Successfully reported this slideshow.
Upcoming SlideShare
×

# อินทิเกรต

333,599 views

Published on

Published in: Education
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• Hi there! I just wanted to share a list of sites that helped me a lot during my studies: .................................................................................................................................... www.EssayWrite.best - Write an essay .................................................................................................................................... www.LitReview.xyz - Summary of books .................................................................................................................................... www.Coursework.best - Online coursework .................................................................................................................................... www.Dissertations.me - proquest dissertations .................................................................................................................................... www.ReMovie.club - Movies reviews .................................................................................................................................... www.WebSlides.vip - Best powerpoint presentations .................................................................................................................................... www.WritePaper.info - Write a research paper .................................................................................................................................... www.EddyHelp.com - Homework help online .................................................................................................................................... www.MyResumeHelp.net - Professional resume writing service .................................................................................................................................. www.HelpWriting.net - Help with writing any papers ......................................................................................................................................... Save so as not to lose

Are you sure you want to  Yes  No

Are you sure you want to  Yes  No
• Dating direct: ♥♥♥ http://bit.ly/2F90ZZC ♥♥♥

Are you sure you want to  Yes  No
• ตัวอย่างที่ 2.2 หนูคิดได้ x^3+ 2/x+c นะคะ

Are you sure you want to  Yes  No

### อินทิเกรต

1. 1. บทที่ 3 การอินทิเกรต ( ปฏิยานุพันธ์ ) ในเรื่องอนุพันธ์ ได้กล่าวถึงการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะ ใดๆ อนุพันธ์ ของฟังก์ชัน รวมทั้งบทประยุกต์ของอนุพันธเช่น การหาความเร็วและความเร่งเมื่อกาหนดสมการการเคลื่อนที่ มาให้ ถ้าเราทราบความเร็วและความเร่งในการเคลื่อนที่ของวัตถุ และต้องหาระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ หรือ ถ้าทราบความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ ต้องการหาสมการเส้นโค้งเป็นต้น กระบวนการที่ใช้ในการหาฟังก์ชัน เดิมเมื่อทราบอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นคือโอเปอเรชันตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์ เรียกโดยทั่วไปว่า 3.1 การหาปฏิยานุพันธ์หรืออินทิเกรต ( antiderivative or integration ) อินทิเกรตเป็นโอเปอเรชันตรงข้าม กับการหาอนุพันธ์ เพื่อหาฟังก์ชันเดิมเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจานวนจริง และ F/ (x) = f (x) สาหรับ ที่อยู่ในโดเมนของ อินทิกรัลไม่จากัดเขตของฟังก์ชัน เขียนแทนด้วย  dxxf )( โดยที่  dxxf )( = F (x) + c เมื่อ เป็นค่าคงตัวใดๆ ว่าการอินทิเกรต สัญลักษณ์  เรียกว่าอินทิกรัล เรียก  dxxf )( ว่าการอินทิเกรต f (x) ว่าตัวถูกอินทิเกรต dx เป็นสัญลักษณ์ที่บอกว่า การอินทิเกรตนี้เทียบกับตัวแปร x 3.2 อินทิกรัลไม่จากัดเขต ( ปริพันธ์ไม่จากัดเขต) ตัวอย่างเปรียบเทียบเรื่องอนุพันธ์กับการอินทิเกรต ฟังก์ชัน อนุพันธ์ อินทิเกรต 1. y = x3 dx dx 3 = 3x2  dxx 2 3 = x3 + c 2. y = x4 dx dx 4 = 4x3  dxx 3 4 = x4 + c สูตรการอินทิเกรต สูตรที่ 1  dxx n = 1 1   n x n + c สูตรที่ 2  dxxkf )( = k dxxf )( สูตรที่ 3   dxxgxf )]()([ =  dxxf )(   dxxg )(
2. 2. 2 แบบที่ 1 อินทิกรัลจากัดเขตของฟังก์ชันต่างๆ 1.1 เมื่อ n เป็นจานวนเต็มบวก ตัวอย่าง 1.1 จงหา  dxx4 5 วิธีทา  dxx4 5 = 14 5 14   x + c = 5 5 5 x + c = x5 + c 1.3 เมื่อ n เป็นจานวนเศษส่วนบวก ตัวอย่าง 1.3 จงหา  dxx วิธีทา  dxx =  dxx2 1 = 2 3 1 2 1  x + c = 2 3 3 2 x + c = xx 3 2 + c 1.2 เมื่อ n เป็นจานวนเต็มลบ ตัวอย่าง 1.2 จงหา  dx x3 1 วิธีทา  dx x3 1 =   dxx 3 = 2 13   x + c = 2 2   x + c = 2 2 1 x  + c 1.4 เมื่อ n เป็นจานวนเศษส่วนลบ ตัวอย่าง 1.4 จงหา  dx x2 1 วิธีทา  dx x2 1 =   2 1 2 1 x = 2 12 1 1 2 1  x = 2 1 x + c แบบที่ 2 อินทิกรัลไม่จากัดเขตของฟังก์ชันต่างๆในรูปผลคูณและผลหาร ตัวอย่าง 2.1   dxxxx )56( 23 วิธีทา  3 x ( 6x2 - 5x)dx = dxxx )56( 45  = dxxdxx   45 56 = c xx  5 5 6 6 56 = x cx  56 ตัวอย่าง 2.2 dx x x   2 4 )23( วิธีทา dx x dx x x dx x x ) 23 ( )23( 22 4 2 4    = dxxdxx )23( 22    = dxxdxx    22 23 = 3 dxxdxx    22 2 = c xx     1 )(2 3 3 13 = x c x  2 3 2
