Dokumen ini membahas tentang fungsi dan model matematika dengan berbagai cara penyajian fungsi seperti lisan, numerik, visual, dan aljabar. Terdapat juga penjelasan mengenai sifat-sifat fungsi seperti fungsi genap dan ganjil, serta jenis model matematika termasuk model linier, polinom, dan fungsi transenden. Selain itu, dijelaskan pula tentang transformasi fungsi dan kombinasi fungsi dalam konteks aljabar.

1. Fungsi dan Model
Matematika
SMK-IT Al-Kasyaf

2. Empat Cara Menyajikan
Fungsi
 Fungsi adalah aturan yang memadankan
setiap elemen 𝑥 dalam himpunan 𝐴 secara
tepat satu elemen, yang disebut 𝑓(𝑥), dalam
himpunan 𝐵.
 Penyajian Fungsi
◦ Secara lisan (dengan uraian dalam kata-kata)
◦ Secara numerik (dengan tabel nilai)
◦ Secara visual (dengan grafik)
◦ Secara aljabar (dengan rumus eksplisit)
 Uji Garis Vertikal, Kurva di bidang-𝑥𝑦
merupakan grafik suatu fungsi 𝑥 jika dan
hanya jika tidak terdapat garis vertikal yang
memotong kurva lebih dari sekali.

3. Fungsi yang Terdefinisi secara
Sepotong-sepotong (piecewise)
 Contoh :
𝑓 𝑥 =
1 − 𝑥 ; jika 𝑥 ≤ 1
𝑥2
; jika 𝑥 > 1
 Fungsi Nilai Mutlak
𝑎 =
−𝑎, 𝑎 < 0
𝑎, 𝑎 ≥ 0

4. Simetri
 Jika fungsi 𝑓 memenuhi 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥) untuk
setiap bilangan 𝑥 di dalam daerah asalnya,
maka 𝑓 disebut fungsi genap.
 Ciri geometris fungsi genap adalah bahwa
grafiknya simetri terhadap sumbu-𝑦.
 Jika fungsi 𝑓 memenuhi 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) untuk
setiap bilangan 𝑥 di dalam daerah asalnya,
maka 𝑓 disebut fungsi ganjil.
 Ciri geometris fungsi ganjil adalah bahwa
grafiknya simetri terhadap titik pusat.
 Contoh : 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 adalah fungsi ganjil,
sedangkan 𝑔 𝑥 = cos 𝑥 adalah fungsi
genap.

5. Fungsi Naik dan Fungsi Turun
 Fungsi 𝑓 disebut naik pada interval 𝐼
jika
𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 bilamana 𝑥1 < 𝑥2 di 𝐼
 Fungsi 𝑓 disebut turun pada interval 𝐼
jika
𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 bilamana 𝑥1 < 𝑥2 di 𝐼

6. MODEL
MATEMATIKA
Model Matematika
adalah uraian secara
matematika (sering kali
menggunakan fungsi atau
persamaan) dari
fenomena dunia nyata.
Tujuan model adalah
memahami suatu
fenomena dan
memungkinkan untuk
membuat prakiraan
tentang perilaku di masa
depan.
Persoalan
dunia nyata
Model
matematika
Kesimpulan
matematika
Prakiraan
dunia nyata
Rumuska
n
PecahkanTafsirkan
Uji

7. Berbagai Bentuk Model
Matematika
 Model Linier (Linear Models) yaitu
permasalahan yang penyebaran datanya
dapat dihampiri oleh garis lurus
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑐
Keterangan :
◦ Titik potong pada sumbu-𝑥 dapat diperoleh
dengan menetapkan nilai 𝑦 = 0.
◦ Titik potong pada sumbu-𝑦 dapat diperoleh
dengan menetapkan nilai 𝑥 = 0.
◦ 𝑚 adalah kemiringan/gradien garis, yaitu
perbandingan perubahan nilai 𝑦 terhadap
perubahan nilai 𝑥.

8. Berbagai Bentuk Model
Matematika
 Contoh
Tabel Sebaran
rata-rata kadar CO2
Tahun
Tingkat CO2
(dalam ppm)
1972 327,3
1974 330,0
1976 332,0
1978 335,3
1980 338,5
1982 341,0
1984 344,3
1986 347,0
1988 351,3
1990 354,0
y = 1.4967x - 2624.8
R² = 0.9966
325.0
330.0
335.0
340.0
345.0
350.0
355.0
360.0
1970 1975 1980 1985 1990 1995
TingkatCO2
Tahun
Grafik Data Sebaran Rata-Rata Kadar
CO2

