gt2

1. CHƯƠNG IV: CHUỖI
§2. CHUỖI LŨY THỪA
1. CHUỖI LŨY THỪA
2. CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT
§1. CHUỖI SỐ
1. CHUỖI SỐ DƯƠNG
2. CHUỖI ĐAN DẤU
3. CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ

2. n
1
u
nn
1
lim S S
n
u
n n
1
lim S u Khi đ
n
§1. Chuỗisố- Tổngquan vềchuỗisố
Các định ng hĩa : Cho dãy số {un}. Ta định
nghĩa:
1.
2.
3.
Chuỗi số là tổng tất cả các số hạng của dãy
Số hạng tổng quát của chuỗi là un
Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số
n
hạng
đầu tiên :
4. Tổng của
S
Sn=u1+u2+…+un
chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có)
. ó, ta nói chuỗi hội tụ.
n
5. Chuỗi phân kỳ là chuỗi không hội tụ
Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng
n

3. 3 7 15
...
4 8 16
12
un
2n
2 2 2
...
1.2 1.2.3 1.2.3.4
2
un
n!
n
1 4n
2
1
2 75
u5
4.5 1 19
(2n
1 (n
1)!!
1)!
1)!! 1(2.6 1!! 1.3.5.7.9.11 99
u6
(6 1)! 7! 1.2.3.4.5.6.7 48
§1. Chuỗisố- Tổngquan vềchuỗisố
n
n
Ví dụ: Tính số hạng un của các chuỗi
Tính u5?
Tính u6
Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi:
1 n
2
2 2 3 4 n
1

4. 1 q q2
... qn
n,q 1
n
1 q
,q 1
1 q
nlim S
1
n 1 q
n
0
q
n
0
q
§1. Chuỗisố- Tổngquan vềchuỗisố
Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi
Sn
Rõ ràng khi q=1, Sn=n thì chuỗi là phân kỳ
Khi |q|<1: qn→0 khi n→∞ nên
Tức là chuỗi hội tụ và có tổng là S
Khi |q|>1: Dãy {Sn} không có giới hạn → chuỗi phân kỳ
Vậy chuỗi cấp số nhân hội tụ khi và chỉ khi |q|<1
n
S
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân
n

5. 1
0 3n
1
n
5
1 1 n
0 3n
n 0 3
( )
1 3
1 2
3
1
1 1 n
0 5n
n 0 5
1
( )
5
1 4
5
1
1
0 3n
1 3 5
n
1
5 2 4 4
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Áp dụng kết quả ví dụ trên, ta có
n
n
Vậy:
n
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi
n

6. 2
14n 1
1
u1 u2 ... un
1 1
(
1 1
)
4n2
1 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1
...
1 1
1 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1
1
1
2n 1
n2
1 4n
1
lim S
1
1 n 2
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
n
SnTổng riêng:
unTa có:
2Sn
Tổng của chuỗi: S
n
2Sn
Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của

7. 1
1
)
n
ln(1
1 k k 1
n
ln(1
1
)
n
ln(1 k) lnk
(ln 2 ln1) (ln3 ln2) ... (ln(n 1) lnn)
ln(n 1)
n
n
lim S lim ln(n 1)
n
§1. Chuỗisố- Tổngquan vềchuỗisố
Tổng riêng:
Sn
Sn
k
STa có:
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
Sn
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n

8. 1
un
n
n
1. lim u 0
n
2. lim u
n
§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ
n
Chứngminh: Chuỗi HT tức là tồn tại giới hạn hữu hạn
lim Sn S   S lim Sn1
n n
Sn Sn1 un1Mà :
 lim Sn lim
n
Sn1 lim un1
0
Suy ra:
n n
S S  lim
n
lim
n
un1 un1
Ta thường dùng điều kiện này để
chứng minh chuỗi số phân kỳ bằng
cách chứng minh
Điều kiệ n c ần của sự hội tụ : Chuỗi hội tụ thì
un→0

9. n
n
n n1n
lim
n
1 0
1
, vì lim u
1 n
n
n ( 1)1( 1
n
lim n
n
1 0, vì lim u
)n
n n
n
( 1
1
n
n n
n)
, vì lim
( 1)
1 0
n
§1. Chuỗisố- Tínhchất&điềukiệncầncủasựhộitụ
Ví dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht
n
n n n
n

