1. канд. пед. наук, доц.канд. пед. наук, доц.
Вячеслав Евгеньевич ПырковВячеслав Евгеньевич Пырков
pyrkov-professor.rupyrkov-professor.ru
Лекция 6.Лекция 6.
Методика изучения теорем вМетодика изучения теорем в
школьном курсе математикишкольном курсе математики
2. План лекцииПлан лекции
1.1. Основные понятияОсновные понятия
2.2. Виды теоремВиды теорем
3.3. Классификации теоремКлассификации теорем
4.4. Методы доказательства теоремМетоды доказательства теорем
5.5. Методика работы над теоремойМетодика работы над теоремой
3. Основные определенияОсновные определенияК
АКСИОМААКСИОМА – математическое предложение, принимаемое как
истинное без доказательства.
ТЕОРЕМАТЕОРЕМА – математическое предложение, истинность
которого устанавливается с помощью доказательства на
основании предложений, истинность которых установлена
ранее.
КАТЕГОРИЧЕСКАЯКАТЕГОРИЧЕСКАЯ
ВИДЫ ФОРМУЛИРОВОК ТЕОРЕМВИДЫ ФОРМУЛИРОВОК ТЕОРЕМ
ИМПЛИКАТИВНАЯИМПЛИКАТИВНАЯ
Отношение площадей подобных
фигур равно квадрату
коэффициента подобия
ЕслиЕсли фигуры подобны, тото
отношение их площадей равно
квадрату коэффициента
подобия (АА⇒⇒ВВ)
4. Виды теоремВиды теорем К
АА ⇒⇒ В прямая теоремаВ прямая теорема
ВВ ⇒⇒ А обратная теоремаА обратная теорема
АА ⇒⇒ В противоположная теоремаВ противоположная теорема
−−
−−
ВВ ⇒⇒ А обратная противоположнойА обратная противоположной
−−
−−
одновременно либо истины, либо ложны
Предложение, обратное данной теореме, можетПредложение, обратное данной теореме, может
быть истинным, а может быть и ложнымбыть истинным, а может быть и ложным
6. Основные определенияОсновные определенияК
Условие,Условие,
достаточное для Вдостаточное для В
Условие,Условие,
необходимое для Анеобходимое для А
Теоремы, выражающие достаточные условия понятия,Теоремы, выражающие достаточные условия понятия,
называются ТЕОРЕМАМИ-ПРИЗНАКАМИ.называются ТЕОРЕМАМИ-ПРИЗНАКАМИ.
Теоремы, выражающие необходимые условия понятия,Теоремы, выражающие необходимые условия понятия,
называются ТЕОРЕМАМИ-СВОЙСТВАМИназываются ТЕОРЕМАМИ-СВОЙСТВАМИ.
7. Основные определенияОсновные определенияК
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – логическое действие (цепочка силлогизмов)ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – логическое действие (цепочка силлогизмов)
в процессе которого истинность предложения обосновывается св процессе которого истинность предложения обосновывается с
помощью других предложений.помощью других предложений.
МЕТОД ДОКАЗАТЕЛЬСТВА - это способ связи аргументов приМЕТОД ДОКАЗАТЕЛЬСТВА - это способ связи аргументов при
переходе от условия к заключению суждения.переходе от условия к заключению суждения.
ДД
ОО
КК
АА
ЗЗ
АА
ТТ
ЕЕ
ЛЛ
ЬЬ
СС
ТТ
ВВ
ОО
Тезис. Форма выражения тезиса – суждение.
Аргументы (основания) доказательства - положения, на
которые опирается доказательство и из которых при
условии их истинности необходимо следует истинность
доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов -
суждения. Apгументы, на которые можно опереться при
доказательстве: аксиомы, определения, ранее
доказанные теоремы.
Демонстрация - логический процесс взаимосвязи
суждений, в результате которого осуществляется переход
от аргументов к тезису.
