logaritma

1. Oleh:
Ai Miftahul Jannah (1210205006)
Amanda Dwi Aryanti Setiawan (1210205008)
Ani Kurnia (1210205009)
Ariesta Restiana (1210205010)
Intan (1210205046)

2. PENGERTIAN LOGARITMA
MENENTUKAN LOGARITMA SUATU
BILANGAN
SIFAT-SIFAT LOGARITMA
HOME

3. Definisi:
Misalkan a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif
yang tidak sama dengan 1 (0 < g < 1 atau g > 1).
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
= 𝒙 jika dan hanya jika 𝒈 𝒙 = 𝒂
 g disebut bilangan pokok atau baris logaritma, dengan ketentuan 0 < g <
1 atau g > 1 (g > 0 dan g ≠ 1).
 a disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan
ketentuan a > 0.
 x disebut hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau negatif.
Sebagai akibat dari definisi logaritma di atas, maka dapat ditunjukkan
berlakunya sifat-sifat pokok logaritma sebagai berikut:
a. log 𝑔 𝑛𝑔
= 𝑛
b. log 𝑔
𝑔
= 1
c. log 1 = 0
𝑔
BACK TO HOME

4. Menentukan logaritma suatu bilangan dengan menggunakan
definisi log 𝑎
𝑔
= 𝑥 𝑔 𝑥
= 𝑎, dapat dilakukan jika bilangan a
dapat diubah menjadi bilangan berpangkat dengan bilangan
pokok g. Tetapi, untuk mengubah bilangan a menjadi bilangan
berpangkat dengan bilangan pokok g kadang-kadang tidak
mudah dilakukan. Sehingga diperlukan cara lain, salah satunya
dengan menggunakan tabel logaritma.

5. 1. Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah
nilai log4,6 dan log1,12.
2. Tentukan bilangan yang logaritmanya 0,0492.
Penyelesaian no 1: Menentukan Logaritma Bilangan Menggunakan Tabel Logaritma
Penyelesaian no 2: Menentukan Anti Logaritma Suatu Bilangan Menggunakan Tabel Logaritma
BACK TO HOME
1. Jadi, log 4,6 = 0,6628 dan log 1,12 = 0,0492.
2. Jadi, bilangan yang logaritmanya 0,0492 adalah log 1,12.

6. N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0000 3010 4771 6021 6990 7782 8451 9031 9542
1 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2778
2 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 2553 4624
3 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911
4 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902
5 6990 7076 7160 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709
6 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388
7 8451 8513 8573 8533 8692 8751 8808 8865 8921 8976
8 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494
9 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956
10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374
11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0000 3010 4771 6021 6990 7782 8451 9031 9542
1 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2778
2 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 2553 4624
3 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911
4 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902
5 6990 7076 7160 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709
6 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388
7 8451 8513 8573 8533 8692 8751 8808 8865 8921 8976
8 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494
9 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956
10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374
11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755
BACK

7. N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0000 3010 4771 6021 6990 7782 8451 9031 9542
1 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2778
2 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 2553 4624
3 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911
4 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902
5 6990 7076 7160 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709
6 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388
7 8451 8513 8573 8533 8692 8751 8808 8865 8921 8976
8 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494
9 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956
10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374
11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755
BACK

8. Sifat 1: 𝐥𝐨𝐠(𝒂 × 𝒃)
𝒈
= 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
+ 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒈
Sifat 2: 𝐥𝐨𝐠
𝒂
𝒃
𝒈
= 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
− 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒈
Sifat 3: 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏𝒈
= 𝒏 × 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
Sifat 4:1) 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
=
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒑
𝐥𝐨𝐠 𝒈
𝒑
2) 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
=
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒈𝒂
Sifat 5:1) 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
× 𝐥𝐨𝐠 𝒃𝒂
= 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒈
2) 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒎𝒈 𝒏
=
𝒎
𝒏
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
3) 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏𝒈 𝒏
= 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
Sifat 6: 𝒈 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
= 𝒂

