1. Міністерство освіти і науки України
Всеукраїнська Мала академія наук
Донецьке територіальне відділення Малої академії наук України
Відділ освіти Волноваської райдержадміністрації
Новотроїцька загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №4
Секція: Математика
Базова дисципліна: математика
Розв’язання завдань з параметрами
(систем лінійних рівнянь, лінійних та квадратних нерівностей,
ірраціональних рівнянь)
АВТОР РОБОТИ:
Криворучко Джемма Валеріївна
Учениця 10 класу
Новотроїцької загальноосвітньої
школи І-ІІІ ступенів №4
Домашня адреса: с. Новотроїцьке,
пров. Центральний, буд. 8
Науковий керівник
Грішко Олена Володимирівна
3. ЗМІСТ
ВСТУП……..……………………………………..………………………………….3
РОЗДІЛ I. Теоретичні основи розв’язання завдань з параметрами…..…………6
РОЗДІЛ ІІ. Аналіз шкільних підручників з алгебри…………………..……....…9
РОЗДІЛ ІІІ. Основні види завдань з параметрами………….…………………...11
3.1 Дрібно-раціональні рівняння………………….………….………….11
3.2 Лінійні нерівності………………………………………….…………..13
3.3 Ірраціональні рівняння…………………………..…………………..15
3.4 Системи лінійних рівнянь з двома змінними…………………..……17
РОЗДІЛ IV. Аналітичний метод розв’язання рівнянь з параметрами…….19
4.1 Поиск решений уравнений, содержащих параметр
Метод «ветвления»…………………………………………………........19
4.2 Параметр и количество решений уравнений,
содержащих параметр………………………………………………….22
4.3 Параметр и свойства решений уравнений,
содержащих параметр………………………………………………….25
ВИСНОВКИ………………..………………………………………………….…...28
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ……………………………………….29
ДОДАТКИ
3
4. ВСТУП
Изучение многих физических процессов и геометрических
закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр.
Как известно, решению задач с параметрами в школе уделяется очень мало
внимания. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности у
учащихся, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного
курса математики, и рассматривается только на немногочисленных
факультативных занятиях.
Интерес к теме объясняется тем, что уравнения с параметрами
предлагаются на вступительных экзаменах в ВУЗы. Поэтому очень трудно
рассчитывать на то, что учащиеся, подготовка которых не содержала
"параметрическую терапию", смогут в жесткой атмосфере конкурсного
экзамена успешно справиться с подобными задачами.
Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими
их особенностями:
• Обилие формул и методов, используемых при решении уравнений
данного вида;
• Возможность решения одного и того же уравнения, содержащего
параметр различными методами.
Совершенно очевидно, что к "встрече" с такими заданиями надо
специально готовиться.
Мы поставили себе цель: создать мини-учебник по обучению решать
задания с параметрами. Часть работы была проделана в прошлом году (были
рассмотрены основные методы решений уравнений с параметрами следующих
типов: линейные уравнения; квадратные уравнения; дробно-рациональные
уравнения.
Данная работа является логическим продолжением предыдущей работы.
4
5. Главной целью создания этого мини-учебника являются расширение и
углубление знаний, теоретических основ решения уравнений с параметрами,
основными их видами и рекомендациями к решению, развитие интереса
учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс
обучения строится как совместная исследовательская деятельность учащихся.
Актуальность темы данной работы определяется необходимостью уметь
решать задания с параметрами на вступительных экзаменах в высшие учебные
заведения, при подготовке к независимому внешнему тестированию.
Цель данной работы: рассказать о решении заданий с параметрами (систем
линейных уравнений, линейных и квадратных неравенств, иррациональных
уравнений).
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие
задачи:
• дать определения понятиям уравнение (неравенство) с параметрами;
• показать принцип решения данных уравнений (неравенств) на общих
случаях;
• рассмотреть случаи решения заданий с параметрами (систем линейных
уравнений, линейных и квадратных неравенств, иррациональных
уравнений);
• рассмотреть аналитические методы решения неравенств, уравнений и
систем уравнений с параметрами;
• познакомить учащихся с некоторыми методами решения заданий,
содержащих параметр;
• показать применение различных методов при решении заданий одного
типа;
• формировать умение видеть рациональный метод для решения
конкретных типов заданий, содержащих параметр;
• формировать логическое мышление;
5
6. • формировать настойчивость, целеустремленность, трудолюбие через
решение сложных задач;
• развивать математическую речь с присущей ей краткостью, точностью
и лаконичностью;
• подготовить учащихся к поступлению в вузы.
Объектом исследовательской работы было аналитическое решение
заданий с параметрами (систем линейных уравнений, линейных и квадратных
неравенств, иррациональных уравнений).
Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть,
заключение, библиографический список.
