Applicazioni, Assioma_postulato, Continuo_discreto, Dipendenza_indipendenza, Divisibilità, Dualità, Insieme, Razionale_algebrico_trascendente, Simmetria, Strutture matematiche, Trasformazioni naturali_categorie

1. E NCICLOPEDIA E I N A UD I [ 1 9 8 2 ]
STRUTTURE MATEMATICHE
Massimo Galuzzi — ST R U T TURE MAT E MATI CHE p a g .5
Jacques Le Goff — APPLICAZIONI pag.ll
ASSIOMA/POSTULATO p a g . 3 3
CONTINUO/DI SCRETO p a g . 4 3
DIPENDENZA/INDIPENDENZA p a g . 7 0
DIVISIBILITÁ pag.93
Israil Moiseevic Gel'fand e Jurij Ivanovic Manin
DUALITÁ p a g . 1 0 5
Jurij Ivanovic Manin — INSIEME p ag . 1 3 2
RAZIONALE/ALGEBRICO/TRASCENDENTE p a g . 14 9
Israil Moiseevic Gel'fand e Jurij Ivanovic Manin
SIMMETRIA p a g . 16 3
Jurij Ivanovic Manin — STRUTTURE MATEMATICHE p a g . 17 7
Massimo Galuzzi — TR A S F ORMAZIONI NATURALI /CATEGORIE pa g . 1 95

2. ambiguità allegoria
codicecompetenza/esecuzione
Strutture matematiche fonetica immagine
metafora
avanguardia Strutture matematichegrammatica classico
concetto analagia e metafora lessico • egno
critica
esistenza argomentaxione lingua significato
filologia
simbolo bello/brutto
essere interpretazione lingua/parola letteratura creatività
fenomeno linguaggio maniera espressione
forma metrica
astratto/concreto poetica fantastico
idea semantica
dialettica alfabeto retorica gusto
identitàjdBfercnza proposirionee giudizio senso/significato ascolto imitazione
traduzionenlccfisrloiie gesto immaginazione anthrapos
opposizione(contraddizione universali/particolari lettura progetto cultura/culture
qualità/quantità luogo comune
atti linguistici riproduzion%iproducibifità etnocentrismi
tatalità orale/scmtto
dicibi1%ndicibile discorso sensibilità natura/cultura
uno/molti enunciazione eamutriaxxioneh parola finzione spazialità
tfechione ritmo srtt
distribuzione statistica
presupposizione e allusione errore generi
scrittura artigianato
dato referentc informazione narrazione/narrativita
- = giochf artistavoceetica stile acculturazione
ssdszione statistica attribuzione
filosofia/Rlosoáe tema/motivo civiltà
przibsbfgtà
ragione antico/moderno
oggetto
testo futuro
,rspprcscntazioiic suitistlcs
razionale/irrazionale catastrofi calendario
produzione artistica
selvaggio/barbar%ivilizzato
= ==-:- = = éoria/prsdca soggett%ggetto ciclo decadenza .b armo nia colore
uguaglianza evento escatologia inclodls escrementi
caos/cosmo valori periodizzazione età mitiche disegno/progetto fertihtà
visione
infinito vero/falso tempo/temporalità genesi
'ritmim/metrica I
abbigliamento nascita educazione
calve szIpclfict
macrocosmo/microcosmo volontà passato/presente
gcsmtsràs s topoàsgis Punse(rumor sensi generazioni
mondo progresso/reazione sessualità infanzia coltivazione
invariastc,== -: = '=
uaionc(p
alchimia fcfttkle/stmislestoria danza morte cultura materialenatura vecchiaia
astrologia atlante maschera amore
industna ruraleosservazione vita/morte
cabala collezione moda desiderio
materialireale
elementi documento/monumento credenze ornamento eros
=..:--' '=:='=. equivtdcnza unità armi prodotti
esoterico/essoterico fossile Isteria clinica
frontiera dialetto scena
memoria enigma pulsione angoscia/colpa cura/normalizzazione
nmom cs =gaffes guerra
rovina/restauro fiaba • orna/psiche castrazione e com lp esso esclusion%ntegrazione
mfinitesimals -. ibilità n apafisi(àntesi
imperi
sonno/sogno censura farmaco/droga fuoco
nazione mostro cannibalismo identificazione e, trapsfert follia/delirio homo
tattica/strategia
. popolare dèi
inconscio mano/mamifatto
proverbi divino
medicina/medicalizzazione
tecnica
alienaziane tradixioni nevrosi/psicosi
CI'ai
normale/anormale
piacere utensile
coscienza/autocoscienza demagogia iniziazione salute/malattia
immaginazione sociale discriminazione magia sintomo/diagnosi
demoni
pace repressione ateo messia alimentazione
divinazione agonismo
terrore millennio animale
a siom (postttfatá=.
servo/signore chierico/laico cerimoniale casta
esso/probabilità uomo tolleranza/intolleranza chiesa mito/rito cucinapersona festa donna
continu /do/ iscfcto causa/effetto utopia tortura diavolo
mythos/lagna
pur%mpuro endogamia/esogamia domesticamento
feticcio
dipendeva ind'/ abaco certezza/dubbio violenza eresia originireligione famiglia fame
divisibilità ' algoritmo
gioco
coerenza libertino sogno/visione lutto incesto vegetale
dualità approsrimszion convemdione csiàgorlzzszi arie libro stregoneria maschile/femminile
insieme
regalità
determinao/indeterminato = .:Vososemma peccato rito matrimonio
razionale/algebrsco~ssdtzt '
.
'
otC o empi ria/esperi . .=, := ,==~ - ' .,"àvppie fiiosofiche sacro/profano parentela
stmmetria zero cspcfliiicnto ina(discipline santità borghesi/borghesia caccia/raccolta
rotem
leggeI —: .===-:=:'=====". enciclopedia l burocrazia economia dono
uomo/donna
trasformatàesi nstundi / categorie libertà/necessità '=.=.'=::=:=: = ---iiinovaziane/scoperta classi formazione econornic ' 1 eccedente' o-socia e
metafi contadini lavoro pastorizia
control1%etroazione . insegnamento
naturide/artfficisle I consenso/dissenso pr i l intiVo
invenziane
ideologia modo di produzione
opcrsttvità egemonia/dittatura reciprocità/ridistribuzione
igita e equilibrio/squilibrio presentazione I
masse proprietà
intellettuali
psmdigma ricerca proletariato riproduzione
interazione libertà
previsione epossibilità rivoluzione~~ Cchss i ficazione transizione abbondanza/scarsità
intelligenza artificialeia e o r dine/disordine
anone r
ridurione
maggioranza/minoranza
bisogno
organizzazione ripetizione partiti
semplic%omplesso politica
consumo
sistema apprendimento amministrazione accumulazione impasta
spiegazione
strumento soglia cervello autoregolazion%quilibrazione comunità capitale lusso
verificabiTitàjfalsificabilhà
comportamento cognizione conflitto ci'Isi oro e argento
costituzione
e condizionamento induzione/deduzione consuetudine élite distribuzione pesi e misure
diritto democrazia/dittatura
controllo sacrale innato/acquisito fabbricagergo produzione/distribuxione
norma
astronomia emozione/motivazione
istinto giustizia g"uppii gestione ricchezza
istituzioni patto
. ccemologie imperialismo scambio
atomoe molecola mente operazioni marginalit
patere
= .=-~ —.-.=''= = gravitazione
conservazione/invarianza percezione
responsabilità opinione impresa spreco
potere/autorità
luce quoziente intellettuale povertà mercato
entropia pubblico/privata
aztàitesis propaganda merce
società civile
cellula ruolo/status moneta
abitazione stato
adattamento differenziamento soclallzzszlanc pianificazione
i
evoluxione
acqua
immunità • ocietà profino
ambiente
mutazione/selezione individualità biologica spazio sociale rendita
città
polimorfismo integrazione salario
clima
spcclc invecchiamento utilità
quanti ecumene
teiatività
organismo valore/plusvalore
insediamento agricoltura
regolazione
reversibilità/irreversibilità migrazione
catalisi
città/campagna
ststo fisieo
sviluppoemorfogenesi
paesaggio colonie
macromolecalc
popolazione commerciometabolismo
regione industria
omeostasi
eredità risorse spazio economico
organico/inorganico suolo
osmosi
gene sviluppo/sottosviluppo
terra
vita
genotipo/fenotipo
razza territorio
sangue villaggio

3. Strutture matematiche 292 293 Strutture matemattche
IIl tb O
tb G
O G Otb O
O + V
N cl G Oal V N Cà
Ctl N Ctl O
+OV
tlt Gal alal V G p VP
O G p Cà V N O
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O V V V + N ttl àt N al g+cà V G O G V 4Q
b0 'v V 'a cc E E G G
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ctl al O O O O O .Q H o V VOtà R Vàtal al al G V
V V V V V V V V V V V V V àl àl V tb V CI b0 00 b0 b0 A G O
E E
applicazioni 6 2 5 3
35
6 3 7 8 3 2 6
assioma/postulato 3 6 4 6 6 6 6 2 ' 2 6 8 6 2 3
86
8 3 6
continuo /discreto 4 ' 3 6 3 3 4 4 6
44
7 3 7 6 • z I 3 8 6 6
dipendenza/indipendenza 6 4 4 3 4 S 4 4 5 6 4 3 3 4 5 2 4 5
divisibilità 5 4 2
dualità 4 4 6 2
46 5 3
insieme 47
3 S ' 3 8 6 7 7 3 4 3
47
z
2 5 2
8 3 3 2 7 9 9 4 3
razionale/algeb./trascend. 7 2 4 S 2
88
8 3
simmetria 2 ' 3 3 4 4 3 6 2 3 5 2 7 3 2 4 3 5 2 3 7
strutture matematiche 5 6 2 3 3 6 4 7 z 8 4 6
trasform. nat. / categorie 4 ' 2 5 I 3 4 4 4 S 6 7 5 I 4 2 5 z 6 4 I 2 I 3 I 3
V Cl
d 4
N
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E H O P 4 O 4 4 Cà Cà OtD V G v
4 E
Q O o G, G, G , a t 4 k V PJ V
al
O O E o+
applicazioni 5
assioma/postulato 6 z 2 I z 6
32
4 2 9 3 4 3 2
2 5 5 4 3
77
3 8 3 5 6 3 3 3 2 4 3
continuo/discreto S 2 5 6 4 5 7 3 2 4 5 2 4, 8 5 3 3 I 2
dipendenza/indipendenza 3 4 5 2 4 4 3 5 2 4 4 3 1 4 5 3 6 • 5 6 3 4
divisibilità 5 2 S
dualità 3 3 3 2 2
36
2 2 2 6 2
insieme 6 z 2 5 3 3 6 4 5 6 z 6 6 z 9 5 4 3 2 ' 2
razionale/algeb./trascend. 5 3 3 2
7 z
simmetria I 3 3 5 S 5 3 3
43
6 5 4 4 3 3 4
strutture matematiche 6 3 3 8
4
trasform. nat. / categorie 3 4 4 3 2 5 4 4 3 2 3 2 2 2 4 7 3 2 I 7 4 4 3 4

4. Strutture matematiche 294
~95 Strutture matematiche
cà
ccc
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o + dipendenza(
n ccl
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V N
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A
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o Q cle Eccl ccc àa ccc Q
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cà O + Clc cc OQ
l
o cQ Qccl
VJ
E E o razionale/ divisi+ g
7cc ccl Q c Q cl c Q
alg./trasc. bi l ità
strutture matematiche 4 7 4 4 3 2
insieme 7 7 6 5 6 S S 6
dualità 4 3 5 4 a plicazioni strutture trasf.nat./ assioma/
simmetria 2 ' 5 3 3 matem. categorie postulato
applicazioni 6 5 7 5 5 I 5 4 3 slmmetna
continuo/discreto 6 5 4. 2 4 4 I
razionale/algebrico/trascendente 4 2 4 5 6 contmuo
divisibilità 2 I discreto
assioma/postulato 6 6 I 4 2 4 4
trasformazioni naturali / categorie 6 2 2
dipendenza/indipendenza 2 4
dualità