9. Bukti sifat 1:
𝐥𝐨𝐠(𝒂 × 𝒃)
𝒈
= 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
+ 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒈
Ruas kiri:
Misalkan:𝒎 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
, maka 𝒈 𝒎 = 𝒂 dan 𝒏 = 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒈
, maka 𝒈 𝒏 = 𝒃
Sehingga, 𝒈 𝒎 × 𝒈 𝒏 = 𝒂 × 𝒃
𝐥𝐨𝐠(𝒂 × 𝒃)
𝒈
𝐥𝐨𝐠(𝒈 𝒎
× 𝒈 𝒏
)
𝒈
(dengan menggunakan sifat pangkat 𝒈 𝒎
× 𝒈 𝒏
= 𝒈 𝒎+𝒏
), maka
𝐥𝐨𝐠(𝒈 𝒎+𝒏
)
𝒈
(berdasarkan sifat-sifat pokok logaritma 𝐥𝐨𝐠 𝒈 𝒏𝒈
= 𝒏), maka
𝒎 + 𝒏 (karena, 𝒎 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
dan 𝒏 = 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒈
), maka
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
+ 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒈
Maka, ruas kiri = ruas kanan
Jadi, 𝐥𝐨𝐠(𝒂 × 𝒃)
𝒈
= 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
+ 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒈

10. Bukti sifat 2:
𝐥𝐨𝐠
𝒂
𝒃
𝒈
= 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
− 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒈
Ruas kiri:
Misalkan:𝒎 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
, maka 𝒈 𝒎 = 𝒂 dan 𝒏 = 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒈
, maka 𝒈 𝒏 = 𝒃
Sehingga,
𝒈 𝒎
𝒈 𝒏 =
𝒂
𝒃
𝐥𝐨𝐠
𝒂
𝒃
𝒈
𝐥𝐨𝐠
𝒈 𝒎
𝒈 𝒏
𝒈
(dengan menggunakan sifat perpangkatan
𝒈 𝒎
𝒈 𝒏 = 𝒈 𝒎−𝒏), maka
𝐥𝐨𝐠 𝒈 𝒎−𝒏𝒈
(berdasarkan sifat-sifat pokok logaritma 𝐥𝐨𝐠 𝒈 𝒏𝒈
= 𝒏), maka
𝒎 − 𝒏 (karena 𝒎 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
dan 𝒏 = 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒈
), maka
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
− 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒈
Maka, ruas kiri = ruas kanan
Jadi, 𝐥𝐨𝐠
𝒂
𝒃
𝒈
= 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
− 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒈

11. Bukti sifat 3:
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏𝒈
= 𝒏 × 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
Ruas kiri:
Misalkan: 𝒎 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
, maka 𝒈 𝒎
= 𝒂
Jika kedua ruas dipangkatkan dengan n, akan diperoleh:
𝒈 𝒎 𝒏 = 𝒈 𝒎×𝒏 = 𝒂 𝒏 atau
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏𝒈
𝐥𝐨𝐠 𝒈 𝒎×𝒏𝒈
(berdasarkan sifat-sifat pokok logaritma 𝐥𝐨𝐠 𝒈 𝒏𝒈
= 𝒏), maka
𝒎 × 𝒏 (karena 𝒎 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
), maka
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
× 𝒏
Maka, ruas kiri = ruas kanan
Jadi, 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏𝒈
= 𝒏 × 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈

12. Bukti sifat 4 1):
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
=
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒑
𝐥𝐨𝐠 𝒈
𝒑
Ruas kiri:
Syarat: a > 0, g > 0, g ≠ 1, p > 0 dan p ≠ 1.
Misalkan: y = 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
maka 𝒈 𝒚
= 𝒂 atau 𝒂 = 𝒈 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
Jika kedua ruas dilogaritmakan dengan bilangan pokok p, maka diperoleh:
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒑
= 𝐥𝐨𝐠 𝒈 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
𝒑
Berdasarkan sifat 3 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏𝒈
= 𝒏 × 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
, maka
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒑
= 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
𝐥𝐨𝐠 𝒈
𝒑
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
=
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒑
𝐥𝐨𝐠 𝒈
𝒑
Maka, ruas kiri = ruas kanan
Jadi, 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
=
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒑
𝐥𝐨𝐠 𝒈
𝒑