Курс рассчитан на систематизацию методов решения заданий, содержащих
параметр и их классификацию. Необходимо рассмотреть основные методы
решения наиболее часто встречаемых на выпускных и вступительных
экзаменах, а именно, методы решения заданий с параметрами (систем
линейных уравнений, линейных и квадратных неравенств, иррациональных
уравнений), аналитический метод решения уравнений, неравенств, систем
уравнений.
6
7. РОЗДІЛ I. Теоретичні основи розв’язання завдань з параметрами
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического
мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает
у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение
(неравенство) с параметрами представляет собой целый класс обычных
уравнений (неравенств), для каждого из которых должно быть получено
решение. Такие задачи предлагаются на вступительных экзаменах в вузы.
Большинство пособий адресовано абитуриентам, однако начинать
знакомиться с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с
соответствующими разделами школьной программы по математике.
Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не
конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они
называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.
Иногда уравнения (неравенства), кроме букв, обозначающих неизвестное
(X, Y, Z), содержат другие буквы, называемые параметрами (a, b, c). Тогда мы
имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений (неравенств).
Известно, что в программах по математике для неспециализированных
школ этим задачам отводится незначительное место. Поэтому, в первую
очередь укажем разделы общеобразовательной математики, в которых вообще
присутствует сама идея параметра.
Так, с параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых
понятий. Не приводя подробных определений, рассмотрим в качестве примеров
следующие объекты:
• функция прямая пропорциональность: у = кх (х и у – переменные; к –
параметр, к ≠ 0);
• линейная функция: у = кх+b (х и у — переменные; к и b –
параметры);
• линейное уравнение: ах + b = 0 (х – переменная; а и b – параметры);
7
8. • уравнение первой степени: ах + b = 0 (х – переменная; а и b –
параметры, а ≠ 0);
• квадратное уравнение: ах2
+ bх + с = 0 (х – переменная; а, b и с –
параметры, а ≠ 0);
• система линейных уравнений:
а1 х + в1 у = с1;
а2 х + в2 у = с2 (х, у – переменные, а1, а2, в1, в2, с1, с2 – параметры);
• система уравнений
а1 х2
+ в1 у2
= с1;
а2 х + в2 у = с2 (х, у – переменные, а1, а2, в1, в2, с1, с2 – параметры);
• линейное неравенство: ах < (>) b (х – переменная, а, в – параметры);
• квадратичное неравенство ах2
+ вх + с < (>) 0 (х – переменная, а, в, с
– параметры).
Для уравнений (неравенств), в решении которых рассматривается
различные значения параметра, будем пользоваться следующим алгоритмом
решения.
Алгоритм.
1. Находим область значений параметра.
2. Для тех значений параметра, которые входят в область:
a) Находим особые значения параметра, при которых, содержащее
параметр выражение, на которое происходит деление,
обращается в 0. Для них рассматриваем уравнения (неравенства),
которые получились при подстановке значений параметра.
b) Решаем уравнение (неравенство), исключая эти значения.
3. Для тех значений параметра, которые не входят в область – корней нет.
4. Собираем все значения параметра и соответствующие им значения
неизвестной записываем ответ.
8
9. Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения заданий с
параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам,
где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В
подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных
результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы
решения.
Итак, подведем итог. При решении заданий, содержащих параметр,
существуют особые способы решения. Главным отличием является то, что при
решении происходит перебор значений параметра и рассмотрения для этих
значений соответствующего значения неизвестной.
9
10. РОЗДІЛ II. Аналіз шкільних підручників з алгебри
Проанализируем действующие учебники курса алгебры и начала анализа,
чтобы выяснить, насколько в них представлены задания, использующие
понятие «параметр», и методы решения уравнений, содержащих параметр.
1) Кравчук В., Янченко Г. «Алгебра. 7 класс»
При изучении систем линейных уравнений представлено четыре задания с
параметром (№№947, 966, 967, 986 – уровень В). Рассматриваются простейшие
системы линейных уравнений, но коэффициент при переменных х или у
является параметром и необходимо исследовать систему на количество
решений.
2) Бевз Г.П., Бевз В.Г. «Алгебра. Учебник для 7-9 классов
общеобразовательных учебных заведений.»
7 класс
При изучении темы «Системы линейных уравнений» (Глава IV) в учебнике
представлено три задания с параметром (№№396, 397, 398). Рассматриваются
простейшие системы линейных уравнений, но коэффициент при переменной х
или у является параметром и необходимо исследовать уравнение на количество
корней или при каком значении параметра уравнение будет иметь корень
равный заданному числу.
В данном учебнике для 8 и 9 класса заданий с параметром не
представлено.
3) Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. "Алгебра. Учебник для 8
класса общеобразовательных учебных заведений.»