5. 6gg
Strutture matematiche
-wood Cliffs
Applicazioni, Assioma/postulato, Continuo/discreto,
Dipendenza/indipendenza, Divisibilità, Dualità, Insieme,
The Razionale/algebrico/trascendente, Simmetria,
Strutture matematiche, Trasformazioni naturali / categorie
L'«identità» degli oggetti matematici nell'evoluzione temporale, l'inseribi
lità in discorsi sempre piu ampi, che è stata oggetto del commento a+Geometria
e topologia+, certo ha colpito l'attenzione di molti pensatori. Un esempio fra i
molti è dato da Pierre Duhem : «Le proposizioni che costituiscono le scienze uni
camente matematiche sono, al massimo grado, verità universalmente accettate;
la precisione del linguaggio, il rigore dei procedimenti dimostrativi, non lasciano
spazio a divergenze durature tra le concezioni dei vari geometri ; attraverso i se
coli, le dottrine si sviluppano in continuo progresso, senza che le nuove conqui
ste facciano perdere nulla dei domini acquisiti in precedenza».
Ancora piu chiaro è Duhem ove mette a contrasto fisica e geometria: «La fi
sica non progredisce come la geometria che 'aggiunge nuove proposizioni defini
tive e indiscutibili a quelle che già possedeva, progredisce invece perché l'espe
rienza produce di continuo nuovi disaccordi tra leggi e fatti e perché, incessan
temente, i fisici ritoccano e modificano le leggi per poter rappresentare i fatti in
modo piu esatto».
Questa identità degli enti matematici ha certo riscontro in fatti reali. Ma essa
è un estremo dell'opposizione identità/differenza e si vedranno ora alcuni esem
pi, avendo cura di rilevare i contrasti che coesistono con le concordanze,
Si è spesso osservato come il metodo assiomatico sia per eccellenza il metodo
della matematica (cfr. l'articolo +Assioma/postulato',per esempio. Si pongano
anche a confronto i due articoli «Funzioni » e +Applicazioni+ e si vedrà nel secon
do caso come venga organizzata una descrizione assiomatica di molte delle que
stioni trattate nel primo articolo). Questo metodo ha indubitabilmente origini
antiche : certo ben prima di Euclide si sono avute costruzioni teoriche organizza
te in modo deduttivo, a partire da poche premesse assunte inizialmente. Tutta
via è con gli Elementiche si dispone di un testo articolato e sistematico con il
quale si può istituire un confronto fecondo.
Ecco la prima proposizione euclidea:
pRoposIzIQNE I. Su unaretta terminata data costruire un triangolo equilatero.
La costruzione (e con ciò la dimostrazione della sua esistenza) consiste nel trac
ciare il cerchio BCD, con centro A e raggioAB, il cerchio ACE, con centro B
e raggio BA e nel congiungere il punto C (una delle due intersezioni dei cerchi )
con A e B. Poiché AC = AB e BC =AB «cose che sono uguali a una stessa sono
uguali anche tra loro» e perciò AC =BC =AB (fig. I).
Si è osservato fin dall'antichità come l'esistenza del punto C che dà una delle
intersezioni dei cerchi non segua dagli assiomi e dai postulati precedenti. Il testo

6. Sistematica locale 636 637 Strutture matematiche
euclideo va quindi integrato. Un nuovo moderno «Euclide emendato» sarebbe bole (come nella prop. 59 del I libro, per fare un esempio tra i piu tipici ), le con
per molti aspetti assai piu ricco e sofisticato dell'originale se si dovesse tener con siderazioni di+simmetria+ sono ridotte in modo da rendere le dimostrazioni as
to del gran numero di osservazioni, come la precedente, che si sono accumulate sai strane per un lettore che non abbia familiarità con la matematica greca. Nella
nei secoli. Ma non è tanto questa differenza che preme qui segnalare. Se si sup proposizione citata, dopo aver costruito una sezione (ossia un ramo dell'iperbole)
plisce l'opportuno postulato dell'intersezione dei cerchi, si osserva poi immedia Apollonio procede a ricostruire i dati e poi la sezione opposta, anziché ricostruire
tamente che la dimostrazione euclidea diviene completamente rigorosa. Essa ha immediatamente la sezione cercata usando la simmetria. E non è che un esempio
inoltre caratteristiche d'immediatezza e di semplicità tali da renderla pratica fra innumerevoli altri.
mente insostituibile. Tornando ad Euclide, nel libro V degli Elementi ove è esposta la teoria delle
Non solo quindi viene riconosciuto negli Elementi lo stesso nostro ideale di proporzioni, il maggiore strumento dimostrativo della matematica classica, si ha
mostrativo perfino nei luoghi ove occorrono integrazioni, ma anche qui, e in la seguente proposizione (l l ) :
molti altri casi, ci si trova d' accordo nel proporre come le piu naturali le stesse di PRDPoslzlolvR. I rapporti che sono uguali a un medesimo rapporto sono ugualifra
mostrazioni, pur con le opportune modifiche. loro, cioè da A : B = C: D e C : D = E: F si deduce A : B = E: F.
Ma questa identità sembra quasi costituire uno sfondo per mettere in mag
gior rilievo molte e fondamentali differenze che riguardano principalmente la Che significa questo > Conferma ancora una volta che la proporzione A : B = C : D
natura degli enti geometrici. Certo gli enti geometrici degli Elementi non sono va pensata come un tutto unico, e non come affermante l'uguaglianza di rapporti
enti fisici, ma «enti ideali» in senso pieno; ciò non toglie che essi organizzino (in caso contrario al teorema si potrebbe sostituire la prima delle nozioni comuni :
una descrizione che nel suo complesso va collegata allo spazio della nostra espe «Cose uguali a una stessa cosa sono uguali tra loro»).
rienza. Quante implicazioni questo possa avere sulla considerazione di figure sim
I concetti moderni di «modello» e di «struttura», cosi importanti e fecondi, metriche rispetto a una data retta, per esempio, è evidente. La considerazione di
sono privi di senso se visti in connessione con gli Elementi. Questi ultimi, nella rapporti «a sinistra» e «a destra» non conduce automaticamente a proporzioni
misura in cui sono pensati descrivere l'unica geometria possibile, sono per ciò proprio perché, almeno di primo acchito, non è lecito questo modo di intendere
stesso l'unico modello e l'unica struttura geometrica, il che svuota di significato le proporzioni. Chi ha familiarità con la matematica greca sa bene quanta pazien
questi concetti, se applicati in questo caso. za sia talora necessaria per liberarsi di certi «pregiudizi» moderni e intendere an
Inoltre, sebbene si sia debitori alla scienza greca di molti dei concetti che ora che il senso degli sviluppi dimostrativi in luoghi ove la simmetria sembrerebbe
si ritrovano nell'area descritta da+simmetria+, vi sono molte sottili differenze, vanlficare ogni necessità dimostrativa.
soprattutto a livello dimostrativo. Non vi è intanto una diretta derivazione del Ora certo i Fondamenti della geometria(Grundlagen der Geometrie, l899), la
concetto espresso in greco da rlup.pswpoq 'commensurato, proporzionale' (cfr. «carta dell'assiomatica moderna» a giudizio di Bourbaki, sono pur sempre una
l'articolo +Razionai%1gebricoftrascendente+), aggettivo usato da Euclide [X, l] presentazione della geometria erede per molti aspetti della tradizione euclidea,
per indicare grandezze che ammettono una misura comune («full,pcvpa p.sys9q
I in
ma la direzione del successivo programma di Hilbert, volto a formare delle conce
7sysvx< và vr' +usto ll.svpro p,svpup,sv@», ecc.), cioè grandezze commensurabili zioni generali dei formalismi matematici, quali giochi con i testi simbolici non
nel nostro linguaggio. Ma al di là dello slittamento di significato dei termini, è richiedenti, in linea di principio, alcuna interpretazione, per usare le parole di
nei metodi dimostrativi stessi che si notano profonde differenze. Manin, è irriducibile ai termini della matematica greca.
Con molta evidenza la cosa si nota in Apollonio. Ogni qual volta nel libro I Il confronto con la scienza greca è profondamente significativo anche per un
del suo trattato appaiono le «sezioni opposte», cioè i due rami di una stessa iper altro aspetto disciplinare.
Secondo un giudizio universalmente acquisito la fondazione della logica si
deve ad Aristotele.
Ora, quando si legge, ad esempio, nei Primi analitici [z5b, 37-39] che «se A
si predica di ogni B, e se B si predica di ogni C, è necessario che A venga predi
» cato di ogni C», ci si trova certo su un terreno familiare a tutti coloro che hanno
D, A B E una qualche esperienza matematica e l'idea di una figura come
-----A
------B
Figura s.
Costruzione di un triangolo equilatero.
22

7. Sistematica locale 638 639 Strutture matematiche
(se A si predica di ogni B tutti i B hanno la proprietà A, ecc.) rende trasparente Ma questo non è il solo aspetto e ancora Aristotele lo avverte con grande
l'implicazione. Tuttavia si è qui ben lungi dall'essere in un contesto matematico chiarezza, tant'è che l'aporia di Zenone non è ricondotta a questo solo aspetto ma
o afferente in qualche modo alla matematica. Occorrerà un processo di molti se all'essere il tempo e lo spazio, sotto questo rispetto, uguali. Questo è un modo
coli, fino all'Ottocento, perché si realizzi quell'unità fra logica e matematica che certo geniale per rendere pensabile il moto, ma lascia inesplorato un aspetto del
ha prodotto la «logica matematica» moderna. la continuità d'un ente preso per se stesso isolatamente.
Si può ammettere, certo, che gli Elementi abbiano un'organizzazione confor Dedekind, con'uno scritto del x87z (l'anno stesso del Programma di Erlan
me alla logica aristotelica, ma ciò è vero in un senso molto generale, per quanto gen) reca un contributo decisivo al problema della comprensione della continui
riguarda l'architettura complessiva dell'opera e non nel senso che la logica vi tà. Si tratta del saggio Continuità e numeri irrazionali (Stetigkeit und irrationale
compaia come uno «strumento» per sviluppare singole dimostrazioni od orga Zahlen). Vi si osserva come, considerati i numeri razionali con la loro relazione
nizzare complessi di dimostrazioni. Vi sono negli Elementiforme deduttive non d'ordine, un numero a ripartisca tutti i numeri razionali in due classi A, e As,
sillogistiche e, in generale, le dimostrazioni sono modellate sull'oggetto matema entrambe infinite, delle quali la prima contiene tutti gli a, con a, (a e la seconda
tico piuttosto che ricondotte a tipi standard dal punto di vista logico. tutti gli aa con a~) a (a stesso può porsi nella prima o nella seconda classe).
È molto importante sottolineare questa autonomia del discorso matematico, Questa proprietà trova riscontro in una consimile proprietà dei punti di una
autonomia che diverrà ancora piu marcata con il sorgere della scienza nuova, per retta: un punto A divide i punti della retta in due classi, formata la prima dai
ben capire come l'unità che si viene a realizzare tra matematica e logica nel seco punti Ai alla sinistra di A e la seconda dai punti A, alla destra di A (analoga os
lo scorso presuppone un determinato grado di sviluppo delle due discipline. L'e servazione vale per A ). Cosa ora fa si che la retta sia continua e che tale non sia il
sperienza dell'algebra è, ovviamente, fondamentale nell'opera di Boole, ma non sistema dei numeri razionali>
è solo l'«algebrizzazione della logica )> che segna la differenza con Aristotele, è Se si fissa un riferimento sulla retta, è possibile disporvi al modo solito tutti
l'intero modo di intendere la disciplina in connessione con l'attività scientifica, i numeri razionali e, come è ben noto, la presenza dei segmenti incommensura
Si tratta di osservazioni molto semplici. Esse suggeriscono tuttavia come bili si manifesta nel fatto che vi sono punti sulla retta che non corrispondono a
spesso anche a una lettura «accurata» dei testi e a una interpretazione fonda numeri razionali (come il segmento che rappresenta la diagonale del quadrato
mentalmente «esatta», come in questo caso della breve frase citata di Aristotele, che ha per lato l'unità di misura).
possono corrispondere non poche drastiche semplificazioni. Ebbene questa differenza, questa «mancanza» di numeri corrisponde esatta
mente al fatto che ogni suddivisione dei punti della retta in due classi tali che
Anche l'opposizione +continuoidiscreto+ che inerisce ad aspetti fondamen ogni punto della prima classe stia a sinistra di ogni punto della seconda è realiz
tali dell'esperienza umana, ha suscitato, nell'antichità, le riflessioni teoriche piu zata esattamente da un punto, mentre ciò non avviene per le classi di razionali
profonde nel pensiero greco. Tra le piu celebri vi sono i paradossi di Zenone sul tali che ogni numero della prima sia inferiore a ogni numero della seconda. Non
moto, esposti e analizzati da Aristotele ; in essi, forse piu che altrove, si avverte vi sono partizioni dei punti della retta che abbiano rispetto all'ordinamento la
la profonda tensione concettuale che pervade l'opposizione. Una «soluzione» dei stessa caratteristica di quelle che provengono dai suoi punti che già non proven
paradossidiZenone che facciacapo a una interpretazione univoca e corrisponda gano da punti.
a un'unica idea risolutiva non si è data fino ad ora, né può darsi se nella coppia «Che ognuno trovi il principio enunciato tanto evidente e tanto concordante
continuo/discreto si manifesta una contraddizione effettiva. Ma il problema cer con la sua propria rappresentazione della retta, — osserva Dedekind, — ciò mi sod
to può essere approfondito e la formulazione moderna della continuità della ret disfa al massimo grado, perché né a me né ad altri è possibile dare di questo
ta data da Dedekind costituisce un progresso fondamentale. Già Aristotele [Fisi principio una dimostrazione qualsiasi. La proprietà della retta espressa da que
ca, z33a, z4-z8] aveva osservato come «in due sensi si dicono infiniti tanto la sto principio non è che un assioma, ed è solo sotto forma di questo assioma che
lunghezza quanto il tempo e in genere ogni continuo: o per divisione o per gli noi pensiamo la continuità della retta, che riconosciamo alla retta la sua conti
estremi. Pertanto, gli infiniti che sono tali secondo la quantità, non possono toc nuità».
carsi in un tempo finito; quelli, invece, che sono tali secondo la divisione, lo pos
sono perché il tempo stesso è infinito sotto questo aspetto» (cfr, +Divisibilità+),
Il continuo è infinito per divisione. Questo aspetto della continuità è colto
con grande chiarezza da Aristotele. Se si considera il caso della retta, ciò signi p /
fica che tra due suoi punti A e B c'è sempre un C intermedio : O I
Figura z.
Il punto P' sulla retta non è rappresentato da alcun numero razionale (corrisponde
C B infatti a ~a ).

