Khong gian vecto (chuong 3)

Đại Số Tuyến Tính å
§6: Nội dung chương 3
 KHÔNG GIAN VECTOR
 KHÔNG GIAN VECTOR CON
 SỰ ĐỘC LẬP VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN
TÍNH
 HẠNG CỦA MỘT HỆ VECTOR
 CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KGVT
 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VECTOR

§6: Không gian vector

§6: Không gian vector
Ngoài ra, ta còn có các tính chất sau:
+) Trong V có luật giản ước:
+) , ta có:
+)
+)
u + v = u + w Þ v = w
"u ÎV 0.u =q , (-1).u = -u
"a Î K, a.q =q
é a
= 0
= Þ ê = ë
u
u
a q
q

§6: Không gian vector con

W = V
Tập W = { q } và chính là các không gian
vector con của V.

= 0

 Bài Tập: Kiểm tra các tập sau đây có là
không gian vector con của các không gian
vector tương ứng không?
U = { (x, y, z)ÎR3 / 2x - y + 3z = 0}
W = { (x, y)ÎR2 / x - 2y =1}
{ 2 }
2 M = x(t) = at + bt + cÎP [t] / a -b + c = 0
ìï é = í = ê 11 12
ù ïü ú / + - + 2 = 0
11 12 21 22
ý
îï ë 21 22
û ïþ
a a
N A a a a a
a a

§6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ: Cho
1 x = (1,-2), x2 = (3,1), x3 = (5,-3)
Ta có: 2 (1,-2) + (3,1) = (5,-3)
hay
1 2 3 2x + x = x
3 x 1 2 (x , x )
3 x 1 2 (x , x ).
Vậy là tổ hợp tuyến tính của hệ
hay biểu thị tuyến tính được qua hệ

Tính å
Tuyến Đại Số Nhận xét:

1 2 0 1 2 0 1 2 0
2 1 3 0 3 3 0 3 3
1 0 5 0 2 5 0 0 9
( ) 3
é ù é ù é ù
A
= ê- - ú ® ê ú ê ú ê ú ® ê ú ê ú
êë - úû êë - - úû êë - úû
Þ =
r A
Hệ chỉ có nghiệm tầm thường: 1 2 3 l = l = l = 0

 Ví dụ: Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến
tính của hệ vector sau
1 0 1 2
é ù é ù
= ê ú = ê ú
ë û ë û
é ù é ù
= ê ú = ê ú
ë û ë û
X ;
X
1 2
0 0 0 0
1 2 1 2
X ;
X
3 4
3 0 3 4

Xét đẳng thức:
é ù é ù
= ê ú = ê ú
ë û ë û
é ù é ù
= ê ú = ê ú
ë û ë û
X X
1 2
X X
3 4
l1X1 +l2X2 +l3X3 +l4X4 =q
1 0 1 2 1 2 1 2 0 0
0 0 0 0 3 0 3 4 0 0
é ù é ù é ù é ù é ù
ê ú + ê ú + ê ú + ê ú = ê ú
ë û ë û ë û ë û ë û
l l l l
1 2 3 4
1 0 1 2
;
0 0 0 0
1 2 1 2
;
3 0 3 4

1 0 1 2 1 2 1 2 0 0
0 0 0 0 3 0 3 4 0 0
é ù é ù é ù é ù é ù
ê ú + ê ú + ê ú + ê ú = ê ú
ë û ë û ë û ë û ë û
l l l l
1 2 3 4
l + l + l + l
= 1 2 3 4
ìï
l + l + l
= 2 3 4
ïí
l + l
= 3 4
î l
=
4
ïï
0
2 2 2 0
3 3 0
4 0
1 1 1 1
0 2 2 2
0 0 3 3
0 0 0 4
A
é ù
ê ú
= ê ú
ê ú
ê ú
ë û
Hệ chỉ có nghiệm tầm thường. Vậy hệ vectơ đã cho
độc lập tuyến tính.

Nhận xét:

§6: Hạng của một hệ vectơ

Quy ước: r({q }) = 0

1 2 { , ,..., } m v v v
 Tính chất: Cho hệ vectơ S= trong
+) Nếu r(S) = r thì mọi vectơ của S đều biểu thị tuyến
tính qua hệ con bất kì (của S) có r vectơ đltt.
=åm
+) Nếu thì r(S) = r(S’), trong đó
u a v S ' = S È{u}.
=1
i i
i
+) Nếu mọi vectơ của hệ đều biểu thị
tuyến tính qua các vectơ { v của , v hệ ,..., v
} 1 2 m thì
1 2 {w ,w ,...,w } p
1 2 1 2 r({ , ,..., }) £ ({w ,w ,...,w }). m p v v v r
Rn

Giải: (Cách 1 – dùng định nghĩa)
1 2 không tỉ lệ nên độc lập tt. v ,v
Þ x = 2, y = 1

, hệ vô nghiệm.