При изучении темы "Квадратные корни. Арифметический квадратный
корень" (п.12 из §2 "Квадратные корни") предложены два задания (№№ 416*,
417*) с квадратными корнями типа: решить уравнение для каждого значения а
(а даже без упоминания термина "параметр").
Большое внимание уделяют параметру при повторении. Предлагаются
задания, содержащие параметр, в основном, для повторения квадратных
10
11. уравнений (№№ 802, 827, 876, 888, 890, 892). Все номера одного характера –
исследовать корни иррационального уравнения, то есть найти количество
корней или сами корни в зависимости от значений параметра.
4) Шкиль М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса
общеобразовательных учебных заведений, 2003.
При изучении темы "Иррациональные уравнения и неравенства" (§17 из
главы 3 «Степенная функция») предложены пять заданий (№№ 126 (3), 128 (2),
130 (4), 140 (2) и 141 (3)) с иррациональными уравнениями (задание «решить
уравнение», слово параметр не упоминается). Все задания из уровня В.
В новых учебниках:
1) Бурда М.И. Математика: учебник для 10 класса общеобразовательных
учебных заведений: уровень стандарта, 2010;
2) Г.П. Бевз, В.Г. Бевз Математика: учебник для 11 класса
общеобразовательных учебных заведений: уровень стандарта, 2010
заданий с параметрами не представлено. При повторении курса алгебры
и начала анализа 10 и 11 классов в системе задач не встречается заданий с
параметром и можно утверждать, что в системе изучения этого курса авторы не
уделяют внимания к параметру как таковому.
Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:
• в каждом рассмотренном учебнике задания, содержащие параметр,
используются для проверки знаний и умений, приобретенных во
время изучения той или иной темы. Предлагаются задания
творческого характера, требующие от учащихся применения
полученных знаний и умений в нестандартных условиях;
• ни в одном из рассмотренных учебников не даётся чёткого
определения параметра;
• во всех учебниках задания однотипны.
11
12. РОЗДІЛ III. Основні види рівнянь з параметрами
3.1 Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр,
сводящиеся к линейным.
Процесс решения дробно-рациональных уравнений протекает по обычной
схеме: данное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей
уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего
учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая
посторонние корни, то есть числа, которые обращают общий знаменатель в
нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь,
чтобы посторонние корни исключить, требуется находить значение параметра,
обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решать соответствующие
уравнения относительно параметра.
Пример 1. Определить число натуральных n, при которых уравнение
х
n
n
х
=
−
−
10
8
не имеет решения.
Решение: х ≠ 0, n ≠ 10.
х
n
n
х
=
−
−
10
8
⇔
≠≠
=−−−
10,0
,0)10(82
nх
nnхх
Уравнение х2
– 8х – n(n – 10) = 0 не имеет решения, если его
дискриминант меньше 0, т.е.
16 + n(n-10) < 0;
n2
-10n +16 < 0;
(n-2) (n-8) <0;
2 < n < 8.
В найденном интервале 5 натуральных чисел: 3, 4, 5, 6 и 7. Учитывая
условие n ≠ 10, находим, что общее число натуральных n, при которых
уравнение не имеет решений, равно 6.
12
13. Ответ: 6.
Пример 2. Решить уравнение )2)(1(
3
2
2
)1(
2
++
−
=
+
−
+ xxa
a
xxa
x
.
Решение. Значение а = 0 является контрольным. При a = 0 уравнение
теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а ≠ 0, то после
преобразований уравнение примет вид:
х2
+ 2 (1 – а) х +а2
– 2а – 3=0.
Найдем дискриминант уравнения 4
D
= (1 – a)2
– (a2
– 2а – 3) = 4. Находим
корни уравнения: х1 = а + 1, х2 = а – 3. При переходе от исходного уравнения к
уравнению х2
+ 2 (1 – а) х +а2
– 2а – 3=0 расширилась область определения
уравнения, что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому
необходима проверка.
Проверка. Исключим из найденных значений х такие, при которых
х1 + 1 = 0, х1 + 2 = 0, х2 + 1 = 0, х2 + 2 = 0.
Если х1 + 1 = 0, т.е. (а + 1) + 1 = 0, то а = – 2.
Таким образом, при а = – 2 х1 – посторонний корень уравнения.
Если х1 + 2 = 0, т.е. (а + 1) + 2 = 0, то а = – 3.
Таким образом, при а = – 3 x1 – посторонний корень уравнения.
Если х2 + 1 = 0, т.е. (а – 3) + 1 = 0, то а = 2.
Таким образом, при а = 2 х2 – посторонний корень уравнения.
Если х2 + 2 = 0, т.е. (а – 3) + 2 = 0, то а = 1.
Таким образом, при а = 1 х2 – посторонний корень уравнения.
