MAKALAH GEOMETRI ANALITIK BIDANG TENTANG HIPERBOLA

1. MAKALAH
GEOMETRI ANALITIK BIDANG
HIPERBOLA
OLEH :
SITI ANISA
NPM. 131000284202014
SYAFRI MARNI
NPM. 10100028420
YELSI MARSELIA
NPM. 131000284202018
DOSEN PEMBIMBING : Prima Yudhi., M.Pd.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA BARAT
PADANGPANJANG
2014

2. KATA PENGANTAR
Puji syukur kami ucapkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan hidayahnya,
sehingga penyusunan makalah dengan judul Hiperbola akhirnya dapat terselesaikan
dengan baik. Kami berharap dari isi makalah ini dapat di jadikan suatu pedoman bagi
pembaca dalam menulis tugas ataupun makalah, sehingga pesan/materi dapat
tersampaikan dengan baik.
Penyusunan makalah inipun dikerjakan untuk memenuhi tugas yang diberikan oleh
Bapak Prima Yudhi M.Pd. sebagai Dosen Mata kuliah Geometri Analitik Bidang.
Semoga penyusunan makalah ini dapat bermanfa’at bagi pembaca, Amin.
Padangpanjang, 03 Desember 2014
Penulis

3. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik
tertentu tetap besarnya. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.Jarak kedua titik
tertentu tersebut adalah 2a.
Hiperbola dan elips memiliki hubungan yang sangat erat, khususnya pada
bentuk persamaannya. Hiperbola dan elips, adalah hasil dari suatu pengirisan dari
kerucut. Suatu kerucut jika diiris horizontal, maka irisannya berbentuk lingkaran. Jika
kerucut tersebut dipotong secara miring (dan tidak memotong alasnya), maka
terbentuk suatu ellips. Jika mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya secara
vertikal, maka terbentuk suatu hiperbola.
Berdasarkan definisi hiperbola, kita dapat menggambarkan grafik hiperbola.
Misalkan kita tentukan titik fokusnya adalah F’(-c, 0) dan F(c, 0) sedangkan selisih
jarak konstan tertentu adalah 2a.
B. Rumusan Masalah
1. Pengertian hiperbola.
2. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)
3. Persamaan hiperbola yang berpusat di P(x,y)
C. Tujuan
1. Untuk mengetahui pengertian hiperbola
2. Untuk mengetahui persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)
3. Untuk mengetahui persamaan hiperbola yang berpusat di P(x,y)

4. DAFTAR PUSTAKA
Matematika untuk SMK dan MAK kelas XII

5. BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
A. Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik
tertentu tetap besarnya. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.Jarak kedua titik
tertentu tersebut adalah 2a.
B. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)
푥2
푎2 –
푦2
푏2 = 1
C. Persamaan hiperbola yang berpusat dititik P(x,y)
(푥−푚)2
푎2 –
(푦−푛)2
푏2 = 1
B. SARAN
Semoga dengan penyusunan makalah ini dapat membantu pembaca dalam membuat
tugas, dan menjadikan makalah ini sebagai referensi dalam belajar.

6. BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Hiperbola
Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu
tetap besarnya. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.Jarak kedua titik tertentu tersebut
adalah 2a.
Hiperbola dan elips memiliki hubungan yang sangat erat, khususnya pada bentuk
persamaannya. Hiperbola dan elips, adalah hasil dari suatu pengirisan dari kerucut. Suatu
kerucut jika diiris horizontal, maka irisannya berbentuk lingkaran. Jika kerucut tersebut
dipotong secara miring (dan tidak memotong alasnya), maka terbentuk suatu ellips. Jika
mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya secara vertikal, maka terbentuk suatu
hiperbola.
Berdasarkan definisi hiperbola, kita dapat menggambarkan grafik hiperbola. Misalkan
kita tentukan titik fokusnya adalah F’(-c, 0) dan F(c, 0) sedangkan selisih jarak konstan
tertentu adalah 2a.
F dan F’ disebut titik focus.
(-a,0) dan (a,0) disebut titik puncak.

