уравнения с параметрами

1. МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ВІДДІЛЕННЯ МАТЕМАТИКИ МАЛОЇ АКАДЕМІЇ НАУК
ДОНЕЦЬКЕ ТЕРІТОРІАЛЬНЕ ВІДДІЛЕННЯ
СЕКЦІЯ: МАТЕМАТИКА
Розв'язування лінійних та квадратних рівнянь
з параметрами
Роботу виконала
Криворучко Джемма, учениця 9 класу
Новотроїцької ЗШ I-III ступенів № 4
Волноваського району
Донецької області
Науковий керівник – Грішко О.В.,
вчитель математики

2. 2
Волноваха, 2011

3. 3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………….3
I. Теоретические основы решения уравнений с параметрами…………………5
II. Анализ школьных учебников по алгебре……………………………………11
III. Основные виды уравнений с параметрами………………………………….14
1) линейные уравнения………………………………………………….14
2) квадратные уравнения………………………………………………..15
3) дробно-рациональные уравнения……………………………………18
IV. Аналитический метод решения уравнений с параметрами………………...21
1) Поиск решений уравнений, содержащих параметр
Метод «ветвления»…………………………………………………...21
2) Параметр и количество решений уравнений,
содержащих параметр……………………………………………….22
3) Параметр и свойства решений уравнений,
содержащих параметр……………………………………………….23
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………...25
ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА…………………………………………….26
Приложение 1
Приложение 2

4. 4
ВВЕДЕНИЕ
Как известно, решению задач с параметрами в школе уделяется очень мало
внимания. Интерес к теме объясняется тем, что уравнения с параметрами
предлагаются на вступительных экзаменах в ВУЗы. Поэтому очень трудно
рассчитывать на то, что учащиеся, подготовка которых не содержала
"параметрическую терапию", смогут в жесткой атмосфере конкурсного экзамена
успешно справиться с подобными задачами.
Совершенно очевидно, что к "встрече" с такими заданиями надо специально
готовиться.
Этому, возможно, поможет этот мини-учебник.
Главной целью создания этого мини-учебника являются расширение и
углубление знаний, теоретических основ решения уравнений с параметрами,
основными их видами и рекомендациями к решению, развитие интереса учащихся к
предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения строится
как совместная исследовательская деятельность учащихся.
Актуальность темы данной работы определяется необходимостью уметь
решать уравнения с параметрами на вступительных экзаменах в высшие учебные
заведения.
Цель нашей работы: рассказать о решении уравнений с параметрами
(линейными и квадратными).
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
• дать определения понятиям уравнение с параметрами;
• показать принцип решения данных уравнений на общих случаях;
• рассмотреть случаи решения уравнений с параметрами (линейных и
квадратных);
• рассмотреть аналитические методы решения уравнений с параметрами;

5. 5
• познакомить учащихся с некоторыми методами решения уравнений,
содержащих параметр;
• показать применение различных методов при решении уравнений одного
типа;
• формировать умение видеть рациональный метод для решения конкретных
типов уравнений, содержащих параметр;
• формировать логическое мышление;
• формировать настойчивость, целеустремленность, трудолюбие через
решение сложных задач;
• развивать математическую речь с присущей ей краткостью, точностью и
лаконичностью;
• подготовить учащихся к поступлению в вузы.
Объектом исследовательской работы было аналитическое решение
уравнений с параметрами (линейных и квадратных).
Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть,
заключение, библиографический список.
Курс рассчитан на систематизацию методов решения уравнений, содержащих
параметр и их классификацию. Необходимо рассмотреть основные методы решения
наиболее часто встречаемых на выпускных и вступительных экзаменах, а именно,
методы решения квадратных уравнений, линейных, аналитический метод решения
уравнений.

6. 6
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С
ПАРАМЕТРАМИ
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического
мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у
них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с
параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из
которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на
вступительных экзаменах в вузы.
Большинство пособий адресовано абитуриентам, однако начинать знакомиться
с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими
разделами школьной программы по математике.
Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными
числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а
уравнение параметрическим.
Пусть дано уравнение с переменными х, а: f (x; a) = 0.
Если ставится задача для каждого действительного значения а решить это
уравнение относительно х, то уравнение f (x; a) = 0 называется уравнением с
переменной х и параметром а.
Решить уравнение с параметром а – это значит для каждого значения а найти
значения х, удовлетворяющие этому уравнению.
Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное (X, Y, Z), содержат
другие буквы, называемые параметрами (a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а
с бесконечным множеством уравнений.
В общеобразовательных классах данная тема не берется в явном виде. Она
рассматривается в заданиях более сложного характера. Например, при изучении
темы "Квадратные уравнения", можно встретить следующие задания:
1) При каком р уравнение х2
– 2х + 1 = р имеет один корень ?

