Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Аксиоматический подход в математике. Элементы линейной алгебры<br />Лекция 4.1<br />Никогда не существовало и не будет сущ...
Вопросы лекции<br />2<br />
Аксиоматический подход в математике<br />Вопрос №1<br />3<br />
Правила игры, условные обозначения…<br />
способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые истинные утверждения (аксиомы), из которы...
Аксиома<br />V постулат - Аксио́ма паралле́льности Евкли́да<br />Сдр.-греч.ἀξίωμα — утверждение, в определённых рамках (те...
независимость;
полнота.</li></li></ul><li>Теорема<br />С греч. ω-  утверждение, истинность которого установлена путем доказательств...
Научная теория<br />Теоремы<br />Понятия+Аксиомы+Теоремы = Научная теория<br />Понятия<br />Аксиомы<br />Аксиоматический	 ...
Понятие матрицы. Основные операции над матрицами<br />Вопрос №2<br />
Нарушения связи на участках за год<br />
Матрица<br />Матрицей   A   называется любая прямоугольная таблица, составленная из объектов aij, которые называют элемент...
Матрица размера m*n<br />Индексы<br />Строки<br />Номер строки<br />Номер столбца<br />Элементы матрицы<br />aij<br />Номе...
Количество строк и столбцов - MxN<br />Укажите размер матриц<br />2х3<br />3х2<br />3х1<br />Размер <br />
Укажите размер матриц А и В<br />.<br />В = <br />Виды матриц<br />Матрица-строка        Нулевая матрица        Матрица-ст...
Главная диагональ<br />m=n<br />Побочная диагональ<br />Квадратнаяматрица n-го порядка – матрица размера nxn, <br />n- пор...
ДИАГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА – это матрица, у которой равны нулю все элементы, кроме элементов на главной диагонали.<br />0	0<br /...
Треугольная матрица квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нул...
Определите вид и размер матриц<br />
Когда матрицы равны?<br />Две матрицы называются равными если:<br />Они имеют одинаковый размер.<br />2. Соответствующие э...
Операции над матрицами<br />
Алгебра матриц<br />Линейные операции над матрицами<br />Нелинейные операции над матрицами<br />Сложение (вычитание) матри...
Суммой (разностью) матриц одинакового размера является матрица того же размера, элементами которой являются соответственно...
Умножение матрицы на число<br />Произведением матрицы А на  число  называется матрица В=А, элементы которой  bij=aij, <...
Транспонирование матриц<br />Транспонированная матрица. Если в матрице Am×nстроки заменить соответственно столбцами, то по...
Пример<br />
Свойства  линейных  операций  над  матрицами<br />
Произведение матриц<br />Произведением матрицA m kB k nназывается такая матрица C m n, каждый элемент которой cijравен...
для каких матриц определено произведение?<br />число столбцов первой равночислу строк второй<br />
= ?<br />*<br />1*5<br />+<br />2*1<br />2х2<br />х2<br />2х2<br />2<br />=<br />*<br />
Определены ли произведения А ∙ В и В ∙ А?<br />1х3<br />3х1<br />А3х1 ∙ В1х3= C3х3<br />В1х3 ∙ А3х1= D1х1<br />Найдем АВ и...
Свойства операции умножения матриц<br />
Определители и их свойства<br />Вопрос №3<br />
Определители 2 порядка<br />Числовая характеристика квадратной матрицы  - ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ (  detA, Δ , aij)<br />Определите...
Определители 3 – ого порядка<br />Определителем 3 – ого порядка называется число:<br />Метод треугольника<br />_<br />+<br />
Отличие матрицы от определителя?<br />а) нет различий;<br />б) по форме представления;                              <br />...
Свойства определителя<br />Самостоятельно законспектировать: <br />с. 18 – 20  УМП «Элементы линейной алгебры, теории множ...
Системы линейных  уравнений. Правило  Крамера<br />Вопрос №4<br />
Система  m  линейных уравнений с n   неизвестными (СЛУ)<br />1<br />aij  - коэффициентами при неизвестных, <br />bi - своб...
Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными<br />Наиболее простым, является случай, когда число неизвестных n ...
Решение СЛУ <br />РешениемСЛУ (1) называется такая совокупность nзначений х1 , х2 , …, хn, при подстановке которых вместо ...
Правило Крамера (в общем виде)<br />Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными<br />4<br />– главный  <br />...
Теорема. Если определитель системы (4) отличен от нуля, т.е.Δ0, то система имеет единственноерешение,определяемое по форм...
Главный определитель системы<br />Вспомогательные определители системы<br />D<br />D<br />=<br />=<br />x<br />x<br />;<br...
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными<br />Решить систему методом Крамера:<br />Вычислим главный и вспомога...
Системы из 3 линейных уравнений с 3 неизвестными<br />Решим систему из 3 линейных уравнений с тремя неизвестными методом К...
Системы из 3 линейных уравнений с 3 неизвестными<br />По величине главного и вспомогательных определителей можно судить о ...
Если                                                        то система имеет бесконечное множество решений.
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