10. 1 n p
un và un
1 n 1
Q và vn Pun
un = Q
1 n 1
vn Q P,un
§1. Chuỗisố- Tínhchất&điềukiệncầncủasựhộitụ
Chú ý : Tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK thì PK
Tính ch ất 2: Cho 2 chuỗi hội tụ
n
Các chuỗi sau hội tụ với tổng
n
Tính chất 1 : Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thay
đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử của chuỗi.
Tức là 2 chuỗi sau cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ
n

11. §1. Chuỗisố- TiêuchuẩnCauchy,d’Alembert

nn1
Chứngminh: Ta chứng minh trường hợp chuỗi PK
n C 1 nên tồn tại N sao choKhi lim
n
unC 1:
 lim un  0n N : n 1  1 lim
n
0un un un
n
Chuỗi PK theo đkccsht
Tiêu ch uẩn Cauc hy :
Cho chuỗi số un thỏa lim n un C . Ta có kết luận
C 1: Chuỗi HT
C 1: Chuỗi PK
C 1: Chưa kết luận được

12. §1. Chuỗisố- TiêuchuẩnCauchy,d’Alembert
Khi Chọn và áp dụng đ/n dãy HT:
n
1 C 0C 1:
q C 1n0
Do
: n  n  qn0, un C un. Đặt thì
qn
chuỗi nên dãy tổng riêng| q |1lim
n
HT khi
q1qn
2 n
q q ... qSn   ...  bị chặnu1 u2 un 
1 q
Suy ra dãy Sn HT, tức là chuỗi HT
Khi C=1: Ta lấy 2 chuỗi ở các VD trước để minh họa
 1  n
: HT : PK 2 1n1 n1n1 4n

13. 1)
n
1 n
1
1
n(n
2n 1
2n 3
n4 n
21
n
n n2 1
1)
n 1
n(n
n 1. n 1.
1 n
n
1
1
lim
n n
1
1e
1)
n
n n
n 1
(n
lim n u lim
n
§1. Chuỗisố- TiêuchuẩnCauchy,d’Alembert
1/ un
Vậy chuỗi HT
Ví dụ: Khảo sát sự HT của các chuỗi số sau
1/
n
2 /
n

14. 2n 1
2n 3
n4 n
2
1
n
n n2 1
n
n n
2n 1
2n 3
n4 n
2
lim n u lim n
n n2 1
n
2n 1
2 3n
n4 n
lim
n n 22 n 1
4 1
§1. Chuỗisố- TiêuchuẩnCauchy,d’Alembert
2 / un
Vậy chuỗi PK

15. §1. Chuỗisố- TiêuchuẩnCauchy,d’Alembert
n1unCho chuỗi số  thỏa lim  D. Ta có kết luận
Chứng minh: Tương tự như t/c Cauchy
Tiêu ch uẩn d’Alember t :
u
n1 n un
D 1: Chuỗi HT
D 1: Chuỗi PK
D 1: Chưa kết luận được

16. 1)!(2n
2 2 1
1 1 !2 n
un 2 1
2
1 1 1 !
.
4un 2 n
u 2 1 !1
2
2 2n 32n
1
2
1
4
un
1
u
lim
n
(2n
2
1 4
1
(2n1
1 3n
(
1)!
n
1)!!
1)
n2
2n)!
§1. Chuỗisố- TiêuchuẩnCauchy,d’Alembert
!(2nn
1/ un
4 n 4 n
2
n2
2n4 n nn
n Vậy chuỗi PK
Ví dụ: Khảo sát sự HT của các chuỗi số sau
1/
n
2 /

17. 1
(2n1
n
1)!!
n
1)
1
3 1
2(n
1
n
2 n 1 1 !!
un n
1) !! 2(n 1) 1
1
l 1
2nun n 3n
1 !! 3n
2n !! 2n 1
.lim
un
im
n 1 !!2 !! 2n 3 2
3 2
1
2
lim
n 2 2n 3
1
1
3
§1. Chuỗisố- TiêuchuẩnCauchy,d’Alembert
2 / un
3 (2n)!!(2n
2n
n
2n
n
Vậy chuỗi HT