7. B. Unsur-Unsur Hiperbola
- Titik O merupakan pusat hiperbola
- Titik Fokus yaitu : F dan F’
- titik puncak (-a,0) dan (a,0)
- persamaan asimtot :
Sumbu-x (yang memuat dua titik dari hiperbola) disebut sumbu tranversal (transverse
axis) dan sumbu-y disebut sumbu sekawan (conjugate axes). Titik potong hiperbola
dengan sumbu trasversal disebut titik ujung (dalam hal ini (±a, 0)) dan perpotongan
kedua sumbu simetri disebut pusat hiperbola. Jarak antara kedua titik ujung adalah 2a
dan disebut sumbu mayor dan besaran 2b disebut sumbu minor.
C. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)

8. Perhatikan kembali gambar di atas dengan F(-c, 0) atau F1 (-c, 0) dan G(c, 0) atau
F2(c, 0), serta titik P(x, y) atau T(x, y) pada hiperbola.
F1T – F2T  = 2a, atau
F1T – F2T = ± 2a
√(푥 + 푐)2 + (푦 − 0)2 - √(푥 − 푐)2 + (푦 − 0)2 = 2a
√(푥 + 푐)2 + 푦2 - √(푥 − 푐)2 + 푦2 = 2a
√(푥 + 푐)2 + 푦2 = 2a + √(푥 − 푐)2 + 푦2 . . . . 1
Persamaan satu sama – sama dikuadratkan lalu disederhanakan, diperoleh :
( x + c )2 + y2 = 4a2 + (x – c)2 + y2 + 4a √(푥 − 푐)2 + 푦2
2cx = 4a2 – 2cx + 4a √(푥 − 푐)2 + 푦2
4cx – 4a2 = 4a √(푥 − 푐)2 + 푦2
cx – a2 = a √(푥 − 푐)2 + 푦2
Dengan mengkuadratkan kembali, diperoleh :
x2c2 – 2a2xc + a4 = a2 (x2 – 2xc + c2 + y2)
x2c2 – 2a2xc + a4 = a2 x2 – 2a2xc + a2c2 + a2y2
x2c2 – 2a2xc + a4 – a2x2 + 2a2xc = a2c2 + a2y2
x2c2 – a2x2 – a2y2 = a2c2- a4
x2(c2 – a2) - a2y2 = a2(c2 – a2)
Misalkan : c2 – a2 = b2 , maka :
x2 b2- a2y2 = a2b2
jika kedua ruas dibagi dengan a2b2 maka diperoleh :
푥2
푦2
-
= 1 Persamaan hiperbola .
푎2 푏2  Persamaan hiperbola yang sejajar dengan sumbu x adalah :
푥2
푎2 –
푦2
푏2 = 1
Dengan unsur – unsur sebagai berikut :
 Pusat O(0,0)
 Fokus F1(-c, 0) dan F2(c, 0)
 Puncak A(-a, 0) dan B(a, 0)
 Sumbu simetri :
- Sumbu utama adalah sumbu X
- Sumbu sekawan adalah sumbu Y
 Sumbu nyata AB = 2a
 Sumbu imajiner MN = 2b
 Asimtot, y = ±
푏
푎
x
 Persamaan hiperbola yang sejajar dengan sumbu y adalah :

9. 푦2
푎2 -
푥2
푏2 = 1
Dengan unsur – unsur sebagai berikut :
 Pusat O(0,0)
 Fokus F1(0, -c) dan F2(0, c)
 Puncak A(0, -a) dan B(0, a)
 Sumbu simetri :
- Sumbu utama adalah sumbu Y
- Sumbu sekawan adalah sumbu X
 Sumbu nyata AB = 2a
 Sumbu imajiner MN = 2b
 Asimtot, y = ±
푎
푏
x
Contoh soal :
1. Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui :
Fokus F1 (-13, 0) dan F2 (13, 0) dengan puncak (-5, 0) dan (5, 0)
Jawab :
Diketahui F1 (-13, 0) dan F2 (13, 0) => pusat (0, 0)
Fokus (±13, 0), maka c = 13
Puncak (±5, 0), maka a = 5
b 2= c2- a2 = 132+ 52= 169 – 25 = 144
sumbu utama sumbu X, maka persamaan hiperbolanya adalah
푥2
푎2 -
푦2
푏2 = 1 
푥2
25
-
푦2
144
= 1
2. Tentukan koordinat titik puncak, fokus, dan persamaan asimtot hiperbola dari
persamaan berikut
푥2
16
-
푦2
4
= 1
Jawab :
푥2
푦2
-
16
4
= 1  a2 = 16 maka a = 4 dan b2 = 4 maka b = 2
Pusat (0, 0)
Puncak (-a, 0) = (-4, 0) dan (a, 0) = (4, 0)
c2 = a2 + b2 = 16 + 4 = 20 maka c = √20 = 2√5
fokus (-c, 0) = (-2√5, 0) dan (c, 0) = (2√5 , 0)
persamaan asimtot : y = ±
푏
푎
x
maka y = ±
2
4
atau ±
1
2

