1. Общие сведения о неравенствах:
определение, свойства, методы доказательства.
Рациональные неравенства и методы их решения
ЭМ и ПРМЗ, Лекция 2
к.п.н., доц. Пырков Вячеслав Евгеньевич
pyrkov-professor.ru pyrkovve@yandex.rupyrkov-professor.ru pyrkovve@yandex.ru
2. План
1. Основные понятия
2. Числовые неравенства и их свойства
3. Методы доказательства неравенств
4. Тождественные неравенства
5. Рациональные неравенства и методы их решения
6. Решение иррациональных неравенств
3. 1. Основные понятия
Определение: Если два вещественных числа a и b
соединены знаком неравенства ≠ или одним
из отношений порядка a>b, или a<b, или a≥b,
или же a≤b, установленных между числами,
то говорят, что задано числовое
неравенство.
Неравенства отношений > и ≥ , а также неравенства < и ≤
называются неравенствами одного знака (одного смысла),
неравенства > и < , а также ≥ и ≤ , < и ≥, > и ≤ называются
неравенствами разного знака
Неравенства, содержащие два знака отношения, называются
двойными, три знака отношения — тройными и т.п.
5. 1. Виды неравенств
Неравенства, содержащие неизвестные величины,
подразделяются на:
алгебраические
трансцендентные
Алгебраические неравенства подразделяются на
неравенства первой, второй, и т. д. степени.
Например:
— алгебраическое, первой степени.
— алгебраическое, второй степени.
— трансцендентное.
7. 3. Методы доказательства неравенств
Доказательство по определению
• составить разность левой и правой части
неравенств;
• выполнить возможные тождественные
преобразования разности и сравнить её с нулем;
• На основе определения неравенства сделать
вывод об истинности или ложности
доказываемого неравенства.
13. 5. Метод интервалов
Пусть у нас есть неравенство вида
Для его решения необходимо:
•разбить ось Ох на интервалы знакопостоянства
•поставить в каждом таком интервале знак неравенства на
этом интервале (+, если больше нуля, ─ если меньше)
•выбрать те интервалы, где стоит знак начального
неравенства
Крайними точками интервалов будут -∞, +∞, и нули
функций
Неравенство — одно из фундаментальных понятий математики.
a намного больше b , &gt;&gt;
Среди свойств числовых неравенств выделяют следующие:
Доказательство с использованием a&gt;b =&gt; a-b&gt;0
A&gt;c
A-c&gt;0
…
6) Возможность почленного сложения неравенств одного знака
7) Возможность почленного вычитания неравенств разного знака
8) Возможность почленного умножения неравенств одного смысла
9) Возможность почленного деления неравенств одного смысла
(𝑎+𝑏)/2−√𝑎𝑏=(𝑎+𝑏−2√𝑎𝑏)/2=(√𝑎−√𝑏)^2/2≥0 ч.т.д.
В качестве опорного выберем неравенство Коши:
Метод содержит два этапа:
Анализ – позволяющий определить опорные неравенства, исходя из предположения, что данное неравенство верное;
Синтез.
Другие методы:
Доказательство от противного
Метод математической индукции
Например, (х+у)2 &gt;=0 – тождественное неравенство для любых х и у.
Равносильные переходы при решении иррациональных неравенств
Ответ. (1; ∞)