7. 7
2) При каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения х2
+
(р2
+ 4р – 5) х – р = 0 равна нулю ?
Известно, что в программах по математике для неспециализированных школ
этим задачам отводится незначительное место. Поэтому, в первую очередь укажем
разделы общеобразовательной математики, в которых вообще присутствует сама
идея параметра.
Так, с параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий.
Не приводя подробных определений, рассмотрим в качестве примеров следующие
объекты:
• функция прямая пропорциональность: у = кх
(х и у – переменные; к – параметр, к ≠ 0);
• линейная функция: у = кх+b
(х и у — переменные; к и b – параметры);
• линейное уравнение: ах + b = 0
(х – переменная; а и b – параметры);
• уравнение первой степени: ах + b = 0
(х – переменная; а и b – параметры, а ≠ 0);
• квадратное уравнение: ах2
+ bх + с = 0
(х – переменная; а, b и с – параметры, а ≠ 0).
Вспомним теорию, применяемую при решении уравнений вида: ах+в=0.
Исследование и решение линейных уравнений с параметрами
Уравнение вида ах + b = 0, где а и b – постоянные коэффициенты, называется
линейным уравнением относительно неизвестного х.
Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как
уравнение с параметрами, где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого

8. 8
уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором
обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи,
когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра а является значение а = 0.
Это уравнение равносильно уравнению ах = – b. Исследуем его.
1. Если а ≠ 0, то уравнение имеет единственное решение а
b
х −= .
2. Если а = b = 0, то уравнение обретает вид 0х = 0. Этому уравнению
удовлетворяет любое действительное значение х, а потому оно имеет
бесконечно много решений.
3. Если а = 0, b ≠ 0, то уравнение имеет вид 0х = –b. Это уравнение не имеет
решений.
Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с
параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где
решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных
случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень
важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.
В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет
решение. Тем не менее, я считаю целесообразным привести ответ.
Ответ:
х = a
b
при а ≠ 0, b – любое действительное число;
х – любое число при а = 0, b = 0;
решений нет при а = 0, b ≠ 0.
Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром – это
необходимость осторожного, даже, если хотите, деликатного обращения с
фиксированным, но неизвестным числом. Этому, по нашему мнению, во многом
будут способствовать наши примеры.

9. 9
Для того чтобы понять, что такое параметр, разберем несколько простых
примеров, с помощью которых мы и попытаемся понять смысл параметра.
Рассмотрим уравнение 6=ax .
Зададим себе вопрос, как мы будем решать это уравнение. При делении на
неизвестную величину a необходимо учесть, что эта величина может быть равна
нулю. Рассмотрим случай когда 0=a .
При 0=a получаем следующее уравнение 60 =⋅ x , которое не имеет решения.
Если же 0≠a , то мы можем разделить на a и получим a
x
6
= .
Теперь запишем ответ, но нужно учитывать то, что мы рассматривали
различные значения неизвестной а и поэтому ответ нужно записывать для всех
случаев.
Ответ. При 0≠a
a
x
6
= ;
при 0=a нет корней.
Следующее уравнение 1)1( 2
−=− axa также требует рассмотрения случаев,
когда коэффициент при x равен нулю или нет.
Решение.
012
=−a , то есть 1−=a или 1=a . При первом значении мы получаем
уравнение 20 −=⋅ x , у которого решений нет, а при втором значении получаем
уравнение 00 =⋅ x , решением которого является все множество действительных
чисел.
Если 012
≠−a , то мы можем разделить на коэффициент при х и получим
1
1
+
=
a
x . Запишем ответ.
Ответ. Если 1−=a , то Rx∈ ;
Если 1=a , то нет решения;
Если 1−≠a и 1≠a , то 1
1
+
=
a
x .

