Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

อินทิเกรต

333,599 views

Published on

Published in: Education
  • Hi there! I just wanted to share a list of sites that helped me a lot during my studies: .................................................................................................................................... www.EssayWrite.best - Write an essay .................................................................................................................................... www.LitReview.xyz - Summary of books .................................................................................................................................... www.Coursework.best - Online coursework .................................................................................................................................... www.Dissertations.me - proquest dissertations .................................................................................................................................... www.ReMovie.club - Movies reviews .................................................................................................................................... www.WebSlides.vip - Best powerpoint presentations .................................................................................................................................... www.WritePaper.info - Write a research paper .................................................................................................................................... www.EddyHelp.com - Homework help online .................................................................................................................................... www.MyResumeHelp.net - Professional resume writing service .................................................................................................................................. www.HelpWriting.net - Help with writing any papers ......................................................................................................................................... Save so as not to lose
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Follow the link, new dating source: ♥♥♥ http://bit.ly/2F90ZZC ♥♥♥
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Dating direct: ♥♥♥ http://bit.ly/2F90ZZC ♥♥♥
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • ตัวอย่างที่ 2.2 หนูคิดได้ x^3+ 2/x+c นะคะ
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

อินทิเกรต

  1. 1. บทที่ 3 การอินทิเกรต ( ปฏิยานุพันธ์ ) ในเรื่องอนุพันธ์ ได้กล่าวถึงการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะ ใดๆ อนุพันธ์ ของฟังก์ชัน รวมทั้งบทประยุกต์ของอนุพันธเช่น การหาความเร็วและความเร่งเมื่อกาหนดสมการการเคลื่อนที่ มาให้ ถ้าเราทราบความเร็วและความเร่งในการเคลื่อนที่ของวัตถุ และต้องหาระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ หรือ ถ้าทราบความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ ต้องการหาสมการเส้นโค้งเป็นต้น กระบวนการที่ใช้ในการหาฟังก์ชัน เดิมเมื่อทราบอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นคือโอเปอเรชันตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์ เรียกโดยทั่วไปว่า 3.1 การหาปฏิยานุพันธ์หรืออินทิเกรต ( antiderivative or integration ) อินทิเกรตเป็นโอเปอเรชันตรงข้าม กับการหาอนุพันธ์ เพื่อหาฟังก์ชันเดิมเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจานวนจริง และ F/ (x) = f (x) สาหรับ ที่อยู่ในโดเมนของ อินทิกรัลไม่จากัดเขตของฟังก์ชัน เขียนแทนด้วย  dxxf )( โดยที่  dxxf )( = F (x) + c เมื่อ เป็นค่าคงตัวใดๆ ว่าการอินทิเกรต สัญลักษณ์  เรียกว่าอินทิกรัล เรียก  dxxf )( ว่าการอินทิเกรต f (x) ว่าตัวถูกอินทิเกรต dx เป็นสัญลักษณ์ที่บอกว่า การอินทิเกรตนี้เทียบกับตัวแปร x 3.2 อินทิกรัลไม่จากัดเขต ( ปริพันธ์ไม่จากัดเขต) ตัวอย่างเปรียบเทียบเรื่องอนุพันธ์กับการอินทิเกรต ฟังก์ชัน อนุพันธ์ อินทิเกรต 1. y = x3 dx dx 3 = 3x2  dxx 2 3 = x3 + c 2. y = x4 dx dx 4 = 4x3  dxx 3 4 = x4 + c สูตรการอินทิเกรต สูตรที่ 1  dxx n = 1 1   n x n + c สูตรที่ 2  dxxkf )( = k dxxf )( สูตรที่ 3   dxxgxf )]()([ =  dxxf )(   dxxg )(
  2. 2. 2 แบบที่ 1 อินทิกรัลจากัดเขตของฟังก์ชันต่างๆ 1.1 เมื่อ n เป็นจานวนเต็มบวก ตัวอย่าง 1.1 จงหา  dxx4 5 วิธีทา  dxx4 5 = 14 5 14   x + c = 5 5 5 x + c = x5 + c 1.3 เมื่อ n เป็นจานวนเศษส่วนบวก ตัวอย่าง 1.3 จงหา  dxx วิธีทา  dxx =  dxx2 1 = 2 3 1 2 1  x + c = 2 3 3 2 x + c = xx 3 2 + c 1.2 เมื่อ n เป็นจานวนเต็มลบ ตัวอย่าง 1.2 จงหา  dx x3 1 วิธีทา  dx x3 1 =   dxx 3 = 2 13   x + c = 2 2   x + c = 2 2 1 x  + c 1.4 เมื่อ n เป็นจานวนเศษส่วนลบ ตัวอย่าง 1.4 จงหา  dx x2 1 วิธีทา  dx x2 1 =   2 1 2 1 x = 2 12 1 1 2 1  x = 2 1 x + c แบบที่ 2 อินทิกรัลไม่จากัดเขตของฟังก์ชันต่างๆในรูปผลคูณและผลหาร ตัวอย่าง 2.1   dxxxx )56( 23 วิธีทา  3 x ( 6x2 - 5x)dx = dxxx )56( 45  = dxxdxx   45 56 = c xx  5 5 6 6 56 = x cx  56 ตัวอย่าง 2.2 dx x x   2 4 )23( วิธีทา dx x dx x x dx x x ) 23 ( )23( 22 4 2 4    = dxxdxx )23( 22    = dxxdxx    22 23 = 3 dxxdxx    22 2 = c xx     1 )(2 3 3 13 = x c x  2 3 2
