Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
HIPERBOLOIDA
- 1. HIPERBOLOIDA Mata Kuliah : Geometri Analitik Ruang Dosen Pengampu : Azis Muslim, M.Pd. Maharani Amalia 180101040638
- 2. HIPERBOLOIDA Definisi A hyperboloid is the set of point in π 3 such that for each point the difference of itβs distances from two fixed point (the foci) is constant. Dari definisi diatas, dikatakan bahwa hiperboloida merupakan himpunan titik- titik di π 3 (dimensi 3) yang selisih jaraknya terhadap dua titik tetap yang disebut sebagai titik fokus adalah sama.
- 3. HIPERBOLOIDA Pada permasalahnya hiperboloida (hyperboloid) memiliki 2 jenis, yaitu : β’ Hiperboloida Satu Daun (Hyperboloid One-Sheet) β’ Hiperboloida Dua Daun (Hyperboloid Two-Sheet)
- 4. HIPERBOLOIDA SATU DAUN (HYPERBOLOID ONE-SHEET) Hiperbola satu daun adalah hasil putaran hiperbola pada bidang yang diputar mengelilingi sumbu z maka akan diperoleh sebuah bidang putar yaitu hiperboloida satu daun (Hyperboloid One-sheet).
- 5. HIPERBOLOIDA SATU DAUN (HYPERBOLOID ONE-SHEET) Bentuk umum persamaan hiperboloida satu daun : π₯2 π2 + π¦2 π2 β π§2 π2 = 1 Pada persamaan umum diatas mewakili persamaan dari permukaan yang disebut dengan hiperboloida satu daun. Misal π§ = 0, π₯2 π2 + π¦2 π2 = 1 Maka jejak π₯π¦ adalah elips.
- 6. HIPERBOLOIDA SATU DAUN (HYPERBOLOID ONE-SHEET) Jika kita mengganti π§ dalam persamaan yang berikan dengan nilai tetap π§0 maka kita akan memperoleh persamaan : π₯2 π2 + π¦2 π2 = 1 + π§0 2 π2 Maka persamaan ini menujukkan bahwa bagian-bagian yang sejajar dengan bidang xy adalah elips dan bahwa bagian-bagiannya bertambah besar karena bidang yang berpotongan π§ = π§0 menjauh dari titik asal. Jika π = π adalah bagian lingkaran dan permukaan tersebut adalah sebuah permukaan putaran.
- 7. HIPERBOLOIDA SATU DAUN (HYPERBOLOID ONE-SHEET) Jejak-jejak di bidang π₯π§ dan π¦π§ masing-masing adalah hiperbola yang memiliki persamaan : π₯2 π2 β π§2 π2 = 1 Dan π¦2 π2 β π§2 π2 = 1
- 8. HIPERBOLOIDA SATU DAUN (HYPERBOLOID ONE-SHEET) Bagian-bagian yang sejajar dengan π₯π§ dan π¦π§ juga merupakan hiperbola yang masing-masing persamaannya adalah : π₯2 π2 β π¦2 π2 + π§2 π2 = 1 Dan β π₯2 π2 + π¦2 π2 + π§2 π2 = 1 Yang membentuk hiperboloida satu daun.
- 9. HIPERBOLOIDA SATU DAUN (HYPERBOLOID ONE-SHEET) Dimana, Persamaan pertama adalah persamaan hiperboloida satu daun yang mana kurva hiperbola memutar mengelilingi sumbu π¦. Persamaan kedua adalah hiperboloida satu daun yang mana kurva hiperbola memutar mengelilingi sumbu π§.
- 10. HIPERBOLOIDA SATU DAUN (HYPERBOLOID ONE-SHEET) Karakteristik umum yang ada pada hiperboloida satu daun (hyperboloid one-sheet) adalah : β’ π₯2 π2 + π¦2 π2 β π§2 π2 = 1 β’ Jejak berbentuk elips pada bidang π₯π¦. β’ Jejak berbentuk hiperbola pada bidang π₯π§. β’ Jejak berbentuk hiperbola pada bidang π¦π§. β’ Sumbu hiperboloida sesuai dengan variabel yang koefisiennya negatif. β’ Berbentuk sebuah terowongan dengan corong yang membesar. β’ Hanya memiliki satu variabel negatife pada persamaanya.
