решение уравнений с параметрами

1. Решение уравнений с
параметрами

2. Введение
Продолжая работу над темой решение задач
с параметрами (линейными, квадратными),
сегодня мы рассматриваем работу над
заданиями с параметрами (показательными,
логарифмическими и тригонометрическими
уравнениями).
Именно поэтому в этом году мы заканчиваем
трехлетний труд создания этого мини-
учебника.

3. • Главной целью создания этого пособия являются:
 расширение и углубление знаний,
 теоретических основ решения уравнений с
параметрами,
 основными их видами и рекомендациями к
решению,
 развитие интереса учащихся к предмету,
 развитие их математических способностей.
• Актуальность темы данной работы определяется
необходимостью уметь решать задания с
параметрами на вступительных экзаменах в высшие
учебные заведения, при подготовке к внешнему
независимому тестированию.

4. • Цель данной работы: рассмотреть решения
заданий с параметрами (показательные,
логарифмические и тригонометрические
уравнения).
• Объектом исследовательской работы было
аналитическое решение заданий с параметрами
(показательные, логарифмические и
тригонометрические уравнения).
• Структура данной работы включает в себя
теорию, практическую часть, заключение,
библиографический список.

5. В своей работе мы рассматриваем следующие
вопросы:
• Теоретические основы решения уравнений с параметрами.
• Анализ школьных учебников по алгебре
• Основные виды заданий с параметрами:
 Показательные уравнения;
 Логарифмические уравнения;
 Тригонометрические уравнения;
• Аналитический метод решения уравнений с параметрами.
 Поиск решений уравнений, содержащих параметр. Метод
«ветвления»;
 Параметр и количество решений уравнений, содержащих
параметр;
 Параметр и свойства решений уравнений, содержащих
параметр.

6. Теоретические основы решения
заданий с параметрами:
Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы
не конкретными числовыми значениями, а обозначены
буквами, то они называются параметрами, а уравнение
параметрическим.
Пусть дано уравнение с переменными х, а: f (x; a) =
0.
Если ставится задача для каждого действительного
значения а решить это уравнение относительно х, то
уравнение f (x; a) = 0 называется уравнением с
переменной х и параметром а.
Решить уравнение с параметром а – это значит для
каждого значения а найти значения х,
удовлетворяющие этому уравнению.

7. • параметр встречается при изучении арккосинуса,
арксинуса, арктангенса, арккотангенса ;
• показательная функция у = ах, где а > 0 и а ≠ 1;
• показательное уравнение ах = в, где а > 0 и а ≠ 1;
• логарифмическое уравнение log a x = в, а > 0 и а ≠ 1.
Разделы общеобразовательной математики, в
которых вообще присутствует сама идея параметра:

8. Анализ школьных учебников по алгебре:
1) Шкиль М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса
общеобразовательных учебных заведений, 2003.
2) Бевз Г.П., Бевз В.Г. «Алгебра. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учебных
заведений.»
3) Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. "Алгебра. Учебник для 8 класса
общеобразовательных учебных заведений.»
4) Шкиль М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса общеобразовательных
учебных заведений, 2003.
В новых учебниках:
5) Бурда М.И. Математика: учебник для 10 класса общеобразовательных учебных
заведений: уровень стандарта, 2010;
И
6) Бевз Г.П., Бевз В.Г. Математика: учебник для 11 класса общеобразовательных учебных
заведений: уровень стандарта, 2010 - заданий с параметрами не
представлено

9. Пример. Найдем наибольшее целое значение параметра а, при котором
уравнение cos2x + asinx = 2a – 7 имеет решение.
Решение.
Преобразуем заданное уравнение:
cos2x + asinx = 2a – 7; 1 – 2sin2
х – asinx = 2a – 7; sin2
х -
2
1
asinx + a – 4 = 0;
(sinх – 2) · 








 2
2
sin
a
x = 0.
Решение уравнения (sinх – 2) · 








 2
2
sin
a
x = 0 дает:
(sinх – 2) = 0; х принадлежит пустому множеству.
sinх - 


 2
2
а
= 0; х = (-1)n
arcsin 


 2
2
а
+ πn, n  Z при 





 2
2
а
≤ 1.
Неравенство 





 2
2
а
≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что
наибольшее целое значение параметра а равно 6.
Ответ. 6.

10. • При решении приведенных выше задач с параметрами
происходит повторение и, как следствие, более
глубокое прочное усвоение программных вопросов.
• Ученики расширяют свой математический кругозор,
тренируют интеллект, при этом происходит развитие
математического, логического мышления, умения
анализировать, сравнивать и обобщать.
• Решение задач с параметрами – это помощь при
подготовке к экзаменам.
• Происходит формирование таких качеств личности, как
трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила
воли и точность.
Заключение

11. Перспективы
• Работа над данной темой в основном закончена.
• После обобщения всего изученного материала
предполагается разработка программы для
дополнительных (факультативных) занятий по этой
теме и создание мини-учебника в помощь
абитуриентов.