При а = - 3 получаем х= – 6; при a = – 2 х = – 5;
При a=1 х = 1 + 1 = 2; при a = 2 х = 2 + 1 = 3. Итак, можно записать
Ответ: 1) если a = - 3, то х = - 6;
2) если a = -2, то х = - 5;
3) если a=0, то корней нет;
4) если a = 1, то х=2;
5) если а=2, то х=3;
13
14. 6) если
≠
≠
≠
−≠
−≠
2
1
0
2
3
a
a
a
a
a
, то х1 = а + 1, х2 = а – 3.
3.2 Линейные неравенства
Неравенства вида ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0,
где a, b ∈ R, x – переменная, называются неравенствами первой степени
(линейными неравенствами).
Поскольку все неравенства решаются аналогично, приведем решение лишь
первого из них: ax + b > 0. Рассмотрим следующие случаи:
1) a > 0, тогда ax + b > 0 ⇔ ax > -b ⇔ x > -b
/a и, следовательно,
множество решений неравенства ax + b > 0 (a > 0) есть (-b
/a; +∞);
2) a < 0, тогда ax + b > 0 ⇔ ax > -b ⇔ x < -b
/a и, следовательно,
множество решений неравенства ax + b > 0 (a < 0) есть (-∞; -b
/a);
3) a = 0, тогда неравенство примет вид 0·x + b > 0 и для b > 0 любое
действительное число есть решение неравенства, а при b ≤ 0 неравенство
не имеет решений.
Разберем алгоритм решения линейных неравенств с параметрами:
1) решение линейных неравенств с одной переменной и положительным
коэффициентом при этой переменной;
2) решение линейных неравенств с одной переменной и отрицательным
коэффициентом при этой переменной;
3) решение неравенств с коэффициентом, равным нулю. Данный момент
требует особенно пристального рассмотрения. Результат разбора
полезно записать в виде таблицы.
Алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной
14
15. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. ax ≤ 1;
Решение. В зависимости от знака a рассмотрим три случая:
1. если a > 0, то x ≤ 1
/a;
2. если a < 0, то x ≥ 1
/a;
3. если a = 0, то неравенство примет вид 0·x ≤ 1 и, следовательно, любое
действительное число является решением исходного неравенства.
Таким образом,
Ответ. Если a > 0, то x є (-∞; 1
/a],
если a < 0, то x є [1
/a; +∞),
и если a = 0, то x є R.
Пример 2. abx + b > ax + 3;
Решение. abx + b > ax + 3;
abx - ax > 3 – b;
a(b - 1)·x > 3 - b.
Далее рассмотрим следующие случаи:
1. если a(b - 1) > 0, то есть a > 0 и b > 1, или a < 0 и b < 1, то
2. если a(b - 1) < 0, то есть a > 0 и b < 1, или a < 0 и b > 1, то
15
16. 3. если a = 0, b ≠ 1 то неравенство примет вид
0·x > 3 - b
и для b > 3 любое число является решением, а если b є (-∞; 1) и (1; 3], то
множество решений неравенства пусто.
4. если a ≠ 0, b = 1, то неравенство примет вид
0·x > 2
и, очевидно, что оно решений не имеет.
Следовательно,
Ответ. Если a > 0 и b > 1, или a < 0 и b < 1, то
если a > 0 и b < 1, или a < 0 и b > 1, то
если a = 0 и b є (3; +∞), то x є R;
если a = 0 и b є (-∞; 1) и (1;3) или a ≠ 0 и b = 1,
то неравенство не имеет решений.
3.3 Иррациональные уравнения, содержащие параметр
Главными особенностями при решении уравнений такого типа являются:
1. ограничение области определения неизвестной х, так как она
меняется в зависимости от значения параметра.
2. в решении уравнений вида ),(),( axgaxf = при возведении в
квадрат необходимо учитывать знак ),( axg и проводить проверку
корней.
При рассмотрении всех особых случаев и возведении обеих частей
иррационального уравнения в квадрат мы переходим к решению квадратного
уравнения с параметром.
Рассмотрим несколько примеров и попробуем заметить эти особенности
при решении.
Пример. Решить уравнение с параметром xaxx −=−2
.
16
17. Решение. В данном случае контрольные значения параметра
определяются областью допустимых решений уравнения.
Найдем ОДЗ уравнения:
≥−
≥−
0
,02
xa
xx
⇔
≤
≥−
ax
xx ,0)1(
⇔
≤
≥
≤
ax
x
x
,1
,0
При всех значениях x из ОДЗ обе части уравнения можно возвести в
квадрат:
22
)( xaxx −=− ⇔ 2
)12( axa =− .