18. ( 1)
n
1 2
2
n 1
nn
n
n nn 2
2
n 1
n
lim
n
n
2
n
1
1 e1
lim 1
n 2
§1. Chuỗisố- TiêuchuẩnCauchy,d’Alembert
Ta có
1n ulim
n
n
Vậy chuỗi đã cho PK
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n

19. n a0
1
n a0
1
§1. Chuỗisố- Tiêuchuẩn Cauchy,d’Alembert


n1
alnn
, a 0
lnn
4 /
n lnn lim C
n
ln1
1

nCn a a và
aln(n1)  
alnnln(n1) n1 vàD   a lim D
nn
alnn
(Ta không dùng được tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert)
aln n
eln nlna
nlna
 Biến đổi


1
Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa lna
n1n
Chuỗi HT khi và chỉ khi lna>1 ↔ a>e

20. n a 0 :Thì
n 0 : thì
§1. Chuỗisố- TiêuchuẩnCauchy,d’Alembert
Nhận
hoặc
dạng chuỗi để sử dụng tiêu chuẩn Cauchy
tiêu chuẩn d’Alembert
Nếu lim u
n
chuỗi PK theo đkccsht
lim u
n
Nếu ta làm tiếp 1 trong 2 cách sau
1. un có dạng “tích” tức là số các thừa số trong tích
phụ thuộc n thì dùng t/c d’Alembert
2. un có dạng “lũy thừa” tức là số mũ phụ thuộc n thì
dùng t/c Cauchy

21. n
1
0 vớiu , un
§1. Chuỗisố- Chuỗikhôngâm
Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} là dãy số không giảm nên
ch uỗ i HT kh i v à chỉ k hi dã y {S n} bị
chặn trên
Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương,
ta sẽ sử dụng 1 trong 3 tiêu chuẩn :
chúng
1. Tiêu
2.Tiêu
3. Tiêu
chuẩn
chuẩn
chuẩn
tích phân Maulaurint – Cauchy
so sánh 1
so sánh 2
Chuỗi số tất cả các số hạng không
n
âm thì gọi là chuỗi không âm

22. 1
f (n) f (x)dx
1
1n
li
n n
1
m u
n
n1 n lim u 1 0
n
1
x
§1. Chuỗisố- Chuỗikhôngâm
un* Khi α<0:
Chuỗi PK theo đkccsht
* Khi α=0: un
Chuỗi PK theo đkccsht
thỏa các điều kiện của
tiêu chuẩn tích phân
f (x)Xét hàm* Khi α>0:
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n
Tiêu ch uẩn tíc h phâ n Macl aur int – Cauchy:
Cho hàm f(x)≥0, liên tục và đơn điệu giảm trên [1,∞).
Khi ấy, chuỗi HT khi và chỉ khi tp HT
n 1

23. dx
1
x
1
1n
2 n(l
1
nn)
1
x(ln x)
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Vì tích phân hội tụ khi và chỉ khi α>1 nên
1
f (x)Xét hàm trên [2,+∞), ta có
f(x) không âm, hàm liên tục và khi x tăng thì lnx tăng
nên f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiêu
chuẩn tích phân
Ví dụ: Khảo sát sự HT của chuỗi
n
Chuỗi Hội tụ khi α>1 và phân kỳ khi α≤1
n

24. (ln x)
dx d(ln x)
x(ln x) 1
k
1
>1
1)(ln
hi
khi
1
( 2)
2 n(l
1
nn)
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Mặt khác
2 2
Vậy chuỗi HT khi β>1 và PK khi β≤1
n

25. 1 n 1
un và vn
p : un vn n p
1 n 1
vnun HT HT
1 n 1
unvn PK PK
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kéo theo chuỗi “nhỏ” HT và
ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kéo theo chuỗi “lớn” PK
Tiêu ch uẩn so sá nh 1:
Cho 2 chuỗi số không âm thỏa
n
Khi ấy: 1.
n
2.
n