3. 3. 3 ตัวอย่าง 2.3  x (x x2 )dx วิธีทา  x (x x2 )dx =  2 1 x ( x 2 1 2 x )dx = dxxx )( 2 5  =   xdxdxx2 5 = c xx  2 2 7 22 7 = c xx  27 2 22 7 = c x x x  27 2 23 ตัวอย่าง 2.4 dx x xx ) 4 ( 23   วิธีทา dxxxxdx x xx )4() 4 ( 232 123     = dxxx )4( 2 3 2 5  = dxxdxx   2 3 2 5 4 = c xx  2 5 4 2 7 2 5 2 7 = cx x  2 52 7 ) 5 2 (4 7 2 = cxxx x  2 3 5 8 7 2 แบบที่ 3 การอินทิเกรตโดยวิธีการเปลี่ยนตัวแปร (Integration by subsitution) ขั้นที่ 1 กาหนดให้ u = f(x) ขั้นที่ 2 )(/ xf dx du  ขั้นที่ 3 จัดรูป du = f dxx)(/ ขั้นที่ 4 ใช้สูตร c n u duu n n      1 1 ตัวอย่างที่ 1 จงหา dxx  3 )12( วิธีทา ให้ u = 2x-1 2 dx du dxdu  2 1 แทนค่าจะได้ว่า duudxx ) 2 1 ()12( 33   =  duu3 2 1 = 42 1 4 u + c = 4 )12( 8 1 x + c ตัวอย่างที่ 2 จงหา   dxxxx )32()62( 52 วิธีทา ให้ u = 2x2 – 6x dx du = 4x – 6 = 2( 2x - 3) dxxdu )32( 2 1  แทนค่าจะได้ว่า   dxxxx )32()62( 52 = duu ) 2 1 (5 =  duu5 2 1 = 62 1 6 u + c = 62 )62( 12 1 xx  + c
4. 4. 4 ตัวอย่างที่ 3 จงหา   dxx32 วิธีทา ให้ u = 2 – 3x du = - 3 dx du 3 1  = dx แทนค่าจะได้ว่า   dxx32 = duu ) 3 1 (2 1  = 2 3 ) 3 2 ( 3 1 u + c = uu 9 2  + c = xx 32)32( 9 2  + c ตัวอย่างที่ 4 จงหา   dx x3 12 2 วิธีทา   dx x3 12 2 = dxx 3 1 )12(2    ให้ u = 2x – 1 du = 2 dx du 2 1 = dx แทนค่าจะได้ว่า   dx x3 12 2 =   3 1 2 u du) 2 1 ( = 3 2 ) 2 1 (2 u + c = 3 2 )12( x + c 4. โจทย์เกี่ยวกับการอินทิเกรต 4. 1 สมการเส้นโค้ง y = f (x) กาหนดความชันของเส้นโค้ง f / (x) ที่จุด ( x , y ) คืออนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง dxxf )(/ ขั้นตอนการคานวณ 1. อินทิเกรต dxxf )(/ = f (x) + c 2. หาค่า c แทนค่า x , y ในสมการเส้นโค้ง y = f (x) + c ตัวอย่างที่ 4.1 จงหาสมการเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( - 2 , 1 ) และมีความชันของเส้นโค้งที่จุด ( x , y ) ใดๆ เป็น 2x วิธีทา ให้ y = f (x) เป็นสมการเส้นโค้ง ความชัน f / (x) = 2x สมการเส้นโค้ง f (x) = dxxf )(/ =  dxx)2( = x2 + c ผ่านจุด ( - 2 , 1 ) แทนค่า x = - 2 , y = 1 ในสมการเส้นโค้ง 1 = (- 2)2 + c - 3 = c ดังนั้นสมการเส้นโค้ง คือ y = x2 – 3
5. 5. 5 ตัวอย่างที่ 4.2 จงหาสมการเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 3 , - 2 ) และมีความชันของเส้นโค้งที่จุด ( x , y ) ใดๆ เป็น 8x วิธีทา ให้ y = f (x) เป็นสมการเส้นโค้ง ความชัน f / (x) = 8x สมการเส้นโค้ง f (x) = dxxf )(/ =  dxx)8( f (x) = 4x2 + c …………… ผ่านจุด ( 3 , - 2 ) แทนค่า x = 3 , y = - 2 ในสมการเส้นโค้ง - 2 = (3)2 + c - 2 - 9 = c , - 11 = c ดังนั้นสมการเส้นโค้ง คือ y = 4x2 – 11 4.2 อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน f // (x ) คือ อนุพันธ์อันดับที่สอง ขั้นตอนการคานวณ 1. หาความชัน dxxf )(// = f / (x) + c1 2. หาสมการเส้นโค้ง dxxf )(/ = f (x) + c2 ตัวอย่างที่ 4.2 ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเส้นโค้งที่จุด ( x , y ) ใดๆ เป็น 24x2 จงหาสมการของเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 0 , - 9 ) และ ( 2 , 1 ) วิธีทา ให้ y = f (x) เป็นสมการเส้นโค้ง อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน คือ f // (x ) = 24x2 ความชัน f / (x) = dxxf )(// =  dxx2 24 จะได้ f / (x) = 8x3 + c1 เส้นโค้ง f (x) = dxxf )(/ = dxcx  )8( 1 3 จะได้ f (x) = 2x4 + c1x + c2 ……………………….(1) เส้นโค้งผ่านจุด ( 0 , - 9 ) แทนค่า x = 0 , y = - 9 ในสมการ (1) - 9 = 2(0) + c1(0) + c2 - 9 = c2 เส้นโค้งผ่านจุด ( 2 , 1 ) แทนค่า x = 2 , y = 1 และ c2 = - 9 ในสมการ(1) 1 = 2 (2)4 + 2 c1 - 9 1 = 32 + 2 c1 - 9 1 – 23 = 2 c1 - 11 = c1 แทนค่า c1 = - 11 และ c2 = - 9 ในสมการ(1) จะได้สมการเส้นโค้ง คือ f (x) = 2x4 - 11 x – 9
6. 6. 6 4.3 สมการของการเคลื่อนที่ ให้ S = f (t) เป็นสมการของการเคลื่อนที่ 1. ความเร็ว (v ) หรือ f / (t) หรือ dt ds สมการของการเคลื่อนที่ S = vdt =  dttf )(/ = f (t) + c 2. ความเร่ง (a ) หรือ f // (t) หรือ 2 2 dt sd 2.1 ความเร็ว (v ) หรือ f / (t) = adt =  dttf )(// = f / (t) + c1 2.2 สมการของการเคลื่อนที่ S = vdt =   dtctf ])([ 1 / = f (t) + c1x+ c2 ตัวอย่างที่ 4.3 วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่จากจุดเริ่มต้น ถ้าความเร่ง (a ) ของวัตถุ ในขณะเวลา t ใดๆ เท่ากับ 6t – 4 เมตร /วินาที2 และ เมื่อ t = 1 จะได้ระยะทาง ( S ) เท่ากับ 2 เมตร จงหา 1) ความเร็ว (v) ของวัตถุขณะ เวลา t = 3 วินาที 2) ระยะทาง (S) เมื่อ t = 3 วินาที วิธีทา 1) ความเร็ว (v) ของวัตถุขณะเวลา t = 3 วินาที ถ้าความเร่ง (a) มีค่าเท่ากับ 6t – 4 เมตร/วินาที2 หาความเร็ว (v) = adt =   dtt )46( = 1 2 43 ctt  ……(1) ถ้าจากจุดเริ่มต้น แสดงว่า t = 0 , v = 0 แทนค่าในสมการ (1) 1c = 0 จะได้ v(t) = tt 43 2  2. ความเร็ว (v) ของวัตถุขณะ เวลา t = 3 วินาที v(3) = 3(3)2 – 4(3) = 27 – 12 = 15 ดังนั้น ความเร็ว (v) ของวัตถุขณะ เวลา t = 3 วินาที เท่ากับ 15 เมตร/วินาที 2) ระยะทาง (S) เมื่อ t = 3 วินาที S = vdt =   dttt )43( 2 S = t3 – 2t2 + c2 ………………..(2) เมื่อ t = 1 จะได้ระยะทาง ( S ) เท่ากับ 2 เมตร แทนค่าในสมการที่ (2) 2 = 13 – 2(1)2 + c2 2 = 1 – 2 + c2 3 = c2 แทนค่าในสมการที่ (2) สมการของการเคลื่อนที่ คือ S = t3 – 2t2 + 3 ระยะทาง (S) เมื่อ t = 3 วินาที S = 33 – 2(3)2 + 3 = 27 – 18 + 3 = 12 ดังนั้น ระยะทาง (S) เมื่อ t = 3 วินาที เท่ากับ 12 เมตร ตัวอย่างที่ 4. 4 ในเวลา t วินาที รถไฟวิ่งด้วยความเร่ง a ฟุตต่อ(วินาที)2 โดยที่ 2 12 6 10a t t   ถ้า 0t  วินาที รถไฟวิ่งได้ระยะทาง 10 ฟุต ด้วยความเร็วศูนย์ฟุตต่อวินาที