8. Sistematica locale 6yo 6gz Strutture matematiche
Con la formulazione di Dedekind della continuità si ha una concezione della dello. Come si vede, anche se il concetto di dualità sembra legarsi a fatti tra i pi6
retta che è molto piu ricca e articolata di quella presente nella matematica classi semplici, esso diviene disponibile solo dopo acquisizioni teoriche di grande ri
ca: il continuo non è tale solo per la+divisibilità+ infinita (cosa, come si è visto, lievo.
già osservatada Aristotele) e un'analisi del moto che si fondi solo su questa pro Negli esempi esaminati sino ad ora, il confronto tra tematiche classiche e
prietà non è adeguata. Ciò non risolve l'aporia di Zenone ma la rende «piu pen idee innovative era in qualche modo contenuto dalla natura dell'argomento. Con
sabile» poiché non ci si limita ad affermare che una certa connotazione non esau il gruppo Bourbaki, autore di un'opera tuttora in esecuzione, dal titolo assai si
risce il concetto della continuità, ma si dà di quest'ultima un'ulteriore caratteri gnificativo di Elémentsdemathématique (tggg sgg.), si pone coscientemente l'idea
stica: la retta come +insieme+ ordinato è analizzata piu profondamente. di una matematica globalmente «nuova».
Tuttavia, come è ben noto, Dedekind, dopo aver «creato» i numeri reali in Bourbaki rinunzia a una «filosofia» della matematica (rinunzia spesso enfa
modo che il continuo numerico abbia le stesse proprietà di continuità della retta, tizzata da qualche componente del gruppo) proponendosi piu «modestamente»
rifiuta a quest'ultima (in un approccio fondazionale, non certo nella didattica!) di catalogare e sistematizzare i metodi della matematica. Al tempo stesso Bour
un'uguale dignità. Giunge cosi a compimento un desiderio che fa capo a una baki sottolinea le possibilità euristiche del metodo assiomatico, purché esso sia
tradizione antichissima: l'intera matematica ridotta ai numeri. Al tempo stesso inteso nella sua effettiva essenza, come strumento per aumentare le possibilità
la geometria se non sacrificata, come scienza autonoma, certo viene diminuita. dimostrative.
L'esempio piu celebre di+dualità+ è quello dato dal piano proiettivo. L os
T )
Un ruolo essenziale nel progetto bourbakiano ha il concetto di+struttura ma
servazione che i punti e le rette in un piano ordinario hanno comportamenti tematica+: l'organizzazione generale del discorso matematico secondo strutture
«analoghi» è certo molto antica. Due punti arbitrari e distinti individuano una algebriche, strutture d'ordine, strutture topologiche, ove il singolo oggetto ma
retta, cosi come due rette in generale, cioè se non sono parallele, individuano un tematico non è un «dato», ma il frutto di una molteplicità di determinazioni.
punto. La restrizione «non parallele» è stata di fatto eliminata nella pratica del L'idea nuova e profonda della matematica come una totalità, come un'archi
disegno (ove ogni costruzione che fa intervenire una coppia di rette parallele tettura ove i singoli oggetti acquistano la loro individualità solo in rapporto al
— una direzione — si svolge in modo del tutto simile alla costruzione corrispon tutto, è certamente un grande contributo di Bourbaki, ma l'idea della matema
dente ove le rette non siano parallele) ben prima che avesse un fondamentoteo tica come una totalità organizzata non è una caratteristica inscindibile dall'ap
rico la nozione di «punto alPinfinito». All'inizio del secolo scorso, aggiunti al proccio organizzatoattraverso ilconcetto di struttura matematica. Essa è pre
Piano ordinario i «punti all'infinito» ordinatamente disposti sulla «retta all in sente anche nell'approccio categoriale.
finito», si hanno le premesse per il piano proiettivo, 1 ambiente naturale per1 r i a Anche per questa ragione, la distanza che separa la descrizione categoriale
dualità fra punti e rette. degli oggetti matematici dalla loro descrizione strutturale non è forse cosi grande
Su due fatti si vuoi richiamare l'attenzione, due fatti che non costituiscono come spesso si crede. Giustamente Manin parla di una descrizione del primo
un semplice prolungamento del vecchio nel nuovo : i punti all'infinito permetto tipo come «duale» rispetto a quella del secondo.
no di non far distinzione in una costruzione grafica tra elementi al finito e all'in Dal punto di vista della teoria delle strutture, osserva Manin, un gruppo è
finito, unificano costruzioni all'apparenza assai diverse. È la stessa cosa assegnare un +insieme+ dotato di ana determinata struttura, mentre dal punto di vista della
un'iperbole mediante i suoi asintoti e un suo punto oppure mediante due tan teoria delle categorie un gruppo è un oggetto della categoria di tutti i gruppi. Da
enti con il loro punto di contatto e un suo punto. I a costruzione di un arbitra questo secondo punto di vista un oggetto riceve la propria identità dal coesistere
rio punto ulteriore procede in modo del tutto conforme, per fare un esempio. Ma con altri oggetti della stessa natura, dal modo con il quale esso è posto in relazio
non è per questo e per altre consimili costruzioni che si dispone del piano proiet ne con loro. Ma anche dal punto di vista bourbakiano il concetto di gruppo appa
tivo. A questo punto si dispone soltanto del piano ordinario con l'aggiunta di ele re come determinato da una pluralità di confronti, confronti a livello di struttu
enti ideali. si ha il piano proiettivo quando i nuovi enti appaiono come del tutto ra, confronti che conducono alla scelta di quella particolare struttura che è tale
identici ai punti ordinari, quando non c'è piu la retta impropria ma ogni retta a non in sé ma in confronto ad altre strutture ad essa paragonabili. E ovvio che
lo stesso ruolo. Occorre un poderoso sforzo di astrazione per prescindere dar d lie l'affermare che una certa legge di composizione è associativa non significa so
qualità all'apparenza piu concrete di punti e rette e concepirli come definiti dal lamente disporre di una «proprietà» per la legge in questione ma anche, e forse
loro reciproco interagire (un inizio, come si vede, del discorso di Hilbert). principalmente, porre una differenza specifica con altre leggi di composizione
Ancora, perché abbia senso la dualità occorre una distinzione fondamentale : che non sono associative.
se un linguaggio, con una semplice sostituzione terminologica, descrive due real L'approccio categoriale sembra invece proporre aspetti differenti e forse an
tà diverse, è ovvio che lostessolinguaggio (i nomi dei termini sono arbitrari ) può cor piu innovativi per due riguardi: per quanto riguarda il «divenire» e per
descrivere differenti realtà. Si è perciò costretti a distinguere tra il linguaggio e quanto riguarda il concetto di «fondamentale».
ciò che il linguaggio descrive. È un esempio fondamentale del concetto di mo «La dialettica della opposizione struttura /evoluzione, — osserva Manin, — ri

9. Sistematica locale 6gz 643 Strutture matematiche
flette la generale opposizione scientifica essere/divenire. Il successo della teoria
matica. Esso dunque, che appare naturalmente al centro del nostro agire concre
degli insiemi come linguaggio universale della matematica e della concezione del to in quanto matematici, deve avere un pari ruolo come oggetto fondamentale del
le strutture matematiche come realizzazione concreta di questo linguaggio ha
a ri essione teorica. Esprimendosi con una certa semplificazione : fondare signi
segnato uno spostamento di accento sui primi elementi di queste opposizioni. Le ca porrealcentro dellateoria ciò che già è alcentronella pratica matematica.
concezioni relative sempre piu diffuse nei fondamenti, gli assiomi categoriali, Non la ricerca dell'atto piu semplice del nostro pensiero, o delle leggi elementari
ecc. segnano il movimento inverso, quando "divenire" e "incompiuto" sono
e pensiero, o dei primi fatti psicologici legati al pensiero matematico viene giu
considerati primitivi ». icato come fondamentale, ma ciò che l'analisi concreta mostra essere al centro
In molti articoli di questa Enciclopedia si è accennato all'approccio categoria della matematica stessa.
le come recante in sé questo significato di apertura verso il «divenire» e non è il
Si potrebbe naturalmente proporre una lunga lista di obiezioni a questo ap
caso di ripercorrere gli esempi. Vale la pena invece di riflettere sull'importanza proccio (chi giudica cosa è al centro e perché i' cosa vuoi dire «pratica matemati
di un'assunzione teorico-programmatica di questo tipo. Forse è presto per trarre ca»>, ecc.) e molte ne sono state poste. Ma preme piu osservare coine ad esso si
conclusioni significative, ma ad una almeno sembra si possa accedere : accanto
collegano molte questioni di grande rilievo. È ovvio intanto che "uesto c tt
all'approccio categoriale è necessario valutare attentamente la storia della mate i ondazione è dato storicamente. Oggi il concetto di coppia di funtori aggiunti
matica degli ultimi trecento anni. a un ruolo fondamentale, ma per nessuna ragione, se non ponendo dei vincoli
È chiaro infatti che se l'aritmetizzazione dell'analisi e la riduzione della mate soggettivi agli sviluppi futuri, si può giudicare che cosi sarà anche in futuro. Ecco
matica alla teoria degli insiemi appaiono come processi del tutto necessari, se ap che allora la ricerca di ciò che è centrale si lega all'analisi del processo storico
pare necessaria l'introduzione del «rigore» ottocentesco per eliminare ogni ap
come esso concretamente si svolge sino al tempo della ricerca : la storia della ma
pello all'intuizione del continuo, l'approccio categoriale, privato di una legitti
tematica appare come parte del concetto stesso di fondazione (pur essendo, è ov
mità storica, può apparire al piu un utile «complemento» all'approccio insiemi vio, distinguibile una parte «operativa» da una parte storica).
stico, ma non può pretendere a una pari importanza. Se invece le acquisizioni
Inoltre, ed è forse l'aspetto che Lawvere tende a sottolineare maggiormente,
delle quali s'è detto appaiono «storicamente» date e frutto di scelte determinate, questo concetto di fondazione non è una riflessione su ciò che è la matematica ma
ecco che nell'esame di queste scelte è possibile costruire un percorso che mostri
vuole essere elemento essenziale per lo sviluppo della matematica stessa.
come anche l'approccio categoriale può giudicarsi erede di un processo concreto. Ma a giudizio di chi scrive pare importante, anche se certo di minore impor
Ora è significativo a questo riguardo come numerosi articoli recenti (di Law tanza, che in questa prospettiva la storia della matematica non venga ad essere
vere, ma anche di Kock, Reyes, ecc.) mostrino la possibilità di affrontare molti
«accanto» alla matematica, ma organicamente inserita in essa. [M. G.j.
problemi secondo tecniche che, sia pure in contesti molto sofisticati, ripropongo
no certi interventi «diretti» dell'analisi settecentesca, con un uso raffinato degli
« infinitesimi ». Bourbaki, N.
Fin troppo ovvio dunque, che questo debba essere collegato a un esame ac rv4s L' a rchitecture des wurthématiques,in F. Le Lionnais (a cura di), Les grands courantsde
curato delle ragioni per le quali gli infinitesimi, e le nozioni correlate, sono stati la pensée maihématique, Cahiers du Sud, Marseille' nuova ed. Bla h d P ' 6,)
eliminati dall'analisi.
Non si tratta naturalmente di «demolire» o sostituire la matematica classica.
?954 Eléments de mathematique, I. Théorie des ensembles(f«sc. i7), Hermann, Paris.
Browder, F. E.
È ben possibile però (e non mancano esempi nella storia della matematica) che [1974] (a cura di) Mathematical Developments Arisingrom Hilbert Problems. symposium in
l'abbandono di determinati metodi abbia avuto come motivazione precipua la Pure Mathematics, Northern Illinois University, ro z«, American Mathematical SocietyI l
difficoltà d'una loro spiegazione teorica, la quale può ben essere poi possibile
Providence . . r v y6.
Gádel, K.
come frutto di acquisizioni datesi successivamente.
Il secondo aspetto innovativo è invece nel modo stesso di concepire i fonda
rg' r Ube r formale unentscheidbare satzeder Principia Mathematica und verwandter systeme
I, i n «Monatshefte fiir Mathematik und Physik», XXXVII , . -6
menti. Esso è legato alla teoria delle categorie ma, se pure è eccessivo giudicare
gazzi, ntroduzione ai problemi dell'assiomatica Vita e Pensiero M' 1 6i ano xg r, pp.
contingentequesto legame, non ècertolateoria delle categorie aessere realmen
nos-z8).
Grunbaum, A.
te in gioco. iy6y Modem Science and Zeno's Par'adoxes,Wesleyan University Press, Middletown Conn.
Si è osservato che in molti tra i piu vari settori della matematica molte co Halmos, P. R.
struzioni fondamentali appaiono legate a categorie, funtori o trasformazioni na 1957 Nicolas Bourbaki,i n e scientific American» xcvI s . 88) >5iPP -99
turali (cfr. l'articolo + Trasformazioni naturali / categorie+) : facilmente e chiara
Lawvere, F. W.
mente descrivibili in questi termini. In particolare, ha osservato Lawvere, il con
[zg67] categorical Dynamics,in A. Kock (a cura di), Topos-Thcoretic Meihodsin Geometry
and Analysis, Matematisk Institut, Aarhus Universitet, Aarhus zgp8.
cetto di «coppia di funtori aggiunti» sembra il piu difluso nella «pratica» mate r g6g Adj ointness in foundationsin «Dialectica» XXII I, ,
. 8i 3-4> PP» - 9 5