 Tính hạng của một hệ vectơ theo hạng của ma trận
Trong Rn
cho hệ vectơ :
v a a a
v a a a
( , ,..., )
( , ,..., )
1 11 12 1
2 21 22 2
v a a a
Từ hệ vectơ này ta lập ma trận:
( , ,..., )
1 2
=
=
=
L
n
n
m m m mn

Từ hệ vectơ này ta lập ma trận:
a a ...
a
a a ...
a
é ê 11 12 1
n
ù
ú
= ê 21 22 2
n
ú ê ... ... ... ...
ú
ê ú
êë a a a
m 1 m 2
mn
úû
A
...
Định lý:
Hạng của ma trận A bằng hạng của hệ vectơ dòng,
bằng hạng của hệ vectơ cột của A.

Hệ quả: Trong Rn cho hệ vectơ { v , v ,..., v
} 1 2 m . Ta có các
khẳng định sau:
1) r({ v , v ,..., v }) = m Û{ v , v ,..., v
} - đltt
1 2 m 1 2 m 2) r({ v , v ,..., v }) < m Û{ v , v ,..., v
} 1 2 m 1 2 m - pttt
3)
1 2 r({ , ,..., }) = n Û det ¹ 0 Û n v v v A
-đltt
4)
1 2 Û{ , ,..., } n v v v
1 2 r({ , ,..., }) < n Û det = 0 Û n v v v A
Û{ v , v ,..., v
} 1 2 - pttt
n

Chú ý:
Từ định lý suy ra hạng của mọi hệ vectơ trong Rn
đều
nhỏ hơn hay bằng n. Do đó, từ hệ quả 1, ta có: Mọi hệ
trong Rn
có nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc thuyến tính.

Giải: (Cách 2)
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
êë úû
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
êë úû
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
êë úû
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
êë úû

Ví dụ:
a)
3
1 2 3 : (1,0, R a = -2),a = (-4,-1,5),a = (1,3,4)
-
1 0 2 1 0 0
= - - = - - - = ¹
A
det 4 1 5 4 1 3 3 0
1 3 4 1 3 6
r A r a a a
Þ = =
( ) 3 ({ , , })
1 2 3
Vậy hệ đltt.
1 2 3 {a ,a ,a }

Ví dụ:
b)
4
1 2 3 : (1,3,0,3), R b = b = (3,2,-1,2), b = (4,5,-1,5)
1 3 0 3 1 3 0 3
3 2 1 2 ... 0 7 1 7
4 5 1 5 0 0 0 0
( ) 2 ({ , , }) 3.
é ù é ù
= ê - ú ® ® ê - - - ú ê ú ê ú
êë - úû êë úû
Þ = = <
r A r b b b
1 2 3
A
Vậy hệ pttt.
1 2 3 {b , b , b }

§6: Cơ sở và số chiều

Cơ sở này được gọi là cơ sở chính
tắc của không gian vector R 2 .

Cơ sở này được gọi là cơ sở chính
tắc của không gian vector R 3 .

M2 .

Định lý:
= Î ån
u a e a R
1
, .
=
i i i
i

 Cách tìm cơ sở của KG con sinh bởi một hệ vector:
Ví dụ: Trong cho
Tìm cơ sở
Giải:
Vậy 1 cơ sở của W là (1,3,0,3), (0,-7,-1,-7). (or (1,3,0,3),
(3,2,-1,2))
R4
1 2 3 b = (1,3,0,3), b = (3,2,-1, 2), b = (4,5,-1,5).
1 2 3 W = span{b , b , b }.
1 3 0 3 1 3 0 3 1 3 0 3
3 2 1 2 0 7 1 7 0 7 1 7
4 5 1 5 0 7 1 7 0 0 0 0
( ) 2,
é ù é ù é ù
A
= ê - ú ® ê ê ú ê - - - ú ê ú ® ê - - - ú ú
êë - úû êë - - - úû êë úû
Þ =
r A

 Cách tìm cơ sở của KG con sinh bởi một hệ vector:
Ví dụ: Trong cho
1 2 3 a = (1,0,-2),a = (-4,-1,5),a = (1,3,4)
Tìm cơ sở
Giải:
R3
1 2 3 W = span{a ,a ,a }.
-
1 0 2 1 0 0
= - - = - - - = ¹
A
det 4 1 5 4 1 3 3 0
1 3 4 1 3 6
1 2 3 a ,a ,a .
r A
Þ =
( ) 3
Vậy 1 cơ sở của W là .

dim{q } = 0
Quy ước:

dimM2 = 4.