7. 7. 7 จงหาระยะทาง s ของรถไฟ เมื่อ 5t  วินาที วิธีทา a = 2 12 6 10t t  หรือ dv dt = 2 12 6 10t t  v = 2 12 6 10t dt tdt dt    v = 3 2 1 12 6 10 3 2 t t t C   เมื่อ 1C เป็นค่าคงที่ v = 3 2 14 3 10t t t C   เมื่อ 0t  วินาที, v = 0 ฟุตต่อวินาที แทนค่าได้ 1 0C  v = 3 2 4 3 10t t t  หรือ ds dt = 3 2 4 3 10t t t  s = 3 2 4 3 10t dt t dt tdt    s = 4 3 2 2 4 3 10 4 3 2 t t t C   เมื่อ 2C เป็นค่าคงที่ s = 4 3 2 25t t t C   เมื่อ 0t  วินาที, s = 10 ฟุต แทนค่าได้ 2 10C  s = 4 3 2 5 10t t t   เมื่อ 5t  วินาทีs = 4 3 2 (5) (5) 5(5) 10   = 625 + 125 + 125 + 10 = 885 ฟุต ตัวอย่างที่ 3 รถไฟขบวนหนึ่งแล่นออกจากสถานีด้วยความเร่ง 1 (20 ) 4 t เมตร/(วินาที)2 หลังจากนั้น 20 วินาที รถไฟกาลังแล่นด้วยความเร็วเท่าใด และต่อจากนั้นรถไฟแล่นด้วยความเร็วนั้นโดยตลอด หลังจากออก จากสถานี 30 วินาที รถไฟจะอยู่ห่างจากสถานีเป็นระยะทางเท่าใด วิธีทา a = 1 (20 ) 4 t หรือ dv dt = 5 4 t  v = 1 5 4 dt tdt  = 2 15 8 t t C  เมื่อ 1C เป็นค่าคงที่ เมื่อ 0t  วินาที, v = 0 เมตรต่อวินาที แทนค่าได้ 1 0C  v = 2 5 8 t t  เมตรต่อวินาที เมื่อ t = 20 วินาที ได้ v = 5(20) - 8 )20( 2 = 100 - 50 = 50 เมตรต่อวินาที
8. 8. 8 หลังจาก 20 วินาที รถไฟแล่นด้วยความเร็ว 50 เมตรต่อวินาที ดังนั้น รถไฟแล่นด้วยความเร็ว 50 เมตรต่อวินาที เป็นเวลา 10 วินาที คิดเป็นระยะทาง = 50  10 = 500 เมตร ส่วนเวลา 20 วินาทีแรก รถไฟแล่นด้วยความเร็ว v = 5t - 8 2 t เมตร / วินาที  v = 5t - 8 2 t หรือ dt ds = 5t - 8 2 t s = 5tdt - 8 1 dtt 2  = 2 5 2 t - 24 3 t + c2 เมื่อ c2 เป็นค่าคงที่ เมื่อ t = 0 วินาที s = 0 เมตร แทนค่าได้ c2 = 0 s = 2 5 2 t - 24 3 t ฟุต เมื่อ t = 20 วินาที ได้ s = 2 5 (20)2 - 24 1 (20)3 = 1000 - 3 1000 = 3 2000 เมตร  หลังจากรถไฟออกจากสถานีได้ 30 วินาที รถไฟแล่นได้ระยะทางทั้งสิ้น = 500 + 3 2000 = 3 3500 = 1166 3 2 เมตร 3.3 อินทิกรัลจากัดเขต ( ปริพันธ์จากัดเขต ) ทฤษฏีบทหลักมูลฐานของแคลคูลัส
9. 9. 9 กาหนด f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ a , b ] ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f แล้ว  b a f (x) dx = F(b) - F (a) เขียนแทนด้วย F(x) b a ตัวอย่างที่ 1 จงหา  3 1 (2 - x)dx วิธีทา  3 1 (2 - x)dx = (2x - 2 2 x )  3 1 F(3) = [2(3) - 2 3 2 )( ] = 6 - 2 9 = 2 3 F(1) = 2(1)- 2 1 2 )( ] = 2 - 2 1 = 2 3 F(3) - F(1) = 2 3 - 2 3 = 0 ตัวอย่างที่ 2 จงหา  2 0 (3x2 -2x)dx วิธีทา  f(x) = 3x2 -2x  f(x)dx =  (3x2 - 2x)dx =  3 3 3 x 2 2 2 x  F(x) = x3 - x2 a = 0 , b = 2  F(0) = 03 - 02 = 0 F (2)= 23 -22 = 8-4 = 4  F(2) – F (0) = 4-0 = 4 หรือ  2 0 (3x2 -2x)dx = (x3 - x2 )  2 0 = (23 -22 ) - (03 -02 ) = (8 – 4) – 0 = 4 ตัวอย่างที่ 3 จงหา  3 3 ( 2x -3 ) dx วิธีทา   3 3 ( 2x -3 ) dx = ( x2 - 3x ) 3 3
10. 10. 10 = [32 - 3 (3 )] – [(-3)2 - ( 3 )( - 3 )] = ( 9 - 9 ) - ( 9 + 9 ) = 0-18 = -18 ตัวอย่างที่ 4 จงหา 2 1 ( x2 - 3x) dx วิธีทา   2 1 ( x2 - 3x) dx = ( 3 x 3 - 2 2 3x ) 2 1 = [ ] 2 )1(3 3 )1( [] 2 )2(3 3 )2( 2323     = ) 2 3 3 1 () 2 12 3 8 (  = 6 11 3 10  = 6 11 6 20  = 6 9  = 2 3  คุณสมบัติบางประการเกี่ยวกับอินทริกรัลจากัดเขต 1.   a a dxxf 0)( เช่น  2 2 xdx = a a x 2 2 = 22 22 aa  = 0 2.  b a f (x)dx = - a b f (dx) เช่น  3 1 (2x+1)dx = - 1 3 (2x+1)dx   3 1 (2x+1)dx = (x2 +x) 3 1 = (33 +3)-(12 +1) = (9+3)-(1+1) = 12-2 = 10 และ - 1 3 (2x+1)dx = -(x2 +x)  1 3 = -[(12 +1)-(32 +3)]
11. 11. 11 = -[2-12] = -(-10) = 10 3.  b f f(x)dx =  c a f(x)dx +  b c f(x)dx + b f f(x)dx เมื่อ c [a,b] เช่น  2 2 (2x+3)dx =  0 2 (2x+3)dx +  2 0 (2x+3X)dx   2 2 (2x+3)dx = (x2 +3x) 2 2 = [22 +3(2)] – [(-2)2 +3(-2)] = (4+6) - (4-6) = 10-(-2) = 12  0 2 (2x+3)dx = (x2 +3x) 0 2 = [(0) 2 +3(0)] – [(-2)2 +3(-2)] = 0-(-2) = 2  2 0 (2x+3)dx = (x2 +3x) 0 2 = [22 +(3) (2)] – (02 +3(0)] = 4+6 = 10   0 2 (2x+3)dx+ 2 0 (2x+3)dx = 2+10 = 12 =  2 2 (2x+3)dx 4. dxxkf b a )( = k b a f(x)dx เมื่อ k เป็นค่าคงตัว เช่น  b a 2xdx = 2 3 1 xdx   3 1 2xdx. = x2  3 1 = 32 - 12 = 8 2 3 1 xdx = 2( ) 2 2 x  3 1 = x2  3 1
12. 12. 12 = 32 -12 = 8   3 1 2xdx. = 2 3 1 xdx 5.  b a kdx = k (b-a) เช่น  5 2 3dx = 3x 5 2 = 3(5) – 3 (2) = 3(5-2) = 9 6.  b a [f(x) + g (x) ] dx =  b a f(x) dx+  b a g(x)dx เช่น  2 1 (3x2 +2x)dx =  3 1 3x2 dx+ 3 1 2xdx   3 1 (3x2 +2x)dx = (x 3 + x2 )  3 1 = (33 +32 ) - (13 + 12 ) = (27 + 9 ) - (1+1) = 36 – 2 = 34 3.4 พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง การหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ y = f (x) จาก x = a ถึง x = b สามารถหาโดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎีบท เมื่อ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ a , b ] และ A เป็นพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ y = f (x) จาก x = a ถึง x = b 1. ถ้า x สาหรับทุกค่าของ f (x)  0 ที่อยู่ในช่วง [ a , b ] และ A เป็นพื้นที่เหนือแกน X แล้ว A =  b a f (x)dx 2. ถ้าx สาหรับทุกค่าของ f (x)  0 ที่อยู่ในช่วง [ a , b ] และ A เป็นพื้นที่ใต้แกน X แล้ว A = -  b a f (x)dx การหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง มี 2 วิธี วิธีที่ 1 ใช้สูตรการหาพื้นที่ ( ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือรูปสี่เหลี่ยมคางหมู) วีธีที่ 2 ใช้อินทิกรัลจากัดเขต