10. Sistematica locale 6~.
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11. 700
Applicazioni
i. No z ione generale ed esempi.
La nozione di applicazione è un modello matematico molto generale di
aspetti vari della realtà e del pensiero. Essa si genera quale forma dell'idea
di una corrispondenza a coppie di oggetti di una classe, o di un insieme, con oggetti di
un'altra classe. Una tale corrispondenza si realizza nella descrizione di processi
che si sviluppano nel tempo, quando ad ogni momento del tempo corrisponde
un certo stato del sistema studiato. Essa viene usata nello studio di operazioni
su degli oggetti: il risultato dell'operazione viene associato all'oggetto sul quale
l'operazione viene eseguita. Essa può servire per descrivere dipendenze di ge
nere diverso nei casi in cui una certa caratteristica di una situazione è com
pletamente definita da un'altra caratteristica. Essa chiarisce l'immagine che si ha
di simmetria, di omogeneità, ecc.; nella simmetria di un ornamento, o di un
cristallo, si tratta di applicazioni dei suoi elementi (dei particolari del rabesco,
degli atomi ), le quali conservano la struttura dell'ornamento, o del reticolo
del cristallo.
Nell'ambito della teoria degli insiemi la nozione di applicazione è seconda
ria rispetto a quella di insieme. Si chiama applicazione, oppure (in un uso
piu restrittivo ) funzione di un insieme X in un insieme Y una corrispondenzaf,la quale ad ogni elemento x di X associa un unico elemento y di Y, spesso in
dicato con f(x). Qui x si chiama argomento dell'applicazionef, mentref(x)
si dice il suo valore sull'argomento (o nel punto) x. L'insieme X si chiama domi
nio di definizione (o semplicemente dominio) di f, mentre l'insieme Y si chiama
dominio dei valori (o codominio) di f. L'applicazionef con il dominio X e il
codominio Y' spesso si scrive cosi :f : X~ Y. Negli impieghi pratici il caso piu
frequente è quello in cui X e Y sono insiemi di numeri; interi, razionali, reali,
oppure complessi, che possono essere considerati quali risultati di possibili mi
surazioni di queste o quelle caratteristiche della realtà. Ma nella matematica
teorica si studiano applicazioni d'insiemi assai piu generici. Se l'insieme X è
finito, l'applicazione f può essere data con una tabella, nella quale accanto ad
ogni possibile valore dell'argomento xe X si scriva il valoref(x). Esempi ben noti
sono le tavole dei logaritmi, delle funzioni trigonometriche e di altre funzioni
speciali. (A rigore, queste tavole dànno non la stessa funzione f, ma solo una
parte dei suoi valori su una parte dei valori dell'argomento e, per di piu, appros
simativamente, a meno di un certo numero di cifre decimali dopo la virgola
).Un altro modo di dare una funzione numerica consiste nell'esibire il suo grafico.
Infineun'applicazione può essere data per mezzo della descrizione dellaproce
dura che, applicata ad ogni elemento xe X del dominio di f e dopo la sua ese
cuzione, fornisce il valore f(x). Hanno questa caratteristica le regole scolastiche
per calcolare la somma, o il prodotto di due numeri dati nella scrittura deci
male, e, in generale, la maggioranza delle «formule» per le funzioni che per

12. Applicazioni 702 7o3 Applicazioni
mettono di calcolare i loro valori. Se la descrizione della procedura per il calcolo
tato da vincoli che individuano solo una parte U di questo spazio. Per esempio
è cosi completa che la sua esecuzione può essere affidata a un dispositivo mec
la posizione di un segmento materiale, del genere di un righello (se si trascu
canico, per esempio a un calcolatore, essa si chiama algoritmo, mentre la corri
rano lasua larghezza e spessore, ma non la lunghezza), è definita dalle coor
spondente applicazione f si dice calcolabile algoritmicamente.
dinate cartesiane dei suoi estremi, diciamo (q„q„ qs) e (qi, q~, qs) ; però esse
Quella che segue è la descrizione particolareggiata di alcuni esempi di ap
non possono esserearbitrarie in R', ma devono essere soggette alla condizione
plicazioni e dei meccanismi della loro realizzazione nel modellare situazioni
di conservare la lunghezza l del righello: (q —q')'+ (q —q')'+ (q —q')'=l
fisiche, umane e sociali.
e questa condizione individua un sottoinsieme Uc:R . Il moto di un tale seg
mento è dato da una applicazione R~ U.
Nella teoria dei mezzi continui, quali i liquidi e i gas, i campi elettrici ed
i.i. Stato di un sistema fisico quale funzione del tempo. altri, lo stato di un sistema in ogni momento del tempo è dato da un insieme
Uno dei processi fisici piu semplici è il moto di un corpo nello spazio. Spesso
di numeri non finito, ma infinito, che è ugualmente comodo considerare quale
si può fare astrazione dalle dimensioni finite del corpo e considerarlo quale
applicazione (cfr. oltre ).
punto materiale, cosi che la sua posizione può essere data dallo spazio da esso
Il tempo è l'argomento universale delle funzioni che descrivono tutti i pos
percorso lungo la sua traiettoria. Si può immaginare il moto di una pietra che
sibili processi fisici, astronomici, geologici, storici, economici, tecnici e di altro
cade, di una automobile, o di un satellite della Terra. Supponiamo che lo spa
genere. Storicamente la comprensione di una tale possibile descrizione dei pro
zio e il tempo siano misurati in prescelte unità di misura e che sia fissato il
cessi ha avuto una enorme importanza nello sviluppo della matematica e delle
momento iniziale del tempo. Allora ad ogni momento del tempo corrisponde
scienze naturali. Probabilmente l'idea fondamentale fu quella secondo la quale
lo spazio percorso r (t). Se si fa astrazione dalla limitatezza del tempo di os
in una tale descrizione si potevano ritenere preassegnati «contemporaneamente»
servazione, si può ritenere chet assuma tutti i valori reali ) o (« futuro»), oppu «staticamente», tutti i momenti del passato e del futuro, benché il passato scom
re persino tutti i valori reali («futuro» e «passato»), e r sarà una funzione
paia continuamente e il futuro appaia sotto forma di un istante fuggevole e non
R(numeri reali =tempo ) ~R(numeri reali = spazio). In un modello piu reali sia mai dato come realtà. Solo questa idea permette di sperare nell'adeguatezza
stico la funzione r è definita solo in un certo intervallo finito; ciò, spesso, va
d llade descrizione diun processo mediante una applicazione R~ U, dove la retta
tenuto presente anche quando si descrivono sistemi a lunga vita, quali il si
dei tempi R intervenga quale oggetto matematico unico. A sua volta, la for
stema solare, o l'universo.
mazione di questa idea si è basata sull'osservazione di processi dotati di una
Una descrizione completa della posizione di un punto materiale è data da tre
netta regolarità e importanti per lo sviluppo dell'economia e della società, quali
coordinate: per esempio, dalle distanze da tre piani fissi perpendicolari tra loro.
il moto delle stelle (orientamento nella navigazione) e gli straripamenti dei grandi
Perciò il moto del punto è completamente descritto dalle variazioni di queste
fiumi (determinazione del tempo delle semine). Le tabelle e i metodi per calco
coordinate quali funzioni del tempo, cioè da una applicazione R (tempo) ~Ra lare il moto delle stelle, le eclissi solari, ecc., che risalgono all'epoca in cui ebbe
(spazio), dove Ra è l'insieme delle terne ordinate di numeri reali, cioè il pro
origine la civiltà, sono l'incarnazione di questa idea.
dotto cartesiano R x R x R.
L'efficacia del considerare l'insieme dei momenti del tempo come un tutto
Piu in generale, sia S un certo sistema fisico, il cui stato, in ogni momento
unico ha predisposto all'accettazione del punto di vista generale teorico-insiemi
del tempo, siadato da certe «coordinate generalizzate» reali,q,,..., q,„. Per stico, dove di solito il dominio X di un'applicazione modella l'insieme delle «di
esempio, seS è ilsistema solare,q„..., q„possono essere le coordinate (nel si verse possibilità», una parte o la maggioranza delle quali non si realizza mai
stema connesso con il Sole) di tutti i pianeti che, in una prima approssimazio
ne sistema dato. In questioni di contabilità, o in calcoli tecnologici probabili 1
ne, possono essere considerati quali punti materiali. In questo caso l'evolu
mente non s incontreranno mai numeri maggiori, diciamo, di io ; tuttavia,
zione del sistema è data da una applicazione R(tempo) ~R" (spazio delle coor
l' la goritmo per la somma è formulato, e a buon diritto, per tutti i numeri in
dinate generalizzate, o spazio configurazionale del sistema), cioè da un insieme
teri: solo cosi l'aritmetica diventa effettivamente utile e comoda nell'uso.
di n funzioni, q,(t), ..., q,(t), Un altro esempio è dato dal gas in un cilindro
Le idee connesse con lo sviluppo dei processi nel tempo furono alla base di
con stantuffo; per esempio, dal vapore in un cilindro di una macchina a va
molte nozioni matematiche piu specifiche. Per esempio, il problema di calco
pore. Il suo stato, in ogni momento, è definito da tre numeri, V, p, T (volume, lare la velocità istantanea e l'accelerazione di un punto materiale in un moto
pressione e temperatura), mentre le funzioni U(t), p(t), T (t), che descrivono arbitrario fu risolto da Newton con l'invenzione del calcolo differenziale. Fra gli
la dipendenza di queste caratteristiche dal tempo, contengono l'informazion<
esempi che si sono avuti piu tardi vi è il cosiddetto «problema di Cauchy» per
fondamentale sul lavoro di una tale «macchina termica». L'insieme di tutti i
diverse classi di equazioni differenziali, dove la premessa è l'idea secondo la
valori ammissibili delle coordinate generalizzate, qi, ..., q„, non coincide ne quale è possibile predire univocamente l'evoluzione di un sistema, se ne sono
cessariamente con tutto lo spazio R~: il moto di un sistema può essere limi
noti lo stato e la velocità della sua variazione al momento iniziale del tempo.