  3. 3. 3 ตัวอย่าง 2.3  x (x x2 )dx วิธีทา  x (x x2 )dx =  2 1 x ( x 2 1 2 x )dx = dxxx )( 2 5  =   xdxdxx2 5 = c xx  2 2 7 22 7 = c xx  27 2 22 7 = c x x x  27 2 23 ตัวอย่าง 2.4 dx x xx ) 4 ( 23   วิธีทา dxxxxdx x xx )4() 4 ( 232 123     = dxxx )4( 2 3 2 5  = dxxdxx   2 3 2 5 4 = c xx  2 5 4 2 7 2 5 2 7 = cx x  2 52 7 ) 5 2 (4 7 2 = cxxx x  2 3 5 8 7 2 แบบที่ 3 การอินทิเกรตโดยวิธีการเปลี่ยนตัวแปร (Integration by subsitution) ขั้นที่ 1 กาหนดให้ u = f(x) ขั้นที่ 2 )(/ xf dx du  ขั้นที่ 3 จัดรูป du = f dxx)(/ ขั้นที่ 4 ใช้สูตร c n u duu n n      1 1 ตัวอย่างที่ 1 จงหา dxx  3 )12( วิธีทา ให้ u = 2x-1 2 dx du dxdu  2 1 แทนค่าจะได้ว่า duudxx ) 2 1 ()12( 33   =  duu3 2 1 = 42 1 4 u + c = 4 )12( 8 1 x + c ตัวอย่างที่ 2 จงหา   dxxxx )32()62( 52 วิธีทา ให้ u = 2x2 – 6x dx du = 4x – 6 = 2( 2x - 3) dxxdu )32( 2 1  แทนค่าจะได้ว่า   dxxxx )32()62( 52 = duu ) 2 1 (5 =  duu5 2 1 = 62 1 6 u + c = 62 )62( 12 1 xx  + c
  4. 4. 4 ตัวอย่างที่ 3 จงหา   dxx32 วิธีทา ให้ u = 2 – 3x du = - 3 dx du 3 1  = dx แทนค่าจะได้ว่า   dxx32 = duu ) 3 1 (2 1  = 2 3 ) 3 2 ( 3 1 u + c = uu 9 2  + c = xx 32)32( 9 2  + c ตัวอย่างที่ 4 จงหา   dx x3 12 2 วิธีทา   dx x3 12 2 = dxx 3 1 )12(2    ให้ u = 2x – 1 du = 2 dx du 2 1 = dx แทนค่าจะได้ว่า   dx x3 12 2 =   3 1 2 u du) 2 1 ( = 3 2 ) 2 1 (2 u + c = 3 2 )12( x + c 4. โจทย์เกี่ยวกับการอินทิเกรต 4. 1 สมการเส้นโค้ง y = f (x) กาหนดความชันของเส้นโค้ง f / (x) ที่จุด ( x , y ) คืออนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง dxxf )(/ ขั้นตอนการคานวณ 1. อินทิเกรต dxxf )(/ = f (x) + c 2. หาค่า c แทนค่า x , y ในสมการเส้นโค้ง y = f (x) + c ตัวอย่างที่ 4.1 จงหาสมการเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( - 2 , 1 ) และมีความชันของเส้นโค้งที่จุด ( x , y ) ใดๆ เป็น 2x วิธีทา ให้ y = f (x) เป็นสมการเส้นโค้ง ความชัน f / (x) = 2x สมการเส้นโค้ง f (x) = dxxf )(/ =  dxx)2( = x2 + c ผ่านจุด ( - 2 , 1 ) แทนค่า x = - 2 , y = 1 ในสมการเส้นโค้ง 1 = (- 2)2 + c - 3 = c ดังนั้นสมการเส้นโค้ง คือ y = x2 – 3
  5. 5. 5 ตัวอย่างที่ 4.2 จงหาสมการเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 3 , - 2 ) และมีความชันของเส้นโค้งที่จุด ( x , y ) ใดๆ เป็น 8x วิธีทา ให้ y = f (x) เป็นสมการเส้นโค้ง ความชัน f / (x) = 8x สมการเส้นโค้ง f (x) = dxxf )(/ =  dxx)8( f (x) = 4x2 + c …………… ผ่านจุด ( 3 , - 2 ) แทนค่า x = 3 , y = - 2 ในสมการเส้นโค้ง - 2 = (3)2 + c - 2 - 9 = c , - 11 = c ดังนั้นสมการเส้นโค้ง คือ y = 4x2 – 11 4.2 อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน f // (x ) คือ อนุพันธ์อันดับที่สอง ขั้นตอนการคานวณ 1. หาความชัน dxxf )(// = f / (x) + c1 2. หาสมการเส้นโค้ง dxxf )(/ = f (x) + c2 ตัวอย่างที่ 4.2 ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเส้นโค้งที่จุด ( x , y ) ใดๆ เป็น 24x2 จงหาสมการของเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 0 , - 9 ) และ ( 2 , 1 ) วิธีทา ให้ y = f (x) เป็นสมการเส้นโค้ง อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน คือ f // (x ) = 24x2 ความชัน f / (x) = dxxf )(// =  dxx2 24 จะได้ f / (x) = 8x3 + c1 เส้นโค้ง f (x) = dxxf )(/ = dxcx  )8( 1 3 จะได้ f (x) = 2x4 + c1x + c2 ……………………….(1) เส้นโค้งผ่านจุด ( 0 , - 9 ) แทนค่า x = 0 , y = - 9 ในสมการ (1) - 9 = 2(0) + c1(0) + c2 - 9 = c2 เส้นโค้งผ่านจุด ( 2 , 1 ) แทนค่า x = 2 , y = 1 และ c2 = - 9 ในสมการ(1) 1 = 2 (2)4 + 2 c1 - 9 1 = 32 + 2 c1 - 9 1 – 23 = 2 c1 - 11 = c1 แทนค่า c1 = - 11 และ c2 = - 9 ในสมการ(1) จะได้สมการเส้นโค้ง คือ f (x) = 2x4 - 11 x – 9
  6. 6. 6 4.3 สมการของการเคลื่อนที่ ให้ S = f (t) เป็นสมการของการเคลื่อนที่ 1. ความเร็ว (v ) หรือ f / (t) หรือ dt ds สมการของการเคลื่อนที่ S = vdt =  dttf )(/ = f (t) + c 2. ความเร่ง (a ) หรือ f // (t) หรือ 2 2 dt sd 2.1 ความเร็ว (v ) หรือ f / (t) = adt =  dttf )(// = f / (t) + c1 2.2 สมการของการเคลื่อนที่ S = vdt =   dtctf ])([ 1 / = f (t) + c1x+ c2 ตัวอย่างที่ 4.3 วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่จากจุดเริ่มต้น ถ้าความเร่ง (a ) ของวัตถุ ในขณะเวลา t ใดๆ เท่ากับ 6t – 4 เมตร /วินาที2 และ เมื่อ t = 1 จะได้ระยะทาง ( S ) เท่ากับ 2 เมตร จงหา 1) ความเร็ว (v) ของวัตถุขณะ เวลา t = 3 วินาที 2) ระยะทาง (S) เมื่อ t = 3 วินาที วิธีทา 1) ความเร็ว (v) ของวัตถุขณะเวลา t = 3 วินาที ถ้าความเร่ง (a) มีค่าเท่ากับ 6t – 4 เมตร/วินาที2 หาความเร็ว (v) = adt =   dtt )46( = 1 2 43 ctt  ……(1) ถ้าจากจุดเริ่มต้น แสดงว่า t = 0 , v = 0 แทนค่าในสมการ (1) 1c = 0 จะได้ v(t) = tt 43 2  2. ความเร็ว (v) ของวัตถุขณะ เวลา t = 3 วินาที v(3) = 3(3)2 – 4(3) = 27 – 12 = 15 ดังนั้น ความเร็ว (v) ของวัตถุขณะ เวลา t = 3 วินาที เท่ากับ 15 เมตร/วินาที 2) ระยะทาง (S) เมื่อ t = 3 วินาที S = vdt =   dttt )43( 2 S = t3 – 2t2 + c2 ………………..(2) เมื่อ t = 1 จะได้ระยะทาง ( S ) เท่ากับ 2 เมตร แทนค่าในสมการที่ (2) 2 = 13 – 2(1)2 + c2 2 = 1 – 2 + c2 3 = c2 แทนค่าในสมการที่ (2) สมการของการเคลื่อนที่ คือ S = t3 – 2t2 + 3 ระยะทาง (S) เมื่อ t = 3 วินาที S = 33 – 2(3)2 + 3 = 27 – 18 + 3 = 12 ดังนั้น ระยะทาง (S) เมื่อ t = 3 วินาที เท่ากับ 12 เมตร ตัวอย่างที่ 4. 4 ในเวลา t วินาที รถไฟวิ่งด้วยความเร่ง a ฟุตต่อ(วินาที)2 โดยที่ 2 12 6 10a t t   ถ้า 0t  วินาที รถไฟวิ่งได้ระยะทาง 10 ฟุต ด้วยความเร็วศูนย์ฟุตต่อวินาที