13. 13. 13 2 22 ก. พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยสมการเส้นตรง ตัวอย่างที่ 1 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง y = x + 4 จาก x = - 4 ถึง x = 2 วิธีทา y = x + 4 จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 ) คือ ( -4 , 0 ) จุดตัดแกน Y ( แทนค่า x = 0 ) คือ ( 0 , 4 ) 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 f x  = x+4 วิธีที่ 1 ใช้สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม พื้นที่สามเหลี่ยม = 2 1 x สูง x ฐาน = 2 1 x 6 x 6 = 18 ตารางหน่วย วิธีที่ 2 ใช้อินทิกรัลจากัดเขต ให้ A เป็นพื้นที่เหนือแกน X A =  2 4 (x+4) dx = ( 2 x + 4x) F(2) – F(-4) = ( 2 2 +4(2)] – [ 2 )4( + 4(-4)] = ( 2 + 8 ) - ( 8 – 16 ) = 10 - ( - 8) = 18 ตารางหน่วย ตัวอย่างที่ 2 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง y = x + 4 จาก x = - 2 ถึง x = 6 วิธีทา y = x + 4 จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 ) คือ ( -4 , 0 ) 2 -4
14. 14. 14 2 จุดตัดแกน Y ( แทนค่า x = 0 ) คือ ( 0 , 4 ) 14 12 10 8 6 4 2 -2 -15 -10 -5 5 10 15 f x  = x+4 วิธีที่ 1 ใช้สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = 2 1 x ผลบวกด้านคู่ขนานสูง x ฐาน = 2 1 x (2+10) x 8 = 48 ตารางหน่วย วิธีที่ 2 ใช้อินทิกรัลจากัดเขต ให้ A เป็นพื้นที่เหนือแกน X A =  6 2 (x+4) dx = ( 2 x + 4x) F(-2) = ( 2 )2( 2  + 4(-2) = 2 – 8 = - 6 F(6) = 2 )6( 2 + 4(6) = 18 + 24 = 42 F(-2) – F(6) = 42 - ( -6 ) = 48 ตารางหน่วย ตัวอย่างที่ 3 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง y = - x – 3 จาก x = -3 ถึง x = 2 วิธีทา y = - x – 3 จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 ) คือ (- 3 , 0 ) 6 -2
15. 15. 15 จุดตัดแกน Y ( แทนค่า x = 0 ) คือ (0 , - 3 ) 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 f x  = -x-3 วิธีที่ 1 ใช้สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม พื้นที่สามเหลี่ยม = 2 1  สูง  ฐาน = 2 1  5  5 = 12.5 ตารางหน่วย วิธีที่ 2 ใช้อินทิกรัลจากัดเขต ให้ A เป็นพื้นที่เหนือแกน x A = -  2 3 ( -x - 3 ) dx = -(- 2 2 x -3x ) 2 3 = ( 2 2 x +3x ) 2 3 F(-3) - F(2 ) = [ 2 22 + 3(2) ] - [ 2 )3( 2  + 3 (-3) ] = [( 2 + 6 ) – ( 4.5 - 9 )] = [8 + 4.5 ] = 12.5 ตารางหน่วย ข. พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยสมการพาราโบลา ตัวอย่างที่ 1 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 4 - x2 จาก x = - 2 ถึง x = 2 วิธีทา y = 4- x2 1 ) จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 ) คือ ( 2 , 0 ) และ ( 2 , 0 )
16. 16. 16 2 ) จุดศูนย์กลาง จัดรูป y = a( x – h )2 + k ได้ดังนี้ y = -( x - 0)2 + 4 จะได้จุดศูนย์กลาง คือ ( 0 , 4 ) เป็นจุดต่าสุดเพราะ a < 0 P1 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15 พื้นที่ P1 = 10.57 ซม.2 f x  = 4-x2 ให้ A เป็นพื้นที่เหนือแกน x A =  2 2 ( 4 – x2 ) dx = ( 4x – 3 3 x ) 2 2 F(2) - F(-2 ) = ( 4(2) - 3 23 ] – [ 4 (-2 ) - 3 )2( 3  ] = ( 8 - 3 8 ) – [- 8 - 3 )8( ] = 8 - 3 8 - (- 8 + 3 8 ) = 8 - 3 8 + 8 - 3 8 = 16 - 3 16 = 3 1648 = 3 32 = 3 2 10 ตารางหน่วย ตัวอย่างที่2 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x² - 4x จาก x = 2 ถึง x = 4 วิธีทา y = x² - 4x 1. จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 ) 0 = x² - 4x 0 = x (x – 4 ) ……ดึงตัวร่วม x จะได้ x = 0 หรือ 4 2. จุดต่าสุด ใช้วิธีหาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง y = = x² - 4x dx dy = 2x – 4
17. 17. 17 ดังนั้นจุดตัดแกน X คือ (0 , 0) และ (4 , 0 ) 0 = 2x – 4 x = 2 แทนค่าในสมการเส้นโค้ง y = 22 - 4 (2) = -4 จะได้จุดต่าสุด คือ ( 2 , - 4 ) เป็นจุดต่าสุด เพราะ a > 0 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 f x  = x2-4x ค. พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของสมการดีกรีสาม ตัวอย่างที่ 1 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 4x3 จาก x = - 2 ถึง x = 2 วิธีทา y = 4x3 ให้ A เป็นพื้นที่เหนือแกน X A = )4( 4 2 2 xx   dx = 4 2 3 22 3 3 2)2 3 ( x xx x  F (4) – F(2) = [2(4)2 - 3 43 ]- [2(2)2 - 3 23 ] = (32 ) 3 8 8() 3 64  = 32- 3 8 8 3 64  = 24- 3 56 = 3 5672  = 3 1 5 3 16  ตารางหน่วย
18. 18. 18 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 ให้ A เป็นพื้นที่ทั้งหมด A1 เป็นพื้นที่เหนือแกน X และ A2 เป็นพื้นที่ใต้แกน X A = A1 + A2 A = -  0 2 3 )4( x dx +  2 0 3 )4( x dx = - x4 0 2 + x4 2 0 F(2) - F(-2 ) = [- ( 0 – (-2 )4 ] + ( 2 4 – 0 ) = - ( - 16 ) + ( 16 ) = 16 + 16 = 32 ตารางหน่วย ตัวอย่างที่ 2 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = ( x -2 )3 จาก x = 2 ถึง x = 4 วิธีทา y = ( x -2 )3 y = 4x3
19. 19. 19 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15 f x  = x-2 3 ให้ A เป็นพื้นที่เหนือแกน x A =  4 2 ( x - 2 ) 3 dx = 4 1 ( x - 2 )4 4 2 F(2) - F(-2 ) = { 4 1 ( 4 – 2 )4 } – { 4 1 ( 2 – 2 )4 } = 4 1  16 - 0 = 4 ตารางหน่วย ตัวอย่างที่ 3 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x3 – 6x2 + 8x กับ แกน X วิธีทา y = x3 – 6x2 + 8x
20. 20. 20 จุดตัดแกน x คือ (0 , 0 ) และ ( 2 , 0 ) และ ( 4 , 0 ) 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 f x  = x3-6x2 +8x ให้ A1 เป็นพื้นที่เหนือแกน x A2 เป็นพื้นที่ใต้แกน x A1+A2 =   2 0 23 -8x)dx6x-x(   4 2 23 8x)dx6x-(x = ( 4 4 x -2x3 +4x2 ) - ( 4 4 x -2x3 +4x2 ) = [(4-16+16)-0]-[(64-128+64)-(4-16+16)] = 4 - (- 4) = 8 ตารางหน่วย ตัวอย่างที่ 4 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x2 + 2x + 1 ตัดกับเส้นตรง y = x+3 จาก x = - 2 ถึง x = 1 2 0 4 2
21. 21. 21 วิธีทา สมการ y = x2 + 2x + 1 จุดตัดแกน X คือ (-1 , 0) จุดตัดแกน Y คือ (0 , 1) จุดต่าสุดคือ (-1 , 0) สมการ y = x+3 จุดตัดแกน X คือ (-3 , 0) จุดตัดแกน Y คือ (0 , 3) จุดตัดกันของกราฟทั้งสอง คือ (- 2 , 1) และ ( 1 , 4) 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 g x  = x+3 f x  = x2+2x+1 พื้นที่ (A) = dxxxx )]12)3[( 2 1 2  = dxxxx )]12)3[( 2 1 2  = dxxx )]2[( 1 2 2  = )2 23 ( 23 x xx  = )42 3 8 ()2 2 1 3 1 (  = 6 3 8 2 2 1 3 1  = 8 2 1 3 8 3 1  = 8-3- 2 1 = 5- 2 1 = 2 9 = 4 2 1 แบบฝึกหัด 3.1 อินทิกรัลไม่จากัดเขต 1 - 2