10. D. Persamaan hiperbola yang berpusat dititik P(x,y)
Persamaan Hiperbola yang berpusat P (m,n) diperoleh dengan cara menggeser
hiperbola yang pusatnya (0,0) yaitu pada arah horizontal dan vertikal sehingga diperoleh
hiperbola yang berpusat di titik p(m,n) sebagai berikut :
(푥−푚)2
푎2 –
(푦−푛)2
푏2 = 1
Persamaan hiperbola yang sejajar dengan sumbu x
(푥−푚)2
푎2 –
(푦−푛)2
푏2 = 1
Dengan unsur – unsurnya sebagai berikut :
 Pusat P (m,n)
 Fokus F1(m – c , n) dan F2(m + c, n )
 Puncak A(m – a , n) dan B(m + a, n)
 Sumbu simetri :
- Sumbu utama adalah sumbu y = n
- Sumbu sekawan adalah sumbu x = m
 Sumbu nyata AB = 2a
 Sumbu imajiner MN = 2b
 Persamaan Asimtot g1 dan g2 adalah : y – n = ± 푏
푎
(x – m)
Persamaan hiperbola yang sejajar dengan sumbu y
(푦−푛)2
푎2 –
(푥−푚)2
푏2 = 1

11. Dengan unsur – unsurnya sebagai berikut :
 Pusat P (m,n)
 Fokus F1(m , n – c) dan F2(m,n + c )
 Sumbu simetri :
- Sumbu utama adalah sumbu x = m
- Sumbu sekawan adalah sumbu y = n
 Sumbu nyata AB = 2a
 Sumbu imajiner MN = 2b
 Persamaan Asimtot
g1 : y – n = 푏
푎
(x – m)
g2 : y – n = - 푏
푎
(x – m)
 Eksentristas (e) =
푐
푎
, e > 1
Contoh soal
1. Fokus F1(-2 , -3) dan Fokus F2(8 , -3) dan titik puncak (7 , -3)
Jawab :
Diketahui Fokus F1(-2 , -3) dan Fokus F2(8 , -3)  pusat
−2+8
2
,
−3+(−3)
2
= (3 , -3)
Jarak pusat ke fokus (c) = 8 – 3 = 5
Puncak ( 7,-3)
Jarak pusat dengan puncak (a) = 7 – 3 = 4
b 2= c2- a2 =5 2- 42= 25 - 16 = 9
persamaan hiperbola :
(푥−3)2
16
–
(푦+3)2
9
= 1 atau 9 (푥 − 3)2 - 16 (푦 + 3)2 = 144
9 푥2 - 16 푦2- 54x – 96y - 207 = 0
2. Tentukan titik pusat , titik fokus , titik puncak, panjang lactus rectum dan persamaan
asimtotnya pada hiperbola berikut
(푥−4)2
64
–
(푦+1)2
225
= 1
Jawab :
Diketahui
(푥−4)2
64
–
(푦+1)2
225
= 1  titik pusat (4, -1)
푎2 = 64  a = 8
푏2 = 225  b = 15
푐2 = 푎2 + 푏2 = 64 + 225 = 289  c = 17
Fokus (4 – 17, -1) = (-13, -1) dan (4 + 17, -1) = (21, -1)
Titik puncak (4 – 8, -1) = (-4, -1) dan (4 + 8, -1) = (12, -1)
Panjang lactus rectum =
2푏2
푎
=
2 .225
8
=
225
4
Asimtot : y + 1 = ±
15
8
(x – 4)

12. Latihan
1. Tentukan persamaan hiperbola, bila :
a. Fokus F1(0, -10) dan F2 (0,10) dengan puncak (0,-6) dan (0,6)
2. Tentukan titik pusat, fokus, titik puncak, sumbu utama, sumbu sekawan, panjang
sumbu nyata, sumbu imajiner, persamaan asimtot, dan lactus rectum dari
hiperbola dengan persamaan :
a. 4y2 – 9x2 + 16y + 18x – 29 = 0