3. В результате изучения темы
ученик умеет:
•Решать простейшие уравнения и
неравенства;
•Применять общие методы для
решения иррациональных уравнений и
неравенств;
•Использовать специальные приемы
для решения иррациональных
уравнений и неравенств.
2
2
3
4
4. В результате изучения темы
ученик
знает:
•Описание понятия иррационального уравнения;
•Описание понятия ОДЗ иррационального
уравнения;
•Определение и свойства степенной функции;
•Виды преобразований, используемых при решении
иррациональных уравнений и неравенств;
•Виды преобразований, приводящих к потере корней;
•Какие иррациональные уравнения и неравенства
относятся к простейшим, способы их решения;
•Общий подход к решению иррациональных
уравнений и неравенств: сведение их к
рациональным возведением в степень;
•О специальных приёмах решения иррациональных
уравнений: сведение к системе рациональных
уравнений, умножение на сопряженное выражение,
тригонометрические подстановки.
1
2
3
4
5. Иррациональные уравнения и
неравенства
Является
иррациональным
Алгебраическое
уравнение
Не является
иррациональным
xx 32 73||2 4
xx
Содержит
неизвестное под
знаком корня
Не содержит
неизвестное под
знаком корня
От других алгебраических уравнений (неравенств) иррациональные
уравнения (неравенства) отличает присутствие степени с рациональным
дробным показателем у выражений с переменной
6. Простейшие иррациональные уравнения
•Уравнение вида1
2
3
4
12,),()( nNnxgxfn
Примеры уравнений вида (1):
xx 2354 16113
x
n - нечетное n -четное
1 способ
Осуществляем равносильный
переход от уравнения (1) к
уравнению (2)
Осуществляем равносильный
переход от уравнения (1) к системе
(3)
2 способ
Переход к уравнению-следствию
(3) с последующей проверкой
n
n
xgxf
Nnxgxf
)()()2(
),()()1(
.0)(
;)()(
)3(
),()()1(
xg
xgxf
Nnxgxf
n
n
7. Простейшие иррациональные уравнения
•Уравнение вида
2
2
3
4
42,,)()( nNnxgxf nn
Примеры уравнений вида (4):
4817 xx
33
1458 xx
n - нечетное n -четное
1 способ
Осуществляем равносильный
переход от уравнения (4) к
уравнению (5), решая которое
находим корни исходного
уравнения.
Осуществляем равносильный переход
от уравнения (4) к системе (6)
2 способ
Переход к уравнению-следствию (5)
(при помощи возведения уравнения (4)
в n степень)с последующей проверкой
)()()5(
,)()()4(
xgxf
Nnxgxf nn
.0)(
);()(
,0)(
);()(
,0)(
;0)(
);()(
)6(
)()()4(
xg
xgxf
или
xf
xgxf
xg
xf
xgxf
xgxf nn
8. Простейшие иррациональные неравенства
•Неравенство вида
1
2
3
4
72,),()()()( nNnxgxfилиxgxf nn
Примеры неравенств вида (7):
xx 2354 16113
x
n - нечетное n -четное
Осуществляем равносильный
переход от неравенства (7) к
неравенству (8)
Осуществляем равносильный переход от
неравенства (7) к системе (9)
Первое неравенство в системе (9) является
результатом возведения исходного неравенства в
чётную степень, второе неравенство – это условие
существования корня в исходном неравенстве, а
третье обеспечивает возможность возведения в
чётную степень.
8)()()()()7(
)8()()()()()7(
xgxfxgxf
xgxfxgxf
n
n
)9(
.0)(
;0)(
;)()(
),()()7(
)9(
.0)(
;0)(
;)()(
),()()7(
xg
xf
xgxf
Nnxgxf
xg
xf
xgxf
Nnxgxf
n
n
n
n
9. Простейшие иррациональные неравенства
•Неравенство вида
2
2
3
4
102,),()()()( nNnxgxfилиxgxf nn
Примеры неравенств вида (10):
xx 23512 xx 16113
n - нечетное n -четное
Осуществляем равносильный
переход от неравенства (10) к
неравенству (11), решая которое,
находим решения исходного
неравенства.
Осуществляем равносильный
переход от неравенства (10) к
совокупности систем (11)
11)()()()()10(
)11()()()()()10(
xgxfxgxf
xgxfxgxf
n
n
)11(
.0)(
;0)(
;0)(
);()(
)()()10(
)11(
.0)(
;0)(
;0)(
);()(
)()()10(
xg
xf
xg
xgxf
xgxf
xg
xf
xg
xgxf
xgxf
n
n
n
n
10. Простейшие иррациональные неравенства
•Неравенство вида
3
2
3
4
122,,)()()()( nNnxgxfилиxgxf nnnn
Примеры неравенств вида (12):
xx 2354 33
1211 xx
n - нечетное n -четное
Осуществляем равносильный переход
от неравенства (12) к неравенству (8),
решая которое, находим решения
исходного неравенства.
Осуществляем равносильный переход
от неравенства (12) к системе (13)
8)()()()()12(
)8()()()()()12(
xgxfxgxf
xgxfxgxf
nn
nn
)13(
;0)(
);()(
.0)(
;0)(
;)()(
)()()7(
)13(
;0)(
);()(
.0)(
;0)(
);()(
)()()12(
xf
xgxf
xg
xf
xgxf
xgxf
xf
xgxf
xg
xf
xgxf
xgxf
n
nn
nn