22. 22. 22 ชุดที่ 1 จงหา 1. 4 5x dx 2. 5 4x dx 3. 4 x dx  4. 4 3 dx x 5. x xdx 6. 3 4 xdx 7. 1 dx x 8. 1 2 dx x ชุดที่ 2 การคูณและการหาร จงหา 9. 3 2 ( 4 )x x x dx 10. dxxxx  )46( 32 11. 5 3 3 2 ( ) x dx x   12. 4 3 1 ( ) 2 dx x x  13. 3 5 2 3 ( )dx x x  ชุดที่ 3 อินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร 14. 2xdx 15. 3 4 9xdx 16. 4 (3 1)x dx 17. 5 (3 4 )x dx 18. 2 1x dx 19. 2 5xdx ชุดที่ 4 อินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร 20. dx)x()xx( 36 62   21. 3 5 2 ( 3 ) ( 1)x x x dx  22. 3 5 2 ( 6 ) ( 2)x x x dx  23. 2 4 ( 4 ) ( 2)x x x dx  24. 2 3 1x x dx 25. 2 3 x dx x   ชุดที่ 5 ระคน 26. 4 15(3 1)x dx 27. 3 2x dx x   28. 5 (3 4 )x dx 29. 3 6xdx 30. 3 1x dx 31. 3 4 ( 9 ) ( 3)x x x dx  32. 2 3 1 x dx x   แบบฝึกหัด 3.2 โจทย์อินทิกรัลไม่จากัดเขต
23. 23. 23 ก. สมการเส้นโค้ง 1. จงหาสมการเส้นโค้ง y = f(x) เมื่อกาหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่จุด (x,y) ใดๆ และจุดที่เส้น โค้งผ่านดังนี้ 1) 2 5 dy x dx   ที่จุด (3 ,- 2) 2) 2 3 2 dy x x dx   ที่จุด (- 4 , 3) 3) 2 2 3 dy x x dx    ที่จุด (3 , 1) 4) 3 4 3 1 dy x x dx    ที่จุด (2 , 1) 2. ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเส้นโค้ง ณ จุด (x,y) ใดๆ เป็น 2 12x จงหาสมการเส้นโค้งเมื่อ เส้นตรงที่ผ่านจุด (0, 2) และ (3, -1) 3. ให้ ( ) 12f x x  จงหาสมการเส้นโค้ง y = f(x) ซึ่งผ่านจุด (1,-2) และเส้นสัมผัสที่จุด P ขนานกับ เส้นตรง 4x - 2y = 0 ข. สมการการเคลื่อนที่ 4. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงจากจุดเริ่มต้น ถ้าความเร่งของวัตถุ ในขณะเวลา t ใดๆ มีค่าเท่ากับ 12t - 4 และเมื่อ t = 1 จะได้ระยะทาง S = 2 เมตร จงหา 1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา t = 2 2) ระยะทาง เมื่อ t = 2 5. โยนวัตถุขึ้นไปในอากาศในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 112 – 32t ฟุต/วินาที กาหนด จงหา 1) สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุ 2) วัตถุขึ้นไปได้สูงสุดเมื่อเวลาใด 3) ระยะทางที่วัตถุขึ้นไปได้สูงสุด 4) เมื่อใดที่วัตถุอยู่สูง 96 ฟุต 6. ยอดตึกซึ่งสูงจากพื้นดิน 400 ฟุต ก้อนหินก้อนหนึ่งถูกหย่อนลงมาจงหา 1) เมื่อใดที่ก้อนหินจะตกถึงพื้นดิน 2) ความเร็วขณะที่ก้อนหินตกกระทบพื้นดิน ค. กาไร-ขาดทุน
24. 24. 24 7. การผลิตสินค้าเพื่อไปจาหน่ายของบริษัทแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไรเมื่อเทียบกับ จานวนสินค้าที่ผลิตไปจาหน่ายเท่ากับ 46 – 4x เมื่อ x คาจานวนชิ้นของสินค้า ถ้าในการผลิตสินค้าไป จาหน่าย 5 ชิ้น บริษัทได้กาไร 1,100 บาท จงหากาไรที่บริษัทจะได้รับในการผลิตสินค้าไปจาหน่าย 10 ชิ้น 8. ในการลงทุนผลิตสินค้าของโรงงานแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนต่อจานวนสินค้า เท่ากับ 4x – 30 บาท เมื่อ x คือจานวนชิ้นของสินค้าที่ผลิตได้ถ้าในขณะที่ยังไม่ได้ทาการผลิตต้องมีต้นทุน คงที่เท่ากับ 40000 บาท (ต้นทุนดังกล่าวเป็นค่าเครื่องมือ เครื่องจักรต่างๆ) จงหาต้นทุนในการผลิตสินค้า จานวน 10 ชิ้น 9. (Ent’33) บริษัทแห่งหนึ่งขายสินค้า 100 ชิ้น ได้กาไร 6800 บาท โดยมีอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไร เทียบกับจานวนสินค้าที่ขายได้ของบริษัทคือ 78 - 0.08x เมื่อ x คือจานวนสินค้าที่ขายได้ในการผลิตสินค้านี้ จะมีโอกาสได้กาไรมากที่สุดเท่ากับเท่าไร 10. ตัวแทนจาหน่ายของบริษัทแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไรต่อจานวนสินค้าเท่ากับ 120 + 4x เมื่อ x คือ จานวนสินค้าที่ผลิตได้ในการจาหน่ายสินค้าตัวแทนจะได้กาไร 100 บาท เมื่อจาหน่ายสินค้า 2 ชิ้น จงหากาไรที่ตัวแทนจาหน่ายจะได้รับ ถ้าจาหน่ายสินค้า 10 ชิ้น แบบฝึกหัด 3.3 เรื่อง อินทิกรัลจากัดเซต 1. อินทิกรัลจากัดเซตของฟังก์ชัน ชุดที่ 1 จงหา ชุดที่ 2 สมบัติของอินทิกรัล จงหา
25. 25. 25 1.  4 2 )2( x dx 2.   3 3 )42( x dx 3.   2 2 2 )23( xx dx 4.   3 1 2 )2( xx dx 5.   4 1 2 )6( xx dx 6.   2 1 2 )12( xx dx 7.  5 2 )4( dx 8.   2 2 )32( x dx 9.   1 3 2 )2( xx dx 10.   0 3 )42( x dx +   3 0 )42( x dx 11.   3 3 )42( x dx 12.   1 3 2 )423( xx dx 2.พื้นที่ใต้โค้ง ชุดที่ 3 เส้นตรง จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง 13. y = x จาก x = -4 ถึง x = -2 14. y = x + 5 จาก x = -5 ถึง x = 0 15. y = x – 3 จาก x = -3 ถึง x = 3 16. y = -x + 3 จาก x = -3 ถึง x = 0 17. y = 1 – 2x จาก x = -6 ถึง x = -2 18. y = |x| จาก x = -4 ถึง x = 4 ชุดที่ 4 พาราโบลา จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 19. y = x2 - 4 จาก x = -2 ถึง x = 2 20. y = 4x - x2 จาก x = 1 ถึง x = 4 21. y = x2 - 4x + 3 จาก x = -1 ถึง x = 2 22. y = 3 + 2x - x2 จาก x = -1 ถึง x = 2 23. y = 4 - x2 กับแกน x 24. y = x2 - 4x จาก x = 2 ถึง x = 4 ชุดที่ 5 สมการเส้นโค้ง จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 25. y = x3 จาก x = -3 ถึง x = 2 26. y = (x + 2)3 จาก x = -2 ถึง x = 2 27. y = (x – 2)3 จาก x = -4 ถึง x = -2 28. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x2 และเส้นตรง y = x + 3 29. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 2 - x2 และเส้นตรง y = -x จาก x = -2 ถึง x = 2 30. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 2 - x2 และเส้นตรง y = x จาก x = -2 ถึง x = 1 31. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 4 - x2 และเส้นตรง y = x + 2 จาก x = -2 ถึง x = 2 32. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 3x3 – x2 – 10x และเส้นตรง y = -x2 + 2x จาก x = -2 ถึง x = 2 บรรณานุกรม