10. 10
Дальше рассмотрим уравнение 1)1( 2
−=− xxa .
Решение.
Решаем это уравнение методом группировки
0)1)(1(
0)1)(1(
12
=−−−
=+−−−
−=−
xax
xxaax
xaax
и получаем
Ответ. 1,1 −== axx .
В этом уравнении мы не рассматривали различные значения, принимаемые
неизвестной а, так как при решении нам не приходилось делить на а.
Решая эти три уравнения, мы имели дело с уравнениями, содержащие параметр,
где a – это параметр. Итак, давайте попробуем дать определение параметру. Мы
узнали о параметре, решая эти три уравнения, что параметр есть неизвестная, так
как он (параметр) принимал различные значения, но, с другой стороны, мы решали
эти уравнения, принимая параметр за известную величину. Итак, параметр – это
неизвестная, при некоторых значениях которой необходимо рассматривать и решать
частные уравнения. Эти значения называются особыми. В первом уравнении
особым значением параметра было значение неизвестной а, равное нулю, во втором
– равное 1 и -1, а в третьем особых значений нет.
Для уравнений, в решении которых рассматривается различные значения
параметра, будем пользоваться следующим алгоритмом решения.
Алгоритм.
1. Находим область значений параметра.
2. Для тех значений параметра, которые входят в область:
a) Находим особые значения параметра, при которых, содержащее
параметр выражение, на которое происходит деление, обращается в 0.
Для них рассматриваем уравнения, которые получились при
подстановке значений параметра.
b) Решаем уравнение, исключая эти значения.

11. 11
3. Для тех значений параметра, которые не входят в область – корней нет.
4. Собираем все значения параметра и соответствующие им значения
неизвестной записываем ответ.
Итак, подведем итог. При решении уравнений, содержащих параметр,
существуют особые способы решения. Главным отличием является то, что при
решении происходит перебор значений параметра и рассмотрения для этих
значений соответствующего значения неизвестной.

12. 12
II. АНАЛИЗ ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКОВ ПО АЛГЕБРЕ
Проанализируем действующие учебники курса алгебры, чтобы выяснить,
насколько в них представлены задания, использующие понятие «параметр», и
методы решения уравнений, содержащих параметр.
1. Бевз Г.П., Бевз В.Г. «Алгебра. Учебник для 7класса
общеобразовательных учебных заведений.»
При изучении уравнений представлено четыре задания с параметром (№№36*,
38*, 113*, 114*). Рассматриваются простейшие линейные уравнения, но
коэффициент при х является параметром и необходимо исследовать уравнение на
количество корней или при каком значении параметра уравнение будет иметь
корень равный заданному числу.
Также в данном учебнике в §23 «Линейная функция» (глава 4 «Функции»)
рассматривается линейная функция (а также частный случай – прямая
пропорциональность), где, не вводя понятие параметр, его используют. А именно,
выясняется расположение графика функции kxy = в зависимости от коэффициента
k , который и является параметром.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. "Алгебра. Учебник для 8
класса общеобразовательных учебных заведений.»
При изучении темы "Квадратные корни. Арифметический квадратный корень"
(п.12 из §2 "Квадратные корни") предложены два задания (№№ 415*, 416*) с
квадратными корнями типа: решить уравнение для каждого значения а (а даже без
упоминания термина "параметр").
В §3 «Квадратные уравнения» непосредственно приводятся аналитический и
графический методы решения уравнений. В учебнике представлены уравнения с

13. 13
параметром, где необходимо: выяснить вид квадратного уравнения (№605*),
решить квадратное уравнение для всех значений параметра (№№ 649*, 650*); найти
значения параметра, если известен корень квадратного уравнения.
При нахождении корней квадратного уравнения снова рассматриваются
уравнения, содержащие параметр, где необходимо найти значение параметра при
данном количестве корней квадратного уравнения (№№ 644* – 648*, 651*, 752*). В
№652* – необходимо доказать, что уравнение не имеет единственного корня ни при
каком значении параметра.
При изучении теоремы Виета предлагаются задания на нахождение значения
параметра при данном количестве корней (№ 969).
Большое внимание уделяют параметру при повторении. Предлагаются задания,
содержащие параметр, в основном, для повторения квадратных уравнений ( №№
802, 827, 876, 888, 890, 892). Все номера одного характера – исследовать корни
квадратного уравнения, то есть найти количество корней или сами корни в
зависимости от значений параметра.
3. Бевз Г.П. Алгебра. 9 класс.
Использование параметра ведется в главе «Квадратичная функция». При
формулировании свойств функции 2
axy = в зависимости от коэффициента a , и
предлагается для решения задача на нахождение нулей функции, которая зависит от
параметра. В разделе приводятся задания с параметром на исследование: области
значений; вершины параболы; нулей функции; принадлежность данных точек
функции, содержащей два параметра.
При рассмотрении графиков функций naxy += 2
и 2
)( mxay −= строятся
предпосылки для решения уравнений, содержащих параметр, графическим методом
(параллельный перенос).
Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