13. Bukti sifat 4 2):
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
=
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒈𝒂
Berdasarkan sifat 1) 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
=
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒑
𝐥𝐨𝐠 𝒈
𝒑 , dengan mengambil p = a, maka
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
=
𝐥𝐨𝐠 𝒂𝒂
𝐥𝐨𝐠 𝒈𝒂 (berdasarkan sifat-sifat pokok logaritma 𝐥𝐨𝐠 𝒂𝒂
= 𝟏), maka
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
=
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒈𝒂 (terbukti)

14. Bukti sifat 5 1):
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
× 𝐥𝐨𝐠 𝒃𝒂
= 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒈
Syarat: a, b dan g > 0, dan a =1, p = 1
Berdasarkan sifat 4 1) 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
=
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒑
𝐥𝐨𝐠 𝒈
𝒑 , dan 𝐥𝐨𝐠 𝒃𝒂
=
𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒑
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒑
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
× 𝐥𝐨𝐠 𝒃𝒂
=
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒑
𝐥𝐨𝐠 𝒈
𝒑 ×
𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒑
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒑 =
𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒑
𝐥𝐨𝐠 𝒈
𝒑
Berdasarkan sifat 4 1)
𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒑
𝐥𝐨𝐠 𝒈
𝒑 = 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒈
Jadi, 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
× 𝐥𝐨𝐠 𝒃𝒂
= 𝐥𝐨𝐠 𝒃
𝒈

15. Bukti sifat 5 2):
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒎𝒈 𝒏
=
𝒎
𝒏
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
Ruas kiri:
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒎𝒈 𝒏
(berdasarkan sifat 3 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏𝒈
= 𝒏 × 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
), maka
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒎𝒈 𝒏
= 𝒎 × 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈 𝒏
Misalkan 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈 𝒏
= 𝒑 sehingga 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒎𝒈 𝒏
= 𝒎 × 𝒑
Jika 𝒑 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈 𝒏
, maka 𝒈 𝒏 𝒑 = 𝒈 𝒏×𝒑 = 𝒂
𝒈 𝒏×𝒑 = 𝒂
𝒈 𝒏×𝒑
𝟏
𝒏 = 𝒂
𝟏
𝒏
𝒈 𝒑 = 𝒂
𝟏
𝒏
𝒑 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝟏
𝒏
𝒈
𝒑 =
𝟏
𝒏
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
sehingga dari persamaan 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒎𝒈 𝒏
= 𝒎 × 𝒑, diperoleh
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒎𝒈 𝒏
= 𝒎 ×
𝟏
𝒏
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒎𝒈 𝒏
=
𝒎
𝒏
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
Jadi, 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒎𝒈 𝒏
=
𝒎
𝒏
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈

16. Bukti sifat 5 3):
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏𝒈 𝒏
= 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
Ruas kiri:
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏𝒈 𝒏
(berdasarkan sifat 3 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏𝒈
= 𝒏 × 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
), maka
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏𝒈 𝒏
= 𝒏 × 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈 𝒏
Misalkan 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈 𝒏
= 𝒑 sehingga 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏𝒈 𝒏
= 𝒏 × 𝒑
Jika 𝒑 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈 𝒏
, maka 𝒈 𝒏 𝒑
= 𝒈 𝒏×𝒑
= 𝒂
𝒈 𝒏×𝒑
= 𝒂
𝒈 𝒏×𝒑
𝟏
𝒏 = 𝒂
𝟏
𝒏
𝒈 𝒑 = 𝒂
𝟏
𝒏
𝒑 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝟏
𝒏
𝒈
𝒑 =
𝟏
𝒏
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
sehingga dari persamaan 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏𝒈 𝒏
= 𝒏 × 𝒑, diperoleh
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏𝒈 𝒏
= 𝒏 ×
𝟏
𝒏
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏𝒈 𝒏
=
𝒏
𝒏
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
Jadi, 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒏𝒈 𝒏
= 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈

17. Bukti sifat 6:
𝒈 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
= 𝒂
Jika 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
, maka 𝒈 𝒙
= 𝒂
Oleh karena 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
maka 𝒂 = 𝒈 𝒙
= 𝒈 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
Jadi, 𝒈 𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒈
= 𝒂