26. 26. 26 กมล เอกไทยเจริญ , ( ..........) . อินทิกรัลแคลคูลัส INTEGRAL CALCULUS . กรุงเทพมหานคร : สานักพิมพ์สุวีริยสาส์น. ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2548). คู่มือการจัดการเรียนรู้ กลุ่มสาระ การเรียนรู้ คณิตศาสตร์. กรุงเทพมหานคร: สกสค. ลาดพร้าว. . (2552). หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้ เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544. กรุงเทพมหานคร : สกสค. ลาดพร้าว. . (2552). คู่มือครู สาระการเรียนรู้ เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 6 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 - 6 ตามหลักสูตร แกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพมหานคร : สกสค. ลาดพร้าว. สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน. (2554). คู่มืออบรมครูวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ โลก ดาราศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนปลายคณิตศาสตร์ โครงการพัฒนาครูวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย. กรุงเทพมหานคร : สกสค. ลาดพร้าว.
27. 27. 27 แบบฝึกทักษะ การแยกตัวประกอบของพหุนาม ตอนที่ 1 จงเติมคาตอบ จงหาค่าของพหุนามต่อไปนี้โดยวิธีดึงตัวร่วม 1. 4x + 16 = …………………………………. 2. x2 y – xy2 = …………………………………. 3. 2x4 y4 + 4x3 y2 = …………………………………. 4. 3x2 – 6x = …………………………………. 5. 3x3 + 3x2 + 75x = ………………………………... แบบที่ 1 x2  bx + c 6. จงแยกตัวประกอบของ x2 + 10x + 24 ตอบ………………………………............................ 7. จงแยกตัวประกอบของ x2 + 11x + 24 ตอบ………………………………............................ 8. จงแยกตัวประกอบของ x2 - 8x + 12 ตอบ………………………………............................ 9. จงแยกตัวประกอบของ x2 - 7x + 12 ตอบ………………………………............................ 10. จงแยกตัวประกอบของ x2 - 10x + 25 ตอบ………………………………............................ แบบที่ 2 x2  bx - c 11. จงแยกตัวประกอบของ x2 + 4x - 12 ตอบ………………………………............................ 12. จงแยกตัวประกอบของ x2 - 4x - 12 ตอบ………………………………............................ 13. จงแยกตัวประกอบของ x2 + 5x - 24 ตอบ………………………………............................ 14. จงแยกตัวประกอบของ x2 - 5x - 24 ตอบ………………………………............................ 15. จงแยกตัวประกอบของ x2 + x - 20 ตอบ………………………………............................ แบบที่ 3 ax2  bx + c 16. จงแยกตัวประกอบของ 12x2 + 31x + 9 ตอบ………………………………............................ 17. จงแยกตัวประกอบของ 12x2 +56 + 9 ตอบ………………………………............................ 18. จงแยกตัวประกอบของ 10x2 - 23x + 12 ตอบ………………………………............................ 19. จงแยกตัวประกอบของ 9x2 - 48x + 64 ตอบ………………………………............................ 20. จงแยกตัวประกอบของ 8x2 - 22x + 15 ตอบ………………………………............................ แบบที่ 4 ax2  bx - c 21. จงแยกตัวประกอบของ 6x2 + x - 12 ตอบ………………………………............................ 22. จงแยกตัวประกอบของ 6x2 - x - 12 ตอบ………………………………............................ 23. จงแยกตัวประกอบของ 12x2 - 8x - 15 ตอบ………………………………............................ 24. จงแยกตัวประกอบของ 8x2 - 2x - 15 ตอบ………………………………............................ 25. จงแยกตัวประกอบของ -12x2 + 7x + 10 ตอบ………………………………............................ แบบที่ 5 กาลังสองสมบูรณ์ 26. จงแยกตัวประกอบของ x2 + 6x + 9 ตอบ………………………………............................ 27. จงแยกตัวประกอบของ x2 - 6x + 9 ตอบ………………………………............................ 28. จงแยกตัวประกอบของ 9x2 + 48x + 64 ตอบ………………………………............................ 29. จงแยกตัวประกอบของ 9x2 - 48x + 64 ตอบ………………………………............................ 30. จงแยกตัวประกอบของ 4x2 - 20x + 25 ตอบ………………………………............................
28. 28. 28 แยกตัวประกอบของพหุนาม(ต่อ) แบบที่ 6 ผลต่ากาลังสอง 21. จงแยกตัวประกอบของ x2 - 1 ตอบ………………………………............................ 22. จงแยกตัวประกอบของ x2 - 4 ตอบ………………………………............................ 23. จงแยกตัวประกอบของ 9x2 - 25 ตอบ………………………………............................ 24. จงแยกตัวประกอบของ 4x2 - 9 ตอบ………………………………............................ 25. จงแยกตัวประกอบของ x4 - 10x2 + 9 ตอบ………………………………............................ แบบที่ 7 ผลบวกและผลต่างกาลังสาม 7.1 x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2 ) 7.2 x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2 ) 26. จงแยกตัวประกอบของ x3 + 1 ตอบ………………………………............................ 27. จงแยกตัวประกอบของ x3 - 8 ตอบ………………………………............................ 28. จงแยกตัวประกอบของ x3 - 64 ตอบ………………………………............................ 29. จงแยกตัวประกอบของ 8x3 + 1 ตอบ………………………………............................ 30. จงแยกตัวประกอบของ 27x3 - 8 ตอบ………………………………............................ แบบที่ 8 การแยกตัวประกอบรูปแบบอื่นๆ 8.1 ถ้าพหุนามมี 4 พจน์ จัดกลุ่มเป็นวงเล็บๆละ 2 พจน์ แล้วดึงตัวร่วม ตอนที่ 2 จงแสดงวิธีทา 41. จงแยกตัวประกอบของ x4 + x3 – x + 1 ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ 42. จงแยกตัวประกอบของ x3 + x2 – 4x – 64 ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ 8.2 กาลังสองสมบรณ์และผลต่ากาลังสอง บวกเข้าและลบออก 43. จงแยกตัวประกอบของ x4 + x2 + 1 ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ 44. จงแยกตัวประกอบของ x4 - 7x2 + 9 ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................ ………………………………............................