- 11. HIPERBOLOIDA SATU DAUN (HYPERBOLOID ONE-SHEET) Contoh Gambar Hiperboloida Satu Daun (Hyperboloid One-Sheet) :
- 12. HIPERBOLOIDA SATU DAUN (HYPERBOLOID ONE-SHEET) Contoh Soal : Diketahui sebuah persamaan 4π₯2 + 9π¦2 β π§2 = 36. Tentukan : a. Persamaan hiperboloida satu daunnya. b. Persamaan bidang yang membentuknya. c. Cara menggambar hiperboloida satu daunnya.
- 13. HIPERBOLOIDA SATU DAUN (HYPERBOLOID ONE-SHEET) Penyelesaian : a. Persamaan hiperboloida satu daun 4π₯2 + 9π¦2 β π§2 = 36 4 36 π₯2 + 9 36 π¦2 β 1 36 π§2 = 36 36 1 9 π₯2 + 1 4 π¦2 β 1 36 π§2 = 1 π₯2 9 + π¦2 4 β π§2 36 = 1
- 14. HIPERBOLOIDA SATU DAUN (HYPERBOLOID ONE-SHEET) b. Persamaan bidang yang membentuknya - Persamaan 4π₯2 + 9π¦2 = 36 berbentuk elips pada bidang π₯π¦, dan π§ = 0 - Persamaan 4π₯2 β π§2 = 36 berbentuk hiperbola pada bidang π₯π§, dan π¦ = 0 - Persamaan 9π¦2 β π§2 = 36 berbentuk hiperbola pada bidang π¦π§, dan π₯ = 0
- 15. HIPERBOLOIDA SATU DAUN (HYPERBOLOID ONE-SHEET) c. Cara menggambar hiperboloida satu daun β’ Misalkan π¦ = π§ = 0, maka π₯2 9 + π¦2 4 β π§2 36 = 1 β π₯2 9 + 0 4 β 0 36 = 1 π₯2 9 = 1 π₯2 = 9 π₯ = 9 π₯ = Β±3 (Titik Potong) β’ Misalkan π₯ = π§ = 0, maka π₯2 9 + π¦2 4 β π§2 36 = 1 β 0 9 + π¦2 4 β 0 36 = 1 π¦2 4 = 1 π¦2 = 4 π¦ = 4 π¦ = Β±2 (Titik Potong)
- 16. HIPERBOLOIDA SATU DAUN (HYPERBOLOID ONE-SHEET) Jadi, dari titik potong diatas maka didapatkan hiperboloida satu daun yang berbentuk sebagai berikut.
- 17. HIPERBOLOIDA DUA DAUN (HYPERBOLOID TWO-SHEET) Hiperboloida dua daun adalah bagian luar hiperbola yang membentuk parabola pada titik fokus hiperbola, parabola tersebut diputar pada sumbu π₯ sehingga terbentuklah hiperboloida dua daun (hyperboloid two-sheet).
- 18. HIPERBOLOIDA DUA DAUN (HYPERBOLOID TWO-SHEET) Bentuk umum persamaan hiperboloida dua daun : π₯2 π2 β π¦2 π2 β π§2 π2 = 1 Yang mana persamaan diatas mewakili permukaan yang disebut dengan hiperboloida dua daun. Dengan mengatur setiap variabel dengan sama dengan nol, maka kita dapat persamaan : π₯2 π2 β π¦2 π2 = 1, π₯2 π2 β π§2 π2 = 1, β π¦2 π2 β π§2 π2 = 1
- 19. HIPERBOLOIDA DUA DAUN (HYPERBOLOID TWO-SHEET) Dua persamaan pertama menunjukkan jejak pada bidang π₯π¦ dan π₯π§ adalah hiperbola, sedangkan yang ketiga memberitahukan kalau tidak ada jejak pada bidang π¦π§. Bagian-bagian yang terbentuk dari bidang π₯ = 0 diberikan oleh persamaan : π¦2 π2 + π§2 π2 = π₯0 2 π2 β 1 Persamaan diatas merupakan sebuah titik atau sebuah elips dengan nilai π₯0 sama dengan atau lebih dari π. Bagian-bagian yang sejajar pada bidang π₯π§ dan π₯π¦ adalah hiperbola.