14. 14
• в каждом рассмотренном учебнике задания, содержащие параметр,
используются для проверки знаний и умений, приобретенных во время
изучения той или иной темы. Предлагаются задания творческого
характера, требующие от учащихся применения полученных знаний и
умений в нестандартных условиях;
• ни в одном из рассмотренных учебников не даётся чёткого определения
параметра;
• во всех учебниках задания однотипны.

15. 15
III. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ
1) Решение линейных уравнений с параметрами.
Рассмотрим ряд примеров.
1. Решить уравнение ах = 1.
Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: х = .
Однако при а = 0 данное уравнение будет иметь вид 0 х = 1 и решений не имеет,
тогда верный ответ выглядит так.
Ответ. Если а = 0, то нет решений;
если а ≠ 0, то х = .
2. Решить уравнение (a2
– 1) х = a + 1,
Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно
рассмотреть такие случаи:
1) а = 1; тогда уравнение принимает вид 0 х = 2 и не имеет решений;
2) а = -1; получаем 0 х = 0, и очевидно х – любое.
3) а ≠ ±1; имеем х = .
Ответ:
нет решений, если а = 1;
х – любое, если а = -1;
х = , если а ≠ ±1.
3. Решите уравнения:
а) х – а = 0, ответ: при а ∈(-∞; +∞) х = а;

16. 16
б) х = а,
ответ: при а < 0 корней нет; при а = 0 х=0, при а ≥ 0 х = ± а.
в) (а2
– 4) х = а2
+ а – 6
Решение. Если а2
– 4 ≠ 0, т.е. а ≠ ± 2, то х =
4
6
2
2
−
−+
а
аа
;
х = )2)(2(
)2)(3(
+−
−+
аа
аа
= 2
3
+
+
а
а
;
Если а = 2, т.е. 0х = 0, то х – любое число;
Если а = -2, т.е. 0х = -4, то корней нет;
Ответ: 1) если а = -2, то корней нет; 2) если а = 2, то х – любое действительное
число; 3) если а ≠ 2, а ≠ -2, то х = 2а
3а
+
+
.
2) Решение квадратных уравнений с параметрами
Аналогично рассуждая, можно решить квадратное уравнение с параметром. В
уравнении 02
=++ cbxax контрольными значениями параметра могут быть те, при
которых
1) меняется тип уравнения (при 0=a уравнение – линейное, при 0≠a –
квадратное),
2) меняется количество корней (при 0<D уравнение не имеет решений, при
0=D уравнение имеет одно решение, и при 0>D уравнение имеет два
решения).
Пример 1. При каждом значении параметра найти количество различных
решений уравнения 03)1(22
=−+−+ axaax .
Решение. Рассмотрим все возможные случаи:
1) При 0=a уравнение – линейное и имеет вид 032 =−− x . Это уравнение
имеет единственное решение
2
3
−=x .
2) Если 0≠a , то уравнение будет квадратным и его решение зависит от знака
дискриминанта )1(4)3(4)1(4 2
+=−−−= aaaaD .