29. 29. 29 ความชันและสมการของเส้นโค้ง ชื่อ..................................................ชั้นมัธยมศึกษาปีที่..................เลขที่.................. ข้อที่............ ให้ y = …………………………..... เป็นสมการของเส้นโค้ง ที่ผ่านจุด ( 2 , - 1 ) จงหา 1. ความชันของเส้นโค้ง 2. สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง 3. สมการของเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ................................... ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................
30. 30. 30 แบบฝึกทักษะ1 คน 1 ข้อ ชุดที่ 2.1 ความชันและสมการของเส้นโค้ง โดยครูรัศมี ธัญน้อม ให้ y = f(x) เป็นสมการของเส้นโค้ง ที่ผ่านจุด ( 2 , - 1 ) จงหา 1. ความชันของเส้นโค้ง 2. สมการของเส้นสัมผัสโค้ง 3. สมการของเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ********************************************************************* 1. y = x2 + x 2. y = x2 - x 3. y = x2 + 2x 4. y = x2 - 2x 5. y = x2 + 3x 6. y = x2 - 3x 7. y = x2 + 5x 8. y = x2 - 5x 9. y = x2 + 6x 10. y = x2 - 6x 11. y = 2x2 + x 12. y = 2x2 – x 13. y = 2x2 + 3x 14. y = 2x2 – 3x 15. y = 2x2 + 5x 16. y = 2x2 - 5x 17. y = 3x2 + x 18. y = 3x2 - x 19. y = 3x2 + 2x 20. y = 3x2 - 2x 21. y = 3x2 + 4x 22. y = 3x2 - 4x 23. y = 3x2 + 5x 24. y = 3x2 - 5x 25. y = 4x2 + x 26. y = 4x2 - x 27. y = 4x2 + 2x 28. y = 4x2 - 2x 29. y = 4x2 + 3x 30. y = 4x2 - 3x 31. y = 4x2 + 5x 32. y = 4x2 - 5x 33. y = 5x2 + x 34. y = 5x2 - x 35. y = 5x2 + 2x 36. y = 5x2 - 2x 37. y = 5x2 + 3x 38. y = 5x2 - 3x 39. y = 5x2 + 4x 40. y = 5x2 - 4x 41. y = 6x2 + x 42. y = 6x2 - x 43. y = 6x2 +2x 44. y = 6x2 - 2x 45. y = x2 + 2x - 3 46. y = x2 - 2x + 3 47. y = x2 + 3x - 2 48. y = x2 - 3x + 2 49. y = (2x - 1)2 50. y = (1 - 3x)2
31. 31. 31 แบบฝึกทักษะ 1 คน 1 ข้อ ชุดที่ 2.2 เรื่อง จุดต่าสุดหรือจุดสูงสุด จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของฟังก์ชันต่อไปนี้ ( ทาแบบฝึกทักษะเรียงตามเลขที่ ) 1. y = x2 + 2x 2. y = x2 - 2x 3. y = x2 + 4x 4. y = x2 - 4x 5. y = x2 + 6x 6. y = x2 - 6x 7. y = x2 + 8x 8. y = x2 - 8x 9. y = x2 + 10x 10. y = x2 - 10x 11. y = 2x - x2 12. y = 4x - x2 13. y = 6x - x2 14. y = 8x - x2 15. y = 10x - x2 16. y = x2 + 2x + 1 17. y = x2 - 2x + 1 18. y = x2 + 4x + 4 19. y = x2 - 4x + 4 20. y = x2 + 6x + 9 21. y = x2 - 6x + 9 22. y = x2 + 8x + 16 23. y = x2 + 8x + 16 24. y = x2 + 10x + 25 25. y = x2 - 10x + 25 26. y = x2 + 8x + 12 27. y = x2 - 8x + 12 28. y = x2 + 4x - 12 29. y = x2 - 4x – 12 30. y = x2 + 4x + 3 31. y = x2 - 4x + 3 32. y = x2 + 6x + 5 33. y = x2 - 6x + 5 34. y = x2 + 6x + 8 35. y = x2 - 6x + 8 36. y = x2 + 10 x + 9 37. y = x2 - 10x + 9 38. y = x2 + 2x - 15 39. y = x2 - 2x - 15 40. y = x2 + 4x - 24 41. y = x2 - 4x - 24 42. y = x2 + 6x - 16 43. y = x2 - 6x - 16 44. y = x2 + 10x - 24 45. y = x2 - 10 x - 24 46. y = 2x2 - 8 x - 3 47. y = - 3x2 - 12 x - 5 48. y = 12x - x2 49. y = x2 + 8x + 7 50. y = x2 - 8x + 7
32. 32. 32 แบบฝึกทักษะ 1 คน 1 ข้อ เรื่อง ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด การหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ สมการ y = ax2 + bx + c ชื่อ.....................................................................ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ..............เลขที่........  ข้อที่........ จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ....................................................................................................... ฟังก์ชัน จุดตัดแกน X จุดตัดแกน Y y = วิธีที่..................................................................... ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ วิธีที่................................................................... ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................