Получилось линейное уравнение, решение которого зависит от знака
коэффициента при неизвестной x. Если
2
1
=a , то уравнение примет вид
4
1
0 =⋅ x ,
и такое уравнение не имеет решений. Если же
2
1
≠a , то уравнение имеет одно
решение
12
2
−
=
a
a
x . Остается выяснить, при каких значениях параметра данное
решение удовлетворяет ОДЗ уравнения. Для этого нужно решить две системы
неравенств, которые получатся, если в ОДЗ вместо x подставить его значение
12
2
−
=
a
a
x :
≤
−
≤
−
a
a
a
a
a
12
,0
12
2
2
или
≤
−
≥
−
a
a
a
a
a
12
,1
12
2
2
Решив эти две системы, получим, что [ )∞+∪
∈ ,1
2
1
,0a .
Ответ. При [ )∞+∪
∈ ,1
2
1
,0a уравнение имеет единственное решение
12
2
−
=
a
a
x . При ( ]
∪∞−∈ 1,
2
1
0,a уравнение не имеет решений.
17
18. 3.4 Системы линейных уравнений с двумя переменными
Определение: Система вида
• A1x+B1y=C
• A2x+B2y=C2
где A1, A2, B1,B2, C1 C2 – выражения, зависящие от параметров, а х и у –
неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических
уравнений с двумя неизвестными в параметрах.
Возможны следующие случаи:
1) Если , то система имеет единственное решение
2) Если , то система не имеет решений
3) Если , то система имеет бесконечно много решений.
Пример. Решите систему уравнений
• x+(m+1)y=1
• x+2y=n
Решение:
а) , т.е. при m 1 система имеет единственное решение.
18
19. б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n 1 исходная система решений не
имеет;
в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.
Ответ: а) если m=1 и n 1, то решений нет
б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество у – любое, x=n-2y
в) если m 1 и n - любое, то y= x=
19
20. РОЗДІЛ IV. Аналітичний метод розв’язання рівнянь з параметрами
4.1 Поиск решений уравнений, содержащих параметр. Метод
«ветвления»
В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает некий
психологический барьер, который обусловлен противоречивыми
характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует
считать величиной известной, а с другой – он может принимать различные
значения. Получается, что параметр в уравнении – это неизвестная известная,
переменная постоянная величина. Этот «каламбур» очень точно отражает
существо тех сложностей, которые нужно преодолевать ученикам.
Именно этот факт и позволяет нам решать уравнения с параметром таким
методом («ветвления»).
Пример 1. Решить уравнение х - 2
xa − = 1.
Решение: метод решения: возведем в квадрат обе части иррационального
уравнения с последующей проверкой полученных решений.
Перепишем исходное уравнение в виде:
12
−=− xxa
При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения
тождественных преобразований получим:
2х2
– 2х + (1 - а) = 0,
D = 2а – 1.
Особое значение: а = 0,5. Отсюда:
1) при а > 0,5 х1,2 = 0,5·(1 ± 12 −a );
2) при а = 0,5 х = 0,5;
3) при а <0,5 уравнение не имеет решений.
Проверка:
20
21. 1) при подстановке х = 0,5 в исходное уравнение, получим неверное
равенство. Значит, х = 0,5 не является решением уравнения.
2) при подстановке х2 = 0,5 (1 - 12 −a ) в уравнение получим:
-0,5 ( 1 + 12 −a ) = 2
))1-2a1(0,5(- +a
Так как левая часть равенства отрицательна, то х2 не удовлетворяет
исходному уравнению.
3) Подставим х1 = 0,5 ( 1 + 12 −a ) в уравнение:
1
2
121
2
121
2
−
−+
=
−+
−
aa
a .
Проведя равносильные преобразования, получим:
Если 0
2
112
≥
−−a
, то можно возвести полученное равенство в квадрат:
2
2
112
2
12
−−
=
−− aaa
.
Имеем истинное равенство при условии, что 0
2
112
≥
−−a
.
Это условие выполняется, если а ≥ 1. Так как равенство истинно при а ≥ 1,
а х1 может быть корнем исходного уравнения при а > 0,5, следовательно, х1–
корень уравнения при а≥1.
Ответ.
1. при а ≥ 1 х = 0,5∙(1 + 12 −a );
2. при а <1 уравнение не имеет решений.
Пример 2. Решите неравенство (a – 1)x ≤ a2 – 1 относительно переменной x.
Решение. Рассмотрим три случая.
1. a – 1 = 0. Тогда неравенство примет вид 0∙x ≤ 0, и его решением является
любое значение переменной x.
21
22. 2. a – 1 > 0. Тогда (a – 1)x ≤ a2 – 1 ⇔ x ≤ a + 1.
3. a – 1 < 0. Тогда (a – 1)x ≤ a2 – 1 ⇔ x ≥ a + 1.
Ответ: при a = 1 x ∈ R;
при a > 1 x ≤ a + 1;
при a < 1 x ≥ a + 1.
Пример 3. Для всех значений параметра а решить .
Решение. .
Если скобка перед положительна, т.е. при , то
.