9. Berbagai Bentuk Model
Matematika
 Polinom, Fungsi 𝑃 disebut polinom jika,
𝑃 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎2 𝑥2
+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
dengan 𝑛 bilangan bulat positif yang
disebut derajat polinom dan bilangan 𝑎0,
𝑎1, 𝑎2, ..., 𝑎 𝑛 adalah konstanta yang
disebut koefisien polinom.
 Fungsi Pangkat, 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑎
yang terbagi
menjadi tiga macam :
o 𝑎 = 𝑛, dengan 𝑛 bilangan bulat positif
o 𝑎 =
1
𝑛
, dengan 𝑛 bilangan bulat positif (fungsi
akar)
o 𝑎 = −1 (fungsi kebalikan)

10. Berbagai Bentuk Model
Matematika
 Fungsi Rasional yaitu hasil bagi dua
polinom :
𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
dengan daerah asal semua nilai 𝑥
sedemikian sehingga 𝑄(𝑥) ≠ 0.
 Fungsi Aljabar, Fungsi 𝑓 disebut fungsi
aljabar jika dia dapat diperoleh dengan
menggunakan operasi aljabar
(penambahan, pengurangan, perkalian,
pembagian dan penarikan akar) dari
suatu polinom. Bisa dikatakan model-
model sebelumnya termasuk dalam
fungsi aljabar.

11. Berbagai Bentuk Model
Matematika
 Fungsi Transenden yaitu fungsi non-
aljabar, yang terdiri dari :
1. Fungsi Trigonometri dan Invers
Trigonometri
2. Fungsi Eksponensial 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 dan
inversnya yaitu Fungsi Logaritma
𝑓 𝑥 = log 𝑎 𝑥, dengan 𝑎 konstanta.

12. Tugas
Carilah contoh grafik fungsi kuadrat,
fungsi pangkat tiga, fungsi rasional,
fungsi trigonometri (sinus, kosinus dan
tangen), fungsi invers trigonometri
(arcus sinus, arcus cosinus dan arcus
tangen), fungsi eksponensial dan fungsi
logaritma di internet.

13. Fungsi Baru dari Fungsi Lama
 Transformasi Fungsi
◦ Pergeseran Tegak dan Mendatar
(Translasi)
Andaikan 𝑐 > 0. Untuk memperoleh grafik
 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑐, geser grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) sejauh 𝑐
satuan ke atas.
 𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑐, geser grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) sejauh 𝑐
satuan ke bawah.
 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐), geser grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) sejauh 𝑐
satuan ke kanan.
 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑐), geser grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) sejauh 𝑐
satuan ke kiri.

14. Fungsi Baru dari Fungsi Lama
 Transformasi Fungsi
◦ Peregangan (Dilatasi) dan Pencerminan
(Refleksi) Tegak dan Mendatar
Andaikan 𝑐 > 1. Untuk mendapatkan grafik
 𝑦 = 𝑐𝑓(𝑥), regangkan grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) secara tegak
dengan faktor 𝑐
 𝑦 = 1 𝑐 𝑓(𝑥), mampatkan grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) secara tegak
dengan faktor 𝑐
 𝑦 = 𝑓 𝑐𝑥 , mampatkan grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) secara mendatar
dengan faktor 𝑐
 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑐 , regangkan grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) secara mendatar
dengan faktor 𝑐
 𝑦 = −𝑓(𝑥), cerminkan grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) terhadap sumbu-𝑥
 𝑦 = 𝑓(−𝑥), cerminkan grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) terhadap sumbu-𝑦

15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama
 Kombinasi Fungsi
◦ Aljabar Fungsi
Misalkan 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi dengan
daerah asal 𝐴 dan 𝐵. Maka :
 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) daerah asal = 𝐴 ∩ 𝐵
 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) daerah asal = 𝐴 ∩ 𝐵
 𝑓𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) daerah asal = 𝐴 ∩ 𝐵

𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
daerah asal =
𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 | 𝑔(𝑥) ≠ 0

16. Fungsi Baru dari Fungsi Lama
 Kombinasi Fungsi
◦ Komposisi Fungsi
Diberikan dua fungsi 𝑓 dan 𝑔, fungsi
komposit 𝑓 ∘ 𝑔 (disebut juga komposisi
dari 𝑓 dan 𝑔) didefinisikan oleh
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥
Daerah asal 𝑓 ∘ 𝑔 adalah himpunan dari
semua 𝑥 di dalam daerah asal 𝑔
sedemikian sehingga 𝑔(𝑥) berada di
dalam daerah asal 𝑓.

17. Fungsi Baru dari Fungsi Lama
 Contoh Soal
Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥 dan 𝑔 𝑥 = 2 − 𝑥,
carilah masing-masing fungsi dan
daerah definisinya (daerah asalnya).
a. 𝑓 ∘ 𝑔
b. 𝑔 ∘ 𝑓
c. 𝑓 ∘ 𝑓
d. 𝑔 ∘ 𝑔