. Himpunan 퐵 disebut Kodomain (daerah kawan), dan
3. Himpunan anggota 퐵 yang memiliki pasangan di 퐴 (himpunan 퐶) disebut Range atau daerah hasil fungsi 푓.
Aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan 퐴 dengan anggota-anggota himpunan 퐵 disebut aturan fungsi 푓.
Misalkan diketahui fungsi-fungsi:
푓:퐴→퐵 dibaca “fungsi 푓 memetakan setiap anggita himpunan 퐴 ke himpunan 퐵”, dan dinotasikan dengan 푓(푥).
푔:퐶→퐷 dibaca “fungsi 푔 memetakan setiap anggita himpunan 퐶 ke himpunan 퐷”, dan dinotasikan dengan 푔(푥).
Contoh Soal:
Diketahui himpunan 퐴={1,2,3,4} dan himpunan 퐵={1,2,3,4,5,6,7,8}. Suatu fungsi 푓:퐴→퐵 ditentukan oleh 푓 푥 =2푥−1.
1. Gambarlah fungsi 푓 dengan diagram panah,
2. Tentukan range fungsi 푓,
3. Gambarlah grafik fungsi 푓.
Penyelesaian:
1. Diagram Panah

4. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “RELASI DAN FUNGSI” 3
2. Dari diagram panah di atas, terlihat bahwa:
푓 푥 =2푥−1 푓 1 =2 1 −1=2−1=1 푓 2 =2 2 −1=4−1=3 푓 3 =2 3 −1=6−1=5 푓 4 =2 4 −1=8−1=7
Jadi, range fungsi 푓 adalah 푅푓={1,3,5,7}
3. Grafik Fungsi 푓
c. Menyajikan Relasi dan Fungsi
Jika diketahui himpunan 퐴={0,1,2,5} dan 퐵={1,2,3,4,6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan 퐴 ke himpunan 퐵 dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.
1. Diagram Panah

5. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “RELASI DAN FUNGSI” 4
2. Diagram Cartesius
3. Himpunan Pasangan Berurutan
푅={ 0,1 , 1,2 , 2,3 , 5,6 }
4. Rumus
푓 푥 =푥+1, di mana 푥∈{0,1,2,5} dan 푓 푥 ∈{1,2,3,4,6}
B. Macam-macam Fungsi
a. Fungsi Konstan (Fungsi Tetap)
Suatu fungsi 푓:퐴→퐵yang ditentukan dengan rumus 푓(푥) disebut sebagai fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku 푓 푥 =퐶, di mana 퐶 adalah bilangan konstan.
Contoh Soal:
Diketahui 푓:푅→푅 dengan rumus 푓 푥 =3 dengan domain 퐷푓={푥|−3≤푥≤2}. Gambarlah grafik fungsi 푓(푥).
Penyelesaian:
푥
−3
−2
−1
0
1
2
푓(푥)
3
3
3
3
3
3
Grafik:

6. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “RELASI DAN FUNGSI” 5
b. Fungsi Linear
Suatu fungsi 푓(푥) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh rumus 푓 푥 =푎푥+푏, dengan 푎≠0, 푎 dan 푏 adalah bilangan konstan, dan grafiknya berupa garis lurus.
Contoh Soal:
Jika diketahui 푓 푥 =2푥+3, gambarlah grafiknya!
Penyelesaian:
푓 푥 =2푥+3
푥
0
−3/2
푓(푥)
3
0
Grafik:
c. Fungsi Kuadrat
Suatu fungsi 푓(푥) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh rumus 푓 푥 =푎푥2+푏푥+푐, dengan 푎≠0, 푎, 푏, dan 푐 adalah bilangan konstan, dan grafiknya berupa parabola.
Contoh Soal:
Perhatikan gambar di bawah ini.

7. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “RELASI DAN FUNGSI” 6
Fungsi 푓 ditentukan oleh 푓 푥 =푥2+2푥−3.
Tentukanlah:
a. Domain fungsi 푓
b. Nilai minimum fungsi 푓
c. Nilai maksimum fungsi 푓
d. Range fungsi 푓
e. Pembuat nol fungsi 푓
f. Koordinat titik balik minimum
Penyelesaian:
a. Domain fungsi 푓 adalah 퐷푓= 푥 −4≤푥≤2,푥∈푅
b. Nilai minimum fungsi 푓 adalah −4
c. Nilai maksimum fungsi 푓 adalah 5
d. Range fungsi 푓 adalah 푅푓= 푦 −4≤푦≤5,푦∈푅
e. Pembuat nol fungsi 푓 adalah 푥=−3 dan 푥=1
f. Koordinat titik balik minimum grafik fungsi 푓 adalah (−1,−4)
d. Fungsi Identitas
Suatu fungsi 푓(푥) disebut sebagai fungsi identitas apabila untuk setiap anggota domain fungsi berlaku 푓 푥 =푥 atau setiap anggota domain dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berbentuk garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama.
Contoh Soal:
Fungsi pada 푅 didefinisikan sebagai 푓 푥 =푥 untuk setiap 푥.
a. Carilah 푓(−2), 푓(0), 푓(1), dan 푓(3)
b. Gambar grafiknya

8. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “RELASI DAN FUNGSI” 7
Penyelesaian:
a. 푓 −2 =−2
푓 0 =0 푓 1 =1 푓 3 =3
b. Grafik 푓 푥 =푥
e. Fungsi Tangga (Bertingkat)
Suatu fungsi 푓(푥) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi 푓(푥) berbentuk interval-interval yang sejajar.
Contoh Soal:
Diketahui fungsi: 푓 푥 = −1023 jikajikajikajika 푥≤−1−1<푥≤22<푥≤4 푥≥4
Tentukanlah:
a. Nilai dari 푓(−2), 푓(0), 푓(3), dan 푓(5)
b. Gambar grafik fungsi 푓(푥)
Penyelesaian:
a. Nilai 푓(푥) berbeda tergantung pada interval 푥-nya
푓 푥 = −1023 jikajikajikajika 푥≤−1−1<푥≤22<푥≤4 푥≥4 푓 −2 =−1 푓 0 =0 푓 3 =2 푓 5 =3

9. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “RELASI DAN FUNGSI” 8
b. Grafik fungsi 푓 푥
f. Fungsi Modulus
Suatu fungsi 푓(푥) disebut sebagai fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan Real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.
푓:푥→ 푥 atau 푓:푎푥+푏→ 푎푥+푏
푓 푥 =|푥|: 푥 = 푥 −푥 jikajika 푥≥0 푥<0
Grafik fungsi modulus (mutlak):
g. Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap
Suatu fungsi 푓(푥) disebut fungsi ganjil apabila berlaku 푓 −푥 =−푓(푥) dan disebut fungsi genap apabila berlaku 푓 −푥 =푓(푥). Tetapi apabila 푓 −푥 ≠−푓(푥)dan 푓 −푥 ≠푓 푥 maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.
Contoh Soal:
Tentukan fungsi 푓 di bawah ini apakah termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau fungsi tidak genap dan tidak ganjil.
1. 푓 푥 =2푥3+푥
2. 푓 푥 =3cos푥−5
3. 푓 푥 =푥2−8푥

10. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “RELASI DAN FUNGSI” 9
Penyelesaian:
1. 푓 푥 =2푥3+푥
푓 −푥 =2 −푥 3+ −푥 푓 −푥 =2 −푥3 −푥 푓 −푥 =−2푥3−푥 푓 −푥 =− 2푥3+푥 푓 −푥 =−푓 푥
Jadi, fungsi 푓(푥) merupakan fungsi ganjil.
2. 푓 푥 =3cos푥−5
푓 −푥 =3cos −푥 −5 푓 −푥 =3cos푥−5 푓 −푥 =푓 푥
Jadi, fungsi 푓(푥) merupakan fungsi genap.
3. 푓 푥 =푥2−8푥
푓 −푥 = −푥 2−8 −푥 푓 −푥 =푥2+푥
Karena 푓 −푥 ≠−푓(푥) dan 푓 −푥 ≠푓 푥 , maka fungsi 푓(푥) merupakan fungsi tidak genap dan tidak ganjil.
C. Sifat-Sifat Fungsi
a. Fungsi Injektif (Satu-satu)
Perhatikan contoh berikut ini.
Misalkan himpunan 퐴={1,2,3} dan 퐵={푎,푏,푐}.
1. Fungsi 푓:퐴→퐵 dinyatakan dengan pasangan terurut 푓={ 1,푎 . 2,푏 , 3,푐 }. Diagram panah dari fungsi 푓 diperlihatkan pada gambar di bawah.
Tampak bahwa 푓 1 =푎, 푓 2 =푏, dan 푓 3 =푐. Dengan demikian, untuk tiap anggota 퐴 yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di 퐵. Suatu fungsi dengan tidap anggota himpunan 퐴 yang berbeda mempunyai peta yang berbeda seperti itu disebut sebagai fungsi injektif atau fungsi satu-satu.
2. Fungsi 푔:퐴→퐵 dinyatakan dengan pasangan terurut 푔={ 1,푎 , 2,푏 , 3,푏 }. Diagram panah dari fungsi 푔 diperlihatkan pada gambar di bawah.
Tampak bahwa 푔 1 =푎, 푔 2 =푏, dan 푔 3 =푏. Perhatikan bahwa 2≠3, tetapi 푔 2 =푔 3 =푏. Oleh karena ada anggota yang berbeda di 퐴 tetapi mempunyai peta yang sama di 퐵 maka fungsi 푔 bukan fungsi injektif atau bukan fungsi satu-satu.

11. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “RELASI DAN FUNGSI” 10
Dari uraian di atas, kita dapat mendefinisikan fungsi injektif atau fungsi satu-satu sebagai berikut.
Definisi:
Fungsi 푓:퐴→퐵 disebut fungsi inhektif atau fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk setiap 푎1,푎2∈퐴 dan 푎1≠푎2 berlaku 푓(푎1)≠푓(푎2).
Artinya suatu fungsi 푓:퐴→퐵 dikatakan injektif apabila untuk setiap anggota 퐴 yang berbeda memiliki peta yang berbeda di 퐵, atau setiap anggota 퐴 dipetakan pada tepat satu anggota 퐵.
b. Fungsi Surjektif
Perhatikan contoh berikut ini.
Misalkan himpunan 퐴={1,2,3,4} dan 퐵={푎,푏,푐}.
1. Diketahui fungsi 푓:퐴→퐵 dinyatakan dengan pasangan terurut 푓={ 1,푎 , 2,푏 , 3,푐 , 4,푐 }. Diagram panah dari fungsi 푓 diperlihatkan pada gambar di bawah.
Tampak bahwa daerah hasil fungsi 푓 adalah 푅푓={푎,푏,푐}. Dengan demikian 푅푓=퐵. Suatu fungsi dengan daerah hasil sama dengan himpunan 퐵 seperti itu disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada.
2. Diketahui fungsi 푔:퐴→퐵 dinyatakan dengan pasangan terurut 푔= { 1,푎 , 2,푎 , 3,푏 , 4,푏 }. Diagram panah dari fungsi 푔 diperlihatkan pada gambar di bawah.
Tampak bahwa daerah hasil fungsi 푔 adalah 푅푔={푎,푏}. Dengan demikian 푅푔⊂퐵. Suatu fungsi dengan daerah hasilnya merupakan himpunan bagian murni dari himpunan 퐵 seperti itu disebut fungsi into atau fungsi ke dalam.
Dari uraian di atas, kita dapat mendefinisikan fungsi onto (fungsi kepada) dan fungsi into (ke dalam) sebagai berikut.
Definisi:
1. Suatu fungsi 푓:퐴→퐵 disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi 푓 sama dengan himpunan 퐵 atau 푅푓=퐵.

12. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “RELASI DAN FUNGSI” 11
2. Suatu fungsi 푓:퐴→퐵 disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi 푓 merupakan himpunan bagian murni dari himpunan 퐵 atau 푅푓⊂퐵.
c. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Perhatikan contoh berikut ini.
1. Misalkan fungsi 푓:퐴→퐵 dengan 퐴={0,1,2} dan 퐵={푎,푏,푐} dinyatakan dengan pasangan terurut 푓={ 0,푎 , 1,푏 , 2,푐 }. Diagram panah fungsi 푓 diperlihatkan pada gambar di bawah.
Tampak bahaw fungsi 푓 adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif. Fungsi yang bersifat seperti itu disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.
2. Misalkan fungsi 푔:퐴→퐵 dengan 퐴={3,4,5} dan 퐵={푝,푞,푟,푠} dinyatakan dengan pasangan terurut 푔={ 3,푝 , 4,푞 , 5,푟 }. Diagram panah fungsi 푔 diperlihatkan pada gambar.
Tampak bahwa fungsi 푔 adalah fungsi injektif tetapi bukan fungsi surjektif. Dalam hal demikian, fungsi 푔 bukan fungsi bijektif.
Berdasarkan uraian di atas, kita dapat mendefinisikan fungsi bijektif sebagai berikut.
Definisi:
Fungsi 푓:퐴→퐵 disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi 푓 sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif.
D. Aljabar Fungsi
a. Penjumlahan
Penjumlahan 푓 dan 푔 berlaku 푓+푔 푥 =푓 푥 +푔(푥)
Contoh Soal:
Diketahui 푓 푥 =푥+2 dan 푔 푥 =푥2−4. Tentukan (푓+푔)(푥).
Penyelesaian: 푓+푔 푥 =푓 푥 +푔(푥) 푓+푔 푥 = 푥+2 +(푥2−4) 푓+푔 푥 =푥+2+푥2−4 푓+푔 푥 =푥2+푥−2

13. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “RELASI DAN FUNGSI” 12
b. Pengurangan
Pengurangan푓 dan 푔 berlaku 푓−푔 푥 =푓 푥 −푔(푥)
Contoh Soal:
Diketahui 푓 푥 =푥2−3푥 dan 푔 푥 =2푥+1. Tentukan (푓−푔)(푥).
Penyelesaian: 푓−푔 푥 =푓 푥 −푔(푥) 푓−푔 푥 = 푥2−3푥 +(2푥+1) 푓−푔 푥 =푥2−3푥−2푥−1 푓−푔 푥 =푥2−5푥−1
c. Perkalian
Perkalian푓 dan 푔 berlaku 푓.푔 푥 =푓 푥 .푔(푥)
Contoh Soal:
Diketahui 푓 푥 =푥−5 dan 푔 푥 =푥2+푥. Tentukan (푓.푔)(푥).
Penyelesaian: 푓.푔 푥 =푓 푥 .푔(푥) 푓.푔 푥 = 푥−5 +(푥2+푥) 푓.푔 푥 =푥3+푥2−5푥2−5푥 푓.푔 푥 =푥3−4푥2−5푥
d. Pembagian
Pembagian푓 dan 푔 berlaku 푓 푔 푥 =푓 푥 푔 푥 dengan 푔(푥)≠0
Contoh Soal:
Diketahui 푓 푥 =푥2−4 dan 푔 푥 =푥+2. Tentukan 푓 푔 (푥).
Penyelesaian: 푓 푔 푥 = 푓 푥 푔 푥 푓 푔 푥 = 푥2−4 푥+2 푓 푔 푥 = 푥−2 (푥+2) 푥+2 푓 푔 푥 =푥−2
e. Perpangkatan
Perpangkatan푓 berlaku 푓푛(푥)={푓 푥 }푛=푓 푥 ×푓 푥 ×…×푓 푥
Contoh Soal:
Diketahui 푓 푥 =푥−3. Tentukan 푓2(푥).
Penyelesaian: 푓2(푥)={푓 푥 }2 푓2 푥 =(푥−3)2 푓2(푥)=(푥−3)(푥−3) 푓2 푥 =푥2−3푥−3푥+9 푓2 푥 =푥2−6푥+9

14. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “RELASI DAN FUNGSI” 13
f. Domain Alami Suatu Fungsi
Kalau daerah asal (domain) suatu fungsi 푓 tidak atau belum ditentukan, maka kita dapat mengambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan Real yang mungkin sehingga daerah hasilnya merupakan himpunan bilangan Real. Daerah asal yang ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami atau domain alami atau natural domain.
Contoh Soal 1:
Tentukan daerah asal alami (natural domain) dari tiap fungsi berikut ini.
1. 푓 푥 =4 푥+1
2. 푔 푥 =1 푥2−4푥+3
3. 푝 푥 = 4−푥2
4. 푞 푥 =5 푥2−5푥+6
Penyelesaian:
1. 푓 푥 =4 푥+1
Supaya 푓(푥) bernilai real, maka 푥+1≠0 atau 푥≠−1.
Jadi, 퐷푓={푥|푥∈푅 dan 푥≠−1}.
2. 푔 푥 =1 푥2−4푥+3
Supaya 푔 푥 bernilai real, maka 푥2−4푥+3≠0 푥2−4푥+3≠0 푥−1 푥−3 ≠0
푥≠1 dan 푥≠3
Jadi, 퐷푔={푥|푥∈푅 dan 푥≠1;푥≠3}.
3. 푝 푥 = 4−푥2
Supaya 푝 푥 bernilai real, maka 4−푥2≥0 4−푥2≥0 푥2−4≤0 푥−2 푥+2 ≤0→−2≤푥≤2
Jadi, 퐷푝={푥|−2≤푥≤2; 푥∈푅}.
4. 푞 푥 =5 푥2−5푥+6
Supaya 푞(푥) bernilai real, maka푥2−5푥+6>0 푥2−5푥+6>0 푥−2 푥−3 >0→푥<2 atau 푥>3
Jadi, 퐷푞={푥|푥<2 atau 푥>3; 푥∈푅}.

15. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “RELASI DAN FUNGSI” 14
Contoh Soal 2:
Misalkan fungsi-fungsi 푓 dan 푔 ditentukan dengan rumus
푓 푥 = 푥+1 dan 푔 푥 = 16−푥2
Carilah fungsi-fungsi berikut ini, kemudian tentukanlah domain alaminya.
1. 푓+푔 (푥)
2. 푓−푔 (푥)
3. 푓.푔 (푥)
4. 푓 푔 푥
5. 푓3(푥)
Penyelesaian:
Fungsi 푓 akan bernilai real jika 푥+1≥0 atau 푥≥−1.
Domain alami fungsi 푓 adalah 퐷푓={푥|푥≥−1; 푥∈푅}.
Fungsi 푔 akan bernilai real jika 16−푥2≥0. 16−푥2≥0 푥2−16≤0 푥−4 푥+4 ≤0→−4≤푥≤4
Domain alami fungsi 푔 adalah 퐷푔={푥|−4≤푥≤4; 푥∈푅}.
1. 푓+푔 푥 =푓 푥 +푔 푥 = 푥+1+ 16−푥2
Domain alami fungsi 푓+푔 (푥) adalah 퐷푓+푔={푥|−1≤푥≤4; 푥∈푅}
2. 푓−푔 푥 =푓 푥 −푔 푥 = 푥+1− 16−푥2
Domain alami fungsi 푓−푔 (푥) adalah 퐷푓−푔={푥|−1≤푥≤4; 푥∈푅}
3. 푓.푔 푥 =푓 푥 .푔 푥 = 푥+1. 16−푥2= 푥+1 (16−푥2)
Domain alami fungsi 푓.푔 (푥) adalah 퐷푓.푔={푥|−1≤푥≤4; 푥∈푅}
4. 푓 푔 푥 =푓 푥 푔 푥 = 푥+1 16−푥2= 푥+116−푥2
Domain alami fungsi 푓 푔 푥 adalah 퐷푓 푔 ={푥|−1≤푥<4; 푥∈푅}
5. 푓3 푥 = 푓 푥 3= 푥+1 3= 푥+1 푥+1
Domain alami fungsi 푓3(푥) adalah 퐷푓3={푥|푥≥−1; 푥∈푅}.

16. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “RELASI DAN FUNGSI” 15
DAFTAR PUSTAKA
Lestari, Sri dan Diah Ayu K. 2009. Matematika 2 untuk SMA/MA Program Studi IPS Kelas XI. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 2: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XI SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Wirodikromo, Sartono. 2003. Matematika 2000 untuk SMU Jilid 3 Kelas 2 Semester 1. Jakarta: Erlangga.