17. 17
– если 1−<a , то дискриминант – отрицательный и уравнение не имеет
решений,
– если



≠
−>
0
1
a
a
, то дискриминант положительный и уравнение имеет два
решения
a
aa
x
a
aa
x
11
,
11
21
++−
=
+−−
= ,
– если 1−=a , то дискриминант равен нулю и уравнение имеет одно решение
2−=x .
Ответ. При 1−<a количество решений равно нулю, при 0=a и 1−=a
уравнение имеет одно решение, при



≠
−>
0
1
a
a
уравнение имеет два решения.
Пример 2. Решить уравнение
(а – 1)∙х2
+ 2 (2а+1) х + (4а+3) = 0.
Решение. В данном случае контрольным значением параметра a является
единица. Дело в том, что при a = 1 уравнение является линейным, а при а ≠ 1 оно
квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит,
целесообразно рассмотреть уравнение как семейство уравнений, получающихся из
него при следующих значениях параметра:
1) a = 1; 2) а ≠ 1.
Рассмотрим эти случаи.
1) При a=1 исходное уравнение примет вид 6х + 7 = 0. Из этого уравнения
находим х = – 6
7
.
2) Из множества значений параметра а ≠ 1 выделим те значения, при которых
дискриминант уравнения обращается в 0.
Дело в том, что если дискриминант D = 0 при а = ао, то при переходе значения
D через точку ао дискриминант может изменить знак (например, при а < ао D < 0, а
при а > ао D > 0). Вместе с этим при переходе через точку ао меняется и число

18. 18
действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а < ао корней
нет, так как D < 0, а при а > ао D > 0 уравнение имеет два корня). Значит, можно
говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при
которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к
контрольным значениям.
Составим дискриминант уравнения:
4
D
=(2а + l)2
— (а — 1) (4а + 3). После упрощений получаем 4
D
= 5а+4.
Из уравнения 4
D
= 0 находим 5
4
−=a – второе контрольное значение параметра
а. При этом если 5
4
−<a , то D < 0; если 5
4
−≥a , то D ≥ 0; и 1≠a .
Таким образом, осталось решить уравнение в случае, когда 5
4
−<a и в случае,
когда 5
4
−≥a и 1≠a .
Если 5
4
−<a , то уравнение не имеет действительных корней;
если же 5
4
−>a и 1≠a , то находим
1
45)12(
2,1
−
+±+−
=
a
aa
x ;
если 5
4
−=a , то 0=D и тогда 3
1
−=x .
Ответ: 1) если 5
4
−<a , то корней нет;
2) если а = 1, то х = 6
7
− ;
3) если 5
4
−=a , то 3
1
−=x ;
4) если




≠
>
1
5
4
a
-a
, то
1
45)12(
2,1
−
+±+−
=
a
aa
x .

19. 19
3) Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр, сводящиеся к
линейным.
Процесс решения дробно-рациональных уравнений протекает по обычной
схеме: данное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей
уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся
решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, то
есть числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с
параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы посторонние корни исключить,
требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то
есть решать соответствующие уравнения относительно параметра.
Пример 1. Определить число натуральных n, при которых уравнение
х
n
n
х
=
−
−
10
8
не имеет решения.
Решение: х ≠ 0, n ≠ 10.
х
n
n
х
=
−
−
10
8
⇔



≠≠
=−−−
10,0
,0)10(82
nх
nnхх
Уравнение х2
– 8х – n(n – 10) = 0 не имеет решения, если его дискриминант
меньше 0, т.е.
16 + n(n-10) < 0;
n2
-10n +16 < 0;
(n-2) (n-8) <0;
2 < n < 8.
В найденном интервале 5 натуральных чисел: 3, 4, 5, 6 и 7. Учитывая условие
n ≠ 10, находим, что общее число натуральных n, при которых уравнение не имеет
решений, равно 6.

20. 20
Ответ: 6.
Пример 2. Решить уравнение )2)(1(
3
2
2
)1(
2
++
−
=
+
−
+ xxa
a
xxa
x
.
Решение. Значение а = 0 является контрольным. При a = 0 уравнение теряет
смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а ≠ 0, то после преобразований
уравнение примет вид:
х2
+ 2 (1 – а) х +а2
– 2а – 3=0.
Найдем дискриминант уравнения 4
D
= (1 – a)2
– (a2
– 2а – 3) = 4. Находим корни
уравнения: х1 = а + 1, х2 = а – 3. При переходе от исходного уравнения к уравнению
х2
+ 2 (1 – а) х +а2
– 2а – 3=0 расширилась область определения уравнения, что
могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.
Проверка. Исключим из найденных значений х такие, при которых
х1 + 1 = 0, х1 + 2 = 0, х2 + 1 = 0, х2 + 2 = 0.
Если х1 + 1 = 0, т.е. (а + 1) + 1 = 0, то а = – 2.
Таким образом, при а = – 2 х1 – посторонний корень уравнения.
Если х1 + 2 = 0, т.е. (а + 1) + 2 = 0, то а = – 3.
Таким образом, при а = – 3 x1 – посторонний корень уравнения.
Если х2 + 1 = 0, т.е. (а – 3) + 1 = 0, то а = 2.
Таким образом, при а = 2 х2 – посторонний корень уравнения.
Если х2 + 2 = 0, т.е. (а – 3) + 2 = 0, то а = 1.
Таким образом, при а = 1 х2 – посторонний корень уравнения.
При а = - 3 получаем х= – 6; при a = – 2 х = – 5;
При a=1 х = 1 + 1 = 2; при a = 2 х = 2 + 1 = 3. Итак, можно записать
Ответ: 1) если a = - 3, то х = - 6;
2) если a = -2, то х = - 5;
3) если a=0, то корней нет;
4) если a = 1, то х=2;
5) если а=2, то х=3;