22
23. Если скобка перед отрицательна, т.е. при , то .
Если же или , то решений нет.
Ответ. при , ;
при , ;
или , то решений нет.
Пример 4. Для всех значений параметра а решить систему уравнений
• ах-3ау=2а+3
• х+ау=1
Решение: Из II уравнения найдем х = 1-ау и подставим в I уравнение
а (1 - ау) - 3ау = 2а + 3;
а -а2
у - 3ау = 2а + 3;
-а2
у - 3ау = а + 3;
-а (а + 3) у = а + 3.
Возможны случаи:
1) а = 0. Тогда уравнение имеет вид 0*у = 3 [у ].
Следовательно, при а = 0 система не имеет решений.
2) а = -3. Тогда 0*у = 0.
Следовательно, у . При этом х = 1 – ау = 1 + 3у
3) а 0 и а -3. Тогда у=- , х=1-а(-1 / а) = 1 + 1 = 2.
Ответ:
1) если а = 0, то (х; у) ;
23
24. 2) если а = -3, то х = 1 + 3у, у
3) если а 0 и а -3, то х = 2, у = - .
4.2 Параметр и количество решений уравнений, содержащих параметр
Выделим класс задач, где за счет параметра на переменную накладывается
какие-либо ограничения. Для таких задач характерны следующие
формулировки:
• «При каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два
решения, бесконечно много, ни одного»;
• Решением уравнения (неравенства, системы) является какое-то
подмножество множества действительных чисел и другие.
Пример 1. При каких значениях параметра k уравнение
0
122
104)23(
2
2
=
−−
−+−+
xx
kxkx
имеет единственное решение?
Решение. Уравнение переписываем в равносильную систему
=−+−+
>−−
.0104)23(
,0122
2
2
kxkx
xx
Решением неравенства является объединение промежутков
+∞
+
∪
−
∞− ;
2
31
2
31
; . Уравнение системы имеет один корень когда 0=D .
2
)72( −= kD , то есть при
2
7
=k 2=x .
Теперь проверим, принадлежит ли корень нашим интервалам:
+∞
+
∈= ;
2
31
2x .Тогда при
2
7
=k уравнение имеет единственное решение.
Ответ. При
2
7
=k уравнение имеет единственное решение.
24
25. Пример 2. При каких значениях параметра a хотя бы одно решение
неравенства будет являться решением неравенства 3 – 0,5x > a?
Решение. Решив первое неравенство относительно x, получим:
8x – 8a – 12a – 12x ≤ 96,
x ≥ –5a – 24.
Решив второе неравенство относительно x, получим: x < 6 – 2a. Для того,
чтобы хотя бы одно решение первого неравенства являлось решением второго,
необходимо, чтобы 6 – 2a >–5a – 24. Откуда a > –10.
Ответ: при a > –10.
Пример 3. 3(4a - x) < 2ax + 3;
Решение. После элементарных преобразований получим
3(4a - x) < 2ax + 3;
12a - 3x < 2ax + 3;
12a - 3 < 2ax + 3x;
x(2a + 3) > 3(4a - 1).
Далее рассмотрим три случая:
1. если 2a + 3 > 0, то есть a > -3
/2, то
2. если 2a + 3 < 0, то есть a < -3
/2, то
3. если 2a + 3 = 0, то есть a = -3
/2, то неравенство примет вид 0∙x > -21
и, так как 0 > -21 - истинное числовое неравенство, следует, что любое
действительное число является решением исходного неравенства.
Следовательно,
Ответ. Если то
если то
если a = -3
/2, то x R.
25
26. Пример 4. При каких значениях параметра а система
• 2х - 3у = 7
• ах - 6у = 14
а) имеет бесконечное множество решений;
б) имеет единственное решение
Решение:
а) , а = 4
б) , а 4
Ответ:
а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;
б) если а 4, то решение единственное.
4.3 Параметр и свойства решений уравнений, содержащих параметр
В этом пункте мы рассмотрим задачи, в которых условие требует, чтобы
ответ был каким-либо наперед заданным подмножеством или идут ограничения
на множество значений переменной х.
Пример 1. При каких значениях параметра a оба корня уравнения
09226 22
=+−+− aaaxx больше 3?
Решение. Корнями данного уравнения будут
.92293
,92293
22
2
22
1
aaaax
aaaax
+−−−=
+−−+=
Для условия необходимо выполнение системы
>+−−−
>+−−+
.392293
,392293
22
22
aaaa
aaaa
Первое неравенство системы и второе будут иметь общие точки только в
том случае если выражение под корнем равно нулю.
26
27. Решим уравнение 09229 22
=+−− aaa .
Ответ. Ни при каких значениях параметра a оба корня данного уравнения
не могут быть больше 3.