8. Методы доказательстваМетоды доказательстваК
Логические (прямые/косвенные)Логические (прямые/косвенные)
Геометрических преобразованийГеометрических преобразований
Равенства и подобия фигурРавенства и подобия фигур
Алгебраический методАлгебраический метод
Метод площадей
Координатный метод
Векторный метод
9. Методика работы над теоремойМетодика работы над теоремойК
Этапы работы над теоремойЭтапы работы над теоремой Упражнения, реализующие ихУпражнения, реализующие их
1. Мотивация изучения теоремы1. Мотивация изучения теоремы
2. Ознакомление с теоремой2. Ознакомление с теоремой
на оперирование с моделями фигур и измерение величинна оперирование с моделями фигур и измерение величин
на выполнение чертежей моделирующих условиена выполнение чертежей моделирующих условие
теоремытеоремы
8. Установление связей изучаемой8. Установление связей изучаемой
теоремы с изученными ранеетеоремы с изученными ранее
на применение ранее изученных теорем и понятийна применение ранее изученных теорем и понятий
с практическим содержаниемс практическим содержанием
3. Усвоение содержания теоремы3. Усвоение содержания теоремы
4. Запоминание формулировки4. Запоминание формулировки
теоремытеоремы
на выделение условия и заключения теоремына выделение условия и заключения теоремы
на распознавание ситуаций, удовлетворяющих теоремена распознавание ситуаций, удовлетворяющих теореме
7. Применение теоремы7. Применение теоремы
6. Доказательство теоремы6. Доказательство теоремы
5. Ознакомление со способом5. Ознакомление со способом
доказательствадоказательства
на ознакомление с методом доказательствана ознакомление с методом доказательства
моделирующие способ доказательствамоделирующие способ доказательства
на систематизацию теоремна систематизацию теорем
на выделение в доказательстве недостающихна выделение в доказательстве недостающих
утверждений и их обоснованийутверждений и их обоснований
на составление «родословной» теоремына составление «родословной» теоремы
на составление плана доказательства теоремына составление плана доказательства теоремы
на составление алгоритмовна составление алгоритмов
10. Методика работы над теоремойМетодика работы над теоремойК
Этапы работы над теоремойЭтапы работы над теоремой Упражнения, реализующие ихУпражнения, реализующие их
1. Мотивация изучения теоремы1. Мотивация изучения теоремы
2. Ознакомление с теоремой2. Ознакомление с теоремой
на оперирование с моделями фигур и измерение величинна оперирование с моделями фигур и измерение величин
на выполнение чертежей моделирующих условиена выполнение чертежей моделирующих условие
теоремытеоремы
8. Установление связей изучаемой8. Установление связей изучаемой
теоремы с изученными ранеетеоремы с изученными ранее
на применение ранее изученных теорем и понятийна применение ранее изученных теорем и понятий
с практическим содержаниемс практическим содержанием
3. Усвоение содержания теоремы3. Усвоение содержания теоремы
4. Запоминание формулировки4. Запоминание формулировки
теоремытеоремы
на выделение условия и заключения теоремына выделение условия и заключения теоремы
на распознавание ситуаций, удовлетворяющих теоремена распознавание ситуаций, удовлетворяющих теореме
7. Применение теоремы7. Применение теоремы
6. Доказательство теоремы6. Доказательство теоремы
5. Ознакомление со способом5. Ознакомление со способом
доказательствадоказательства
на ознакомление с методом доказательствана ознакомление с методом доказательства
моделирующие способ доказательствамоделирующие способ доказательства
на систематизацию теоремна систематизацию теорем
на выделение в доказательстве недостающихна выделение в доказательстве недостающих
утверждений и их обоснованийутверждений и их обоснований
на составление «родословной» теоремына составление «родословной» теоремы
на составление плана доказательства теоремына составление плана доказательства теоремы
на составление алгоритмовна составление алгоритмов
Editor's Notes
Словесное выражение теоремы может быть сформулировано в двух формах: категоричной и условной (где А-условие, В-заключение).
Методически целесообразно научить детей переводить категоричную форму в условную.
Например:
К: Сумма двух смежных углов равна 180.
У: Если углы смежные, то сумма их величин равна 180.
К: Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около другой окружности.
У: Если данный многоугольник правильный и выпуклый, то в него можно вписать окружность и около него можно описать окружность.
В математике выделяют 4 вида теорем:
Примеры к последней рамке:
Т(К): Во всяком параллелограмме противоположные стороны равны.
Т(У): Если четырехугольник параллелограмм (А), то его противоположные стороны равны (В)
Т(Обр): Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то он параллелограмм.
Т(К): Диагонали ромба взаимноперпендикулярны.
Т(Обр с ошибкой): Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то это ромб (может быть у трапеции, правильно заменить четырехугольник на параллелограмм)
Прямая и обратная теоремы позволяют установить связь между признаками и свойствами объектов.
Противоположная теорема тоже истина не всегда:
Т(К): Вертикальные углы равны.
Т(противоп): Если углы не вертикальные, то они не равны.
Т(обратная противоп): Если углы не равны, то они не являются вертикальными.
В геометрии:
1)
2) изучаются неявно
3) определяют условия, при которых рассматриваемый объект относится к определенному классу
4) описывают свойства данного объекта
С понятием прямой и обратной теоремы тесно связаны понятия: «необходимое условие», «достаточное условие», «необходимое и достаточное условие».
Если истины прямая и обратная теоремы, то условия необходимы и достаточны: АВ.
Пример:
Для того, чтобы доказать, что ГМТ равноудаленных от концов данного отрезка АВ, является серединный перпендикуляр к этому отрезку, нужно доказать две взаимно-обратные теоремы:
1) Если (.) равноудалена от концов данного отрезка АВ, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
2) Если (.) лежит на серединном перпендикуляре к АВ, то она равноудалена от его концов.
Для оптимизации рекомендуется доказывать прямую и обратную теоремы || в два столбца и используя один чертеж.
1) Косвенные (метод от противного) – доказывается теорема обратная противоположной
2) Современный подход, методика не отработана
3) Со времен Евклида, методика отработана
4) Излишне формализован
Чтобы теорема была прочно усвоена, необходима работа с ней и после доказательства. Этому способствуют задания следующих видов:
сформулируйте теорему;
определите условие и заключение теоремы;
к каким объектам (фигурам) применима теорема?
сформулируйте теорему со словами «Если …, то …»;
сформулируйте предложение обратное/противоположное данной теореме;
воспроизведите доказательство теоремы по новому чертежу, изменив его положение и обозначение элементов;
составьте план доказательства;
назовите аргументы, которые использовались при доказательстве;
докажите теорему другим способом;
решите задачи на применение теоремы.