21. 21
6) если








≠
≠
≠
−≠
−≠
2
1
0
2
3
a
a
a
a
a
, то х1 = а + 1, х2 = а – 3.

22. 22
IV. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
С ПАРАМЕТРАМИ
1. Поиск решений уравнений, содержащих параметр. Метод «ветвления»
В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает некий
психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками
параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной
известной, а с другой – он может принимать различные значения. Получается, что
параметр в уравнении – это неизвестная известная, переменная постоянная
величина. Этот «каламбур» очень точно отражает существо тех сложностей,
которые нужно преодолевать ученикам.
Именно этот факт и позволяет нам решать уравнения с параметром таким
методом («ветвления»).
Пример. Решим уравнение 2а (а – 2) х = а – 2.
Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых
коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются
а = 0 и а = 2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на
коэффициент при х. В то же время при значениях параметра
а ≠ 0, а ≠ 2 это деление возможно.
Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений
параметра разбить на подмножества A1={0}, А2={2} и А3= {а ≠ 0, а ≠ 2} и решить
данное уравнение на каждом из этих подмножеств, т.е. решить уравнение как
семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:
1) а = 0; 2) а = 2; 3) а ≠ 0, а ≠ 2.
Рассмотрим эти случаи.
1) При а = 0 уравнение принимает вид 0 х = – 2. Это уравнение не имеет
корней.
2) При а = 2 уравнение принимает вид 0 х = 0. Корнем этого уравнения
является любое действительное число.

23. 23
3) При а ≠ 0, а ≠ 2 из уравнения получаем, ( ) а2
1
2аа2
2а
х =
−
−
= , откуда
х = а2
1
.
Ответ:
1) если а = 0, то корней нет;
2) если а = 2, то х – любое действительное число;
3) если а ≠ 0, а ≠ 2, то х = а2
1
.
2. Параметр и количество решений уравнений, содержащих параметр
Выделим класс задач, где за счет параметра на переменную накладывается
какие-либо ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки:
• «При каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два
решения, бесконечно много, ни одного»;
• Решением уравнения (неравенства, системы) является какое-то
подмножество множества действительных чисел и другие.
Пример. При каких значениях параметра k уравнение
0
122
104)23(
2
2
=
−−
−+−+
xx
kxkx
имеет единственное решение?
Решение. Уравнение переписываем в равносильную систему



=−+−+
>−−
.0104)23(
,0122
2
2
kxkx
xx
Решением неравенства является объединение промежутков






+∞
+
∪




 −
∞− ;
2
31
2
31
; . Уравнение системы имеет один корень когда 0=D .
2
)72( −= kD , то есть при
2
7
=k 2=x .

24. 24
Теперь проверим, принадлежит ли корень нашим интервалам: 





+∞
+
∈= ;
2
31
2x
.Тогда при
2
7
=k уравнение имеет единственное решение.
Ответ. При
2
7
=k уравнение имеет единственное решение.
3. Параметр и свойства решений уравнений, содержащих параметр
В этом пункте мы рассмотрим задачи, в которых условие требует, чтобы ответ
был каким-либо наперед заданным подмножеством или идут ограничения на
множество значений переменной х.
Пример. При каких значениях параметра a оба корня уравнения
09226 22
=+−+− aaaxx больше 3?
Решение. Корнями данного уравнения будут
.92293
,92293
22
2
22
1
aaaax
aaaax
+−−−=
+−−+=
Для условия необходимо выполнение системы