Пример 2. При каких значениях параметра a каждое решение неравенства
(3x + 1)2 – 3 ≥ 9x(x + 2) – a является решением неравенства 3x + a ≤ 2x + 1?
Решение. Решим первое неравенство:
9x2
+ 6x + 1 – 3 ≥ 9x2
+ 18x – a,
12x ≤ a – 2,
Решим второе неравенство: x ≤ 1 – a. Чтобы каждое решение первого
неравенства являлось решением второго, необходимо, чтобы
Отсюда: a – 2 ≤ 12 – 12a,
Ответ: при
Пример 3. Найти все значения a , при которых неравенство
выполняется для всех x из отрезка [1, 3] .
Решение. Дробь – меньше нуля между корнями, поэтому надо выяснить,
какой корень больше. и . Т.о.,
при и чтобы неравенство выполнялось для всех x из
отрезка [1, 3], нужно, чтобы
27
28. .
При и чтобы неравенство выполнялось для всех x
из отрезка [1, 3], нужно, чтобы .
При (когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае
неравенство приобретает вид : .
Ответ. .
Пример 4. При каких значениях параметра a решением системы
уравнений является пара положительных значений x и y?
Решение. Решая систему способом сложения, получим:
откуда
так как x > 0 и y > 0, то получим систему неравенств
Отсюда a > 3.
Ответ: при a > 3 решением системы является пара положительных чисел.
Выскажем два соображения по поводу роли параметра в приведенных
примерах. Во-первых, искомые значения х выступали в роли зависимой
переменной, а параметр – независимой. Отсюда и возникло "расслоение"
решения с учетом определенных значений параметра. Во-вторых, условие задач
28
29. отводило параметру скромное место, – не ясно было, повлияет ли его
присутствие на ход решения.
Надеемся, что самостоятельное решение упражнений создаст неплохой
задел для дальнейшей работы.
29
30. ВИСНОВКИ
При решении приведенных выше задач с параметрами происходит
повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение программных
вопросов. Ученики расширяют свой математический кругозор, тренируют
интеллект, при этом происходит развитие математического, логического
мышления, умения анализировать, сравнивать и обобщать. Решение задач с
параметрами – это помощь при подготовке к экзаменам. Происходит
формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность,
усидчивость, сила воли и точность.
При проведении исследования были решены следующие задачи:
1) проведен анализ действующих школьных учебников по алгебре с
целью выявления использования параметра и методов решения
уравнений с параметром. Проведенный анализ позволяет сделать
следующие выводы, что в каждом проанализированном учебнике
задания, содержащие параметр, используется для проверки знаний и
умений, приобретенных во время изучения той или иной темы.
Предлагаются задания творческого характера, требующие от
учащихся применения полученных знаний и умений в нестандартных
условиях;
2) выделены классы уравнений, содержащих параметр, и общие их
методы решения;
3) показано, что методы, изложенные в данной работе, применимы для
решения всех видов уравнений, содержащих параметр;
По завершению работы мы пришли к выводу, что эта тема должна
изучаться не только на дополнительных занятиях, но и в школьной программе,
так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у
школьников. Учащимся знания по этой теме помогут подготовиться и сдать
внешнее независимое тестирование и вступительные экзамены в ВУЗы.
30
31. СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Задачи с параметрами». –
Москва – Харьков: "Илекса", "Гимназия", 2002 г.
2. Н.Ю. Глаголева «Задачи по математике для поступающих в вузы». – М.:
Просвещение, 1994 г.
3. В.В. Локоть «Задачи с параметрами». – Москва – Харьков: "Илекса",
"Гимназия", 2003 г.
4. Г.А. Ястребинецкий «Уравнения и неравенства, содержащие параметры».
– К.: Рад. шк., 1972 г.
5. Гусев В.А., Мордкович А.Г. «Математика: справ. материалы: Кн. для
учащихся. – М.: Просвещение, 1988 г.
6. В.С. Крамов «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и
начала анализа», М.: Просвещение, 1994 г.
7. «Математика. Решение задач повышенной сложности». – М.:
Просвещение, 2004 г.
8. А.П. Карп «Даю уроки математики…». – К.: Рад. шк., 1992 г.
9. Гайштут О. Г., Литвиненко Г. М. Розв’язування алгебраїчних задач. – К.:
Рад. шк., 1991.
10. Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных
экзаменов по математике. – М.: Наука, Главная редакция физико-
математической литературы, 1980.
11. Письменный Д. Т. Готовимся к экзамену по математике. – М.: Айрис,
1996.
12. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Учеб. пособие/
В. К. Егерев, Б. А. Кордемский, В. В. Зайцев и др.; Под ред. М. И. Сканави.
– 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1988.
13. Сборник конкурсных задач по математике с методическими указаниями и
решениями для поступающих в Харьковский авиационный институт.