  7. 7. 7 จงหาระยะทาง s ของรถไฟ เมื่อ 5t  วินาที วิธีทา a = 2 12 6 10t t  หรือ dv dt = 2 12 6 10t t  v = 2 12 6 10t dt tdt dt    v = 3 2 1 12 6 10 3 2 t t t C   เมื่อ 1C เป็นค่าคงที่ v = 3 2 14 3 10t t t C   เมื่อ 0t  วินาที, v = 0 ฟุตต่อวินาที แทนค่าได้ 1 0C  v = 3 2 4 3 10t t t  หรือ ds dt = 3 2 4 3 10t t t  s = 3 2 4 3 10t dt t dt tdt    s = 4 3 2 2 4 3 10 4 3 2 t t t C   เมื่อ 2C เป็นค่าคงที่ s = 4 3 2 25t t t C   เมื่อ 0t  วินาที, s = 10 ฟุต แทนค่าได้ 2 10C  s = 4 3 2 5 10t t t   เมื่อ 5t  วินาทีs = 4 3 2 (5) (5) 5(5) 10   = 625 + 125 + 125 + 10 = 885 ฟุต ตัวอย่างที่ 3 รถไฟขบวนหนึ่งแล่นออกจากสถานีด้วยความเร่ง 1 (20 ) 4 t เมตร/(วินาที)2 หลังจากนั้น 20 วินาที รถไฟกาลังแล่นด้วยความเร็วเท่าใด และต่อจากนั้นรถไฟแล่นด้วยความเร็วนั้นโดยตลอด หลังจากออก จากสถานี 30 วินาที รถไฟจะอยู่ห่างจากสถานีเป็นระยะทางเท่าใด วิธีทา a = 1 (20 ) 4 t หรือ dv dt = 5 4 t  v = 1 5 4 dt tdt  = 2 15 8 t t C  เมื่อ 1C เป็นค่าคงที่ เมื่อ 0t  วินาที, v = 0 เมตรต่อวินาที แทนค่าได้ 1 0C  v = 2 5 8 t t  เมตรต่อวินาที เมื่อ t = 20 วินาที ได้ v = 5(20) - 8 )20( 2 = 100 - 50 = 50 เมตรต่อวินาที
  8. 8. 8 หลังจาก 20 วินาที รถไฟแล่นด้วยความเร็ว 50 เมตรต่อวินาที ดังนั้น รถไฟแล่นด้วยความเร็ว 50 เมตรต่อวินาที เป็นเวลา 10 วินาที คิดเป็นระยะทาง = 50  10 = 500 เมตร ส่วนเวลา 20 วินาทีแรก รถไฟแล่นด้วยความเร็ว v = 5t - 8 2 t เมตร / วินาที  v = 5t - 8 2 t หรือ dt ds = 5t - 8 2 t s = 5tdt - 8 1 dtt 2  = 2 5 2 t - 24 3 t + c2 เมื่อ c2 เป็นค่าคงที่ เมื่อ t = 0 วินาที s = 0 เมตร แทนค่าได้ c2 = 0 s = 2 5 2 t - 24 3 t ฟุต เมื่อ t = 20 วินาที ได้ s = 2 5 (20)2 - 24 1 (20)3 = 1000 - 3 1000 = 3 2000 เมตร  หลังจากรถไฟออกจากสถานีได้ 30 วินาที รถไฟแล่นได้ระยะทางทั้งสิ้น = 500 + 3 2000 = 3 3500 = 1166 3 2 เมตร 3.3 อินทิกรัลจากัดเขต ( ปริพันธ์จากัดเขต ) ทฤษฏีบทหลักมูลฐานของแคลคูลัส
  9. 9. 9 กาหนด f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ a , b ] ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f แล้ว  b a f (x) dx = F(b) - F (a) เขียนแทนด้วย F(x) b a ตัวอย่างที่ 1 จงหา  3 1 (2 - x)dx วิธีทา  3 1 (2 - x)dx = (2x - 2 2 x )  3 1 F(3) = [2(3) - 2 3 2 )( ] = 6 - 2 9 = 2 3 F(1) = 2(1)- 2 1 2 )( ] = 2 - 2 1 = 2 3 F(3) - F(1) = 2 3 - 2 3 = 0 ตัวอย่างที่ 2 จงหา  2 0 (3x2 -2x)dx วิธีทา  f(x) = 3x2 -2x  f(x)dx =  (3x2 - 2x)dx =  3 3 3 x 2 2 2 x  F(x) = x3 - x2 a = 0 , b = 2  F(0) = 03 - 02 = 0 F (2)= 23 -22 = 8-4 = 4  F(2) – F (0) = 4-0 = 4 หรือ  2 0 (3x2 -2x)dx = (x3 - x2 )  2 0 = (23 -22 ) - (03 -02 ) = (8 – 4) – 0 = 4 ตัวอย่างที่ 3 จงหา  3 3 ( 2x -3 ) dx วิธีทา   3 3 ( 2x -3 ) dx = ( x2 - 3x ) 3 3
  10. 10. 10 = [32 - 3 (3 )] – [(-3)2 - ( 3 )( - 3 )] = ( 9 - 9 ) - ( 9 + 9 ) = 0-18 = -18 ตัวอย่างที่ 4 จงหา 2 1 ( x2 - 3x) dx วิธีทา   2 1 ( x2 - 3x) dx = ( 3 x 3 - 2 2 3x ) 2 1 = [ ] 2 )1(3 3 )1( [] 2 )2(3 3 )2( 2323     = ) 2 3 3 1 () 2 12 3 8 (  = 6 11 3 10  = 6 11 6 20  = 6 9  = 2 3  คุณสมบัติบางประการเกี่ยวกับอินทริกรัลจากัดเขต 1.   a a dxxf 0)( เช่น  2 2 xdx = a a x 2 2 = 22 22 aa  = 0 2.  b a f (x)dx = - a b f (dx) เช่น  3 1 (2x+1)dx = - 1 3 (2x+1)dx   3 1 (2x+1)dx = (x2 +x) 3 1 = (33 +3)-(12 +1) = (9+3)-(1+1) = 12-2 = 10 และ - 1 3 (2x+1)dx = -(x2 +x)  1 3 = -[(12 +1)-(32 +3)]
  11. 11. 11 = -[2-12] = -(-10) = 10 3.  b f f(x)dx =  c a f(x)dx +  b c f(x)dx + b f f(x)dx เมื่อ c [a,b] เช่น  2 2 (2x+3)dx =  0 2 (2x+3)dx +  2 0 (2x+3X)dx   2 2 (2x+3)dx = (x2 +3x) 2 2 = [22 +3(2)] – [(-2)2 +3(-2)] = (4+6) - (4-6) = 10-(-2) = 12  0 2 (2x+3)dx = (x2 +3x) 0 2 = [(0) 2 +3(0)] – [(-2)2 +3(-2)] = 0-(-2) = 2  2 0 (2x+3)dx = (x2 +3x) 0 2 = [22 +(3) (2)] – (02 +3(0)] = 4+6 = 10   0 2 (2x+3)dx+ 2 0 (2x+3)dx = 2+10 = 12 =  2 2 (2x+3)dx 4. dxxkf b a )( = k b a f(x)dx เมื่อ k เป็นค่าคงตัว เช่น  b a 2xdx = 2 3 1 xdx   3 1 2xdx. = x2  3 1 = 32 - 12 = 8 2 3 1 xdx = 2( ) 2 2 x  3 1 = x2  3 1
  12. 12. 12 = 32 -12 = 8   3 1 2xdx. = 2 3 1 xdx 5.  b a kdx = k (b-a) เช่น  5 2 3dx = 3x 5 2 = 3(5) – 3 (2) = 3(5-2) = 9 6.  b a [f(x) + g (x) ] dx =  b a f(x) dx+  b a g(x)dx เช่น  2 1 (3x2 +2x)dx =  3 1 3x2 dx+ 3 1 2xdx   3 1 (3x2 +2x)dx = (x 3 + x2 )  3 1 = (33 +32 ) - (13 + 12 ) = (27 + 9 ) - (1+1) = 36 – 2 = 34 3.4 พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง การหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ y = f (x) จาก x = a ถึง x = b สามารถหาโดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎีบท เมื่อ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ a , b ] และ A เป็นพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ y = f (x) จาก x = a ถึง x = b 1. ถ้า x สาหรับทุกค่าของ f (x)  0 ที่อยู่ในช่วง [ a , b ] และ A เป็นพื้นที่เหนือแกน X แล้ว A =  b a f (x)dx 2. ถ้าx สาหรับทุกค่าของ f (x)  0 ที่อยู่ในช่วง [ a , b ] และ A เป็นพื้นที่ใต้แกน X แล้ว A = -  b a f (x)dx การหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง มี 2 วิธี วิธีที่ 1 ใช้สูตรการหาพื้นที่ ( ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือรูปสี่เหลี่ยมคางหมู) วีธีที่ 2 ใช้อินทิกรัลจากัดเขต