>+−−−
>+−−+
.392293
,392293
22
22
aaaa
aaaa
Первое неравенство системы и второе будут иметь общие точки только в том
случае если выражение под корнем равно нулю.
Решим уравнение 09229 22
=+−− aaa .
Ответ. Ни при каких значениях параметра a оба корня данного уравнения не
могут быть больше 3.
Выскажем два соображения по поводу роли параметра в приведенных
примерах. Во-первых, искомые значения х выступали в роли зависимой переменной,
а параметр – независимой. Отсюда и возникло "расслоение" решения с учетом

25. 25
определенных значений параметра. Во-вторых, условие задач отводило параметру
скромное место, – не ясно было, повлияет ли его присутствие на ход решения.
Надеемся, что самостоятельное решение упражнений создаст неплохой задел
для дальнейшей работы.

26. 26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При решении приведенных выше задач с параметрами происходит повторение
и, как следствие, более глубокое прочное усвоение программных вопросов. Ученики
расширяют свой математический кругозор, тренируют интеллект, при этом
происходит развитие математического, логического мышления, умения
анализировать, сравнивать и обобщать. Решение задач с параметрами – это помощь
при подготовке к экзаменам. Происходит формирование таких качеств личности,
как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли и точность.
При проведении исследования были решены следующие задачи:
1) проведен анализ действующих школьных учебников по алгебре с целью
выявления использования параметра и методов решения уравнений с
параметром. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы,
что в каждом проанализированном учебнике задания, содержащие
параметр, используется для проверки знаний и умений, приобретенных во
время изучения той или иной темы. Предлагаются задания творческого
характера, требующие от учащихся применения полученных знаний и
умений в нестандартных условиях;
2) выделены классы уравнений, содержащих параметр, и общие их методы
решения;
3) показано, что методы, изложенные в данной работе, применимы для
решения всех видов уравнений, содержащих параметр;
По завершению работы мы пришли к выводу, что эта тема должна изучаться
не только на дополнительных занятиях, но и в школьной программе, так как она
формирует логическое мышление и математическую культуру у школьников.
Учащимся знания по этой теме помогут сдать вступительные экзамены в ВУЗы.

27. 27
ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Задачи с параметрами». –
Москва – Харьков: "Илекса", "Гимназия", 2002 г.
2. Н.Ю. Глаголева «Задачи по математике для поступающих в вузы». – М.:
Просвещение, 1994 г.
3. В.В. Локоть «Задачи с параметрами». – Москва – Харьков: "Илекса",
"Гимназия", 2003 г.
4. Г.А. Ястребинецкий «Уравнения и неравенства, содержащие параметры». –
К.: Рад. шк., 1972 г.
5. Гусев В.А., Мордкович А.Г. «Математика: справ. материалы: Кн. для
учащихся. – М.: Просвещение, 1988 г.
6. В.С. Крамов «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и
начала анализа», М.: Просвещение, 1994 г.
7. «Математика. Решение задач повышенной сложности». – М.:
Просвещение, 2004 г.
8. А.П. Карп «Даю уроки математики…». – К.: Рад. шк., 1992 г.
9. Гайштут О. Г., Литвиненко Г. М. Розв’язування алгебраїчних задач. – К.:
Рад. шк., 1991.
10. Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных
экзаменов по математике. – М.: Наука, Главная редакция физико-
математической литературы, 1980.
11. Письменный Д. Т. Готовимся к экзамену по математике. – М.: Айрис, 1996.
12. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Учеб. пособие/
В. К. Егерев, Б. А. Кордемский, В. В. Зайцев и др.; Под ред. М. И. Сканави.
– 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1988.
13. Сборник конкурсных задач по математике с методическими указаниями и
решениями для поступающих в Харьковский авиационный институт.
Книга 2 / И. В. Брысина, А. В. Головченко, А. Г. Николаев, В. А. Рвачев,

28. 28
Е.П. Томилова, Е. Г. Ушакова, В. В. Хоменко. – Харьков: Харьк. авиац. ин-
т, 1996.
14. Уравнения с параметрами. http://www.ref.by/refs/49/10079/1.html
15. Бевз Г.П., Бевз В.Г. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных
учебных заведений. – К.: Зодиак-ЭКО, 2007.
16. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра: Учебник для 8 класса
общеобразовательных учебных заведений. – Х.: Гимназия, 2008.
17. Бевз Г.П., Бевз В.Г. Алгебра: Учебник для 7-9 классов средней школы. –
К.: "Освіта", 1998.