13. Applicazioni 704
7o5 Applicazioni
Ancora, l'immagine fisica del moto di un punto materiale lungo una deter di campo vettoriale: al punto è associato un vettore, la risultante di tutte le
minata linea — la sua traiettoria — è strettamente legata alla nascita della geome forze di attrazione gravitazionale in quel punto. Il flusso di un liquido in ogni
tria analitica nelle opere di Descartes [r 637]. Questi iniziò lo studio sistematico momento del tempo pure è descritto da un campo vettoriale, il campo delle ve
dei grafici delle funzioni numeriche f, quali sottoinsiemi del piano R x R, costi locità del flusso. Lo stato istantaneo di un campo elettromagnetico nella teoria
tuiti da tutti i possibili punti con le coordinate (x, f(x)) e, piu in generale, dei classica è descritto da due campi vettoriali nel dominio D: il campo delle tensioni
grafici delle dipendenze funzionali «implicite» del tipo f(x, y) = o, del genere dell'interazione elettrica e il campo delle tensioni dell'interazione magnetica.
dell'equazione della circonferenza x +y' — r = o. Lo sviluppo di questa idea I valori del campo in un punto possono avere una natura ancora piu complessa ;
in senso concettuale ha condotto all'attuale identificazione di una funzione quella di tensori di dimensioni e di varianza diverse (tensore delle tensioni
f : X~ Y con il suo grafico nel prodotto cartesiano XX P', quale sottoinsieme nella teoria dell'elasticità; tensore energia-impulso). Per la descrizione dei campi,
di tipo determinato. Questa espressione della nozione di funzione nel linguag quali applicazioni, esiste un apparato matematico speciale : la teoria delle varietà
gio della teoria degli insiemi sarà esaminata nei particolari piu oltre. di8erenziabili e i fibrati su esse. Al dominio D corrisponde, per esempio, il
Per concludere, è da notare ancora un altro aspetto importante della de suo 6brato tangente TD, costituito dai vettori tangenti in tutti i possibili punti
scrizione matematica dei processi evolutivi direttamente legato alla possibilità di D; l'applicazione strutturale p : TD~D associa ad ogni vettore tangente la
di considerare la retta dei tempi come un oggetto unico. Le leggi dell'evolu sua origine; il campo vettoriale corrisponde all'applicazione sezione s : D~ TD
zione si possono dividere grosso modo in due classi : locali e globali. Un esempio con la proprietà p (s(x))= x per ogni xeD.
di legge locale dell'evoluzione è la regola di Newton che descrive il moto di La nozione di campo descrive bene un sistema 6sico in quei domini dove
un punto materiale sotto l'azione di una forza: in ogni momento del tempo non vi sono sorgenti di liquido, o di calore, accumulo di materia gravitante, ca
l'accelerazione del punto è proporzionale alla forza che su esso agisce. Suddivi riche elettriche, ecc, Questi eÃetti corrispondono a singolarità del campo nel
dendo l'intervallo di tempo durante il quale si segue il moto del punto in tante senso generale della parola: rottura della continuità, valori infinitamente grandi
piccole parti, è possibile calcolare approssimativamente questo moto, rite del campo, salti d'ogni genere e cosi via. Lo studio delle singolarità, della loro
nendo che la velocità resti costante in ognuna di queste parti, e sia quindi ac evoluzione nel tempo, della loro stabilità, ecc., fa parte dei problemi piu impor
cresciuta a salti della quantità prescritta dalla legge di Newton. Il passaggio al tanti relativi alla maggior parte dei modelli matematici dei processi continui.
limite conseguente al rimpicciolimento in6nito della suddivisione significa in La corrispondenza «campo-singolarità» è un esempio tipico del dualismo ge
tegrare questa legge locale del moto. Piu tardi si notò che il moto nel suo in nerale «continuo-discreto».
sieme può essere descritto globalmente mediante il cosiddetto principio varia Nella moderna teoria quantistica del campo si considerano campi di strut
zionale: il moto di un punto viene de6nito minimizzando sulla sua traiettoria tura ancora piu complessa. Nella meccanica quantistica classica ad ogni gran
una certa grandezza fisica che si chiama azione. Questo principio presuppone dezza 6sica (coordinata, impulso, energia, ecc.) viene associato un certo opera
la definizione preliminare di azione quale funzione su tutte le possibili traiet tore lineare (cfr. $ r.5). Corrispondentemente il posto dei campi classici delle
torie, persino quelle fisicamente irrealizzabili. Negli ultimi decenni questo prin grandezze viene occupato dai campi di operatori. Questi oggetti matematici
cipio ha avuto un profondo sviluppo nella trattazione della meccanica quanti sono molto complessi e non esiste ancora una loro teoria conseguente, che am
stica secondo Feynman, dove l'indefinibilità della traiettoria di una micropar metta un confronto diretto con la realtà 6sica. Una delle difficoltà è connessa
ticella permette di attribuire un certo significato all'idea che la particella com con le singolarità del campo che si hanno nelle sue origini, per esempio, negli
pia il moto «simultaneamente lungo tutte le traiettorie».' elettroni per la teoria del campo elettromagnetico. È, questo, il cosiddetto pro
blema delle divergenze della teoria del campo, che i fisici risolvono elaborando
r.z. Campi. metodi di rinormalizzazione. Questi metodi forniscono un esempio notevole
di frammenti di matematica efficaci, benché, a rigore, siano internamente con
I sistemi e i processi fisici quali il flusso di un liquido o di un gas, la traddittori.
distribuzione del pulviscolo di materia infrastellare, la propagazione del calore,
gli eRetti elettromagnetici e gravitazionali e molti altri sono descritti in termini
di evoluzione dei campi, Il tipo piu semplice di campo — campo scalare in un
r.p. Traduzione ecodificazione,
dominio D dello spazio fisico — è modellato matematicamente da una appli L'uso da parte dell'uomo di lingue naturali diverse, quale mezzo fonda
cazione dellaforma D~R, oppure D~C: ad ogni punto diD è associato un mentale percomunicare, registrare e conservare ilsapere, conduce alla neces
numero reale, o complesso. Questo numero può corrispondere alla densità me sità di realizzare la traduzione dei testi da una lingua all'altra conservandone il
dia della materia in un piccolo dominio attorno al dato punto, alla temperatura significato. Modellare una traduzione con la nozione di applicazione non sa
nel dato punto, ecc. Il campo gravitazionale nella fisica classica è un esempio rebbe completamente adeguato per due motivi. Primo, lo stesso insieme dei

14. Applicazioni 7o6 7o7 Applicazioni
testi che hanno significato nella lingua non è nettamente definito. Secondo, la mediante questo o quel canale di comunicazione (codice Morse, codice ma
traduzione notoriamente non è univoca persino al livello di singole parole: si rinaresco con le bandiere, codificazione dei risultati di misurazioni mediante
veda un qualsiasi vocabolario bilingue. Assai meglio la nozione di applicazione successioni di impulsi in canali di comunicazione tecnici, ecc.). Qui l'univocità
è applicabile alle traduzioni da un linguaggio artificiale ad un altro. I linguaggi delle procedure di codificazione e di decodificazione, che permetta di conside
artificiali di programmazione, quali il Fortran, l'Algol e molti altri, furono ela rarleapplicazioni,è solitamente posta a fondamento della stessa struttura del
borati quali mezzi di comunicazione fra l'uomo e i calcolatori. La loro struttura codice. Possono far eccezione i cifrari con scelte casuali onde aumentare la segre
è approssimativamente uguale a quella di frammenti del gergo matematico tezza; però, anche in questo caso, la decodificazione è solitamente univoca; al
umano, ciò che facilita il loro uso da parte dei programmatori, ma rende i testi trimenti le scelte casuali potrebbero alterare l'informazione trasmessa. Il modo
in questo linguaggio inaccettabili per la macchina calcolatrice. Il linguaggio in di ottenere una buona cifratura consiste nell'eliminare al massimo le regolarità
terno diuna talemacchina, al contrario, è oltremodo frazionato e lontano dalla e conformità presenti nel testo iniziale (frequenza di simboli, ripetizione di
facoltàmentale umana standard perché possa essere efficacemente usato nella gruppi di simboli, ecc.). Lo studio dei problemi che in tal modo si presen
compilazione di un programma appena complesso. Perciò un programma scritto tano è stato intrapreso e portato molto avanti, in particolare dal noto matematico
dall'uomo, diciamo in Algol, dev' essere tradotto in un programma in codici di e ingegnere americano Shannon [ ig48].
macchina. Anche questo processo di traduzione è di solito affidato alla mac Lo studio e la progettazione di apparecchiature elettroniche per la elabo
china calcolatrice, la quale lo attua usando un programma-codificatore scritto razione delle informazioni (amplificatori, contatori, calcolatori...) ha condotto
una volta per tutte. È comodo considerare la traduzione di un programma in alla famosa immagine della «scatola nera». Si chiama cosi un oggetto avente un
Algol in un programma in codici di macchina quale calcolo di un'applicazione « ingresso» e un'«uscita» e tale che all'osservazione si prestano i segnali in uscita
codificazione definita sull'insieme di tutti i possibili programmi in Algol rego dovuti ai diversi segnali in ingresso, ma non la struttura interna di questo
larmente compilati, Poiché la traduzione è affidata a un calcolatore, essa è una oggetto che attua l'elaborazione dei segnali. Pertanto una «scatola nera» realizza
applicazione algoritmicamente calcolabile (cfr, sopra). una certa applicazione (insieme dei segnali in ingresso} ~ (insieme dei segnali
Negli ultimi anni idee analoghe sono andate diffondendosi piu largamente in uscita}, ma non è noto come essa la realizza. Tale è la situazione anche nello
sia in connessione con la teoria e la pratica della traduzione automatica delle studio iniziale di progettazione di queste apparecchiature. Ciò fu di grande
lingue naturali, sia in forza di esigenze interne della linguistica. In particolare stimolo per far penetrare uno stile «funzionale» nella mentalità della pratica
si sta elaborando un linguaggio-mediatore semantico universale fra tutte le lin ingegneristica. Dopo la seconda guerra mondiale, con la comparsa della ci
gue naturali. Un tale linguaggio deve servire per la registrazione diretta dei bernetica, queste idee furono estese ai modelli fisiologici, dove sovente solo l'ap
«significati» dei testi naturali, indipendentemente dalle loro specifiche espres plicazione stessa si presta a uno studio sperimentale, mentre i meccanismi della
sioni nelle diverse lingue naturali e dai vari modi sinonimici di una tale espres sua realizzazione sono oggetto di una ricostruzione a partire da essa e, ove sia
sione in ogni singola lingua. Perciò una delle prime esigenze per questo lin possibile, da dati complementari indiretti. Per esempio, nelle indagini elettro
guaggio-mediatore consiste nel fatto che la traduzione di ogni testo naturale encefalografiche si sottopone chi è oggetto della sperimentazione a questa o
(come prima, di una loro classe finita) dev' essere univoca, cioè dev' essere ben quella situazione ; cosi, gli si presentano degli stimoli visivi di questo o quel tipo,
modellata da una conveniente applicazione. La comprensione di questa esigenza che costituiscono i segnali d'«ingresso». Si osservano cosi dei potenziali, rile
ha già condotto a individuare nuove e interessanti categorie linguistiche; per vati con elettrodi sul cranio, oppure introdotti nel cervello. Questi potenziali sono
esempio, le parole-operatori, le cui funzioni consistono nel far variare in modo considerati quali segnali d'«uscita», e il cervello quale scatola nera. In termini
«unidirezionale» il significato delle parole da esse dipendenti. Per esempio, le analoghi si può descrivere la maggioranza degli esperimenti tipo «stimolo-ri
parole 'buono', 'forte', 'molto', 'velocemente', ecc., sono realizzazioni di uno sposta». Una stabilità del carattere della reazione agli stimoli di un dato tipo
stesso operatore; 'segno di intensificazione', che nel linguaggio-mediatore può interviene quale proprietà fondamentale dell'applicazione nel corrispondente
essere una unità espressiva. modello matematico.
Un'altra esigenza consiste nel fatto che la traduzione nel linguaggio-media L'idea della «scatola nera» corrisponde alla separazione generale in mate
tore di un testo naturale dev' essere un'applicazione algoritmicamente calcolabile, matica fra la nozione di applicazione e la nozione che esprime il modo di rea
cosi come la traduzione dall'Algol in codici di macchina, o, quanto meno, pros lizzarla: calcolo, tabella, formula, algoritmo (cfr.sopra). Questa separazione
sima a questo ideale. non è stata subito individuata e regolarizzata. Essa è strettamente legata alla
Ancor prima sono sorti modelli matematici di traduzione nella teoria della formazione delle idee teoretico-insiemistiche ed è tuttora oggetto di discus
codificazione. Questa teoria risale a due fonti: alla cifratura di messaggi nella sioni semifilosofiche, nonché all'origine dei problemi riguardanti la possibilità
lingua naturale per ottenerne la segretezza (in questioni militari, nella corrispon di rappresentare le diverse classi di funzioni con questo o quel mezzo. Piu oltre
denza diplomatica) e alla codificazione di messaggi per essere poi trasmessi si analizzeranno nei particolari tali questioni ; per il momento importa descrivere

