2. План
1.
2.
3.
Определение тригонометрического уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения
Методы решения тригонометрических уравнений (ТУ)
3.1. Решение ТУ разложением на множители
3.2. Решение ТУ, сводящихся к квадратным уравнениям
3.3. Решение однородных ТУ
3.4. Решение ТУ с помощью введения вспомогательного аргумента
3.5. Решение ТУ преобразованием суммы в произведение
3.6. Решение ТУ преобразованием произведения в сумму
3.7. Решение ТУ с применением формул понижения степени
3.8. Решение ТУ с применением формул тройного аргумента
3.9. Решение ТУ методом универсальной подстановки
3.10. Решение ТУ вида Р(sinx±cosx, sinx·cosx)=0
3. 1. Определение тригонометрического уравнения
Уравнение называют тригонометрическим, если в нем:
1) неизвестные содержатся только под знаком тригонометрических
функций; 2) аргументами тригонометрических функций являются
линейные функции от неизвестных и 3) над тригонометрическими
функциями выполняются только алгебраические операции.
Решением тригонометрического уравнения является
множество углов (из-за периодичности тригонометрических
функций), удовлетворяющих данному условию.
4. 2. Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшим
тригонометрическим
уравнением называются
уравнения, содержащие в
левой части одну
тригонометрическую
функцию, а в правой части
число.
Если это число является
«табличным», то для
решения удобно
использовать модель
единичной окружности
8. 2. Простейшие тригонометрические уравнения
Если в правой части уравнения число представлено в
тригонометрической форме, то решения находятся по формулам:
Являются ли приведенные уравнения – тригонометрическими? Левый – да, правый – нет: 1-алгебраическое, 2-тождество.
Как известно, всякое нетождественное алгебраическое уравнение либо совсем не имеет решений, либо имеет их конечное множество. Среди тригонометрических уравнений также встречаются такие, у которых нет решений, например sinx=3. Но если тригонометрическое уравнение имеет решения, то их непременно бесконечное множество.
Если решения есть, то их «серия»: если содержит n, то это – общее решение, иначе – частное.
Общий подход к решению основан на том, синус и косинус одного аргумента не могут быть одновременно равны нулю. Следовательно уравнение можно разделить на энную степень косинуса и ввести подстановку y=tgax.
Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.