Книга 2 / И. В. Брысина, А. В. Головченко, А. Г. Николаев, В. А. Рвачев,
31
32. Е.П. Томилова, Е. Г. Ушакова, В. В. Хоменко. – Харьков: Харьк. авиац. ин-
т, 1996.
14. Уравнения с параметрами. http://www.ref.by/refs/49/10079/1.html
15. Бевз Г.П., Бевз В.Г. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных
учебных заведений. – К.: Зодиак-ЭКО, 2007.
16. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра: Учебник для 8 класса
общеобразовательных учебных заведений. – Х.: Гимназия, 2008.
17. Бевз Г.П., Бевз В.Г. Алгебра: Учебник для 7-9 классов средней школы. –
К.: "Освіта", 1998.
32
33. ДОДАТКИ
1. Определить, при каких значениях параметра t уравнения имеют
положительные решения: 4 – t = 1
2
−х
.
2. Найти все х, удовлетворяющие условию:
а) 3
2
=
− ха
а
;
б) 3
2
=
− ха
а
;
в) 2
2
=
− ха
а
;
г) 2
2
=
− ха
а
.
Ответы
2. а) Если а = 0, то нет решений; если а≠ 0, то х = 3
а
.
в) Если а = 0, то нет решений; если а≠ 0, то х = 2
3а
.
г) Если а = 0, то нет решений; если а≠ 0, то х = 4
а
.
33
34. ДОДАТКИ
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
1. Найти все значения параметра а, для каждого из которых числа х и у,
удовлетворяющие системе уравнений
х + у = а,
2х – у = 3,
удовлетворяют также неравенству х > у.
2. Найти все значения параметра b, для каждого из которых числа х и у,
удовлетворяющие системе уравнений
2х + у = b + 2,
х – у = b,
удовлетворяют также неравенству х – у < 0.
3. Найти все значения параметра c, для каждого из которых числа х и у,
удовлетворяющие системе уравнений
х + 7у = c,
2х – у = 5,
удовлетворяют также неравенству х > у – 2.
4. Найти все значения параметра b, при каждом из которых система
уравнений
bx + 2y = b + 2,
2bx + (b + 1)y = 2b + 4 имеет хотя бы одно решение.
5. Найти все значения параметра d, при каждом из которых система
уравнений
(2 – d)x + d2
y = 3d2
+ 2,
(2d – 1)x + dy = d – 1 имеет хотя бы одно решение.
6. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
уравнений
2x + (9а2
- 2)y =6а – 2,
x + y = 1 не имеет ни одного решения.
34
35. 7. Найти все значения параметра с, при каждом из которых система
уравнений
– 4х + су = 1 + с,
(6+ с)х + 2у = 3 + с не имеет ни одного решения.
8. Определить, при каких значениях параметра а система уравнений имеет
ровно два решения.
а) х2
+ у2
= 2 (1 + а),
(х + у)2
= 14.
б) х2
+ у2
= 2 а,
ху = а – 2
1
.
в) (х– у)2
= 3
2
,
х у = 5а – 3
1
.
г) (х – у)2
= 6а – 14,
х2
+ у2
= 3 (2+ а).
ОТВЕТЫ
1. a < 6.
2. b < 0.
3. c < 70.
4. – ∞ < b < 0, 0 < b < +∞ .
5. – ∞ < d < – 1, – 1 < d < 1, 1 < d <+ ∞ .
6. a = 3
2
− .
7. c = – 4.
8. а) а = 2
5
; б) а = 4
1
; в) а = 30
1
; г) а = 3
7
.
35
36. ДОДАТКИ
НЕРАВЕНСТВА
1. При каких значениях параметра а неравенство 3
1
1
2
2
<
++
+−
хх
ахх
справедливо
при всех значениях х?
Решение.
,03
1
1
2
2
<−
++
+−
хх
ахх
,0
1
3331
2
22
<
++
−−−+−
хх
xxахх
,0
1
2)3(2
2
2
<
++
−+−−
хх
ахх
.0
1
2)3(2
2
2
>
++
+++
хх
xах
Так как х2
+ х + 1>0 для всех значениях х, то полученное неравенство примет
вид: 2х2
+ (a+3)x +2>0
Так как старший коэффициент положительное число ,то должны выполняться
условия: D<0, то есть
(а+3)2
– 16 < 0
a2
+ 6a + 9 – 16 < 0
a2
+ 6a -7 < 0,
a2
+ 6a – 7=0,
a1 = 1, a2 = -7.
a∈(-7;1)
2) Решите неравенство ax + b > cx + d;
36
37. Решение.
Исходное неравенство равносильно следующему
(a - c)x > d - b
откуда следует, что
1. если a > c, то a - c > 0 и, следовательно,
2. если a < c, то
3. если a = c и d ≥ b, то множество решений неравенства пусто;
4. если a = c и d < b, то x є R.
37