tugas geometri analitik bidang

1. HIPERBOLA
Disusun dalam Rangka Memenuhi Tugas
Mata Kuliah Geometri Analitik Bidang
Oleh:
RIA ANGRIANI : 11.05.0.117
MULYANI NOVITA : 11.05.0.109
DEVIANTI SARMILI : 11.05.0.154
UCI ABRIANI : 11.05.0.116
HENDRI DARMAWAN : 11.05.0.123
SITI RAISAH : 11.05.0.129
LENI FARINAWATI : 11.05.0.128
SUMIYATI : 11.05.0.142
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS RIAU KEPULAUAN BATAM
2012

2. KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan
rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah yang
berjudul “Hiperbola”.
Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas mata kuliah
Statistik . Dalam penulisan makalah ini penulis banysak dapat bimbingan, arahan dan
bantuan dari dosen kami Bapak Abdul Rahman, S.Si Semoga bimbingan, arahan dan
bantuan yang Bapak berikan menjadi amal ibadah dan mendapat imbalan dari-Nya.
Penulis menyadari makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu
penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dari pembaca yang bersifat
membangun. Harapan penulis semoga makalah ini bermanfaat bagi pembaca.
Batam, November 2012
Penulis

3. BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Hiperbola dan ellips ini sangat erat hubungannya, khususnya pada bentuk
persamaannya. Parabola, hiperbola dan ellips, adalah hasil dari suatu pengirisan dari
kerucut.
Suatu kerucut jika diiris horizontal, maka irisannya berbentuk lingkaran. Jika
kerucut tersebut dipotong secara miring (dan tidak memotong alasnya), maka
terbentuk suatu ellips. Jika mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya secara
vertikal, maka terbentuk suatu hiperbola. Jika mengirisnya memotong alasnya dan
memotongnya tidak secara vertikal, maka terbentuk suatu parabola.
1.2 Tujuan Penulisan Makalah
Adapun tujuan dilakunkanya penulisan makalah ini adalah:
1. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian hiperbola.
2. Mahasiswa dapat memahami penghitungan menggunakan hiperbola
3. Bahan kajian mahasiswa mengenai ilmu geometri, khususnya mengenai hiperbola.

4. BAB IIBAB II
PEMBAHASANPEMBAHASAN
22.1. Persamaan Hiperbola Bentuk Baku.1. Persamaan Hiperbola Bentuk Baku
Hiperbola adalah himpunan semua titik (x, y) pada bidang sedemikian hingga
selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik
fokus (foci) adalah tetap.
Untuk menentukan persamaan hiperbola, misalkan kita pilih titik-titik fokus F
dan F’ terletak pada sumbu-x. Sedangkan sumbu-y diletakkan di tengah-tengah
segmen garis FF’.
Misalkan kita tentukan titik fokusnya adalah F’(-c, 0) dan F(c, 0) sedangkan
selisih jarak konstan tertentu adalah 2a. (lihat gambar 5.1).
y
Q(x, y) P(x, y)
F’(-c, 0) F(c, 0) x
Gambar 2.1

5. Jika (x, y) merepresentasikan titik pada hiperbola, maka dari definisi diperoleh
'PF – PF = 2a
22
))(( ycx +−− – 22
)( ycx +− = 2a
⇔ 22
)( ycx ++ = 22
)( ycx +− + 2a
⇔ (x + c)2
+ y2
= (x – c)2
+ y2
+ 4a 22
)( ycx +− + 4a2
⇔ x2
+ 2cx + c2
+ y2
= x2
– 2cx + c2
+ y2
+ 4a2
+ 4a 22
)( ycx +−
⇔ -4a2
+ 4cx = 4a 22
)( ycx +−
⇔ -a +
a
cx
= 22
)( ycx +−
⇔ 22
)( ycx +− = -a +
a
cx
⇔ x2
– 2cx + c2
+ y2
= a2
– 2cx + 2
22
a
xc
⇔ 2
22
a
ac −
x2
– y2
= c2
– a2
⇔ 2
2
a
x
– 22
2
ac
y
−
= 1
Dalam segitiga PFF’ terlihat bahwa
'PF < PF + 'FF
'PF – PF < 'FF
2a < 2c
a < c
c2
– a2
> 0
Karena c2
– a2
adalah positif, maka bisa diganti dengan bilangan positif lain,
sebut b2
sehingga
2
2
a
x
– 2
2
b
y
= 1
dimana b2
= c2
– a2
. Ini merupakan bentuk baku persamaan hiperbola.