Định lý: Cho V là không gian vector n chiều.
Khi đó:
 Hệ sinh có n vector là cơ sở.
 Hệ có n vector và độc lập tuyến tính là cơ sở.
Định lý:

 Ví dụ: Chứng minh rằng hệ vector
với
là cơ sở của
E = { e1,e2 ,e3}
1 2 3 e = (1,1,1); e = (1,1,0); e = (1,0,1)
R3 .

§6: Tọa độ trong KGVT
1. Tọa độ của một vector đối với một cơ sở

Ta có: 1 x = (5,3) = 5(1,0) + 3(0,1) = 5e + 3e2
Vậy: / ( ) (5,3) E x =

Ta có: x = (5,3) = 3(1,1) + 2(1,0) = 3 f1 + 2 f2
Vậy: / ( ) (3, 2) F x =

Ta có: x(t) = x1 f1 (t) + x2 f2 (t) + x3 f3 (t)

1 1 2 2 3 3 x(t) = x f (t) + x f (t) + x f (t)
2 2 2
7t + 3t + 21 = x1(t + 2t) + x2 (3t -1) + x3 (t + 5)
x x
x x
+ = 1 3
Û + = 1 2
î - x + x
=
2 3
íï
ìï
7
2 3 3
5 21
1
2
3
3
1
4
x
x
x
= ìï
Þ = - íï
î =
Vậy: / ( ) (3, 1, 4) F x = -

2.Đổi cơ sở, đổi tọa độ.
Giả sử trong KGVT n chiều V cho hai cơ sở
1 2 1 2 A={ , ,..., }, B={ , ,..., } n n a a a b b b
xÎV [ ] [ ] / / , A B x x
và có các tọa độ
a) Ma trận chuyển cơ sở
Định nghĩa: Ma trận P thỏa mãn hệ thức:
[ ] [ ] / / = ," Î (*) A B x P x x V
gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở A sang cơ sở B.
Khi đó công thức (*) được gọi là công thức biến đổi tọa
độ của vector x giữa 2 cơ sở A và B.

Tìm ma trận P chuyển cơ sở từ A sang B:
Biểu diễn tuyến tính mỗi vector của B đối với A
Khi đó
a a a
a a a
b = a + a + +
a
1 11 1 12 2 1
b = a + a + +
a
2 21 1 22 2 2
a a a
b = a + a + +
a
1 1 2 2
...
...
......
...
n n
n n
n n n nn n

Khi đó
a a a
a a a
é ê 11 21 1
ù
ú
= ê 12 22 2
ú ê ú
ê êë a a a
ú
1 2
úû
...
...
P
... ... ... ...
...
n
n
n n n n

b) Tính chất của ma trận chuyển cơ sở
Định lý: Giả sử P là ma trận chuyển từ cơ sở A sang cơ
sở B. Khi đó
1) P khả nghịch
2) là P-1 ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở A

Ví dụ
Trong cho 2 cở sở: E cơ sở chính tắc và
R3
1 2 3 B={b = (1,-1,1),b = (2,3,1),b =(1,2,1)}
a) Tìm ma trận chuyển từ E sang B
b) Timg ma trận chuyển từ B sang E
c) Cho . Tìm
a = (1,2,3) / ( ) . B a

Ví dụ. a) Ta có
1 2 3 E={e (1,0,0), = e = (0,1,0), e =(0,0,1)}
e e e
e e e
e e e
b
b
b
= - +
= + +
= + + n
1 1 2 3
2 3
2 1 2 3
2
1 2 3
1 2 1
1 3 2
1 1 1
é ù
Þ = ê- ú ê ú
êë úû
P
b) Do đó ma trận chuyển từ B sang E :
1
1 1 1
1 3 0 3 ...
3
4 1 5
-
é - ù
= ê - ú = ê ú
êë- úû
P

Trong KGVT cho các vector
f = (1,2,3), f = ( - 1,1,0), f = (2,1,1), x = (4,6,-3)
1 2 3 CMR: hệ vector F = { f , f , f }
là cơ sở của ,
1 2 3 tìm tọa độ của vector x đối với cơ sở F.
Bài tập:
R3
R3

1 2 3 (1, f = 2,3), f = (-1,1,0), f = (2,1,m)
Tìm m để hệ vector là cơ sở của
1 2 3 F = { f , f , f }
Bài tập:
R3
R3

1 2 3 (1,0,2), f = f = (-1,1,0), f = (0,1,1), x = (4,7,m)
Tìm m để x là tổ hợp tuyến tính của hệ vector
1 2 3 F = { f , f , f }
Bài tập:
R3

Khong gian vecto (chuong 3)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Khong gian vecto (chuong 3)

Similar to Khong gian vecto (chuong 3) (20)

More from Nguyễn Phụng

More from Nguyễn Phụng (14)

Khong gian vecto (chuong 3)