аксиоматический подход в математике матрицы и определители

2,371 views

Published on

introduction matrix. Determination. krammer
введение в матричную алгебру, определители, метод крамера

Published in: Technology
  • Be the first to comment

аксиоматический подход в математике матрицы и определители

  1. 1. Аксиоматический подход в математике. Элементы линейной алгебры<br />Лекция 4.1<br />Никогда не существовало и не будет существовать никаких «прикладных наук», есть лишь приложения наук<br />Луи Пастер<br />
  2. 2. Вопросы лекции<br />2<br />
  3. 3. Аксиоматический подход в математике<br />Вопрос №1<br />3<br />
  4. 4. Правила игры, условные обозначения…<br />
  5. 5. способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые истинные утверждения (аксиомы), из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) этой теории.<br />Аксиоматический метод<br />
  6. 6. Аксиома<br />V постулат - Аксио́ма паралле́льности Евкли́да<br />Сдр.-греч.ἀξίωμα — утверждение, в определённых рамках (теории, концепции, дисциплины) принимаемое истинным без доказательств, которое в последующем служит «фундаментом» для построения доказательств.<br />Требования к системе аксиом: <br /><ul><li>непротиворечивость;
  7. 7. независимость;
  8. 8. полнота.</li></li></ul><li>Теорема<br />С греч. ω- утверждение, истинность которого установлена путем доказательства.<br />
  9. 9. Научная теория<br />Теоремы<br />Понятия+Аксиомы+Теоремы = Научная теория<br />Понятия<br />Аксиомы<br />Аксиоматический метод <br />
  10. 10. Понятие матрицы. Основные операции над матрицами<br />Вопрос №2<br />
  11. 11. Нарушения связи на участках за год<br />
  12. 12. Матрица<br />Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из объектов aij, которые называют элементами матрицы и обозначается<br />Аmxn=<br />Варианты записи матрицы:<br />3) А=<br />1) А=<br />2) А=<br />или сокращенная запись A=( aij); i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n<br />
  13. 13. Матрица размера m*n<br />Индексы<br />Строки<br />Номер строки<br />Номер столбца<br />Элементы матрицы<br />aij<br />Номер строки<br />Номер столбца<br />Столбцы<br />
  14. 14. Количество строк и столбцов - MxN<br />Укажите размер матриц<br />2х3<br />3х2<br />3х1<br />Размер <br />
  15. 15. Укажите размер матриц А и В<br />.<br />В = <br />Виды матриц<br />Матрица-строка Нулевая матрица Матрица-столбец<br />
  16. 16. Главная диагональ<br />m=n<br />Побочная диагональ<br />Квадратнаяматрица n-го порядка – матрица размера nxn, <br />n- порядок матрицы.<br />КВАДРАТНЫЕ МАТРИЦЫ<br />Виды матриц<br />
  17. 17. ДИАГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА – это матрица, у которой равны нулю все элементы, кроме элементов на главной диагонали.<br />0 0<br />0 56 0<br />0 0 98<br />ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА – это диагональная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны 1, а остальные равны 0. <br />Е = (1)<br />Укажите порядок трех единичных матриц<br />Диагональная Единичная<br />Виды матриц<br />
  18. 18. Треугольная матрица квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.<br /> – верхняя треугольная матрица,<br /> – нижняя треугольная матрица.<br />Треугольные матрицы<br />Виды матриц<br />
  19. 19. Определите вид и размер матриц<br />
  20. 20. Когда матрицы равны?<br />Две матрицы называются равными если:<br />Они имеют одинаковый размер.<br />2. Соответствующие элементы матриц равны.<br />
  21. 21. Операции над матрицами<br />
  22. 22. Алгебра матриц<br />Линейные операции над матрицами<br />Нелинейные операции над матрицами<br />Сложение (вычитание) матриц<br />Умножение на скаляр (число)<br />Умножение матриц<br />Транспонирование матрицы<br />
  23. 23. Суммой (разностью) матриц одинакового размера является матрица того же размера, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.<br />cij = aijbij(матрицы складываются поэлементно)<br />С = А + В = В + А<br />Сумма матриц<br />Сумма и разность определены только для матриц одинакового размера<br />
  24. 24. Умножение матрицы на число<br />Произведением матрицы А на число  называется матрица В=А, элементы которой bij=aij, <br />В=А<br />В=<br />Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы<br />
  25. 25. Транспонирование матриц<br />Транспонированная матрица. Если в матрице Am×nстроки заменить соответственно столбцами, то получим транспонированную матрицу ATn×m:<br />Проверка!<br />
  26. 26. Пример<br />
  27. 27. Свойства линейных операций над матрицами<br />
  28. 28. Произведение матриц<br />Произведением матрицA m kB k nназывается такая матрица C m n, каждый элемент которой cijравен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В<br />AmxnxBnxk=Cmxk<br />В<br />С<br />А<br />Операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.<br />
  29. 29. для каких матриц определено произведение?<br />число столбцов первой равночислу строк второй<br />
  30. 30. = ?<br />*<br />1*5<br />+<br />2*1<br />2х2<br />х2<br />2х2<br />2<br />=<br />*<br />
