3. Sekilas Tentang Sejarah
Logaritma
Logaritma dikemukakan pertama kali oleh John
Napier yang lahir pada tahun 1550 di dekat Edinburgh,
Skotlandia. Selain menemukan, dia juga mendesain sebuah
metode sederhana untuk perkalian dan pembagian yang
dikenal sebagai tulang-tulang Napier. Ketika buku Napier
tentang logaritma diterbitkan pada tahun 1614, hal ini amat
mengagumkan para ilmuwan sebagaimana ditemukannya
kalkulator di zaman modern. Dengan bantuan logaritma
mereka dapat mengerjakan perkalian dan pembagian yang
sulit dengan cara cepat dan mudah untuk pertama kalinya.
Napier menghabiskan hidupnya mengutak-atik matematika.
5. Indikator Pembelajaran Logaritma:
Kita dapat mengenal pengertian logaritma
suatu bilangan dari suatu bilangan pokok.
Agar dapat menghitung nilai logaritma suatu
bilangan untuk suatu bilangan pokok.
Menghitung nilai logaritma dan mencari
kembali logaritma suatu bilangan dengan
daftar atau tabel logaritma atau kalkulator.
Dapat mengenal pengertian sifat-sifat
logaritma.
Menggunakan sifat-sifat logaritma untuk
memecahkan soal. NEXT
7. Bentuk logaritma pun dapat
diuraikan menjadi :
alog x = n maka x = an
alog y = m maka y = am
Lanjut
8. Sifat-sifat penting fungsi logaritma y = g(x) = log a x
1. Daerah asalnya (domain) adalah himpunan seluruh bilangan nyata
positif, Df = (0,∞). Ini berarti seluruh grafiknya selalu berada di
sebelah kanan sumbu-Y (sumbu tegak). Sedangkan daerah hasilnya
(range) adalah himpunan seluruh bilangan nyata, Rf = (-∞,∞).
2. Nilai fungsi pada x = 1 adalah 0, dengan kata lain grafik fungsinya
selalu melalui titik (1,0) untuk berapapun nilai a.
3. Fungsi ini bersifat satu-satu.
4. Jika a > 1, maka fungsi ini merupakan fungsi naik. Dan jika 0<a<1,
maka fungsi ini merupakan fungsi turun.
5. Sumbu–Y menjadi asimtot tegaknya.
6. Fungsi y = f(x) = ax dan fungsi y = g(x) = loga x yang satu merupakan
balikan yang lain. Ini berarti grafik yang satu merupakan bayangan
cermin dari grafik yang lain terhadap garis y = x.
9. GRAFIK FUNGSI LOGARITMA
Fungsi logaritma g(x) = alog x dengan a > 0 dan a ≠ 1 mempunyai
sifat-sifat berikut.
1. Terdefinisi untuk x > 0 (berada di sebelah kanan sumbu x).
2. Memotong sumbu koordinat hanya di titik (1,0).
3. Mempunyai asimtot tegak lurus sumbu Y (x=0).
4. Jika a > 1 maka grafik monoton naik.
Y
X
g(x) = alog x
(1,0)
10. 5. Jika 0 < a < 1 maka grafik monoton turun.
Y
(1,0)
g(x) = alog x
X
11. Untuk lebih jelasnya mari kita kerjakan soal-soal berikut.
Perhatikan grafik fungsi eksponen berikut!
Y
X
-1 0 1 2 3
8
4
2
Apa persamaan grafik fungsi
invers pada gambar disamping ?
Penyelesaian:
Grafik fungsi y = ax melalui (1,2)
sehingga 2 = a1
a = 2
rumus fungsi y = ax = 2x
dari y = 2x diperoleh x = 2log y
atau f-1 (x) = 2log x
jadi, invers fungsinya 2log x
12. Perhatikan gambar grafik fungsi eks10ponen berikut:
-2 -1 0 1 2 3
4
2
1
Persamaan grafik fungsi invers pada
gambar disamping adalah . . . .
Penyelesaian:
Grafik fungsi y = ax melalui (-2,4).
Diperoleh: 4 = a-2
(1/2)-2 = a-2
a = ½
rumus fungsi y = ax = (1/2)x
dari y = (1/2)x diperoleh x= 1/2log y atau f-
1(x) = 1/2log x
jadi, invers fungsinya 1/2log x
y
x
13. Pada pembahasan kali ini kita
akan mempelajari persamaan
logaritma.
logaritma juga
ada
persamaannya?
Mari kita
pelajari
lebih lanjut
klik
14. Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma
Fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah dua fungsi yang
saling invers.
Dengan: f(x) = fungsi eksponen
g(x) = fungsi logaritma
Bentuk-bentuk persamaan logaritma dan penyelesaiannya.
a. Jika alog f(x) = alog m, f(x) > 0 maka f(x) = m
b. Jika alog f(x) = blog f(x), a ≠ b, maka f(x) = 1
c. Jika alog f(x) = alog g(x), f(x) > 0, g(x) > 0, maka f(x) = g(x)
d. Jika f(x)log g(x) = f(x)log h(x),
f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) > 0, dan f(x) ≠ 1 maka g(x) = h(x)
f (x) = ag(x) g (x) = alog f(x)
15. Bentuk-bentuk Peridaksamaan Logaritma dan
penelesaiannya
a. Untuk a > 1
Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) > g(x) dengan syarat f(x) > 0 dan
g(x) > 0.
Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) < g(x) dengan syarat f(x) > 0 dan
g(x) > 0.
b. Untuk 0 < a < 1
Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) < g(x) dengan syarat f(x) > 0 dan
g(x) > 0.
Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) > g(x) dengan syarat f(x) > 0 dan
g(x) > 0.
16. Sifat-sifat logaritma yang telah dibahas sebelumnya
ternyata dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan
yang mengandung peubah dalam logaritma.
Untuk lebih jelasnya mari kita kerjakan
soal-soal di bawah ini!
Hitunglah nilai x yang mungkin dari persamaan di
bawah ini:
1. log 2x = 3
2. log x + 2 log 2 = log 20 – log 5
3. 2 log 3x + log 16 – 3 log 2 = log 18
4. log (3x + 2) – log (x – 1) = log (x – 2), x>0
5. Logx 2 + log2 x = 2
17. 1. log 2x = 3
Penyelesaian:
tulislah kembali persamaan itu dalam bentuk persamaan yang tidak
mengandung logaritma. Sehingga dipeoleh:
log 2x = 3 2x = 103
2x = 1000
x = 500
Jadi, nilai x yang memenuhi yaitu x = 500.
18. 2. log x + 2 log 2 = log 20 – log 5
Penyelesaian:
jika kedua ruas persamaan mengandung logaritma, gabungkanlah
logaritma-logaritma dalam masing-masing ruas itu menjadi suatu
logaritma, dan kemudian gunakan sifat-sifat logaritma untuk
menuliskan kembali dalam bentuk yang bebas dari logaritma.
log x + log 2 = log 20 – log 5
log 2x = log 20/5 = log 4
2x = 4 atau x = 2
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan itu
adalah x = 2.
19. 3. 2 log 3x + log 16 – 3 log 2 = log 18
Penyelesaian:
karena logaritma hanya didefinisikan untuk bilangan bulat positif,
maka 3x > 0 atau x > 0 .
2 log 3x + log 16 – 3 log 2 = log 18
log (3x) 2 + log 16 – log 8 = log 18
(3x)2 (16)
8
log 18x2 = log 18
18 x 2 = 18
x2 = 1 atau x = 1
Jadi, nilai x yang memenuhi syarat x > 0 di atas
adalah x = 1.
log = log 18
20. 4. log (3x + 2) – log (x – 1) = log (x – 2), dengan syarat x > 0
Penyelesaian:
log (3x + 2) – log (x – 1) = log (x – 2)
3x + 2
x - 1
3x + 2
x – 1
3x + 2 = (x – 1) (x – 2)
setelah penyederhanaan diperoleh x2 – 6x = 0 atau
x(x – 6) = o atau x = 6
Jadi, nilai x yang memenuhi syarat adalah x = 6.
log = log (x – 2)
= x – 2
21. 5. logx 2 + log2 x = 2
Penyelesaian:
logx 2 + log2 x = 2
log 2 log x
log x log 2
(log 2)(log 2) + (log x)(log x)
log x log 2
(log 2)2 + (log x)2 = 2 log 2 log x
(log x)2 – 2 log x log 2 + (log 2)2 = 0
(log x – log 2)2 = 0
log x – log 2 = 0
log x = log 2
x = 2
Jadi, nilai x yang mungkin adalah x = 2.
+ = 2
= 2
22. Penerapan Fungsi Logaritma
1. Anna menyimpan uang Rp 500.000,- di bank dengan bunga majemuk
12% per tahun. Berapa tahunkah uang simpanan Anna menjadi dua
kali lipat?
Penyelesaian: misalkan n menyatakan lama penyimpanan dalam tahun.
500000(1.12)n = 1000000 atau (1.12)n = 2
Dengan mengalogaritmakan (basis 10) kedua ruas di atas diperoleh
n log 1.12 = log 2 log 2
log 1.12
Jadi, dalam waktu 6.1 tahun, dengan tingkat bunga
majemuk 12% per tahun, uang Anna yang
disimpan di bank akan menjadi dua kali lipat.
Fungsi logaritma dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari,
hal ini bertujuan untuk menambah pemahaman kita terhadap materi
fungsi logaritma.
n = ≈ 6.116
23. 2. Misalkan untuk setiap meter masuk ke bawah permukaan laut,
intensitas cahaya berkurang sekitar 2.5%. Pada kedalaman
berapakah intensitas cahayanya tinggal 50% dari intensitas cahaya di
permukaan laut?
Penyelesaian:
Misalkan d menyatakan kedalaman di bawah permukaan laut.
50% = 100% (0.975)d atau (0.975)d = 0.5
Dengan melogaritmakan (basis 10) kedua ruas persamaan diperoleh
d log 0.975 = log 0.5 atau log 0.5
log 0.975
Jadi, pada kedalaman sekitar 27 m, intensitas
cahaya di dalam laut itu hanya 50% dibandingkan
intensitas cahaya di permukaannya. (ini sangat
mempengaruhi jenis organisme apa yang bisa
hidup dengan intensitas cahaya yang relatif
sedikit itu.)
d = ≈ 27.4
26. Kelompok 2 Pembelajaran Matematika MA/SMA 1
Anggota kelompok:
CICI RISKA YUNITA 1210205016
ERNI NURAENI 1210205029
FIKA RIZKI F. R. 1210205031
IFA HANIFIAH 1210205042