26. 2
13n
1
2 2
v , n
3n
1 3n n
2n
2
n
1
n
n 13n
n 1 3
v
n
1
2
3
q , q
§1. Chuỗisố- Chuỗikhôngâm
Ta so sánh
n n
un
Vì chuỗi
n
là chuỗi cấp số nhân, dạng
n
nên hội tụ
Suy ra chuỗi đã cho hội tụ
n
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n

27. 1 n 1
un và vn
vn
K
1 n 1
vnun HT HT
1 n 1
unvn HT HT
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
n
lim
Tiêu ch uẩn so sá nh 2:
Cho 2 chuỗi số không âm thỏa
u n
n
Khi ấy:
1. Nếu K=∞ thì
n
2. Nếu 0<K<∞ thì 2 chuỗi cùng HT hoặc cùng PK
3. Nếu K=0 thì
n

28. n
0
1
, q 1
1 q
q
n
1
q
1
1n
n
1
0 vớiu , un
) ch
§1. Chuỗisố- Chuỗikhôngâm
Khi dùng tiêu
sánh (khi n
chuỗi cơ bản
chuẩn so sánh, ta sẽ thường xuyên so
uỗi 1 trong 2
n
sau
Chuỗ i đ iề u h òa :
Hội tụ khi α>1
n
Phân kỳ khi α≤1
Chuỗ i c ấp s ố nhâ n :
Hội tụ khi |q|<1
n
Phân kỳ khi |q|≥1 n

29. n2
3
1 n
2n 2
n 1
2n 2 1n
v
n3
n 1 n n
vn
1
1
1 n 1n
vn
n2
3
1 n
2n 2
n 1
n2
3
1 n
2n 2
n 1
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ta dùng T/c so sánh 2 bằng cách so
2
sánh khi n→∞
Khi n→∞ thì un
unTức là lim
n
(hai chuỗi cùng HT hoặc cùng PK)
Mà là chuỗi phân kỳ
n
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n

30. 1
2
1n
1 n
n
n
n
1 n 1
.e2
1
n2
n n
vn
1
2
1 n 1n
.vn e
§1. Chuỗisố- Chuỗikhôngâm
unKhi n→∞ thì
hội tụMà chuỗi
n
Theo tiêu chuẩn so sánh 2 ta được kết quả:
Chuỗi đã cho HT
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n

31. 1
1n
2n 1
n 1
ln
1
2(1
32n 1 1
ln
1
ln
n 1 n 1 n 1 2(n 1)
ln2 ln(1
3
)
1
n 1 2(n 1)
1
3
ln2.
1 1
ln
n 1 n 1 2(n 1)
1
PK
1
ln2.
1
n
§1. Chuỗisố- Chuỗikhôngâm
Ta có :
un
Chuỗi
n
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n

32. 1
3ln2 1
ln
n 1 n 1 2(n 1)
ln2 1
2 n 1 n 2 n 2
3
2(n 1
PK và ln(1 ) HT
)
) .
1) n 1 2(n 1) 2(n 1)2
3
ln(1+
1 2(n
1
:
1
1 n
1+
3
HT
2(n 1)
ln
1
§1. Chuỗisố- Chuỗikhôngâm
un
Khi n
1 3 3
n
Suy ra, chuỗi
n
Chuỗi đã cho là tổng của 2 chuỗi
n
Vậy chuỗi đã cho PK

33. 1
1 nsin
1
n
1 nsin
1
n
1 n
1 1 1
O(
1
)3
n 3! n n3
1
.
n2
1
2
1
66n
H
1
2
1n
1
1
2
1
2
0 VC
§1. Chuỗisố- Chuỗikhôngâm
1
n
khai
BKhi n→∞ thì
1
sinnên ta có thể triển Maclaurint hàm
n
un
2Chuỗi T khi và chỉ khi
n
Vậy chuỗi đã cho HT khi và chỉ khi
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n

34. n2 1
0n2
2 2
n
n 1 n e n
1e
ln( ) ln(1
n
)3
n 3
n1 n 1
n2
e
ln(
n
1
1
)
n 1 1
3
n 3
n 3
1
1
3
1 n
§1. Chuỗisố- Chuỗikhôngâm
2
 ln Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 3
nn 1
eKhi n →∞ : Suy ra
e
un
n
un
n n n
Mà chuỗi phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ
n
n en
n 1
n2