  31. 31.
  32. 32. Определены ли произведения А ∙ В и В ∙ А?<br />1х3<br />3х1<br />А3х1 ∙ В1х3= C3х3<br />В1х3 ∙ А3х1= D1х1<br />Найдем АВ и ВА<br />Равны ли АВ и ВА?<br />D1х1=(2 ∙1+1 ∙2+1 ∙1) = (5)<br />=<br />Произведение матриц некоммутативно: A·B ≠ B·A<br />
  33. 33. Свойства операции умножения матриц<br />
  34. 34. Определители и их свойства<br />Вопрос №3<br />
  35. 35. Определители 2 порядка<br />Числовая характеристика квадратной матрицы - ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ( detA, Δ , aij)<br />Определитель 2-го порядка - это число, записанное в виде: <br />Произведениеэлементовглавнойдиагоналиминус произведениеэлементовпобочнойдиагонали.<br />
  36. 36. Определители 3 – ого порядка<br />Определителем 3 – ого порядка называется число:<br />Метод треугольника<br />_<br />+<br />
  37. 37. Отличие матрицы от определителя?<br />а) нет различий;<br />б) по форме представления; <br />в) матрица – таблица, а определитель – число.<br />
  38. 38. Свойства определителя<br />Самостоятельно законспектировать: <br />с. 18 – 20 УМП «Элементы линейной алгебры, теории множеств и математической логики» (библиотека)<br />Подготовиться к летучке по решению примеров на применение свойств определителей <br />
  39. 39. Системы линейных уравнений. Правило Крамера<br />Вопрос №4<br />
  40. 40. Система m линейных уравнений с n неизвестными (СЛУ)<br />1<br />aij - коэффициентами при неизвестных, <br />bi - свободные члены уравнений – произвольные числа, (i= 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) <br />2<br />АХ = В<br />3<br />
  41. 41. Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными<br />Наиболее простым, является случай, когда число неизвестных n равно числу уравнений n. <br />Пустьn=m= 2<br />aij -коэффициентыпринеизвестных.<br />Номер неизвестного, <br />Номер уравнения<br />Свободные члены уравнения<br />Решение данной системы - это пара чисел х1 и х2, которая при подстановке обращает оба этих уравнения в тождества.<br />
  42. 42. Решение СЛУ <br />РешениемСЛУ (1) называется такая совокупность nзначений х1 , х2 , …, хn, при подстановке которых вместо соответствующих неизвестных в исходную систему каждое уравнение системы обращается в тождество.<br />Система уравнений называется:<br />совместной, если она имеет хотя бы одно решение, при этом:<br />определенной, если она имеет единственное решение,<br />неопределенной, если она имеет более одного решения. <br />несовместной, если она не имеет решений.<br />
  43. 43. Правило Крамера (в общем виде)<br />Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными<br />4<br />– главный <br /> определитель<br />
  44. 44. Теорема. Если определитель системы (4) отличен от нуля, т.е.Δ0, то система имеет единственноерешение,определяемое по формулам Крамера:<br /> , , …, .<br />Следствие.<br />Если Δ = 0, а хотя бы один из определителей Δ1, Δ2 , …, Δnне равен нулю, то система не имеет решений.<br />Если Δ= Δ1 = Δ2 = … = Δn= 0, система имеет бесконечно много решений.<br />
  45. 45. Главный определитель системы<br />Вспомогательные определители системы<br />D<br />D<br />=<br />=<br />x<br />x<br />;<br />2<br />1<br />D<br />D<br />2<br />1<br />Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными<br />Если , то решение системы находится по формулам:<br />Формулы Крамера<br />
  46. 46. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными<br />Решить систему методом Крамера:<br />Вычислим главный и вспомогательные определители системы:<br />Найдем решение системы по формулам Крамера:<br />
  47. 47. Системы из 3 линейных уравнений с 3 неизвестными<br />Решим систему из 3 линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера.<br />Вспомогательные определители получаются из главного определителя, если заменить соответствующий столбец столбцом свободных членов:<br />
  48. 48. Системы из 3 линейных уравнений с 3 неизвестными<br />По величине главного и вспомогательных определителей можно судить о характере системы:<br /><ul><li>Если то система имеет единственное решение.
  49. 49. Если то система имеет бесконечное множество решений.
  50. 50. Если , но или или то система не имеет решений.
  51. 51. Если , то решение системы находится по формуламКрамера:</li></li></ul><li>Выводы<br />Аксиоматический метод – универсальный подход к построению научной теории<br />Матрица = таблица, операции над матрицами:<br />сложение, <br />умножение на число,<br />умножение матриц, <br />транспонирование<br />Определитель – числовая характеристика матрицы<br />Метод Крамера – способ решения системnлинейных уравнений c nнеизвестными<br />Эти сведения будут полезны при решении ВПЗ с использованием методов математического моделирования!<br />
  52. 52. Задание на самоподготовку:<br />Конспектс. 18 – 20 УМП «Элементы линейной алгебры, теории множеств и математической логики» (библиотека).<br />Подготовиться к летучке по свойствам определителя.<br />Завеститетрадь (12 листов) для выполнения Расчетно-графической работы<br />

×