  13. 13. 13 2 22 ก. พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยสมการเส้นตรง ตัวอย่างที่ 1 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง y = x + 4 จาก x = - 4 ถึง x = 2 วิธีทา y = x + 4 จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 ) คือ ( -4 , 0 ) จุดตัดแกน Y ( แทนค่า x = 0 ) คือ ( 0 , 4 ) 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 f x  = x+4 วิธีที่ 1 ใช้สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม พื้นที่สามเหลี่ยม = 2 1 x สูง x ฐาน = 2 1 x 6 x 6 = 18 ตารางหน่วย วิธีที่ 2 ใช้อินทิกรัลจากัดเขต ให้ A เป็นพื้นที่เหนือแกน X A =  2 4 (x+4) dx = ( 2 x + 4x) F(2) – F(-4) = ( 2 2 +4(2)] – [ 2 )4( + 4(-4)] = ( 2 + 8 ) - ( 8 – 16 ) = 10 - ( - 8) = 18 ตารางหน่วย ตัวอย่างที่ 2 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง y = x + 4 จาก x = - 2 ถึง x = 6 วิธีทา y = x + 4 จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 ) คือ ( -4 , 0 ) 2 -4
  14. 14. 14 2 จุดตัดแกน Y ( แทนค่า x = 0 ) คือ ( 0 , 4 ) 14 12 10 8 6 4 2 -2 -15 -10 -5 5 10 15 f x  = x+4 วิธีที่ 1 ใช้สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = 2 1 x ผลบวกด้านคู่ขนานสูง x ฐาน = 2 1 x (2+10) x 8 = 48 ตารางหน่วย วิธีที่ 2 ใช้อินทิกรัลจากัดเขต ให้ A เป็นพื้นที่เหนือแกน X A =  6 2 (x+4) dx = ( 2 x + 4x) F(-2) = ( 2 )2( 2  + 4(-2) = 2 – 8 = - 6 F(6) = 2 )6( 2 + 4(6) = 18 + 24 = 42 F(-2) – F(6) = 42 - ( -6 ) = 48 ตารางหน่วย ตัวอย่างที่ 3 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง y = - x – 3 จาก x = -3 ถึง x = 2 วิธีทา y = - x – 3 จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 ) คือ (- 3 , 0 ) 6 -2
  15. 15. 15 จุดตัดแกน Y ( แทนค่า x = 0 ) คือ (0 , - 3 ) 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 f x  = -x-3 วิธีที่ 1 ใช้สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม พื้นที่สามเหลี่ยม = 2 1  สูง  ฐาน = 2 1  5  5 = 12.5 ตารางหน่วย วิธีที่ 2 ใช้อินทิกรัลจากัดเขต ให้ A เป็นพื้นที่เหนือแกน x A = -  2 3 ( -x - 3 ) dx = -(- 2 2 x -3x ) 2 3 = ( 2 2 x +3x ) 2 3 F(-3) - F(2 ) = [ 2 22 + 3(2) ] - [ 2 )3( 2  + 3 (-3) ] = [( 2 + 6 ) – ( 4.5 - 9 )] = [8 + 4.5 ] = 12.5 ตารางหน่วย ข. พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยสมการพาราโบลา ตัวอย่างที่ 1 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 4 - x2 จาก x = - 2 ถึง x = 2 วิธีทา y = 4- x2 1 ) จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 ) คือ ( 2 , 0 ) และ ( 2 , 0 )
  16. 16. 16 2 ) จุดศูนย์กลาง จัดรูป y = a( x – h )2 + k ได้ดังนี้ y = -( x - 0)2 + 4 จะได้จุดศูนย์กลาง คือ ( 0 , 4 ) เป็นจุดต่าสุดเพราะ a < 0 P1 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15 พื้นที่ P1 = 10.57 ซม.2 f x  = 4-x2 ให้ A เป็นพื้นที่เหนือแกน x A =  2 2 ( 4 – x2 ) dx = ( 4x – 3 3 x ) 2 2 F(2) - F(-2 ) = ( 4(2) - 3 23 ] – [ 4 (-2 ) - 3 )2( 3  ] = ( 8 - 3 8 ) – [- 8 - 3 )8( ] = 8 - 3 8 - (- 8 + 3 8 ) = 8 - 3 8 + 8 - 3 8 = 16 - 3 16 = 3 1648 = 3 32 = 3 2 10 ตารางหน่วย ตัวอย่างที่2 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x² - 4x จาก x = 2 ถึง x = 4 วิธีทา y = x² - 4x 1. จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 ) 0 = x² - 4x 0 = x (x – 4 ) ……ดึงตัวร่วม x จะได้ x = 0 หรือ 4 2. จุดต่าสุด ใช้วิธีหาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง y = = x² - 4x dx dy = 2x – 4
  17. 17. 17 ดังนั้นจุดตัดแกน X คือ (0 , 0) และ (4 , 0 ) 0 = 2x – 4 x = 2 แทนค่าในสมการเส้นโค้ง y = 22 - 4 (2) = -4 จะได้จุดต่าสุด คือ ( 2 , - 4 ) เป็นจุดต่าสุด เพราะ a > 0 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 f x  = x2-4x ค. พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของสมการดีกรีสาม ตัวอย่างที่ 1 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 4x3 จาก x = - 2 ถึง x = 2 วิธีทา y = 4x3 ให้ A เป็นพื้นที่เหนือแกน X A = )4( 4 2 2 xx   dx = 4 2 3 22 3 3 2)2 3 ( x xx x  F (4) – F(2) = [2(4)2 - 3 43 ]- [2(2)2 - 3 23 ] = (32 ) 3 8 8() 3 64  = 32- 3 8 8 3 64  = 24- 3 56 = 3 5672  = 3 1 5 3 16  ตารางหน่วย
  18. 18. 18 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 ให้ A เป็นพื้นที่ทั้งหมด A1 เป็นพื้นที่เหนือแกน X และ A2 เป็นพื้นที่ใต้แกน X A = A1 + A2 A = -  0 2 3 )4( x dx +  2 0 3 )4( x dx = - x4 0 2 + x4 2 0 F(2) - F(-2 ) = [- ( 0 – (-2 )4 ] + ( 2 4 – 0 ) = - ( - 16 ) + ( 16 ) = 16 + 16 = 32 ตารางหน่วย ตัวอย่างที่ 2 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = ( x -2 )3 จาก x = 2 ถึง x = 4 วิธีทา y = ( x -2 )3 y = 4x3
  19. 19. 19 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15 f x  = x-2 3 ให้ A เป็นพื้นที่เหนือแกน x A =  4 2 ( x - 2 ) 3 dx = 4 1 ( x - 2 )4 4 2 F(2) - F(-2 ) = { 4 1 ( 4 – 2 )4 } – { 4 1 ( 2 – 2 )4 } = 4 1  16 - 0 = 4 ตารางหน่วย ตัวอย่างที่ 3 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x3 – 6x2 + 8x กับ แกน X วิธีทา y = x3 – 6x2 + 8x
  20. 20. 20 จุดตัดแกน x คือ (0 , 0 ) และ ( 2 , 0 ) และ ( 4 , 0 ) 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 f x  = x3-6x2 +8x ให้ A1 เป็นพื้นที่เหนือแกน x A2 เป็นพื้นที่ใต้แกน x A1+A2 =   2 0 23 -8x)dx6x-x(   4 2 23 8x)dx6x-(x = ( 4 4 x -2x3 +4x2 ) - ( 4 4 x -2x3 +4x2 ) = [(4-16+16)-0]-[(64-128+64)-(4-16+16)] = 4 - (- 4) = 8 ตารางหน่วย ตัวอย่างที่ 4 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x2 + 2x + 1 ตัดกับเส้นตรง y = x+3 จาก x = - 2 ถึง x = 1 2 0 4 2
  21. 21. 21 วิธีทา สมการ y = x2 + 2x + 1 จุดตัดแกน X คือ (-1 , 0) จุดตัดแกน Y คือ (0 , 1) จุดต่าสุดคือ (-1 , 0) สมการ y = x+3 จุดตัดแกน X คือ (-3 , 0) จุดตัดแกน Y คือ (0 , 3) จุดตัดกันของกราฟทั้งสอง คือ (- 2 , 1) และ ( 1 , 4) 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 g x  = x+3 f x  = x2+2x+1 พื้นที่ (A) = dxxxx )]12)3[( 2 1 2  = dxxxx )]12)3[( 2 1 2  = dxxx )]2[( 1 2 2  = )2 23 ( 23 x xx  = )42 3 8 ()2 2 1 3 1 (  = 6 3 8 2 2 1 3 1  = 8 2 1 3 8 3 1  = 8-3- 2 1 = 5- 2 1 = 2 9 = 4 2 1 แบบฝึกหัด 3.1 อินทิกรัลไม่จากัดเขต 1 - 2