15. Applicazioni 7o8 7o9 Applicazioni
un arco di nozioni importanti legate alle applicazioni calcolabili algoritmica sono scelti da un elenco fissato una volta per tutte. La cosiddetta tesi di
mente. Church afferma che tutte le applicazioni algoritmicamente calcolabili sono fun
zioni ricorrenti.
r.4. Algoritmi e calcolabilità. I grandi e moderni calcolatori elettronici digitali, se non si considerano i li
miti materiali sul tempo di calcolo e sul volume della memoria, sono in grado
Si sono già ricordati gli esempi piu noti di algoritmo : le regole per calcolare di calcolare ogni funzione ricorrente e quindi, d' accordo con la tesi di Church,
in scrittura decimale la somma e il prodotto di due numeri interi dati, pure in realizzano tecnicamente ogni algoritmo per l'elaborazione di testi. In questo
scrittura decimale. Che queste regole abbiano un carattere del tutto meccanico senso i grossi calcolatori sono universali.
è dimostrato dal fatto che esistono da molto tempo dispositivi meccanici (o elet
tronici ) per eseguire questi calcoli: le macchine calcolatrici. Un altro esempio
x.5. Misura in meccanica quantistica.
già ricordato è il programma-codi6catore che realizza un certo algoritmo per l'e
laborazione dei testi in un linguaggio di programmazione in testi nel linguaggio La misura di una caratteristica di un sistema fisico, quale la posizione, o la
dei codici di macchina. velocità di un punto materiale, la pressione di un gas, la luminosità di una
Piu in generale, supponiamo di avere un insieme (potenzialmente in6nito ) sorgente luminosa, ecc., appartiene al numero di operazioni fondamentali che
di dati; per esempio, di testi, cioè successioni finite di segni di un prefissato al stabiliscono il legame fra la teoria e la realtà. Nella fisica classica si presuppone,
fabeto finito. Potrebbero essere le scritture decimali, o binarie dei numeri interi per principio, che una misura può essere eseguita in modo tale da alterare poco
(negli alfabeti rispettivamente (o, x, ..., 9) e (o, i )), oppure i programmi in quanto si vuole lo stato del sistema e che, per ogni procedura di misurazione,
Algol, ecc. Un algoritmo èun insieme di regole per l'elaborazione di tali testi in te possono essere elaborati metodi che garantiscono una piccolezza arbitraria di
sti nello stesso, o in un altro, alfabeto. Un algoritmo dev' essere dato mediante un questo disturbo. A lungo questo principio è stato considerato fondamentale per
numero finito di procedure del tipo seguente: a) devono essere descritti i pas conclusioni gnoseologiche, quali quella dell'esistenza obiettiva delle proprietà
saggi elementari dell'elaborazione dei testi; b) devono essere indicate le regole studiate di un sistema.
che in modo univoco definiscono la successione delle scelte dei passaggi ele Tuttavia, nello studio del micromondo il postulato sulla possibilità di tali
mentari in dipendenza del testo iniziale e, possibilmente, del carattere di tutti misure è risultato del tutto infondato. È sostanzialmente impossibile chiarire
i passaggi già compiutial momento attuale; c ) devono essere indicati i criteri questo punto rimanendo nell'ambito delle idee della 6sica classica, Il fatto è che,
per la 6ne della procedura dell'algoritmo. Se, dopo l'esecuzione di un numero per una descrizione adeguata dei microprocessi, bisogna ricorrere ad un nuovo
6nito di passaggi, l'algoritmo finisce, si dice ch' esso èapplicabile al testo iniziale linguaggio e, soprattutto, a una sua nuova interpretazione, diversa per prin
e che lo elabora nel testo ottenuto dopo il passaggiofinale. cipio. Questo linguaggio è fortemente matematicizzato ; volendo può essere con
Secondo il significato di queste definizioni l'algoritmo per la somma di due siderato come un frammento di una parte speciale della matematica (l'analisi
numeri decimali è applicabile ad ogni coppia di tali numeri. L'algoritmo per funzionale). Peraltro, sono noti diversi argomenti intuitivi a favore della rinuncia
calcolare la radice quadrata di un numero decimale positivo a è applicabile al postulato classico sulla misura. Si consideri, per esempio, il problema di una
ad a = < e ad a = o,6zg, ma non èapplicabilead a= z. Esso diventa applicabile misura esatta della posizione e della velocità di un elettrone nel vuoto, immagi
a tutti i numeri decimali positivi se viene convertito nell'algoritmo per il calcolo nandolo classicamente come un punto materiale. Per misurare le coordinate
approssimato, cornpletandolo con una regola finale; diciamo: «arrestarsi dopo dell'elettrone bisogna «illuminarlo» e misurare l'irradiazione da esso riflessa.
aver calcolato la sedicesima cifra decimale dopo la virgola». Qui l'esattezza della misura è limitata dalla lunghezza dell'onda luminosa. Per
Nella logica matematica è stata compiuta un'indagine esauriente della classe aumentarla bisogna diminuire la lunghezza di quest'onda. Però, l'«illuminazio
delle applicazioni assegnabili mediante algoritmo. L'inconveniente tecnico, le ne» dell'elettrone consiste nel fatto che su esso si dissipa un fotone (un quanto
gato al fatto che l'insieme sul quale è dato l'algoritmo non è univocamente de di luce), la cui energia cresce al decrescere della lunghezza d'onda. Perciò nella
finito, può essere superato mediante un metodo tecnico tipo numerazionedi dissipazione una parte dell'energia del fotone, trasmessa all'elettrone in modo
Godei dei testi su un alfabeto finito. Ciò permette di ricondurre lo studio di imprevedibile, può diventare arbitrariamente grande, ciò che imprevedibilmente
ogni applicazione calcolabile algoritmicamente allo studio di applicazioni date altera la velocità (l'impulso) dell'elettrone.
su un sottoinsierne di numeri naturali e a valori nello stesso insieme di numeri Lasciando questi argomenti intuitivi si passi ora a una piu esatta chiarifi
naturali. cazione del modello matematico del processo di misurazione nella fisica quan
In quest'ordine d'idee il risultato fondamentale consiste nel fatto che è stata tistica a partire dallo stesso esempio dell'elettrone nel vuoto (lo schema è sem
individuata la classe delle funzioni (parzialmente) ricorrenti. Ogni concreta fun plificato: non si tiene conto dello spin dell'elettrone e si ammette ch' esso si
zione ricorrente si calcola mediante una procedura i cui passaggi elementari muova con una velocità trascurabile rispetto alla velocità della luce). Lo stato

16. Applicazioni 7IQ 7I I Applicazioni
istantaneo dell'elettrone è descritto, invece che dalla coppia (coordinata, velocità) u;(x,, ..., x<) ) u;(x',, ..., xt'). Si presuppone che due consumatori possano scam
della fisica classica, dalla cosiddetta $-funzione,che è una funzione a valoricom biarsi una parte delle loro merci se, con questo, entrambe le funzioni di utilità
plessi, definita nei punti dello spazio fisico R' (o in un dominio dove può es crescono. In condizioni analoghe sono possibili anche scambi multipli.
sere localizzato l'elettrone). Il quadrato del modulo di questa funzione in un Lo stato completo del modello è descritto da un punto di P", prodotto car
punto, moltiplicato per il volume di una piccola sfera con il centro in questo tesiano m-multiplo del dominio P per se stesso, e questo punto è l'insieme de
punto, fornisce la probabilità di rinvenire l'elettrone in detta sfera. Finché non gli assortimenti di merci di ognuno degli m consumatori. Uno stato si dice
si effettua un esperimento reale per localizzare l'elettrone, la sua $-funzione ottimale secondo Pareto se non vi è un altro stato nel quale tutte le funzioni
varia nel tempo secondo la legge di evoluzione che solitamente viene descritta di utilità non diminuiscono e almeno una cresce. L'idea consiste in questo:
mediante l'equazione differenziale di Schrodinger. Se si vuole, si può immagi se lo stato del sistema non è ottimale secondo Pareto, può avvenire uno scambio
nare che, invece del moto dell'elettrone, abbia luogo un moto dell'informazione vantaggioso. L'esistenza dello stato ottimale garantisce, per principio, la possi
su esso, espresso dalla $-funzione.Supponiamo che orasifaccia un esperimento bilità di raggiungere una situazione economica stabile.
per misurare le coordinate dell'elettrone. Secondo le idee ortodosse della mec
canica quantistica, al momento della misura, la g-funzione dell'elettrone varia i.7. Dipendenza.
di un salto: se esso è stato rinvenuto in un piccolo dominio dello spazio, la
sua nuova $-funzione sarà concentrata approssimativamente in questo dominio. I parametri che caratterizzano un sistema fisico, economico, o di altro ge
Piu in generale, nel modello matematico della misura, ad ogni grandezza fisica nere, possono non essere indipendenti; i valori di alcuni di essi possono porre
(coordinata, energia, impulso, ecc.)è associato un operatore lineare, che è una delle limitazioni ai valori degli altri. Se queste limitazioni sono talmente forti
applicazione dello spazio di tutte le possibili g-funzioni in se stesso. La sua li che il valore di uno di questi parametri è completamente definito dal valore degli
nearità significa che, alla somma di due g-funzioni, esso associa la somma delle altri, si ha una dipendenza funzionale. Il numero di esempi è enorme; moltis
loro immagini, mentre al prodotto di una $-funzione perun numero associa il sime leggi fisiche, particolarmente di «livello inferiore», sono formulazioni di
prodotto della sua immagine per lo stesso numero. Le predizioni probabilistiche tali dipendenze funzionali. Si è già ricordato che la temperatura T di un gas,
circa i risultati della misura sono effettuate sulla base di speciali manipolazioni per esempio, in un cilindro con uno stantuffo, può essere calcolata a partire dal
dell'algebra lineare applicate all'operatore di misura e alla $-funzione dell'elet suo volume V e dalla pressione p usando la formula T= c ost pV. L'energia
trone al momento della misura. Questo operatore lineare è appunto il modello cinetica E di un punto materiale con massa m, che si muova con velocità v, è
matematico fondamentale della misura. uguale a (mv')/z. Se sulla superficie di un corpo rigido viene mantenuta co
stante la distribuzione della temperatura, in ogni punto concreto di questo
r.6. Funzioni di utilità in economia. corpo si stabilisce una temperatura che dipende solo da questa distribuzione.
Sono queste le fonti dell'insieme di funzioni, o applicazioni, che appaiono nei
In una serie di modelli matematici s'introducono oggetti, grandezze e appli modelli matematici.
cazioni, la cui diretta osservazione è difficoltosa o, in generale, impossibile e, cio
nonostante, tali da condurre a una teoria che concorda con la realtà e la descrive
bene. Le $-funzioni, viste nel punto precedente, sono probabilmente l'esempio Applicazione quale oggetto teorico-insiemistieo.
piu chiaro. Convincono meno oggetti analoghi in modelli economici e sociali.
Tuttavia, in virtu della loro notevole diffusione, si descriverà uno degli esempi Come si è già ricordato, nell'ambito della teoria degli insiemi la nozione di
piu semplici. applicazione non è primaria; essa si forma a partire da due nozioni fondamen
Esso si riferisce al cosiddetto modello di puro scambio. In questo modello tali : «insieme» e «essere elemento». Il prodotto X x Y consiste di tutte le cop
si parte dall'idea di un insieme di merci di I tipi diversi e di un insieme di m pie ordinate (x, y), dove xeX e ye Y. Nella teoria degli insiemi si chiamaap
consumatori {C„ ..., C ). Se un dato consumatore ha x; unità di merce del plicazione dell'insieme X in V un sottoinsiemef ~X x I' tale che per ognixe
tipo i, il suo assortimento di merci è descritto dal punto (xi , xt )ER'. Dal esiste un unico elementoyeV con la proprietà (x,y) ef.
significato del modello segue che x;>o; inoltre il volume di merce per ogni Sul carattere degli insiemi X, Y e del sottoinsiemef ~ X x I' nella definizione
tipo può ritenersi limitato, cosi che il vettore (x,, ..., x<) giace solamente in non si pone alcuna limitazione a priori. In particolare X e V non sono neces
un certo dominio P dell'ottante di dimensionel. Si presuppone che ogni sariamente insiemi numerici; possono essere, a loro volta, insiemi di applica
consumatore C; sia caratterizzato da una certa funzione di utilità u; : P~R, a zioni, o di proprietà, oppure di queste, o di altre strutture matematiche, ecc.
valori reali. Il significato di questa funzione consiste nel fatto che C, prefe Il sottoinsieme f può esseredato con una «formula», oppure descrittomediante
risce l'assortimento di merci (x,, ..., x>) a quello (x i, ..., xJ) se, e solo se, espressioni in un determinato linguaggio, ma ciò non è obbligatorio.