35. 1
n n
1) un u1 u2 u3 ... ( 1) un ...,un n, n(
1
n
un un
ulim 0
n
1
1)n
un(
§1. Chuỗisố- Chuỗiđandấu
Tiê u c hu ẩn Le ib ni tz :
Nếu thì chuỗi hội tụ
n
Khi ấy, ta gọi chuỗi đó là chuỗi Leibnitz và tổng S
của chuỗi thỏa 0≤S≤u1
Chuỗi số
n
gọi là chuỗi đan dấu

36. 1
n
( 1)
n1
( 1)
n2
n
n
n
1
n
n 1
§1. Chuỗisố- Chuỗiđandấu
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1/
2 /
un1/Ta có : đơn điệu giảm và dần về 0
Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz
đơn điệu giảm và dần về 0un2/
Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz
n
n
n
n

37. (
1 n
1)n
( 1)n
1)n
(
( 1)n
1)n
vn,vn 0
1)n
( 1)n
( n ( 1)n
) ( 1)n
n( 1
n 2n n 1 n 1( 1) n ( 1)
§1. Chuỗisố- Chuỗiđandấu
unSố hạng tổng quát của chuỗi
n
không thể viết được dưới dạng
chuỗi
(
đanTức là
Ta có
chuỗi trên không là dấu
un
n
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n

38. ( 1)
n1
n
n
1
1
n 12
là ch
§1. Chuỗisố- Chuỗiđandấu
Chuỗi là chuỗi đan dấu hội tụ
n
uỗi số dương phân kỳChuỗi
n
Vậy chuỗi đã cho là chuỗi PK vì là tổng của 1 chuỗi
HT và 1 chuỗi PK

39. ( 1)
n l1 n
n
n
1
n lnn
1
x ln x
1
(x)
x
f 2
0, x 1
ln x)
§1. Chuỗisố- Chuỗiđandấu
unChuỗi đan dấu với
Để khảo sát sự đơn điệu của dãy un ta đặt
f (x)
x(x
cũng là dãy {un} đơn điệu giảmTức là hàm f(x)
dần về 0.
và
Vậy chuỗi đã cho HT theo Leibnitz
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n

40. | un |
1
un | un |
1 n 1
un
1
un
1
§1. Chuỗisố- Chuỗicódấubấtkỳ
n
Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối:
Nếu chuỗi hội tụ
Thì chuỗi hội tụ
n
Khi đó:
n
Và ta gọi chuỗi là chuỗi hội tụ tuyệt đối
n

41. | un |
1
un k
1
un
1
| un |
1
un
1
§1. Chuỗisố- Chuỗicódấubấtkỳ
n n
n n
n
Khi chuỗi HT và chuỗi PK thì ta
gọi chuỗi là chuỗi bán hội tụ
Chú ý 1: Điều ngược lại không đúng, tức là chuỗi
hông suy ra chuỗi hội tụ

42. tan
1
si
n
1
, khi n
3
1 1
n
1
3
1
n 2
( 1)n
1
sinn
n
1 3
tan
1 n
sinn 1
n n 3
§1. Chuỗisố- Chuỗicódấubấtkỳ
n nn
n
1
u1/ Xét n
n n 2n
Chuỗi HT, suy ra chuỗi đã cho HTTĐ
n
2
2/ Xét un → chuỗi đã cho HTTĐ
3 3
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
1/
1
sin
1
2
2 /
n

43. ( 1)n
1
1n
2
1
1n
2
1
1n
2 1
1
, kh
2n
n 1
| un |
2
1 n 12n 1
§1. Chuỗisố- Chuỗicódấubấtkỳ
un1. Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu với
2n
Rõ ràng dãy {un} đơn điệu giảm và
chuỗi HT theo t/c Leibnitz
dần về 0 nên
2. Mặt
| un |
khác, coi đó là chuỗi
i n
có dấu bất kỳ thì
2n
chuỗiTức là PK
n
Vậy chuỗi đã cho chuỗi bán HT
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n 2n