  22. 22. 22 ชุดที่ 1 จงหา 1. 4 5x dx 2. 5 4x dx 3. 4 x dx  4. 4 3 dx x 5. x xdx 6. 3 4 xdx 7. 1 dx x 8. 1 2 dx x ชุดที่ 2 การคูณและการหาร จงหา 9. 3 2 ( 4 )x x x dx 10. dxxxx  )46( 32 11. 5 3 3 2 ( ) x dx x   12. 4 3 1 ( ) 2 dx x x  13. 3 5 2 3 ( )dx x x  ชุดที่ 3 อินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร 14. 2xdx 15. 3 4 9xdx 16. 4 (3 1)x dx 17. 5 (3 4 )x dx 18. 2 1x dx 19. 2 5xdx ชุดที่ 4 อินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร 20. dx)x()xx( 36 62   21. 3 5 2 ( 3 ) ( 1)x x x dx  22. 3 5 2 ( 6 ) ( 2)x x x dx  23. 2 4 ( 4 ) ( 2)x x x dx  24. 2 3 1x x dx 25. 2 3 x dx x   ชุดที่ 5 ระคน 26. 4 15(3 1)x dx 27. 3 2x dx x   28. 5 (3 4 )x dx 29. 3 6xdx 30. 3 1x dx 31. 3 4 ( 9 ) ( 3)x x x dx  32. 2 3 1 x dx x   แบบฝึกหัด 3.2 โจทย์อินทิกรัลไม่จากัดเขต
  23. 23. 23 ก. สมการเส้นโค้ง 1. จงหาสมการเส้นโค้ง y = f(x) เมื่อกาหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่จุด (x,y) ใดๆ และจุดที่เส้น โค้งผ่านดังนี้ 1) 2 5 dy x dx   ที่จุด (3 ,- 2) 2) 2 3 2 dy x x dx   ที่จุด (- 4 , 3) 3) 2 2 3 dy x x dx    ที่จุด (3 , 1) 4) 3 4 3 1 dy x x dx    ที่จุด (2 , 1) 2. ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเส้นโค้ง ณ จุด (x,y) ใดๆ เป็น 2 12x จงหาสมการเส้นโค้งเมื่อ เส้นตรงที่ผ่านจุด (0, 2) และ (3, -1) 3. ให้ ( ) 12f x x  จงหาสมการเส้นโค้ง y = f(x) ซึ่งผ่านจุด (1,-2) และเส้นสัมผัสที่จุด P ขนานกับ เส้นตรง 4x - 2y = 0 ข. สมการการเคลื่อนที่ 4. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงจากจุดเริ่มต้น ถ้าความเร่งของวัตถุ ในขณะเวลา t ใดๆ มีค่าเท่ากับ 12t - 4 และเมื่อ t = 1 จะได้ระยะทาง S = 2 เมตร จงหา 1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา t = 2 2) ระยะทาง เมื่อ t = 2 5. โยนวัตถุขึ้นไปในอากาศในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 112 – 32t ฟุต/วินาที กาหนด จงหา 1) สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุ 2) วัตถุขึ้นไปได้สูงสุดเมื่อเวลาใด 3) ระยะทางที่วัตถุขึ้นไปได้สูงสุด 4) เมื่อใดที่วัตถุอยู่สูง 96 ฟุต 6. ยอดตึกซึ่งสูงจากพื้นดิน 400 ฟุต ก้อนหินก้อนหนึ่งถูกหย่อนลงมาจงหา 1) เมื่อใดที่ก้อนหินจะตกถึงพื้นดิน 2) ความเร็วขณะที่ก้อนหินตกกระทบพื้นดิน ค. กาไร-ขาดทุน
  24. 24. 24 7. การผลิตสินค้าเพื่อไปจาหน่ายของบริษัทแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไรเมื่อเทียบกับ จานวนสินค้าที่ผลิตไปจาหน่ายเท่ากับ 46 – 4x เมื่อ x คาจานวนชิ้นของสินค้า ถ้าในการผลิตสินค้าไป จาหน่าย 5 ชิ้น บริษัทได้กาไร 1,100 บาท จงหากาไรที่บริษัทจะได้รับในการผลิตสินค้าไปจาหน่าย 10 ชิ้น 8. ในการลงทุนผลิตสินค้าของโรงงานแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนต่อจานวนสินค้า เท่ากับ 4x – 30 บาท เมื่อ x คือจานวนชิ้นของสินค้าที่ผลิตได้ถ้าในขณะที่ยังไม่ได้ทาการผลิตต้องมีต้นทุน คงที่เท่ากับ 40000 บาท (ต้นทุนดังกล่าวเป็นค่าเครื่องมือ เครื่องจักรต่างๆ) จงหาต้นทุนในการผลิตสินค้า จานวน 10 ชิ้น 9. (Ent’33) บริษัทแห่งหนึ่งขายสินค้า 100 ชิ้น ได้กาไร 6800 บาท โดยมีอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไร เทียบกับจานวนสินค้าที่ขายได้ของบริษัทคือ 78 - 0.08x เมื่อ x คือจานวนสินค้าที่ขายได้ในการผลิตสินค้านี้ จะมีโอกาสได้กาไรมากที่สุดเท่ากับเท่าไร 10. ตัวแทนจาหน่ายของบริษัทแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไรต่อจานวนสินค้าเท่ากับ 120 + 4x เมื่อ x คือ จานวนสินค้าที่ผลิตได้ในการจาหน่ายสินค้าตัวแทนจะได้กาไร 100 บาท เมื่อจาหน่ายสินค้า 2 ชิ้น จงหากาไรที่ตัวแทนจาหน่ายจะได้รับ ถ้าจาหน่ายสินค้า 10 ชิ้น แบบฝึกหัด 3.3 เรื่อง อินทิกรัลจากัดเซต 1. อินทิกรัลจากัดเซตของฟังก์ชัน ชุดที่ 1 จงหา ชุดที่ 2 สมบัติของอินทิกรัล จงหา
  25. 25. 25 1.  4 2 )2( x dx 2.   3 3 )42( x dx 3.   2 2 2 )23( xx dx 4.   3 1 2 )2( xx dx 5.   4 1 2 )6( xx dx 6.   2 1 2 )12( xx dx 7.  5 2 )4( dx 8.   2 2 )32( x dx 9.   1 3 2 )2( xx dx 10.   0 3 )42( x dx +   3 0 )42( x dx 11.   3 3 )42( x dx 12.   1 3 2 )423( xx dx 2.พื้นที่ใต้โค้ง ชุดที่ 3 เส้นตรง จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง 13. y = x จาก x = -4 ถึง x = -2 14. y = x + 5 จาก x = -5 ถึง x = 0 15. y = x – 3 จาก x = -3 ถึง x = 3 16. y = -x + 3 จาก x = -3 ถึง x = 0 17. y = 1 – 2x จาก x = -6 ถึง x = -2 18. y = |x| จาก x = -4 ถึง x = 4 ชุดที่ 4 พาราโบลา จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 19. y = x2 - 4 จาก x = -2 ถึง x = 2 20. y = 4x - x2 จาก x = 1 ถึง x = 4 21. y = x2 - 4x + 3 จาก x = -1 ถึง x = 2 22. y = 3 + 2x - x2 จาก x = -1 ถึง x = 2 23. y = 4 - x2 กับแกน x 24. y = x2 - 4x จาก x = 2 ถึง x = 4 ชุดที่ 5 สมการเส้นโค้ง จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 25. y = x3 จาก x = -3 ถึง x = 2 26. y = (x + 2)3 จาก x = -2 ถึง x = 2 27. y = (x – 2)3 จาก x = -4 ถึง x = -2 28. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x2 และเส้นตรง y = x + 3 29. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 2 - x2 และเส้นตรง y = -x จาก x = -2 ถึง x = 2 30. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 2 - x2 และเส้นตรง y = x จาก x = -2 ถึง x = 1 31. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 4 - x2 และเส้นตรง y = x + 2 จาก x = -2 ถึง x = 2 32. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 3x3 – x2 – 10x และเส้นตรง y = -x2 + 2x จาก x = -2 ถึง x = 2 บรรณานุกรม