17. Applicazioni 7I2 7I3 Applicazioni
Tuttavia, la nozione di applicazione è cosf fondamentale, che una tale ri mero di valori diversi che assumef coincide con il numero di elementi di X e,
duzione delle applicazioni agli insiemi spesso non viene attuata esplicitamente. perciò, per ogni ycY si deve trovare un xe t ale chef(x) =y. È questo uno
In questo caso un'applicazione f viene considerata come un oggetto a sé, indi dei principi fondamentali della matematica combinatoria che studia gli insiemi
pendente; al posto della notazione (x, y)ef si usa la notazione y
= f(x), o una finiti.
delle sue varianti (y = fx, y = xI, ecc.) ; l'insieme delle coppie (x, y)cf tali che Si chiama immagine dell'applicazione f : X~ Y il s ottoinsiemef(X) co
y
= f(x) prende il nome speciale di grafico dell'applicazionef e può essere in stituito da quegli ye Y per i quali esiste xeX con la proprietà f (x) =y. Si chiama
dicato con l'>, ecc. controimmagine di un sottoinsieme Z c Y, e s'indica conf — '(Z), il sottoinsieme
Siano X, Y, Z tre insiemi e f : X~ Y, g : Y~Z siano applicazioni tra loro. in X (x~ f(x)eZ}. Un'applicazione f : X~ Y è surgettiva se l'immagine dif
A partire da esse si può costruire una terza applicazione detta composizione coincide con Y; è iniettiva se le controimmagini dei sottoinsiemi di Y con un
di f e g, gf : X~ Z , definita dalla formula gf(x) =g (f(x)) per ogni xeX. La solo elemento sono sottoinsiemi con un solo elemento, o vuoti, di X. In una
composizione di applicazioni è associativa: h(gf) = (hg)f, quando tutti i ter proiezione p del piano cartesiano R x R su uno degli assi coordinati, come
mini di questa uguaglianza sono definiti. Questa circostanza definisce in mi p(x, y) = x, la controimmagine di ogni punto x è tutta una retta. In cartografia,
sura notevole il ruolo della proprietà associativa di diverse leggi di composizione per rappresentare il rilievo della superficie terrestre sul piano della carta, si
in algebra. Ogni insieme X è dotato dell'applicazione canonica in se stesso iden usano le linee di livello: queste linee sono le controimmagini dei diversi va
tità : id+ . 'X ~ X, id+ (x) = x per ognixe X. Ogni applicazione composta con essa lori della funzione h : (regione terrena rappresentata) ~ (numeri reali ) che dà
non cambia. per ogni f : X~ Y si ha f o id< — idi, of = f. l'altezza del punto dato sul livello del mare. Per analogia spesso si parla d'in
Nel linguaggio dell'analisi classica la composizione delle applicazioni si rea siemi di livello di una data funzione, intendendo con ciò le controimmagini
lizza spesso sostituendo all'argomento di una funzione i valori di un'altra fun f '( y) per i diversi yeY,
zione. Per esempio, f(x) = senlogx è l a c omposizione delleapplicazioni Ogni applicazione f : X~ Y induce su X una relazione di equivalenza bi
log : (numeri reali positivi) ~R e sen : R~R, La composizione è uno stru naria EIcXx X, che consiste di tutte quelle coppie ordinate (x„x , ) e X x X
mento importante per costruire funzioni sempre piu complesse a partire dalle per le quali f(x,) = f(x~). Essa soddisfa i tre assiomi generali della relazio
funzioni piu semplici. È in questo modo, per esempio, che si costruisce la ne di equivalenza: (x, x)eE< per ogni x (riflessività) ; se (x„x z )cE>, anche
classe delle funzioni elementari a partire dalle funzioni somma, prodotto, quo (x„ x , ) cE> (simmetricità); se (x„x ~ )sE< e (x„x s )e E>, anche (x,, x,)eE>
ziente, esponenziale, radice, logaritmo e dalle funzioni trigonometriche, ite (transitività). S'indica con X/E< l'insieme i cui elementi sono le classi di equi
rando la composizione in modi diversi. Esse sono molto importanti nelle ap valenza di X rispetto a E<, cioè i sottoinsiemi massimali di X costituiti dagli
plicazioni. Questa classe è sufficientemente estesa e comprende molte funzioni elementi equivalenti tra loro. È definita l'applicazione s< .X~X /E>, dove
che con un buon grado diprecisione modellano dipendenze e processinaturali s<(x)= classe di equivalenza contenente x, e cosi pure l'applicazione i> . X /E<~ Y,
e tecnologici. Come si è già ricordato, anche le funzioni calcolabili si ottengono dove i<(classe di x) = f(x)c Y. L'applicazione s> è surgettiva, mentre i< è iniet
per composizione a partire da un certo numero di semplici funzioni calcolabili (e tiva; per ogni applicazione f si ha sempre la scomposizionef = i>sf nella com
con l'ulteriore processo speciale di ricorrenza). Nei calcoli automatici la compo posizione di un'applicazione surgettiva e una iniettiva.
sizioneè spesso realizzata permezzo disottoprogrammi : per calcolare lafun Le applicazioni canoniche sono legate a diverse costruzioni teorico-insiemi
zione gof uno speciale sottoprogramma calcola i valori di f e questi sono poi stiche. Per esempio, il prodotto cartesiano Xx Y è applicato surgettivamente
dati in ingresso al sottoprogramma che calcola g. sui suoi fattori mediante le proiezioni p> ' .Xx Y~ X e pi . X x Y ~ Y, dove
Una applicazionef : X~ Y si dice monomorfa, o iniettiva, se, per tutti gli p~(x, y) = x e pr(x, y) =y. Sia ora Z un insieme qualsiasi e consideriamo le
xi xg da x, / x~ segue che f (x,) /f (x,) ; epimorfa, o surgettiva, se per ogni due applicazioni fr . Z~X e fi '. Z~ Y. Esiste allora un'unica applicazione
ye Y esiste xeX tale che f(x) =y; biettiva se è contemporaneamente iniettiva f : Z~Xx Y p erla quale fx=p> f e fv —pi f. È, questo, un esempio tipico
e surgettiva. della unitiersalità della costruzione (Xx Y; pz, p i ) ; si vedano gli esempi suc
Per esempio, l'applicazione f : R~R, f( x) = x~, non è iniettiva poiché cessivi.
f( —x) = f(x) per tutti gli x. Essa non è neppure surgettiva poiché per y(o non Nella matematica classica si usano spesso delle generalizzazioni della no
esiste x tale che xa=y. Restringendo i valori dell'argomento e della funzione ai zione di applicazione; si tratta delle cosiddette applicazioni parziali e di quelle
soli numeri non negativi, essa diventa biettiva. Considerandola sui numeri a piu valori.
complessi C l'applicazione f(x) = x~ diventa surgettiva, ma non iniettiva. Se X Un'applicazione parziale dell'insieme X nell'insieme Y' è un'applicazione
è un insieme finito, l'applicazione f : X~X p uò essere iniettiva solo se è sur f : D~ Y, doveD cX è un certo sottoinsieme di X non necessariamente coin
gettiva e viceversa. Infatti qui ha senso parlare del numero dei diversi valori cidentecon tutto X. Per esempio, lafunzione f(x) = i /x da R in R non è defi
dell'argoinento e della funzione e, per esempio, l'iniettività significa che il nu nita, con questa formula, nel puntò x =o e, pertanto, è solo un'applicazione
z6

18. Applicazioni 7r4 7'5 Applicazioni
parziale di R in R. Se f è un'applicazione parziale di X in Y, definita sul sot Prima di tutto, la nozione di applicazione permette di formulare nel linguag
toinsieme Dc:X, si dice spesso chef ha delle singolarità nel complemento gio della teoria degli insiemi la definizione esatta d'insieme finito. Un insieme
X/D. Questa terminologia si assume solitamente quando X /D è piccolo X si dice finito (secondo Dedekind) se ogni sua applicazione iniettiva in se stesso
rispetto a D, per esempio quando consiste di un numero finito di punti in un è contemporaneamente surgettiva. Intuitivamente il senso di questa definizione
dominio numerico, e quando nelle approssimazioni xe D ai punti di X / D è già stato chiarito: se un'applicazione f non incolla degli elementi, cioè, se la
si rivelano delle irregolarità nel comportamento della funzione. In generale la relazione di equivalenza E< è l'identità, l'immagine f(X) deve contenere tanti
nozione di singolarità di una funzione, o applicazione, usata per le diverse elementi quanti ne contiene X e perciò non può essere strettamente minore di
classi di funzioni, si concretizza in modi diversi e non è necessariamente legata X. Questo ragionamento perde significato per insiemi infiniti X (che cosa si
all'indeterminatezza della funzione nelle sue singolarità. Esempi tipici di sin gnifica «tanti elementi quanti»?) e, infatti, l'applicazione f : Z~Z, f(x) = zx,
golarità nei modelli matematici sono forniti dai momenti del tempo nei quali un dell'insieme dei numeri interi in se stesso è iniettiva, ma non surgettiva. Tale
processo si sviluppa a salti (discontinuità, ecc.) ; dai punti dello spazio ove si «paradosso dell'infinito» — «il tutto è uguale a una sua parte» — si discuteva da
ha l'origine dei campi (gli elettroni nella teoria del campo elettromagnetico ). molto tempo e Dedekind propose [ t888] di considerarlo semplicemente quale
IJn'applicazione a piu valori dell'insieme X nell'insieme Y è una appli definizione dell'infinito nell'universo degli insiemi. (Negli ultimi tempi un
cazione X~!l' ( Y), dove cJ'(Y) è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di Y. Se paradosso analogo si è incontrato nella fisica delle particelle elementari. IJn
f(x) = Zá Y, intuitivamentef associa ad xe.X molti valori: tutti i possibili nucleone può generare una coppia virtuale nucleone-antinucleone e, se si tenta
elementi zeZ. IJn tipico esempio di funzione a piu valori è la «funzione» di ritenere i termini di questa coppia quali parti del nucleone, bisogna ricono
f(x) = V x dai numeri reali positivi a R: essa assume due valori in ogni punto scere che il nucleone contiene una sua parte propria isomorfa a se stesso. Per molti
x+o. È, questo,un caso particolare di uno schema generale sul modo di for versi le particelle elementari vanno considerate quali «infiniti fisici» ).
mare funzioni analitiche a piu valori in una variabile complessa. Se una fun Fino a Cantor, però, non era noto che anche gl'insiemi infiniti si prestano
zione è data in un intorno di un punto nel piano complesso mediante una a un confronto rispetto alla loro grandezza. A Cantor risale la serie seguente
serie di potenze, il processo del suo prolungamento analitico, che consiste nel di definizioni. Due insiemi, X, Y, si dicono equipotenti se esiste un'applicazione
l'assegnarla mediante serie diverse in una catena di domini intersecantisi, può biettiva f : X~ Y ( o, ciò che è lo stesso, una biezioneg : Y~X ). In questo
condurre a un valore diverso di questa funzione nel punto iniziale, quando la caso scriveremo card X= card Y'. Scriveremo card X( c ard Y se X è equi
catena di domini si chiude su se stessa. In questo processo si possono anche potente a un sottoinsieme di Y. D iremo che X e Y s ono confrontabili se
individuare punti d'indeterminatezza della funzione. Pertanto, a partire da una card X<card Y, oppure card Y<card X. Infine, scriveremo card X<card Y
funzione iniziale in un piccolo dominio, si giunge a una funzione da C in C (nu (la potenza di X è minore della potenza di Y ) se card X<card Y, ma non
meri complessi), la quale in generale è a piu valori e parziale. Cosi, per esempio, è vero che card X>card Y.
la funzione log x da C in C non è definita nel punto x=o (e solo in esso) Dagli assiomi di Zermelo-Fraenkel si può dedurre il seguente teorema di
e, per ogni x/o, assume un insieme numerabile di valori,(log„x+z trV — r n), Cantor-Schroder-Bernstein-Zermelo:
dove n varia tra tutti i numeri interi, mentre log~ x è uno di questi valori. Affin a) ogni dueinsiemi sono confrontabili; secontemporaneamentecard X(c a rd Y
ché questa funzione diventi un'applicazione ad un solo valore, bisogna cam e card Y( c ard X, allora card X=c a rd Y;
biare il suo dominio di definizione. Questo importante processo è stato ap b) sia J~(X) l insieme dituttii sottoinsiemi diX; allora card!P(X)) card X;
plicato la prima volta da B. Riemann [ t85t ] e ha condotto alla fondamentale c) per ogni proprietà degli insiemi esiste un insieme di potenza minima con
nozione di superfici di Riemann e, piu tardi, alla nozione generale di «varietà questa proprietà (se questi insiemi esistono in generale).
complesso-analitiche» (cfr. oltre). L'uso sistematico delle applicazioni parziali
ha condotto negli ultimi decenni all'importante formalismo della teoria dei fa
Pertanto le potenze degli insiemi sono linearmente ordinate (cfr. oltre) ; la
sci (cfr. oltre).
massima potenza non esiste ; infine le potenze degli insiemi sono completamente
In matematica hanno un maggiore significato non già le applicazioni arbitra
ordinate. Queste proprietà della scala delle potenze furono scoperte da Can
tor, benché alcune di esse siano state dimostrate piu tardi.
rie d'insiemi, ma le applicazioni che concordano con queste o quelle strutture La scala delle potenze comincia con i numeri interi non negativi o, I, 2, 3,
su essi. Però, prima di passare a descrivere degli esempi, è bene dire qualcosa che possono essere definiti quali potenze degli insiemi finiti [Whitehead e Rus
sulla teoria delle potenze degli insiemi di G. Cantor [r879-83], dove la no sell r96z]. La prima potenza infinita è quella dell'insieme N= (o, t, 2, 3, ...j~
zione di applicazione è apparsa per la prima volta nella sua forma «pura», con dei numeri interi non negativi, la cosiddetta potenza numerabile coo, oppure
sentendo in tal modo di porre tutto un complesso di difficili problemi mate g~. La potenza infinita successiva strettamente maggiore, che si può costruire
matici e filosofici. con il metodo di Cantor, è la potenza dell'insieme ~J(N). Essa si chiama po

