Fungsi kuadrat

17,320 views

Published on

Published in: Education
1 Comment
3 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
17,320
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
5
Actions
Shares
0
Downloads
237
Comments
1
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Fungsi kuadrat

  1. 1. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 Kalian tentu pernah mempelajari suatu persamaan yaitu: . Bentuk persamaan diatas merupakan garis lurus. Akan tetapi, tidak semua bentuk persamaan merupakan garis. Ada yang berbentuk suatu parabola, elips, gelombang, atau yang lainnya. Sekarang yang akan kita pelajari adalah bentuk parabola. Fungsi apakah yang mewakili suatu parabola dan bagaimana penerapan dalam kehidupan sehari- hari? Agar lebih paham, coba kalian perhatikan ilustrasi berikut ini. Seorang anak melempar sebatang kayu vertical ke atas dengan kecepatan awal tertentuuntuk mengambil kembali layang-layang yang tersangkut disebuah pohon. Batang kayu yang ia lemparkan, jika tidak mengenai pohon tersebut maka akan jatuh ke tanah. Apakah kalian ingin mengetahui berapa tinggi maksimum yang dapat dicapai batang kayu tersebut? Dan apakah batang kayu yang ia lemparkan akan dapat mencapai layang-layang yang berada di pohon tersebut? Pertanyaan di atas dapat kita selesaikan menggunakan fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat disebut juga fungsi parabola, hal ini disebabkan grafik dari fungsi kuadrat adalah berbentuk parabola. Bentuk parabola dapat terbuka ke atas, ke bawah, ke kiri, dank e kanan. Semua ini tergantung dari bentuk fungsi kuadrat itu sendiri. Cirri-ciri dari fungsi kuadrat adalah memiliki titik tertinggi atau terendah. Kalian dapat mengetahui nilai dari titik tersebut menggunakan formula tertentu yang tentunya mempermudah kalian dalam melakuakn perhitungan, sehingga kita tidak perlu secara menual melakukan nilai dan titik tersebut. Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah . Pada kasus ini, fungsi kkuadrat yang digunakan adalah dengan adalah kecepatan awal kayu, adalah waktu setelah batang kayu dilemparkan, adalah percepatan grafitasi, dan adalah tinggi yang dicapai batang kayu saat . MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  2. 2. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 Batan kayu yang dilemparkan anak tersebut ke atas, jika tidak mengenai pohon merupakan salah satu fungsi kuadrat karena batang kayu tersebut dimulai dari ketinggian 0, kemudian semakin lama semakin tinggi hingga mencapai tinggi maksimum dan turun kembali sehingga ketinggian batang kayu tersebut menjadi 0. Tidak sulit, bukan? Selain contoh di atas, masih banyak contoh lain yang menggunakan fungsi kuadrat dan secara tidak sadar ternyata banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya dalam bidang ekonomi, fungsi permintaan dan penawaran dapat berupa fungsi kuadrat. Jika kalian tertarik mengenai fungsi kuadrat seperti bagaimana cara menggambarkan fungsi kuadrat, mengetahui nilai maksimum atau minimum, atau yang lainnya, kalian dapat mempelajarinya lebih mendalam dalam bab ini. Tahukah Anda? Evariste Galois (1811-1832) adalah seorang ahli matematika berkebangsaan Prancis yang memberi kontribusi nyata pada teori fungsi, teori persamaan, dan teori bilangan. Semua pemikirannya berkembang dari minatnya ketika masih sekolah untuk menunjukan ketidakmungkinan penyelesaian persamaan pengkat enam dengan radial dan untuk menjelaskan syarat-syarat umum sembarang persamaan suku banyak agar dapat diselesaikan. Meskipun Galois telah mempublikasikan beberapa makalah, ketika ia kirimkan karya tulisnya ke Academy of Science pada tahun 1829, makalahnya dihilangkan oleh Cauckly dan Fauvier. Ia juga ditolak masuk di Ecole Polytechnique. Setelah ayahnnya bunuh diri, Iaberusaha melupakan pemikiran matematika sebagai karirnya. MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  3. 3. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 A. Fungsi Kalian tentu pernah mendengar ungkapan bahwa sebuah fungsi pasti merupakan relasi, tetapi sebuah relasi belum tentu merupakn fungsi. Mengapa demikian? Tentu, keduanya memiliki perbedaan walaupun sama-sama menunjukan hubungan antara dua buah himpunana. Untuk itu, sebelum sampai pada pembahasan fungsi kuadrat dan gafiknya, ada baiknya kita meningat kembali pengertian relasi, pemetaan atau fungsi. 