Modul Matematika Peminatan Kelas X : Fungsi Eksponensial (bagian 1)

1. Modul 1 Matematika (Peminatan) Kelas X
Fungsi Eksponensial
Agung Anggoro

2. Agung Anggoro | SMA Darul Hikam
Sifat-sifat Dasar Eksponen
Misalkan 𝑎, 𝑏 taknol serta 𝑚 dan 𝑛 bilangan real, sifat-sifat berikut berlaku :
[1] 𝑎 = 1
[2] 𝑎 𝑎 = 𝑎 +
[3] = 𝑎 −
[4] (𝑎 ) = 𝑎
[5] (𝑎𝑏) = 𝑎 𝑏
[6] ( ) =
Bentuk Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial yang paling sederhana berbentuk 𝑓(𝑥) = 𝑎 , dengan 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1.
Perhatikan bahwa variabel 𝑥 terletak pada bagian pangkatnya. Selanjutnya, fungsi berbentuk
𝑓(𝑥) = 𝑎 ini dapat dibagi menjadi dua macam berdasarkan bilangan pokok 𝑎, yaitu untuk 0 <
𝑎 < 1 dan untuk 𝑎 > 1.
Untuk 0 < 𝑎 < 1, maka fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑎 akan menurun seiring bertambahnya nilai 𝑥. Sebagai
contoh, kita gunakan 𝑎 = .
Contoh : 𝑓(𝑥) =
𝑥 = 0 maka 𝑓(𝑥) = = 1
𝑥 = 1 maka 𝑓(𝑥) = =
𝑥 = 2 maka 𝑓(𝑥) = =
𝑥 = 3 maka 𝑓(𝑥) = =
dan seterusnya.
Untuk 𝑎 > 1, maka fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑎 akan naik seiring bertambahnya nilai 𝑥. Sebagai contoh,
kita gunakan 𝑎 = 3.
Contoh : 𝑓(𝑥) = 3
𝑥 = 0 maka 𝑓(𝑥) = (3) = 1
𝑥 = 1 maka 𝑓(𝑥) = (3) = 3
𝑥 = 2 maka 𝑓(𝑥) = (3) = 9
𝑥 = 3 maka 𝑓(𝑥) = (3) = 27
dan seterusnya.
Diskusi 1
Amatilah bagaimana hubungan 𝑥 dengan 𝑓(𝑥) apabila 𝑓(𝑥) = 𝑎−
. Jelaskan
sebagaimana uraian di atas.

3. Agung Anggoro | SMA Darul Hikam
Selain bentuk sederhana tersebut, bentuk fungsi eksponensial lainnya adalah 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎 dengan
𝑘 dan 𝑝 merupakan konstanta. Contohnya : 𝑓(𝑥) = 2 ⋅ 10 . Sedangkan bentuk paling umum
dari fungsi eksponensial adalah 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎 ( )
. Dimana 𝑔(𝑥) adalah fungsi dengan variabel 𝑥.
Perhatikan bahwa 𝑓(𝑥) = 2 −
merupakan fungsi eksponensial dengan 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 1.
Grafik Fungsi Eksponensial
Untuk menggambar grafik dari sebuah fungsi eksponensial, dapat diawali dengan menggambar
titik-titik dengan koordinat (𝑥, 𝑓(𝑥)), lalu menyambungkannya dengan halus (tanpa ada
patahan).
Contoh :
Akan dibuat grafik dari fungsi 𝑓(𝑥) = 2 .
Perhatikan tabel nilai fungsi berikut :
𝑥 −2 −1 0 1 2 3
𝑓(𝑥) 2−
=
1
4
2−
=
1
2
2 = 1 2 = 2 2 = 4 2 = 8
(𝑥, 𝑓(𝑥)) −2,
1
4
−2,
1
2
(0,1) (1, 2) (2, 4) (3, 8)
Kemudian gambarlah titik-titik yang ada pada baris ketiga.
Terakhir, sambungkan titik-titik tersebut seperti berikut :

4. Agung Anggoro | SMA Darul Hikam
Asimtot dan Intersep
Asimtot adalah garis lurus yang didekati oleh grafik namun tidak pernah tersentuh ataupun
terpotong. Sedangkan intersep adalah titik potong grafik dengan sumbu-sumbu koordinat. Pada
grafik 𝑓(𝑥) = 2 , titik (0, 1) merupakan intersep dan garis 𝑦 = 0 atau sumbu 𝑋 merupakan
asimtotnya.
Latihan 1
1. Diketahui 𝑓(𝑥) = 0,5 +
. Tentukan :
a) 𝑓(−1)
b) 𝑓(2)
c) Grafik fungsi 𝑓(𝑥).
2. Diketahui 𝑓(𝑥) = 3 dan 𝑔(𝑥) = 3− +
. Tentukan :
a) ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)
b) ℎ(−2)
c) Grafik fungsi ℎ(𝑥)
3. Gambarlah grafik serta tentukan asimtot dan intersep dari :
a) 𝑦 = −2
b) 𝑦 = 2 −
+ 1
c) 𝑦 =
d) 𝑦 = 5 + 2