  26. 26. 26 กมล เอกไทยเจริญ , ( ..........) . อินทิกรัลแคลคูลัส INTEGRAL CALCULUS . กรุงเทพมหานคร : สานักพิมพ์สุวีริยสาส์น. ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2548). คู่มือการจัดการเรียนรู้ กลุ่มสาระ การเรียนรู้ คณิตศาสตร์. กรุงเทพมหานคร: สกสค. ลาดพร้าว. . (2552). หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้ เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544. กรุงเทพมหานคร : สกสค. ลาดพร้าว. . (2552). คู่มือครู สาระการเรียนรู้ เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 6 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 - 6 ตามหลักสูตร แกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพมหานคร : สกสค. ลาดพร้าว. สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน. (2554). คู่มืออบรมครูวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ โลก ดาราศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนปลายคณิตศาสตร์ โครงการพัฒนาครูวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย. กรุงเทพมหานคร : สกสค. ลาดพร้าว.
  27. 27. 27 แบบฝึกทักษะ การแยกตัวประกอบของพหุนาม ตอนที่ 1 จงเติมคาตอบ จงหาค่าของพหุนามต่อไปนี้โดยวิธีดึงตัวร่วม 1. 4x + 16 = …………………………………. 2. x2 y – xy2 = …………………………………. 3. 2x4 y4 + 4x3 y2 = …………………………………. 4. 3x2 – 6x = …………………………………. 5. 3x3 + 3x2 + 75x = ………………………………... แบบที่ 1 x2  bx + c 6. จงแยกตัวประกอบของ x2 + 10x + 24 ตอบ………………………………............................ 7. จงแยกตัวประกอบของ x2 + 11x + 24 ตอบ………………………………............................ 8. จงแยกตัวประกอบของ x2 - 8x + 12 ตอบ………………………………............................ 9. จงแยกตัวประกอบของ x2 - 7x + 12 ตอบ………………………………............................ 10. จงแยกตัวประกอบของ x2 - 10x + 25 ตอบ………………………………............................ แบบที่ 2 x2  bx - c 11. จงแยกตัวประกอบของ x2 + 4x - 12 ตอบ………………………………............................ 12. จงแยกตัวประกอบของ x2 - 4x - 12 ตอบ………………………………............................ 13. จงแยกตัวประกอบของ x2 + 5x - 24 ตอบ………………………………............................ 14. จงแยกตัวประกอบของ x2 - 5x - 24 ตอบ………………………………............................ 15. จงแยกตัวประกอบของ x2 + x - 20 ตอบ………………………………............................ แบบที่ 3 ax2  bx + c 16. จงแยกตัวประกอบของ 12x2 + 31x + 9 ตอบ………………………………............................ 17. จงแยกตัวประกอบของ 12x2 +56 + 9 ตอบ………………………………............................ 18. จงแยกตัวประกอบของ 10x2 - 23x + 12 ตอบ………………………………............................ 19. จงแยกตัวประกอบของ 9x2 - 48x + 64 ตอบ………………………………............................ 20. จงแยกตัวประกอบของ 8x2 - 22x + 15 ตอบ………………………………............................ แบบที่ 4 ax2  bx - c 21. จงแยกตัวประกอบของ 6x2 + x - 12 ตอบ………………………………............................ 22. จงแยกตัวประกอบของ 6x2 - x - 12 ตอบ………………………………............................ 23. จงแยกตัวประกอบของ 12x2 - 8x - 15 ตอบ………………………………............................ 24. จงแยกตัวประกอบของ 8x2 - 2x - 15 ตอบ………………………………............................ 25. จงแยกตัวประกอบของ -12x2 + 7x + 10 ตอบ………………………………............................ แบบที่ 5 กาลังสองสมบูรณ์ 26. จงแยกตัวประกอบของ x2 + 6x + 9 ตอบ………………………………............................ 27. จงแยกตัวประกอบของ x2 - 6x + 9 ตอบ………………………………............................ 28. จงแยกตัวประกอบของ 9x2 + 48x + 64 ตอบ………………………………............................ 29. จงแยกตัวประกอบของ 9x2 - 48x + 64 ตอบ………………………………............................ 30. จงแยกตัวประกอบของ 4x2 - 20x + 25 ตอบ………………………………............................
  28. 28. 28 แยกตัวประกอบของพหุนาม(ต่อ) แบบที่ 6 ผลต่ากาลังสอง 21. จงแยกตัวประกอบของ x2 - 1 ตอบ………………………………............................ 22. จงแยกตัวประกอบของ x2 - 4 ตอบ………………………………............................ 23. จงแยกตัวประกอบของ 9x2 - 25 ตอบ………………………………............................ 24. จงแยกตัวประกอบของ 4x2 - 9 ตอบ………………………………............................ 25. จงแยกตัวประกอบของ x4 - 10x2 + 9 ตอบ………………………………............................ แบบที่ 7 ผลบวกและผลต่างกาลังสาม 7.1 x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2 ) 7.2 x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2 ) 26. จงแยกตัวประกอบของ x3 + 1 ตอบ………………………………............................ 27. จงแยกตัวประกอบของ x3 - 8 ตอบ………………………………............................ 28. จงแยกตัวประกอบของ x3 - 64 ตอบ………………………………............................ 29. จงแยกตัวประกอบของ 8x3 + 1 ตอบ………………………………............................ 30. จงแยกตัวประกอบของ 27x3 - 8 ตอบ………………………………............................ แบบที่ 8 การแยกตัวประกอบรูปแบบอื่นๆ 8.1 ถ้าพหุนามมี 4 พจน์ จัดกลุ่มเป็นวงเล็บๆละ 2 พจน์ แล้วดึงตัวร่วม ตอนที่ 2 จงแสดงวิธีทา 41. จงแยกตัวประกอบของ x4 + x3 – x + 1 ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ 42. จงแยกตัวประกอบของ x3 + x2 – 4x – 64 ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ 8.2 กาลังสองสมบรณ์และผลต่ากาลังสอง บวกเข้าและลบออก 43. จงแยกตัวประกอบของ x4 + x2 + 1 ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ 44. จงแยกตัวประกอบของ x4 - 7x2 + 9 ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................