6. Kedua sumbu koordinat – sumbu-x dan sumbu-y adalah sumbu simetri pada
hiperbola dan (±a, 0) adalah titik-titik potong dengan sumbu-x. Dalam hal ini tidak
memotong sumbu-y, sebab untuk x = 0 diperoleh
– 2
2
b
y
= 1,
yang mana tidak ada bilangan real y yang memenuhi persamaan di atas.
Sumbu-x (yang memuat dua titik dari hiperbola) disebut sumbu tranversal
(transverse axis) dan sumbu-y disebut sumbu sekawan (conjugate axes). Titik potong
hiperbola dengan sumbu trasversal disebut titik ujung (dalam hal ini (±a, 0)) dan
perpotongan kedua sumbu simetri disebut pusat hiperbola. Jarak antara kedua titik
ujung adalah 2a dan disebut sumbu mayor dan besaran 2b disebut sumbu minor.
Dalam hal ini panjang sumbu mayor tidak harus lebih besar dari sumbu minor. Hal
ini berbeda pada persamaan ellips. Sketsa grafik persamaan hiperbola 2
2
a
x
– 2
2
b
y
= 1
dan posisi titik-titik (±a, 0), (±c, 0), dan (0, ±b) dapat dilihat pada gambar 6.2 berikut.
y
(0, b)
(-a, 0) (a, 0)
F’(-c, 0) F(c, 0) x
(0, -b)
Gambar 2.2
Garis ax ± by = 0 disebut persamaan garis asimtotik dari hiperbola 2
2
a
x
– 2
2
b
y
= 1.
Teorema 2.1:

7. Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai fokus (±c, 0) dan titik-titik
ujung (±a, 0) jika dan hanya jika memenuhi persamaan
2
2
a
x
– 2
2
b
y
= 1
dimana b2
= c2
– a2
.
Peranan sumbu-x dan sumbu-y dalam bentuk grafik akan dinyatakan dalam
teorema berikut.
Teorema 2.2:
Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai fokus (0, ±c) dan titik-titik
ujung (0, ±a) jika dan hanya jika memenuhi persamaan
2
2
a
y
– 2
2
b
x
= 1
dimana b2
= c2
– a2
.
Dari teorema 2.1 dan 2.2 di atas, bahwa sumbu mayor sejajar dengan sumbu
yang variabelnya berharga positif.
Contoh 1:
Selidiki dan buat sketsa grafik dari persamaan
9
2
x
–
16
2
y
= 1
Jawab:
Jika kita perhatikan terlihat bahwa a2
= 9, b2
= 16, dan c2
= a2
+ b2
= 25.
Hiperbola ini mempunyai pusat (0, 0), titik-titik ujung (±3, 0), dan titik fokus
(±5, 0). Persamaan garis asimtotik hiperbola di atas adalah 3x ± 4y = 0. Panjang
sumbu mayor = 6 sejajar sumbu-x dan panjang sumbu minor = 8. Sketsa grafik
dapat dilihat pada gambar 2.3 dibawah ini.

8. y
(0, 4)
(-3, 0) (3, 0)
F’(-5, 0) F(5, 0) x
(0, -4)
Gambar 2.3
Contoh 2:
Selidiki dan buat sketsa grafik persamaan 16x2
– 9y2
+ 144 = 0.
Jawab:
Kita ubah persamaan 16x2
– 9y2
+ 144 = 0 ke dalam bentuk baku, yaitu
16x2
– 9y2
+ 144 = 0
9y2
– 16x2
= 144
16
2
y
–
9
2
x
= 1
Dari persamaan terakhir terlihat bahwa a2
= 16, b2
= 9, dan c2
= a2
+ b2
= 25.
Hiperbola ini mempunyai pusat (0, 0), titik-titik ujung (0, ±4), dan titik fokus
(0, ±5). Persamaan garis asimtotik hiperbola di atas adalah 4x ± 3y = 0. Panjang
sumbu mayor = 8 sejajar sumbu-x dan panjang sumbu minor = 6. Sketsa grafik
dapat dilihat pada gambar 2.4 dibawah ini.