- 20. HIPERBOLOIDA DUA DAUN (HYPERBOLOID TWO-SHEET) Jika π = π, maka hiperboloida dua daun adalah tersebut adalah sebuah permukaan putaran. Persamaan hiperboloida dua daun juga diwakili oleh persamaan berikut : β π₯2 π2 β π¦2 π2 + π§2 π2 = 1 Dan β π₯2 π2 + π¦2 π2 β π§2 π2 = 1
- 21. HIPERBOLOIDA DUA DAUN (HYPERBOLOID TWO-SHEET) Karakteristik hiperboloida dua daun (hyperboloid two-sheet) adalah : β’ π₯2 π2 β π¦2 π2 β π§2 π2 = 1 β’ Terbentuk dari bagian luar hiperbola yang membentuk parabola dari titik fokus hiperbola. β’ Jejak berbentuk hiperbola pada bidang π₯π§. β’ Jejak berbentuk hiperbola pada bidang π₯π¦. β’ Tidak meninggalkan jejak pada bidang π¦π§. β’ Sumbu hiperboloida sesuai dengan variabel yang koefisiennya positif. β’ Tidak ada jejak pada bidang koordinat yang tegak lurus terhadap sumbu. β’ Berbentuk 2 buah corong. β’ Memiliki 2 variabel negatif pada persamaanya.
- 22. HIPERBOLOIDA DUA DAUN (HYPERBOLOID TWO-SHEET) Contoh Gambar Hiperboloida Dua Daun (Hyperboloid Two-Sheet) :
- 23. HIPERBOLOIDA DUA DAUN (HYPERBOLOID TWO-SHEET) Contoh Soal : Diketahui sebuah persamaan 16π§2 β 4π¦2 β 9π₯2 = 144. Tentukan : a. Persamaan hiperboloida dua daunnya b. Persamaan bidang yang membentuknya c. Cara menggambar hiperboloida dua daunnya
- 24. HIPERBOLOIDA DUA DAUN (HYPERBOLOID TWO-SHEET) Penyelesaian : a. Persamaan hiperboloida dua daun 16π§2 β 4π¦2 β 9π₯2 = 144 16 144 π§2 β 4 144 π¦2 β 9 144 π₯2 = 144 144 1 9 π§2 β 1 36 π¦2 β 1 16 π₯2 = 1 π§2 9 β π¦2 36 β π₯2 16 = 1
- 25. HIPERBOLOIDA DUA DAUN (HYPERBOLOID TWO-SHEET) b. Persamaan bidang yang membentuknya - Persamaan β9π₯2 β 4π¦2 = 144 berbentuk elips pada bidang π₯π¦, dan π§ = 0 - Persamaan β9π₯2 + 16π§2 = 144 berbentuk hiperbola pada bidang π₯π§, dan π¦ = 0 - Persamaan β4π¦2 + 16π§2 = 144 berbentuk hiperbola pada bidang π¦π§, dan π₯ = 0
- 26. HIPERBOLOIDA DUA DAUN (HYPERBOLOID TWO-SHEET) c. Cara menggambar hiperboloida dua daun β’ Misalkan π¦ = π§ = 0, maka π§2 9 β π¦2 36 β π₯2 16 = 1 β 0 9 β 0 36 β π₯2 16 = 1 β π₯2 16 = 1 βπ₯2= 16 βπ₯ = 16 π₯ = β4 (Titik Potong) β’ Misalkan π₯ = π§ = 0, maka π§2 9 β π¦2 36 β π₯2 16 = 1 β 0 9 β π¦2 36 β 0 16 = 1 β π¦2 36 = 1 βπ¦2= 36 βπ¦ = 36 π¦ = β6 (Titik Potong)
- 27. HIPERBOLOIDA DUA DAUN (HYPERBOLOID TWO-SHEET) Jadi, dari titik potong diatas maka didapatkan hiperboloida dua daun yang berbentuk sebagai berikut.