  29. 29. 29 ความชันและสมการของเส้นโค้ง ชื่อ..................................................ชั้นมัธยมศึกษาปีที่..................เลขที่.................. ข้อที่............ ให้ y = …………………………..... เป็นสมการของเส้นโค้ง ที่ผ่านจุด ( 2 , - 1 ) จงหา 1. ความชันของเส้นโค้ง 2. สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง 3. สมการของเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ................................... ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................
  30. 30. 30 แบบฝึกทักษะ1 คน 1 ข้อ ชุดที่ 2.1 ความชันและสมการของเส้นโค้ง โดยครูรัศมี ธัญน้อม ให้ y = f(x) เป็นสมการของเส้นโค้ง ที่ผ่านจุด ( 2 , - 1 ) จงหา 1. ความชันของเส้นโค้ง 2. สมการของเส้นสัมผัสโค้ง 3. สมการของเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ********************************************************************* 1. y = x2 + x 2. y = x2 - x 3. y = x2 + 2x 4. y = x2 - 2x 5. y = x2 + 3x 6. y = x2 - 3x 7. y = x2 + 5x 8. y = x2 - 5x 9. y = x2 + 6x 10. y = x2 - 6x 11. y = 2x2 + x 12. y = 2x2 – x 13. y = 2x2 + 3x 14. y = 2x2 – 3x 15. y = 2x2 + 5x 16. y = 2x2 - 5x 17. y = 3x2 + x 18. y = 3x2 - x 19. y = 3x2 + 2x 20. y = 3x2 - 2x 21. y = 3x2 + 4x 22. y = 3x2 - 4x 23. y = 3x2 + 5x 24. y = 3x2 - 5x 25. y = 4x2 + x 26. y = 4x2 - x 27. y = 4x2 + 2x 28. y = 4x2 - 2x 29. y = 4x2 + 3x 30. y = 4x2 - 3x 31. y = 4x2 + 5x 32. y = 4x2 - 5x 33. y = 5x2 + x 34. y = 5x2 - x 35. y = 5x2 + 2x 36. y = 5x2 - 2x 37. y = 5x2 + 3x 38. y = 5x2 - 3x 39. y = 5x2 + 4x 40. y = 5x2 - 4x 41. y = 6x2 + x 42. y = 6x2 - x 43. y = 6x2 +2x 44. y = 6x2 - 2x 45. y = x2 + 2x - 3 46. y = x2 - 2x + 3 47. y = x2 + 3x - 2 48. y = x2 - 3x + 2 49. y = (2x - 1)2 50. y = (1 - 3x)2
  31. 31. 31 แบบฝึกทักษะ 1 คน 1 ข้อ ชุดที่ 2.2 เรื่อง จุดต่าสุดหรือจุดสูงสุด จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของฟังก์ชันต่อไปนี้ ( ทาแบบฝึกทักษะเรียงตามเลขที่ ) 1. y = x2 + 2x 2. y = x2 - 2x 3. y = x2 + 4x 4. y = x2 - 4x 5. y = x2 + 6x 6. y = x2 - 6x 7. y = x2 + 8x 8. y = x2 - 8x 9. y = x2 + 10x 10. y = x2 - 10x 11. y = 2x - x2 12. y = 4x - x2 13. y = 6x - x2 14. y = 8x - x2 15. y = 10x - x2 16. y = x2 + 2x + 1 17. y = x2 - 2x + 1 18. y = x2 + 4x + 4 19. y = x2 - 4x + 4 20. y = x2 + 6x + 9 21. y = x2 - 6x + 9 22. y = x2 + 8x + 16 23. y = x2 + 8x + 16 24. y = x2 + 10x + 25 25. y = x2 - 10x + 25 26. y = x2 + 8x + 12 27. y = x2 - 8x + 12 28. y = x2 + 4x - 12 29. y = x2 - 4x – 12 30. y = x2 + 4x + 3 31. y = x2 - 4x + 3 32. y = x2 + 6x + 5 33. y = x2 - 6x + 5 34. y = x2 + 6x + 8 35. y = x2 - 6x + 8 36. y = x2 + 10 x + 9 37. y = x2 - 10x + 9 38. y = x2 + 2x - 15 39. y = x2 - 2x - 15 40. y = x2 + 4x - 24 41. y = x2 - 4x - 24 42. y = x2 + 6x - 16 43. y = x2 - 6x - 16 44. y = x2 + 10x - 24 45. y = x2 - 10 x - 24 46. y = 2x2 - 8 x - 3 47. y = - 3x2 - 12 x - 5 48. y = 12x - x2 49. y = x2 + 8x + 7 50. y = x2 - 8x + 7
  32. 32. 32 แบบฝึกทักษะ 1 คน 1 ข้อ เรื่อง ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด การหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ สมการ y = ax2 + bx + c ชื่อ.....................................................................ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ..............เลขที่........  ข้อที่........ จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ....................................................................................................... ฟังก์ชัน จุดตัดแกน X จุดตัดแกน Y y = วิธีที่..................................................................... ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ วิธีที่................................................................... ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................