29. 29
Приложение 1
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решить уравнение с параметрами – значит найти все решения данного
уравнения для каждой допустимой системы значений параметров.
При решении уравнений с параметрами область изменения параметров может
быть задана. Если не указаны границы изменения параметров, то считается, что
параметры достигают всех своих допустимых значений.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Решить уравнение
1) 2х = а.
2) ах = – 3.
3) ах + bх = с.
4) а2
х – аb = а.
5) ах – 2х = а2
– 4.
6) ах – b – 1 = х – а.
7) b
а
у
у =+ .
8) с
b
х
а
х
=+ .
Ответы
1) х = 2
а
.
2) Если а ≠ 0, х = а
3
− ; при а = 0 решений нет.
3) Если а ≠ b, х = bа
с
+
; если а = – b, с ≠ 0, нет решений; если а = – b, с = 0,
х – любое действительное число.
4) Если а ≠ 0, х = a
b 1+
; если а = 0, х – любое действительное число.
5) Если а ≠ 2, х = а + 2; если а = 2, х – любое действительное число.
6) Если а ≠ 1, х = 1
1
−
+−
a
ab
; если а = 1, b = 0, х – любое действительное
число; если а = 1, b ≠ 0, нет решений.

30. 30
7) Если а ≠ 0, а ≠ 1, y = 1+a
ab
; если а = – 1, b ≠ 0, нет решений; если а = – 1,
b = 0, y – любое действительное число.
8) Если а ≠ – b, а ≠ 0, x = ba
abс
+
; если а = – b, c ≠ 0, нет решений; если а = –
b, c = 0, x – любое действительное число.)
2. Определить, при каких значениях параметра t уравнения имеют
положительные решения:
а) 3 (2 – х) = 4 (t – 2х);
б) 4 – t = 1
2
−х
.
3. Найти все х, удовлетворяющие условию
а) 3
2
=
− ха
а
;
б) 3
2
=
− ха
а
;
в) 2
2
=
− ха
а
;
г) 2
2
=
− ха
а
.
Ответы
3. а) Если а = 0, то нет решений; если а≠ 0, то х = 3
5а
.
б) Если а = 0, то нет решений; если а≠ 0, то х = 3
а
.
в) Если а = 0, то нет решений; если а≠ 0, то х = 2
3а
.
г) Если а = 0, то нет решений; если а≠ 0, то х = 4
а
.

31. 31
Приложение 2
Упражнения для самостоятельной работы
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1) При каком целом значении k один из корней уравнения 4х2
– (3k + 2) x + (k2
–
1) = 0 втрое меньше другого?
2) При каком целом значении k уравнения 3х2
– 4х + р – 2 = 0 и х2
–2рх + 5 = 0
имеют общий корень? Найти этот корень.
3) При каком целом значении а уравнения х2
+ ах + 8 = 0 и х2
+ х + а = 0 имеют
общий корень?
4) В уравнении х2
– 2х + с = 0 определить то значение с, при котором его корни
х1 и х2 удовлетворяют условию 7х2 – 4х1 = 47.
5) Не решая уравнения х2
– (2а + 1)х + а2
+ 2 = 0, найти, при каком значении а
один из корней в два раза больше другого.
6) При каком значении р отношение корней уравнения х2
+ рx – 16 = 0 равно – 4?
7) При каком положительном значении с один корень уравнения 8х2
– 6 x + 9с2
=
0 равен квадрату другого?
8) Определить, при каких значениях m один из корней уравнения z3
– (m2
– m +
7)z – (3m2
– 3m – 6) = 0 равен – 1. Отыскать два остальных корня при этих
значениях m.
Ответы
1) к = 2.
2) р = 3; х = 1.
3) а = – 6.
4) с = – 15.
5) а = 4.
6) р1 = – 6; р2 = 6.
7) с = 3
1
.
8) 8. т = 3 и т = – 2; при этих значениях т будет z1 = – 1, z2 = – 3, z3 = 4.