1. Relasi Secara umum relasi atau hubungan antara himpunan A dan himpunan B didefinisikan sebagai suatu pemasangan atau perkawanan antara anggota- anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Beberapa cara untuk menyatakan suatu relasi adalah dengan mengunakan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius. Untuk memahami beberapa cara menyajiakan suatu relasi tersebut, perhatikan contoh berikut: Contoh: Diketahui dan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B yang dinyatakan himpunan pasangan berurutan . Nyatakan R dengan diagram panah, kemudian nyatakan pula R dengan diagram Cartesius. Jawab: Diagram panah Diagram Cartesius B 1 p 2 q r q 3 r p A A B 0 1 2 3 MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  4. 4. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 2. Pemetaan atau Fungsi Fungsi, atau sering disebut pemetaan, senantiasa melibatkan dua himpunan. Kita ketahui setiap himpunan tak kosong memiliki elemen atau anggota atau boleh disebut juga unsur. Fungsi hanya terdefinisi pada dua himpunan tak kosong. Kata fungsi dalam matematika diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716) yang digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara dua himpunan, sehingga fungsi dapat dikatakan hal yang istimewa dari suatu relasi antara dua himpunan. Sebuah fungsi f dari A ke B adalah pemasangan unsur di A ke tepat satu unsur di B. Contoh: Misalkan ada lima buah gelas yang sama ukuranya, tingginya masing-masing 12 cm. Kemudian gelas tersebut disusun ke atas, untuk gelas kedua dan seterusnya hanya sebagian/separo yang dapat masuk ke gelas di bawahnya. Jika di ukur tinggi keseluruhanya, maka diperoleh: Banyak Gelas 1 2 3 4 5 Tinggi Tumpukan 12 cm 18 cm 24 cm 30 cm 36 cm Jika ada 8 gelas, berapa tinggi tumpukannya? Jika tinggi gelas adalah t dan ada 10 gelas, berapa tinggi tumpukannya? Tinggi tumpukan merupakan fungsi banyaknya gelas. Peubah banyaknya gelas berelasi langsung dengan peubah tinggi tumpukan. Jika tinggi gelas t cm dan banyaknya gelas adalah g, maka sebuah fungsi dapat dinyatakan sebagi hubungan antara tinggi tumpukan dan banyaknya gelas yang ditumpuk. Suatu fungsi dapat kita bayangkan dengan sebuah kinerja mesin, yang digambarkan sebagai berikut: Fungsi F masukan keluaran MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  5. 5. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 Jika memproses sebuah bilangan (masukan), maka akan diperoleh suatu hasil (keluaran). Sehingga, apabila masukan satu buah bilangan, maka akan diperoleh satu bilangan tunggal sebagai keluaran. Tetapi, dapat terjadi beberapa masukan yang berlainan, namun menghasilkan keluaran yang sama. Untuk mendefinisikan suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B diperlukan: a. Suatu himpunan A b. Suatu himpunan B c. Aturan yang memasangkan setiap elemen dengan satu elemen tunggal . Perhatikan diagram dibawah ini: A B 1 1 2 2 3 3 Definisi: suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B. Ditulis: dibaca “fungsi f memetakan A ke B” MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  6. 6. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 Apabila memetakan suatu elemen ke suatu dikatakan bahwa adalah peta dari oleh dinotasikan dan biasa ditulis dengan , dan diasa disebut prapeta dari . Himpunan A dinyatakan sebagai daerah asal (domain) fungsi, himpunan B dinyatakan sebagai daerah kawan (kodomain) fungsi, dan semua himpunan anggota B yang mempunyai pasangan disebut daerah hasil (range) fungsi. Ada beberapa cara penyajian fungsi, diantaranya: a. Diagram panah b. , ini menyatakan bahwa fungsi f mempunyai domain D dan Kodomain K. Untuk selanjutnya jika domain dan kodomain tidak dinyatakan, itu berarti yang dimaksud adalah himpunan bilangan real yeng memenuhi fungsi. Misalnya: , dan hanya terdefinisi dan . Lambing fungsi tidak harus f. Misalnya: 1) atau 2) atau c. Penyajian pasangan berurutan Cara ini efektif hanya jika himpunannya terbatas dan anggotanya diskrit. d. Grafik kartesius e. Dalam bentuk aturan-aturan 1) Tambah 1 dan (kemudian) kuadratkan 2) Kuadratkan dan (kemudian) tambah 1 f. Dalam bentuk aljabar: 1) atau yang terakhir ini disebut persamaan fungsi 2) atau yang terakhir ini disebut persamaan fungsi g. Dalam bentuk persamaan: Eksplisit: misalnya, dengan Implisit: misalnya, MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  7. 7. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 h. Penyajian parametrik: Jika sebuah fungsi atau bentuk relasi tertentu disajikan dalam dua fungsi secara terpisah dalam bentuk dan ,t dinamakan sebuah parameter. Contoh: merupakan bentuk parametrik dari yang diperoleh dengan menngeliminasi t dari kedua persamaan. i. Fungsi kuadrat Perhatikan relasi-relasi yang dinyatakan dengan diagram panah berikut! A B A B 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 (a) (b) Dari kedua relasi di atas, mana yang merupakan fungsi! Secara umum, suatu relasi dari A ke B dinamakan pemetaan atau fungsi, jika setiap anggota A mempunyai tepat satu anggota B. dalam hal ini, A disebut sebagai domain fungsi, B sebagai kodomain fungsi, dan himpunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range fungsi. Gambar (b) merupakan fungsi, sehingga dapat kita peroleh: Domain =A={1,2,3} Kodomain =B={1,2,3} Range ={2,3} Bentuk umum fungsi kuadrat yaitu , dimana dan dan sering disajikan dalam bentuk grafik. MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  8. 8. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 Contoh: 8 1 2 4 6 Latihan 1: 1. Diketahui himpunan . Manakah yang merupakn relasi dan mana yang merupakn fungsi, jelaskan! a. b. c. 2. Tentukan rumus fungsi f yang ditentukan oleh aturan sebagai berikut ini: a. Kuadratkan, kemudian kurangi dengan dua kalinya b. Kuadratkan, tambahkan dengan tiga. Kemudian kalikan dengan empat c. Kurangi dengan tiga, kuadratkan. Kemudian tarik akar kuadratnya 3. Tentukanlah range fungsi jika diketahui domain fungsi , dan kodomain fungsi sebagai berikut: a. ; dan b. ; dan c. ; dan d. ; dan 4. Jika f(x) adalah fungsi kuadrat, maka fungsi apakah g(x) jika g(x)=f(x+p)- f(x). Jelaskan! 5. Diketahui fungsi pada R yang didefinisikan dengan: MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  9. 9. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 Gambar sketsa grafik tersebut! 6. Fungsi didefinisikan oleh , . Tentukan range untuk domain . Tunjukan fungsi itu dalam koordinat Cartesius. 7. Fungus f memetakan setiap bilangan asli ganjil ke-2, dan bilangan asli genap ke-2. Tentukan: a. Peta bagi 5 dan 8 b. Domain f c. Range f 8. Suatu fungsi t memetakan setiap bilangan asli kepada sisinya apabila bilanga itu dibagi dengan 3. a. Tentukan . b. Tentukan range bagi t jika domiannya 9. Tanngki bengsin sebuah truk dapat memuat 80 liter bensin. Dalam jangka tempuh 5 km truk itu menghabiskan bensin 1 liter. Jika tangki diisi penuh dan jangka tempuh truk n km, . a. Dengan menggunakan tanda fungsi , nyatakan p memetakan n ke bilangan liter bensin yang tersisa dalam tangki setelah n km. b. Tentukan nilai p di 80, 300, 400, dan 450 c. Jelaskan jawabanmu untuk dan d. Tentukan range p 10. Upah seorang buruh di suatu perkebunan adalah Rp. 200.000,- sebulan, dan tiap tahun upahnya bertambah 10%. a. Berapa upahnya setelah n tahun. b. Dengan menggunakan tanda fungsi , nyatakan h memetakan n ke upah buruh setelah n tahun. c. Tentukan range bagi h dalam dalam bentuk pangkat, jika domainnya 11. Suatu fungsi p memetakan setiap bilangan bulat kepada sisanya apabila bilangan itu dibagi 5. a. Tentukan nilai dari dan MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  10. 10. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 b. Tentukan range bagi p jika domainnya 12. Tentukan domain untuk setiap fungsi berikut ini. a. b. c. d. 13. Diketahui fungsi . a. Tentukan peta bagi -3 b. Tentukan nilai f di c. Unsur-unsur domain manakah yang mempunyai peta 37? d. Tentukan unsur domain yang mempunyai peta/kawan -15? Jelaskan jawabanmu. 14. Diketahui dan dengan rumus . Tentukan dan , kemudian tentukan rumus daerah hasil f. jelaskan dengan gambar 15. Fungsi h didefinisikan sebagai: . a. Tentukan range untuk b. Tentukan unsur domain t yang mepunyai peta 256-1 c. Jika , tentukan nilai d. Jika domain h adalah bilangan real. Tentukan rangenya dan jelaskan jawabanmu B. Macam-macam Fungsi 1. Fungsi Aljabar Sederhana Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). untuk fungsi-fungsi pada R kita kenal beberapa fungsi khusus, antara lain sebagai berikut. a. Fungsi Konstan Fungsi konstan merupakan fungsi yang memetakan setiap unsur di domain ke satu nilai yang sama atau konstan, yang dinyatakan dengan MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  11. 11. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 dan C konstan. Ini berarti fungsi f memetakan setiap bilangan real dengan C. Grafik fungsi konstan dengan adalah garis lurus yang sejajar sumbu X untuk dan berimpir dengan sumbu X apabila . Contoh: Fungsi Y 3 X -2 5 b. Fungsi Identitas Fungsi identitas merupakan fungsi yang memetakan setiap unsur di domain ke dirinya sendiri. Fungsi yang didefinisikan sebagai disebut fungsi identitas. Grafik fungsi identitas adalah garis lurus yang melalui . Contoh: Y 4 3 2 X 0 2 3 4 MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  12. 12. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 c. Fungsi Modulus Fungsi modulus merupakan fungsi yang memetakan setiap unsur di domain kesuatu nilai positif atau nol. Nilai mutlak (modulus) suatu bilangan real didefinisikan sebagai: Misalnya: Fungsi disebut fungsi modulus jika Contoh: Grafik fungsi f yang didefinisikan oleh adalah: Y 3 X 3   d. Fungsi Linier Fungsi linier merupakan suatu fungsi yang peubah bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Fungsi yang didefinisikan , dan konstan dengan syarat disebut dengan fungsi linier. MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  13. 13. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 Contoh 1: Diketahui fungsi . Tentukan: 1) Nilai-nilai fungsi tersebut untuk 2) Titik-titik dan gambarkan Jawab: 1) Diketahui Untuk Untuk Unutk Untuk Untuk Untuk Untuk 2) Dari a) diperoleh titik-titik (-3,-10), (-2,-7), (-1,-4), (0,-1), (1,2), (2,5), dan (3,8). Jika titik-titik tersebut digambarkan dalam grafik, maka diperoleh: 8 5 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -4 -7 -10 MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  14. 14. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 Contoh 2: Diketahui fungsi . Tentukan daerah asal fungsi f. kemudian lukiskan grafik fungsi f dan tentukan daerah hasilnya. Jawab: Diketahui, daerah asal fungsi adalah . Untuk melukiskan grafik fungsi , dengan , dilakukan langkah-langkah berikut. Langkah 1: Menentukan dua titik . Untuk , nilai Untuk , nilai Oleh karena itu, diperoleh dua titik yaitu, (-4,-2) dan (10,12) Langkah 2: Menggambarkan dua titik tersebut pada bidang Cartesius. Langkah 3: Menggambarkan garis lurus dengan menghubungkan dua titk tersebut. Dari langkah 1, 2, dan 3 diperoleh grafik sebagai berikut. Y 12 2 -4 2 10 X -2 MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  15. 15. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 Dari grafik tersebut, diperoleh daerah hasil fungsi adalah . 2. Fungsi kuadrat Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang mempunyai peubah bebas berpangkat paling tinggi dua. Fungsi yang didefinisikan , dengan dan . Contoh 1: Diketahui dari suatu fungsi dengan . Tentukan: a. dan prapeta dari 5 b. Buat grafik dan tentukan daerah hasil dari fungsi c. Jelaskan bahwa suatu fungsi Jawab: a.      Praperta dari 5    prapeta dari 5 adalah -2 atau 2 MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  16. 16. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 b. Grafik Fungsi Y Daerah hasil X Daerah Asal Titik balik (0,1) Jadi daerah hasil dari fungsi adalah c. Karena suatu relasi dimana setiap elemen pada domain A (sumbu x) dipasangkan secara tunggal maka merupakn fungsi. Contoh 2: Tentukan nilai-nilai untuk . Kemudian tentukan titik-titik . Jawab: Diketahui Untuk Untuk Untuk MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  17. 17. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 Untuk Untuk Untuk Untuk Jadi, diperoleh titik-titik . Latihan soal: 1. Gambarlah grafik fungsi konstan, jika diketahui: a. b. c. 2. Gambarlah grafik fungsi modulus berikut: a. b. c. 3. Diketahui fungsi a. Tentukan nilai-nilai fungsi tersebut untuk b. Tentukan dan gambarkan titik-titik c. Hubungkan titik-titk tersebut 4. Tentukan daerah asal fungsi f. Kemudian, lukiskan grafik fungsi f dan tentukan daerah hasilnya. Jika diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut. a. b. c. d. 5. Gambarlah grafik fungsi-funngsi berikut ini a. MEMAHAMI KONSEP FUNGSI
  18. 18. KAPITA SELEKTA METEMATIKA 1 b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. 6. Jelaskan pendapat Anda tentang kurva parabola untuk . 7. Gambarlah tiap kurva parabola di bawah ini,kemudian jelaskan pendapatmu tentang hubungan dengan kurva a) b) c) d) e) MEMAHAMI KONSEP FUNGSI

×