  33. 33. 33 แบบฝึกทักษะ 1 คน 1 ข้อชุดที่ 2.3 เรื่องพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 6 ( ค33202) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 โดยครูรัศมี ธัญน้อม *********************************************************** จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรงของสมการต่อไปนี้ โดยใช้อินทิกรัลจากัดเขตและสูตรของพื้นที่ 1. สมการ y = x + 2 จาก x = - 2 ถึง x = 2 2. สมการ y = x + 2 จาก x = - 2 ถึง x = 4 3. สมการ y = x + 2 จาก x = - 2 ถึง x = 6 4. สมการ y = x + 2 จาก x = - 1 ถึง x = 4 5. สมการ y = x + 2 จาก x = - 1 ถึง x = 6 6. สมการ y = x - 2 จาก x = - 1 ถึง x = 2 7. สมการ y = x - 2 จาก x = - 2 ถึง x = 2 8 สมการ y = x - 2 จาก x = - 3 ถึง x = 2 9. สมการ y = x - 2 จาก x = - 4 ถึง x = 2 10. สมการ y = x - 2 จาก x = - 6 ถึง x = - 2 11. สมการ y = - x + 2 จาก x = - 2 ถึง x = 2 12. สมการ y = - x + 2 จาก x = - 3 ถึง x = 2 13. สมการ y = - x + 2 จาก x = - 4 ถึง x = 2 14. สมการ y = - x + 2 จาก x = - 5 ถึง x = 2 15. สมการ y = - x + 2 จาก x = - 6 ถึง x = - 4 16. สมการ y = - x - 2 จาก x = - 2 ถึง x = 2 17. สมการ y = - x - 2 จาก x = - 2 ถึง x = 3 18. สมการ y = - x - 2 จาก x = - 2 ถึง x = 4 19. สมการ y = - x - 2 จาก x = - 1 ถึง x = 4 20. สมการ y = - x - 2 จาก x = 0 ถึง x = 6 21. สมการ y = x + 4 จาก x = - 3 ถึง x = 3 22. สมการ y = x + 4 จาก x = - 4 ถึง x = 3 23. สมการ y = x + 4 จาก x = - 4 ถึง x = 4 24. สมการ y = x + 4 จาก x = - 2 ถึง x = 4 25. สมการ y = x + 4 จาก x = - 2 ถึง x = 6 26. สมการ y = x - 4 จาก x = - 2 ถึง x = 4 27. สมการ y = x - 4 จาก x = - 3 ถึง x = 4 28. สมการ y = x - 4 จาก x = - 4 ถึง x = 4 29. สมการ y = x - 4 จาก x = - 6 ถึง x = 0 30. สมการ y = x - 4 จาก x = - 4 ถึง x = 2 31. สมการ y = - x + 4 จาก x = - 1 ถึง x = 4 32. สมการ y = - x + 4 จาก x = - 3 ถึง x = 4 33. สมการ y = - x + 4 จาก x = - 4 ถึง x = 4 34. สมการ y = - x + 4 จาก x = - 5 ถึง x = 0 35. สมการ y = - x + 4 จาก x = - 6 ถึง x = 2 36. สมการ y = - x - 4 จาก x = - 4 ถึง x = 1 37. สมการ y = - x - 4 จาก x = - 4 ถึง x = 2 38. สมการ y = - x - 4 จาก x = - 4 ถึง x = 3 39 สมการ y = - x - 4 จาก x = - 2 ถึง x = 4 40. สมการ y = - x - 4 จาก x = - 4 ถึง x = - 2 41. สมการ y = x + 5 จาก x = - 5 ถึง x = 2 42. สมการ y = x + 5 จาก x = - 5 ถึง x = 3 43. สมการ y = x + 5 จาก x = - 5 ถึง x = 4 44. สมการ y = x + 5 จาก x = - 4 ถึง x = 4 45. สมการ y = x + 5 จาก x = - 3 ถึง x = 2 46. สมการ y = - x + 5 จาก x = 0 ถึง x = 5 47. สมการ y = - x + 5 จาก x = - 2 ถึง x = 5 48. สมการ y = - x + 5 จาก x = - 4 ถึง x = 5 49. สมการ y = - x + 5 จาก x = - 4 ถึง x = 2 50. สมการ y = - x + 5 จาก x = - 6 ถึง x = 4
  34. 34. 34 วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 6 ( ค33202) ( แคลคูลัส ) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เรื่อง อินทิกรัลจากัดเขต ( พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง ) ชื่อ....................................................................ชั้นมัธยมศึกษาปีที่................เลขที่........... จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรงของสมการ y = …………………………… x = ถึง x = โดยใช้อินทิกรัลจากัดเขตและสูตรของพื้นที่ จุดตัดแกน X คือ ............................... จุดตัดแกน Y คือ ............................... วิธีที่ 1 ใช้อินทิกรัลจากัดเขต วิธีที่ 2 ใช้สูตรพื้นที่ ..................................................................................... ..................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ...................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ......................................................................................
  35. 35. 35 แบบฝึกทักษะ 1 คน 1 ข้อชุดที่ 2.4 เรื่องพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 6 ( ค33202) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 โดยครูรัศมี ธัญน้อม  จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของฟังก์ชันต่อไปนี้ ( ทาแบบฝึกทักษะเรียงตามเลขที่ ) 1. y = x2 + 2x จาก x = - 2 ถึง x = 0 2. y = x2 - 2x จาก x = 0 ถึง x = 2 3. y = x2 + 4x จาก x = - 4 ถึง x = 0 4. y = x2 - 4x จาก x = 0 ถึง x = 4 5. y = x2 + 6x จาก x = - 6 ถึง x = 0 6. y = x2 - 6x จาก x = 0 ถึง x = 6 7. y = x2 + 8x จาก x = - 8 ถึง x = 0 8. y = x2 - 8x จาก x = 0 ถึง x = 8 9. y = x2 + 10x จาก x = - 10 ถึง x = 0 10. y = x2 - 10x จาก x = 0 ถึง x = 10 11. y = 2x - x2 จาก x = 0 ถึง x = 2 12. y = 4x - x2 จาก x = 0 ถึง x = 4 13. y = 6x - x2 จาก x = 0 ถึง x = 6 14. y = 8x - x2 จาก x = 0 ถึง x = 8 15. y = 10x - x2 จาก x = 0 ถึง x = 10 16. y = 1 - x2 จาก x = - 1 ถึง x = 1 17. y = 4 - x2 จาก x = - 1 ถึง x = 2 18. y = 9 - x2 จาก x = - 3 ถึง x = 3 19. y = 16 - x2 จาก x = - 4 ถึง x = 4 20. y = 25 - x2 จาก x = - 5 ถึง x = 5 21. y = x2 + 2x + 1 จาก x = - 1 ถึง x = 1 22. y = x2 - 2x + 1 จาก x = - 1 ถึง x = 1 23. y = x2 + 4x + 4 จาก x = - 2 ถึง x = 0 24. y = x2 - 4x + 4 จาก x = 0 ถึง x = 2 25. y = x2 + 6x + 9 จาก x = - 3 ถึง x = 0 26. y = x2 - 6x + 9 จาก x = 0 ถึง x = - 3 27. y = x2 + 8x + 16 จาก x = - 4 ถึง x = 0 28. y = x2 + 8x + 16 จาก x = 0 ถึง x = 4 29. y = x2 + 10x + 25 จาก x = - 5 ถึง x = 0 30. y = x2 - 10x + 25 จาก x = 0 ถึง x = 5 31. y = x2 + 8x + 12 จาก x = - 6 ถึง x = - 2 32. y = x2 - 8x + 12 จาก x = 2 ถึง x = 6 33. y = x2 + 4x – 12 จาก x = - 6 ถึง x = 2 34. y = x2 - 4x – 12 จาก x = - 2 ถึง x = 6 35. y = x2 + 4x + 3 จาก x = - 3 ถึง x = - 1 36. y = x2 - 4x + 3 จาก x = 1 ถึง x = 3 37. y = x2 + 6x + 5 จาก x = - 5 ถึง x = 1 38. y = x2 - 6x + 5 จาก x = 1 ถึง x = 5 39. y = x2 + 6x + 8 จาก x = - 4 ถึง x = 2 40. y = x2 - 6x + 8 จาก x = 2 ถึง x = 4 41. y = x2 + 10 x + 9 จาก x = - 9 ถึง x = - 1 42. y = x2 - 10x + 9 จาก x = 1 ถึง x = 9 43. y = x2 + 2x – 15 จาก x = - 5 ถึง x = 3 44. y = x2 - 2x – 15 จาก x = - 3 ถึง x = 5 45. y = x2 + 2x - 24 จาก x = - 6 ถึง x = 4 46. y = x2 - 2x - 24 จาก x = - 4 ถึง x = 6 47. y = x2 + 6x - 16 จาก x = - 8 ถึง x = 2 48. y = x2 - 6x - 16 จาก x = - 2 ถึง x = 8 49. y = x2 + 10x + 24 จาก x = - 6 ถึง x = 4 50. y = x2 - 10 x + 24 จาก x = 4 ถึง x = 6
  36. 36. 36 แบบฝึกทักษะ 1 คน 1 ข้อ เรื่อง อินทิกรัลจากัดเขต พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ของพาราโบลา วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 6 รหัสวิชา ค43202 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ชื่อ.....................................................................ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ..............เลขที่........  ข้อที่........ จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ y = ………………………………………….. x = ถึง x = จุดตัดแกน X คือ .................................................................. จุดตัดแกน Y คือ .................................................................. จุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดคือ........................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ .......................................... ..................................................................................................................................
  37. 37. 37

×