44. arc
2 n(n
1)n
1)(n 1)
2
,n 2
2
,n 2
k
1)n
k 1
1
khi n
2 31)(n 1)
n
§1. Chuỗisố- Chuỗicódấubấtkỳ
Vì
arcsin(
Nên un
2 n(n 2
Vậy chuỗi đã cho HTTĐ
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
sin(
n

45. un, u 1
3n1
11
,u
2 2n
3n 1
1 u2u1 u2 ... u2n n
1 1 1 1
...
1 1 1 1
5 2 8 5 3n 1 3n 4 3n 2 3n 1
3 u2n 2) (u2n 1 u2n )(u1 u2) (u3 u4 ) ... (u2n
1 1
2 3n 2
1n
2
1 S2n u2n 1
1n
2
nlim S
1
Chu
2
§1. Chuỗisố- Chuỗicódấubấtkỳ
n
Ta đi
S2n
S2n
S2n
tính tổng riêng thứ 2n của chuỗi
Và
SVậy tổng của chuỗi ỗi HT
n
S2n
S2n
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2n

46. §1. Chuỗisố- Phụlục
Tiêu ch uẩn
Rapb
:
1 và Dn(sử
Đặt
dụng khi D = < 1 hoặc C=1 và Cn<1)
n1
R n1 1  un
Hoặc
n
• R > 1 : hội tụ
• R < 1 : phân kỳ
• R = 1 : không có kết luận
n
n n
R lim Rn
R n
u 
un 
R lim Rn n

47. §1. Chuỗisố- Phụlục


n1
(2n 1)!! 1
3 /
(2n)!! 2n 1
(2n 1)!! 1
 2
an1 (2n 1)(2n 2)!! 2n 3
D   n
(2n 1)!! 1a (2n 2).(2n 3)n
2n 1
không dùng tc D’A được
(2n)!!
Dn 1& lim Dn 1
n
(2n 1)2
n1




R n1 D n n
(2n 2)(2n 3)

48. §1. Chuỗisố- Phụlục
(2n 1)2
n1




n1 D R n n
(2n  2)(2n  3)
6n 5
 n
(2n 2)(2n  3)
3
2
lim R  1n
n
chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb

49. n n
1
a 0 u P
n n
1
0 u c
0, n N thì
1
u1
n
u 0, 1
n
0 n Nn n
§1. Chuỗisố- Tómtắt
Các bướ c khảo sát sự HT của chu
ỗi số
1. Nếu lim u
n
K
n
2. Nếu lim u
n
2.1. Nếu
ó thể HT
n
dùng 1 trong 4 tiêu chuẩn: tích phân, so sánh,un
Cauchy, d’Alembert
2.2. Nếu (chuỗi đan dấu) thì dùng t/c Leibnitz
2.3 Nếu không có 2
về phần 2.1
dạng trên thì tính un để được chuỗi số dương, và quay

50. , 1
n
1
1n2
1
11 n
1n
1
n
n
n 1
§1. Chuỗisố- Bàitập
Khảo sát sự HT của các chuỗi sau
n
1 n 1 
7.
3n 1!
1.  n
nn 1 2   32n 1
.n2
n 1
4n1
n!
2 
1
ln
n 18. sin2.n 1

3.
 5n 1
2n ! n n
2n
n 1 

9.n 1

122n 1
1.3.5... 2n
n
n 
4n 37 n 1!n
 n 1
n
e n!
4.
nn
10.
n
n 1

n 1 n 1
5. 3 11.
nn 4n 1

6.
1
ln
n 1
12.
nn 13 2
n 1n 2

51. 1
1 5n
1
1 n
1
n
n n 1
n
2 3n
1.4.
1
2
n
1 n
1 n sin
1
n
n
1 5
1
n
1
n
1
n
n 11
1 2n
7..
n
2n
2
1
2
2
n
21 3n 2
1
11 2n
1
1
1
1
cos
1 2n
sin
1
1
3n
1 5n
1
n
1
1
n
ln
n
2n 1
2n
1
n
3n 1
n
ln3
1
2n
2
§1. Chuỗisố- Bàitập
13.
n 19.
n
n
2
14.
n
20.
n
n n
15.
n
21.
n
2
22.
n
16.
n
2
n. 3n
17.
n
23.
nn!.5n n
ln3
18.
n
24.
n