19. Applicazioni 7t6 7I7 Applicazioni
tenza del continuo e si indica con z o in analogia con il caso degli insiemi segue che x =y e se da x(y e y< z segue che x<z (transitività). Il piu noto
finiti: se X contiene n elementi, J (X) contiene z" elementi. esempio di struttura di ordinamento è l'ordinaria relazione di disuguaglianza
Il fatto che la potenza di J (N) sia strettamente maggiore della potenza di (non stretta ) sui numeri reali, razionali, o interi; essa motiva la scelta della
N si dimostra con il famoso processo di diagonalizzazione di Cantor. Infat notazione generica ( per la relazione di ordinamento sugli insiemi astratti.
ti, N è biettivo con la parte di J (N) costituita da tutti i sottoinsiemi con un Un altro esempio è la relazione c sull'insieme J (X) dei sottoinsiemi di X. Un
solo elemento, {n), dove ne N. Se N fosse biettivo con tutto J(N), dovrebbe terzo esempio è la relazione card x(cardy su un certo insieme di potenze di
esistere una applicazione f : N~ J(N) con immagine P(N). Mostriamo che, insiemi. Nella nostra descrizione del modello di puro scambio in economia
per ogni f, l'immagine di f non può coincidere conJ (N). Infatti, indichiamo matematica () r.6) ogni funzione di utilità u, : P~R de finisce una certa
con Mc: N il sottoinsieme di N (eventualmente vuoto), costituito da tutti i nu struttura di preordinamento <, sull'insiemeP degli assortimenti di merci:
meri m tali chem4f(m). Supponiamo che M = f(m~) per un opportuno mpc N (x,, ..., xt) (x,', ..., xt) se u;(x,, ..., xt)<u;(x,', ..., xt), ma può non valere
egiungeremo auna contraddizione. A questo scopo consideriamo laposizione di il primo assioma. Le strutture (; , i n g enerale, non coincidono. Non è diffi
mo risPetto ad M. Se mpEM, in forza della definizione di M, m~ff(mo), cioè cile vedere che solo queste strutture sono essenziali nello studio dell'esi
m~4M, poiché f(mo) = M; questa è una contraddizione.Se, invece, m~4M, stenza dello stato ottimale secondo Pareto; se si cambia u, in modo da non
essendof(mv) = M, risulta m~f f(m~), ma allora mpEM per definizione di M; cambiare <; (per esempio,se,invece di u;,siprende c,u,con c;)o ), l'insieme
si ha di nuovo una contraddizione. Ciò dimostra il teorema di Cantor. È evi degli stati ottimali non cambia. Vale la pena di notare che la validità reale di
dente che non si è mai usato il fatto cheN sia l'insieme(o, t, z, ...), cosi che la una congettura sulla transitività di una relazione di utilità ( ; è problematica:
dimostrazione e il risultato sono applicabili ad ogni insieme al posto di N. sono noti esperimenti nei quali un essere sottoposto a tre stimoli, Xr, Xa, X„
La questione relativa all'esistenza di potenze intermedie tra os~ e z~o, che si preferisce Xt allo stimolo X~, X~ allo stimolo X» ma preferisce Xs allo stimo
pone in modo naturale nell'ambito di queste idee, si chiama «problema del lo X,, Comunque sia, in una serie d'indagini sociali e psicologiche le strutture
continuo». Dopo prolungati sforzi fu scoperto che l'ipotesi di Cantor, secondo di ordinamento appaiono in modo naturale nelle seguenti circostanze. Posto che
la quale non vi sono potenze intermedie, è indipendente dagli altri assiomi della c'interessi l'intensità di questo o quel segnale di un fenomeno, allora accade
teoria degli insiemi. Il potente metodo per la dimostrazione dell'indipendenza, spesso che si sia in grado di stabilire, per ogni coppia di fenomeni, a quale di
ideato da P. Cohen [rg66], condusse a stabilire l'indipendenza di tutta una essi corrisponda un segnale piu intenso, il che conduce a una struttura di or
serie di altre affermazioni nella teoria degli insiemi, che si possono interpretare dinamento. La tendenza a descrivere in ogni caso questa intensità quantita
quali insolubilità di una serie di problemi relativi all'esistenza di applicazioni tivamente, cioè di stimarla con una funzione numerica, potrebbe portare ad
d'insiemi infiniti, con proprietà di questo o di quel tipo, nell'ambito dell'assio introdurre un inutile elemento arbitrario non richiesto dall'essenza dei fatti.
matica assunta. Un insieme X con su esso una struttura di ordinamento si dice insieme
Tuttavia, la logica interna dello sviluppo della matematica e le esigenze delle ordinato. Un'applicazione f : X~ Y di due insiemi ordinati si dicemonotona
scienze naturali, nella maggioranza dei casi, inducono a considerare non già se da x,<xa in X segue che f(x,) (f (x,) in Y. Nell'esempio con le funzioni
qualsiasi applicazione, ma solo quelle che concordano con queste o quelle di utilità l'applicazione u, : P~R è monotona rispetto al preordinamento (;
strutture (cfr. il paragrafo seguente). su P e all'ordinaria disuguaglianza su R.
Qualche volta appare utile considerare applicazioni strettamente monotone
d'insiemi ordinati. Sia X un insieme con una relazione di ordinamento
3. Applicazioni di strutture matematiche. Introduciamo una nuova relazione < su X: scriveremo xe<xe se xr(xa, ma
xt +xe Un'applicazionef : X~ Y si dice strettamente monotona se da xt <xg
In questo paragrafo si riporterà la descrizione di alcune f ondamentali strut segue chef(x,) (f(xs). La funzione f(x) = kx da R in R è strettamente mono
ture matematiche e si chiarirà come si possa legare con ogni struttura su un tona per k ) o e solamente monotona per k= o. Ecco ancora un esempio :
dato insieme unaclasse di applicazioni di questo insieme che concordino con la siano YaX un insieme e un suo sottoinsieme. L'applicazione J(X) ~ J (Y),
struttura data. che ad ogni sottoinsieme ZcX associa la sua intersezione con Y, è monotona
rispetto alla relazione ~ su J (X) e J (Y). Se YWX, essa non è strettamente
3.I. Strutturadi ordinamento. monotona.
Le applicazioni monotone e strettamente monotone sono gli esempi piu
Sia X un insieme. Un sottoinsieme R~X x X si chiama relazione binaria semplici di applicazioni che concordano con le strutture. Passiamo ad altri
R su X. Al posto di (x, y)eR, per x, yEX, spesso si scrive xRy. Una rela esempi.
zione binaria < su X definisce una struttura d'ordinamento se da x<y e y<x

20. Applicazioni 7'9 Applicazioni
tura di gruppo commutativo con legge di composizione + e l'unità o su tutto
3.2. Strutture algebriche. K; P) la struttura di gruppo commutativo con unità i e legge di composizione
«prodotto»: (x, y)~xy sull'insieme K~ = Kg(o) ; e y) queste strutture sono
Le strutture algebriche sono quelle definite dalle diverse leggi di compo legate dalla legge distributiva x (y+z) = xy+xz per tutti gli x, y, zeK. Se in
sizione. Sia X un insieme. Si chiama leggedi composizione interna binaria su X P) si richiede che K sia, rispetto al prodotto, solo un monoide, si ottiene la
ogni applicazionef : XX X~X . E sempi: X= R, oppure Z, f(x, y) = x+y, op struttura di anello.
pure xy; oppure X = J (Y'), f(x, y) = xUy, oppure xAy. In questi esempif I numeri razionali Q, i numeri reali R e i numeri complessi C forniscono
soddisfa la seguente condizione di associativita: f(f( x, y), z) = f(x, f(y, z)) gli esempi piu noti di corpi. La nozione generale di corpo assiomatizza quelle
per tutti gli x, y, . U n i n sieme X con una legge di composizione interna proprietà di natura puramente algebrica. Esistono corpi con un numero finito
associativa si chiama monoide. Tale legge di composizione spesso si indica con di elementi ; i cosiddetti «corpi di Galois». L'esempio piu semplice di tali corpi
l'ordinaria notazione di prodotto, scrivendo xy al posto di f(x, y). Se X, Y è (o, i ), con le leggi di composizione o+o = i + i = o; o+i = i ; o . o = o . i = o;
sono due monoidi, un'applicazione g : X~ Y si chiama omomorfismo di mo i = i . Questo corpo e corpi piu generali di Galois sono largamente usati nei
noidi quando g(xixa) =g (xi)g(xa) pel tutti gli xi x ,E X , Iil altre paiole g deve moderni dispositivi per la trasmissione di dati e per l'elaborazione delle infor
concordare con le leggi di composizione su X, Y. mazioni, dove sulla loro base sono progettati diversi sistemi di codificazione.
Sia X un m onoide. Un elemento ev X si chiama unità (bilatera), se Un'applicazione f : K~L di due corpi sichiama omomorfismo se essa è con
ex = xe = x per ogni xe X. Una applicazione i : X~X si chiama inversione(bi temporaneamente un omomorfismo di K in L ri spetto alla somma e di K~ in
latera), se i(x)x = xi(x) = e per ogni xc X. Al posto di i (x) spesso si scrive x '. L~ rispetto al prodotto. Si può dimostrare che ogni omomorfismo di corpi è
Un monoide X con la sopraindicata unità ec X e con l'applicazione i : x ~x -' necessariamente iniettivo. Gli omomorfismi dei corpi sono studiati nella teo
si chiama gruppo. Siano X, Y due gruppi. Un'applicazionef : X~ Y si chiama ria di Galois e in geometria algebrica,
omomorfismo di gruppi se essa è un omomorfismo di monoidi che applica l'unità Siano K un corpo ed E un gruppo commutativo con la legge di compo
di Xnell'unitàdi Y esef(x ') = f(x) pe r o gnixeX. Unmonoide,oungruppo, sizione indicata con + come in K e con l'unità o come nel gruppo additivo K.
X si dice commutativo se xy = yx per tutti gli x, yeX . La struttura sul gruppo E di spazio vettoriale, o lineare sopra K è definita da una
L'insieme R+~ dei numeri reali positivi è un gruppo commutativo con il pro legge di composizione esterna K x E~E. L'immagine della coppia(k, e), dove
dotto quale legge di composizione, con l'unità i e l'inversione i(x) = x '. L'in k@K, eeE, in questa applicazione s'indica ke. Quest'applicazione deve soddi
sieme R di tutti i numeri reali è un gruppo commutativo con la somma quale sfare una serie di proprietà; in particolare, (k,+ka)e = k,e+k,e, k(er+ca) =
legge di composizione, con l'unità o e l'inversione i (x) = — x. L'applicazione = ke,+ke„ ( A,A,)e = ki (A,e) per tutti i k, k,, k,eK; e, e,, e,cE.
log : R+~~R è un omomorfismo di questi gruppi. Essa, inoltre, è biettiva: tali L'esempio piu semplice di spazio lineare sopra K è il gruppo E= K" = K x
applicazioni si dicono «isomorfismi». x ... x K (n volte), costituito dalle n-uple (A„..., A„). La legge di compo
Un esempio di gruppo non-commutativo è l'insieme S (X) di tutte le appli sizione interna in E è : (ki» k~)+ (ki > k„') ( k i +ki k»+k~) L a
cazioni biettive di un certo insieme X in se stesso, cioè le permutazioni di X. legge di composizione esterna è: k (k,, ..., A») (AAi kkp) Piu complessi
Qui la composizione è la composizione delle applicazioni, l'applicazione iden e molto importanti nelle applicazioni sono gli spazi funzionali. Per esempio,
tica x~x è l 'unità. L'applicazione inversaf ' è d efinita cosi: sef(x) =y , lo spazio E delle funzioni da R in R è dotato della struttura di spazio vet
f '(y)= x. Il g ruppo S„ = S((t, ..., n)) si chiama gruppo simmetrico di toriale sopra R con le leggi (f+g)(x) = f(x)+g(x) per tutte le f, geE e per
n-esimo grado. Per n)3 esso non è commutativo. Ad ogni elemento se S, può ogni xcR e (cf)(x) = cf(x) per ogni ce R, fcE, xeR.
essere associato il numero + i, oppure — i, cosicché questa applicazione diventa Siano E„E, due spazi lineari sopra il corpo K. Un'applicazionel : E, ~E,
l'omomorfismo s : S.„~ (i, — i) (il secondo è un gruppo con il prodotto quale si chiama applicazione lineare, o (orno)morfismo di questi spazi se essa è un
legge di composizione). L'omomorfismo s è definito univocamente dalla con omomorfismo di gruppi e, inoltre, se concorda con il prodotto esterno nel
dizione s (s) = — i se s cambia posto esattamente a due numeri e lascia gli al senso che è l (ke)= k(le) per ogni kc K, eeE. Un'applicazione lineare di uno
tri al loro posto. spazioE in se stesso si chiama operatore lineare su esso.
I gruppi e i loro omomorfismi hanno un'importanza fondamentale nella ma La nozione di applicazione lineare investe una parte notevole della mate
tematica e nella fisica moderne. In particolare, essi forniscono i modelli fon matica moderna e delle sue applicazioni. Essa è a fondamento di tutta l'ana
damentali per la descrizione delle simmetrie degli oggetti, dei fenomeni e delle lisi. La derivazione delle funzioni è un'operazione lineare; la sostituzione di
leggi della natura. piccole variazioni di una funzione con approssimazioni lineari è un principio
Gli esempi successivi di strutture algebriche sono i corpi e gli anelli. Un in generale nei modelli matematici, straordinario per la sua universalità e per la
sieme K si chiama corpo se su esso sono date le seguenti strutture: a ) la strut sua efficacia. L'integrazione delle funzioni è pure un'operazione lineare; la sua