Fungsi rasional adalah rasio antara dua polinomial di mana penyebut tidak pernah sama dengan nol. Fungsi rasional paling sederhana adalah y=1/x dan y=1/x2. Fungsi-fungsi ini memiliki domain seluruh bilangan real kecuali nol. Grafik fungsi y=1/x dan y=1/x2 akan mendekati sumbu x ketika x mendekati tak hingga dan akan mendekati tak hingga ketika x mendekati nol.

1. Fungsi Rasional
Seperti bilangan rasional yang merupakan rasio dari dua bilangan
bulat, fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum,
Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk
Dengan p dan d merupakan polinomial dan d(x) ≠ 0. Domain dari V(x)
adalah semua bilangan real, kecuali pembuat nol dari d
Fungsi rasional yang paling sederhana adalah fungsi y = 1/x dan
fungsi y = 1/x², yang keduanya memiliki pembilang konstanta dan
penyebut polinomial dengan satu suku, serta kedua fungsi tersebut
memiliki domain semua bilangan real kecuali x ≠ 0.
Fungsi y = 1/x
Fungsi ini disebut juga sebagai fungsi kebalikan karena setiap
kita mengambil sembarang x (kecuali nol) maka akan menghasilkan
kebalikannya sebagai nilai dari fungsi tersebut. Hal ini berarti x yang
besar akan menghasilkan nilai fungsi yang kecil, demikian pula
sebaliknya. Tabel dan grafik dari fungsi tersebut dapat dilihat seperti
di bawah ini.

2. Tabel dan grafik di atas memunculkan beberapa hal yang
menarik. Pertama, grafik tersebut lolos uji garis vertikal, artinya,
setiap garis vertikal pada bidang koordinat Cartesius memotong
grafik pada maksimal satu titik. Sehingga, y = 1/x merupakan suatu
fungsi. Kedua, karena pembagian tidak terdefinisi ketika pembaginya
nol, maka nol tidak memiliki pasangan, yang menghasilkan jeda
pada x = 0. Hal ini sesuai dengan domain dari fungsi tersebut, yaitu
semua x anggota bilangan real kecuali 0. Ketiga, fungsi tersebut
merupakan fungsi ganjil, dengan salah satu cabangnya berada di
kuadran I sedangkan yang lainnya berada di kuadran III. Dan yang
terakhir, pada kuadran I, ketika x menuju tak hingga, nilai y menuju
dan mendekati nilai nol. Secara simbolis dapat ditulis sebagai x →
∞, y → 0. Secara grafis, kurva dari grafik fungsi tersebut akan
mendekati sumbu-xketika x mendekati tak hingga.

3. Selain itu kita juga dapat mengamati bahwa ketika x mendekati
nol dari kanan maka nilai y akan mendekati bilangan real positif yang
sangat besar (positif tak hingga): x → 0+
, y → ∞. Sebagai catatan,
tanda + atau – yang terletak di atas mengindikasikan arah dari
pendekatan, yaitu dari sisi positif (+) atau dari sisi negatif (–).
Fungsi y = 1/x²
Dari pembahasan sebelumnya, kita dapat menduga bahwa
grafik dari fungsi ini akan jeda ketika x = 0. Akan tetapi karena
kuadrat dari sembarang bilangan negatif adalah bilangan positif,
cabang-cabang dari grafik fungsi ini akan berada di atas sumbu-x.
Perhatikan bahwa fungsi y = 1/x² merupakan fungsi genap.
Serupa dengan y = 1/x, nilai x yang mendekati positif tak hingga,
menghasilkan y yang mendekati nol: x → ∞, y → 0Hal ini merupakan
salah satu indikasi dari sifat asimtot dalam arah horizontal, dan kita
mengatakan y = 0 merupakan asimtot horizontal dari fungsi y =
1/x dan y = 1/x². Secara umum,

4. Asimtot Horizontal
Diberikan suatu konstanta k, garisy = k merupakan asimtothorizontaldari
fungsiV(x) jika x bertambah tanpa batas, menyebabkan V(x) mendekati
k: x → –∞, V(x) → k atau x → ∞, V(x) → k.
Pada gambar (a) di bawah ini menunjukkan garis asimtothorizontalpada y = 1,
yang menggambarkan grafik f(x) sebagaitranslasigrafik y = 1/x ke atas sejauh 1
satuan. Gambar (b) menunjukkan garis asimtothorizontalpada y = –2, yang
menggambarkan grafik g(x) sebagaipergeseran grafik y = 1/x² ke bawah sejauh
2 satuan.
Asimtot Vertikal
Diberikan suatu konstanta h, garis x = h merupakan asimtot vertikal
untuk fungsi V jika x mendekati h, V(x) akan bertambah atau
berkurang tanpa batas: ketika x → h+, V(x) → ±∞ atau ketika x → h–,
V(x) → ±∞.

5. Mengidentifikasi dari asimtot horizontal dan vertikal sangatlah
berguna karena grafik y = 1/x dan y = 1/x² dapat ditransformasi
dengan menggesernya ke arah vertikal ataupun gorizontal. Fungsi,
merupakan bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x. Sedangkan fungsi,
merupakan bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x².