33. 33. 33 แบบฝึกทักษะ 1 คน 1 ข้อชุดที่ 2.3 เรื่องพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 6 ( ค33202) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 โดยครูรัศมี ธัญน้อม *********************************************************** จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรงของสมการต่อไปนี้ โดยใช้อินทิกรัลจากัดเขตและสูตรของพื้นที่ 1. สมการ y = x + 2 จาก x = - 2 ถึง x = 2 2. สมการ y = x + 2 จาก x = - 2 ถึง x = 4 3. สมการ y = x + 2 จาก x = - 2 ถึง x = 6 4. สมการ y = x + 2 จาก x = - 1 ถึง x = 4 5. สมการ y = x + 2 จาก x = - 1 ถึง x = 6 6. สมการ y = x - 2 จาก x = - 1 ถึง x = 2 7. สมการ y = x - 2 จาก x = - 2 ถึง x = 2 8 สมการ y = x - 2 จาก x = - 3 ถึง x = 2 9. สมการ y = x - 2 จาก x = - 4 ถึง x = 2 10. สมการ y = x - 2 จาก x = - 6 ถึง x = - 2 11. สมการ y = - x + 2 จาก x = - 2 ถึง x = 2 12. สมการ y = - x + 2 จาก x = - 3 ถึง x = 2 13. สมการ y = - x + 2 จาก x = - 4 ถึง x = 2 14. สมการ y = - x + 2 จาก x = - 5 ถึง x = 2 15. สมการ y = - x + 2 จาก x = - 6 ถึง x = - 4 16. สมการ y = - x - 2 จาก x = - 2 ถึง x = 2 17. สมการ y = - x - 2 จาก x = - 2 ถึง x = 3 18. สมการ y = - x - 2 จาก x = - 2 ถึง x = 4 19. สมการ y = - x - 2 จาก x = - 1 ถึง x = 4 20. สมการ y = - x - 2 จาก x = 0 ถึง x = 6 21. สมการ y = x + 4 จาก x = - 3 ถึง x = 3 22. สมการ y = x + 4 จาก x = - 4 ถึง x = 3 23. สมการ y = x + 4 จาก x = - 4 ถึง x = 4 24. สมการ y = x + 4 จาก x = - 2 ถึง x = 4 25. สมการ y = x + 4 จาก x = - 2 ถึง x = 6 26. สมการ y = x - 4 จาก x = - 2 ถึง x = 4 27. สมการ y = x - 4 จาก x = - 3 ถึง x = 4 28. สมการ y = x - 4 จาก x = - 4 ถึง x = 4 29. สมการ y = x - 4 จาก x = - 6 ถึง x = 0 30. สมการ y = x - 4 จาก x = - 4 ถึง x = 2 31. สมการ y = - x + 4 จาก x = - 1 ถึง x = 4 32. สมการ y = - x + 4 จาก x = - 3 ถึง x = 4 33. สมการ y = - x + 4 จาก x = - 4 ถึง x = 4 34. สมการ y = - x + 4 จาก x = - 5 ถึง x = 0 35. สมการ y = - x + 4 จาก x = - 6 ถึง x = 2 36. สมการ y = - x - 4 จาก x = - 4 ถึง x = 1 37. สมการ y = - x - 4 จาก x = - 4 ถึง x = 2 38. สมการ y = - x - 4 จาก x = - 4 ถึง x = 3 39 สมการ y = - x - 4 จาก x = - 2 ถึง x = 4 40. สมการ y = - x - 4 จาก x = - 4 ถึง x = - 2 41. สมการ y = x + 5 จาก x = - 5 ถึง x = 2 42. สมการ y = x + 5 จาก x = - 5 ถึง x = 3 43. สมการ y = x + 5 จาก x = - 5 ถึง x = 4 44. สมการ y = x + 5 จาก x = - 4 ถึง x = 4 45. สมการ y = x + 5 จาก x = - 3 ถึง x = 2 46. สมการ y = - x + 5 จาก x = 0 ถึง x = 5 47. สมการ y = - x + 5 จาก x = - 2 ถึง x = 5 48. สมการ y = - x + 5 จาก x = - 4 ถึง x = 5 49. สมการ y = - x + 5 จาก x = - 4 ถึง x = 2 50. สมการ y = - x + 5 จาก x = - 6 ถึง x = 4
34. 34. 34 วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 6 ( ค33202) ( แคลคูลัส ) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เรื่อง อินทิกรัลจากัดเขต ( พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง ) ชื่อ....................................................................ชั้นมัธยมศึกษาปีที่................เลขที่........... จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรงของสมการ y = …………………………… x = ถึง x = โดยใช้อินทิกรัลจากัดเขตและสูตรของพื้นที่ จุดตัดแกน X คือ ............................... จุดตัดแกน Y คือ ............................... วิธีที่ 1 ใช้อินทิกรัลจากัดเขต วิธีที่ 2 ใช้สูตรพื้นที่ ..................................................................................... ..................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ...................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ......................................................................................
35. 35. 35 แบบฝึกทักษะ 1 คน 1 ข้อชุดที่ 2.4 เรื่องพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 6 ( ค33202) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 โดยครูรัศมี ธัญน้อม  จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของฟังก์ชันต่อไปนี้ ( ทาแบบฝึกทักษะเรียงตามเลขที่ ) 1. y = x2 + 2x จาก x = - 2 ถึง x = 0 2. y = x2 - 2x จาก x = 0 ถึง x = 2 3. y = x2 + 4x จาก x = - 4 ถึง x = 0 4. y = x2 - 4x จาก x = 0 ถึง x = 4 5. y = x2 + 6x จาก x = - 6 ถึง x = 0 6. y = x2 - 6x จาก x = 0 ถึง x = 6 7. y = x2 + 8x จาก x = - 8 ถึง x = 0 8. y = x2 - 8x จาก x = 0 ถึง x = 8 9. y = x2 + 10x จาก x = - 10 ถึง x = 0 10. y = x2 - 10x จาก x = 0 ถึง x = 10 11. y = 2x - x2 จาก x = 0 ถึง x = 2 12. y = 4x - x2 จาก x = 0 ถึง x = 4 13. y = 6x - x2 จาก x = 0 ถึง x = 6 14. y = 8x - x2 จาก x = 0 ถึง x = 8 15. y = 10x - x2 จาก x = 0 ถึง x = 10 16. y = 1 - x2 จาก x = - 1 ถึง x = 1 17. y = 4 - x2 จาก x = - 1 ถึง x = 2 18. y = 9 - x2 จาก x = - 3 ถึง x = 3 19. y = 16 - x2 จาก x = - 4 ถึง x = 4 20. y = 25 - x2 จาก x = - 5 ถึง x = 5 21. y = x2 + 2x + 1 จาก x = - 1 ถึง x = 1 22. y = x2 - 2x + 1 จาก x = - 1 ถึง x = 1 23. y = x2 + 4x + 4 จาก x = - 2 ถึง x = 0 24. y = x2 - 4x + 4 จาก x = 0 ถึง x = 2 25. y = x2 + 6x + 9 จาก x = - 3 ถึง x = 0 26. y = x2 - 6x + 9 จาก x = 0 ถึง x = - 3 27. y = x2 + 8x + 16 จาก x = - 4 ถึง x = 0 28. y = x2 + 8x + 16 จาก x = 0 ถึง x = 4 29. y = x2 + 10x + 25 จาก x = - 5 ถึง x = 0 30. y = x2 - 10x + 25 จาก x = 0 ถึง x = 5 31. y = x2 + 8x + 12 จาก x = - 6 ถึง x = - 2 32. y = x2 - 8x + 12 จาก x = 2 ถึง x = 6 33. y = x2 + 4x – 12 จาก x = - 6 ถึง x = 2 34. y = x2 - 4x – 12 จาก x = - 2 ถึง x = 6 35. y = x2 + 4x + 3 จาก x = - 3 ถึง x = - 1 36. y = x2 - 4x + 3 จาก x = 1 ถึง x = 3 37. y = x2 + 6x + 5 จาก x = - 5 ถึง x = 1 38. y = x2 - 6x + 5 จาก x = 1 ถึง x = 5 39. y = x2 + 6x + 8 จาก x = - 4 ถึง x = 2 40. y = x2 - 6x + 8 จาก x = 2 ถึง x = 4 41. y = x2 + 10 x + 9 จาก x = - 9 ถึง x = - 1 42. y = x2 - 10x + 9 จาก x = 1 ถึง x = 9 43. y = x2 + 2x – 15 จาก x = - 5 ถึง x = 3 44. y = x2 - 2x – 15 จาก x = - 3 ถึง x = 5 45. y = x2 + 2x - 24 จาก x = - 6 ถึง x = 4 46. y = x2 - 2x - 24 จาก x = - 4 ถึง x = 6 47. y = x2 + 6x - 16 จาก x = - 8 ถึง x = 2 48. y = x2 - 6x - 16 จาก x = - 2 ถึง x = 8 49. y = x2 + 10x + 24 จาก x = - 6 ถึง x = 4 50. y = x2 - 10 x + 24 จาก x = 4 ถึง x = 6
36. 36. 36 แบบฝึกทักษะ 1 คน 1 ข้อ เรื่อง อินทิกรัลจากัดเขต พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ของพาราโบลา วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 6 รหัสวิชา ค43202 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ชื่อ.....................................................................ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ..............เลขที่........  ข้อที่........ จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ y = ………………………………………….. x = ถึง x = จุดตัดแกน X คือ .................................................................. จุดตัดแกน Y คือ .................................................................. จุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดคือ........................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ .......................................... ..................................................................................................................................
37. 37. 37