1. Системы рациональных уравнений.
Основные методы решения.
ЭМ и ПРМЗ, Лекция 1
к.п.н., доц. Пырков Вячеслав Евгеньевич
pyrkov-professor.ru pyrkovve@yandex.rupyrkov-professor.ru pyrkovve@yandex.ru
2. План
1. Основные понятия
2. Теоремы о равносильности
3. Метод алгебраического сложения
4. Метод подстановки
5. Метод замены переменных
6. Примеры решения систем
Литература
1. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по
элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. –
М.: Просвещение, 1991. – С.57-74.
3. 1. Основные понятия
Несколько уравнений с двумя переменными x, y
образуют системусистему, если ставится задача об отыскании
всех таких пар ((xx;; yy)), которые удовлетворяют каждому из
заданных уравнений.
Каждая такая пара называется решениемрешением системы.
Решить систему уравнений – значит найти все её решения.
Если множество решений пустое, то говорят, что система
не имеет решений или что она несовместнанесовместна.
8. 2. Теоремы о равносильности
Если, решая систему, мы преобразовали её в систему,
являющуюся следствием исходной, то найденные
решения новой системы подлежат проверке.
18. 6. Примеры решения систем
Д/з: Из [1] №№411-479 (по последней цифре) + графический метод решения
Editor's Notes
Следствием может быть система и из большего числа уравнений, например, если к данной системе добавить результат алгебраического сложения её уравнений.
Рассмотрим две теоремы, применяющиеся при решении систем уравнений.
Например, подстановкой найденных значений переменных в исходную систему.
Итак:
Система 4 равносильна системе 3.
Если не существует таких пар (х;у), при которых обе части уравнения (1) одновременно обращаются в нуль, то система 5 равносильна системе 3.
Система 6 равносильна системе 3, если для любых х, у из области определения системы 3 выполняется неравенство f2*g2>=0/
Если не существует таких пар (х,у) при которых одновременно обращаются в нуль обе части второго уравнения системы 3, то система 7 равносильна системе 3.
Из теорем 1 и 2 вытекает теорема 3.
Решения у Литвиненко/Мордкович с.61-62.
Алгебраический метод (метод линейного преобразования системы) основан на следующей теореме.
Эта теорема распространяется на случай, когда число уравнений больше двух. Например, для трех уравнений с тремя переменными имеет место следующая теорема.
Метод подстановки основан на следующей теореме.
Для системы трех уравнений с тремя переменными соответствующая теорема формулируется следующим образом:
Рассмотрим примеры применения этих методов при решении систем уравнений.