9. y
F(0, 5)
(0, 4)
(-3, 0) (3, 0)
x
(0, -4)
F’(0, -5)
Gambar 2.4
Contoh 3:
Tentukan persamaan hiperbola yang fokus (±4, 0) dan titik-titik ujung (±2, 0).
Jawab:
Karena fokus yang diberikan terletak pada sumbu-x maka bentuk baku dari
persamaan hiperbola yang dicari seperti pada teorema 2.1.
Dari titik fokus yang diberikan maka diperoleh c = 4, titik ujung diperoleh a = 2
dan b2
= c2
– a2
= 16 – 4 = 12.
Jadi persamaan yang dicari adalah
4
2
x
–
12
2
y
= 1
⇔ 3x2
– y2
= 12
Untuk memperoleh persamaan hiperbola yang lebih umum, misalkan
diadakan translasi pusat sumbu koordinat ke titik (h, k), maka diperoleh persamaan
hiperbola 2
2
a
x
– 2
2
b
y
= 1 menjadi

10. 2
2
)(
a
hx −
– 2
2
)(
b
ky −
= 1
Untuk c2
= a2
+ b2
, persamaan di atas adalah persamaan hiperbola dengan pusat di (h,
k), titik-titik fokus (h ± c, k) dan titik-titik ujung (h ± a, k) Hal ini dinyatakan dalam
teorema berikut.
Teorema 2.5:
Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai pusat (h, k), fokus (h ± c, k)
dan titik-titik ujung (h ± a, k) jika dan hanya jika memenuhi persamaan
2
2
)(
a
hx −
– 2
2
)(
b
ky −
= 1
dengan b2
= c2
– a2
(lihat gambar 6.5).
y
(h, k + b)
(h – a, k) (h + a, k)
F’(h – c, k) (h, k) F(h + c, k)
(h, k – b)
x
Gambar 2.5
Teorema 2.6:
Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai pusat (h, k), fokus (h, k ±
c) dan titik-titik ujung (h, k ± a) jika dan hanya jika memenuhi persamaan
2
2
)(
a
hy −
– 2
2
)(
b
kx −
= 1

11. dengan b2
= c2
– a2
(lihat gambar 2.6).
y
F(h+c, k)
(h, k + b)
(h – a, k) (h – a, k)
(h, k)
(h, k – b) x
F’(h – c, k)
Gambar 2.6
Contoh 4:
Sebuah hiperbola mempunyai persamaan
9x2
– 4y2
– 36x – 8y + 68 = 0
Tentukan pusat, titik ujung, titik fokus dan gambar grafik hiperbola tersebut.
Jawab:
Kita ubah bentuk persamaan di atas ke dalam bentuk baku seperti pada teorema
2.3 atau teorema 2.4.
9x2
– 4y2
– 36x – 8y + 68 = 0
⇔ 9x2
– 36x – 4y2
– 8y = –68
⇔ 9(x2
– 4x + 4) – 4(y2
+ 2y + 1) = –68 + 36 – 4
⇔ 9(x – 2)2
– 4(y + 1)2
= –36
⇔ 4(y + 1)2
–9(x – 2)2
= 36
⇔
9
)1( 2
+y
–
4
)2( 2
−x
= 1
Dari persamaan terakhir diperoleh informasi h = 2, k = –1, a2
= 9, dan b2
= 4.
Dengan demikian c2
= a2
+ b2
= 9 + 4 = 13.

12. Menurut teorema 6.4 dapatlah disimpulkan bahwa hiperbola yang terjadi
berpusat di (2, –1), titik-titik ujungnya (2, –1 + 3) = (2, 2) dan (2, –1 – 3) = (2, –
4), titik fokusnya adalah (2, –1 + 13 ) dan (2, –1 – 13 ). Sketsa grafik dapat
dilihat di gambar 2.7
y
F(2,-1+ 13 )
(2, 2)
x
(0,-1)(2,-1) (4,-1)
(2, -4)
F’(2,-1– 13 ) Gambar 2.7

13. 2.8 Persamaan Garis Singgung Hiperbola

14. BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Perkembangan ilmu pengetahuan telah membuat hiperbola sebagai
bentuk dalam ilmu geometri yang telah diterapkan dalam kehidupan. Salah
satu penerapam dari hiperbola yaitu pada jam matahari.
Kapanpun harinya, matahari selalu berputar tanpa kemajuan pada bola
samawi, dan leretannya membentur titik pada satu jejak jam matahari keluar
satu kerucut cahaya.
Dalam ilmu fisika penerapan hiperbola dapat terlihat pada cahaya
lampu pada gambar di bawah ini, dimana cahaya yang dihasilkan memiliki
pola hiperbola.
3.2 Saran
Semoga ilmu yang telah dipelajari dapat bermanfaat. Belajarlah
dengan sungguh-sungguh jika kita ingin mendapatkan hasil yang terbaik.
Berusaha semaksimal mungkin, suatu saat engkau akan menikmati hasil
usaha jerih payahmu.