5. Agung Anggoro | SMA Darul Hikam
Persamaan Eksponensial
Dalam masalah persamaan eksponensial, terdapat berbagai tipe persamaan eksponensial yang
menyebabkan ada perbedaan cara penyelesaian dari tiap tipenya. Beberapa tipe persamaan
eksponensial yang akan kita bahas antara lain sebagai berikut :
- 𝑎 ( )
= 𝑎
- 𝑎 ( )
= 𝑎 ( )
- 𝑎 ( )
= 𝑏 ( )
- 𝑝(𝑥) ( )
= 𝑝(𝑥) ( )
- 𝑓(𝑥) ( )
= 𝑔(𝑥) ( )
- 𝑃 ⋅ 𝑎 ( )
+ 𝑄 ⋅ 𝑎 ( )
+ 𝐶 = 0
Keterangan : 𝑎 taknol dan 𝑎 ≠ 1
Pertama : 𝑎 ( )
= 𝑎
Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial tipe ini kita hanya tinggal menyelesaikan
persamaan
𝑓(𝑥) = 𝑝.
Hal ini karena masing-masing ruas adalah suku tunggal dengan bilangan pokok yang sama.
Contoh :
Carilah nilai 𝑡 yang memenuhi 2 −
= 4
Jawab :
Perhatikan bahwa 4 = 2 , sehingga persamaan menjadi 2 −
= (2 ) . Selanjutnya, manfaatkan
sifat-sifat dasar eksponen.
2 −
= (2 )
⇔ 2 −
= 2
⇔ 𝑡 − 1 = 6
⇔ 𝒕 = 𝟕
Kedua : 𝑎 ( )
= 𝑎 ( )
Andaikan 𝑎 = 1 maka jelas persamaan dapat dipenuhi oleh berapapun bilangan real 𝑥.
(Kenapa ?) Kita tidak membahas pengandaian ini.
Untuk menyelesaikan persamaan tipe ini, lagi-lagi kita cukup menyelesaikan persamaan 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥). Sebagaimana pada bentuk pertama.
Contoh :
Carilah nilai 𝑡 yang memenuhi 2 −
= 4 −

6. Agung Anggoro | SMA Darul Hikam
Jawab :
Perhatikan bahwa 4 = 2 , sehingga persamaan menjadi 2 −
= (2 ) −
. Selanjutnya,
manfaatkan sifat-sifat dasar eksponen.
2 −
= (2 ) −
⇔ 2 −
= 2 −
⇔ 𝑡 − 1 = 6 − 2𝑡
⇔ 3𝑡 = 7
⇔ 𝑡 =
7
3
Ketiga : 𝑎 ( )
= 𝑏 ( )
, 𝑎 ≠ 𝑏.
Persamaan bentuk ini hanya diselesaikan oleh 𝑥 yang memenuhi 𝑓(𝑥) = 0. (Kenapa ?)
Latihan 2
1. Selesaikan persamaan-persamaan eksponensial berikut ini.
a. 3 −
= 9
b. 49 = 7
√
7
c. 3 = 27 +
d. 4 −
= 8
e. 3 − 1 = 2
f. 5 −
= (0,2)
g. 125 −
= 625
h.
√
2 + = √
−
i. 2 + 2 +
= 72
j. 5 +
− 25 = 0
k. 3 + 3 +
= 90
l. (2 −
) + = 1
m. 3 −
− 9 −
= 0

7. Agung Anggoro | SMA Darul Hikam
Contoh Pembahasan (lagi) :
i. Untuk soal semacam ini, digunakan sedikit trik yang mengharuskan kamu jeli dan tanggap.
2 + 2 +
= 72.
Lagi-lagi, manfaatkan sifat dasar eksponen, kamu akan peroleh persamaan di atas menjadi :
2 + 2 ⋅ 8 = 72
⇔ 2 (1 + 8) = 72 (Ya, pemfaktoran. Disinilah kamu harus jeli)
⇔ 2 ⋅ 9 = 72 ⇔ 2 =
72
9
= 8 ⇔ 𝑥 = 3
2. [Sistem Persamaan] Dapat juga diberikan sebuah sistem persamaan, yaitu dimana variabel
yang dicari lebih dari satu dan persamaan yang diberikan pun lebih dari satu. Berikut contoh
penyelesaian sistem persamaan dua variabel :
Temukan nilai 𝑥 dan 𝑦 yang memenuhi :
7 −
= 49
5 +
= 125
Jawab : Karena 49 = 7 dan 125 = 5 , maka dari persamaan pertama diperoleh 𝑥 − 𝑦 = 2 dan dari
persamaan kedua diperoleh 𝑥 + 𝑦 = 3. Dengan mengeliminasi variabel 𝑥 pada persamaan 𝑥 − 𝑦 = 2 dan
persamaan 𝑥 + 𝑦 = 3 diperoleh ....
Setelah melengkapi jawaban di atas, selesaikan sistem-sistem persamaan berikut ini.
a. 3 +
= 243
2 +
= 8
b.
3 ⋅ 81 = 27
2 ⋅ 8 =
c. 4 − +
= 32 − +
5 − +
= 25 −
d.
5 +
= 625
2 −
=
e. 8 = 2 +
5 = 25 +
f. 4 +
+ 2 = 20
2 −
− 2 = −3