Makalah ini membahas tentang logaritma, termasuk pengertian, sifat-sifat, fungsi, dan contoh soal logaritma."

1. 1 LOGARITMA
MAKALAH
RINGKASAN MATEMATIKA LOGARITMA
ditulis untuk memenuhi tugas matematika
yang diampu oleh: bp. Wahyu Zulfiansyah
SMKN PERTANIAN KARAWANG
oleh
Ahmad mujahidin alghifary
farell reynaldy south
TEKNIK KOMPUTER DAN JARINGAN
SMKN PERTANIAN KARAWANG
2014

2. 2 LOGARITMA
KATA PENGANTAR
segala puji kepada allah SWT atas rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan makalah dengan judul “Ringkasan Matematika Tentang Logaritma “
dalam penulisan makalah ini penulis mendapat bantuan dari semua pihak.
oleh karena itu pada kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terimakasih
kepada :
1. Bp . Wahyu Zulfiansyah selaku guru matematika
2. Rekan-Rekan kelas X TKJ A SMKN pertanian karawang
3. Orang tua penulis tercinta yang tak henti-hentinya memberikan doa dan
dukungan baik moral maupun material yang telah d berikan
4. Teman teman yang telah membantu baik secara langsung maupun
tidak langsung
penulis sadar bahwa penulisan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan.
untuk itu kritik dan saran yang bersifat sangat membangun yang penulis harapkan
akhirnya penulis berharap semoga penulisan makalah ini dapat bermanfaat bagi
penulis khususnya dan bagi semua pihak yang membacanya.
karawang, 30 oktober 2014
ahmad mujahidin.dkk

3. 3 LOGARITMA
DAFTAR ISI
HALAMAN DEPAN ............................................................... ...................................... 1
KATA PENGANTAR .................................................................................................... 2
DAFTAR ISI ................................................................................................................... 3
BAB I
PENDAHULUAN .......................................................................................................... 4
BAB II
PEMBAHASAN .............................................................................................................. 5
1. Logaritma ........................................................................................... ........................ 5
A. Pengertian logaritma ............................................................................................. 5
B. Sifat – sifat logaritma ............................................................................................ 6
C. Fungsi logaritma ............................................................................. ...................... 10
D. Persamaan ogaritma ............................................................................................. 13
E. Pertidaksamaan logarima .................................................................................... 14
BAB III
PENUTUPAN ................................................................................................................ 15
A. Kesimpulan .......................................................................................................... 15
B. Saran ................................................................................................ ..................... 15
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 16

4. 4 LOGARITMA
BAB I
PENDAHULUAN.
A. Latar Belakang Masalah
Belakangan ini, ilmu matematika telah berkembang pesat. Bukan hanyasebatas hitung
menghitung menggunakan skala statistik, nilai, angka-angka real,kalkulus dan peluang. Akan
tetapi, perkembangan ilmu matematika juga terjadididasarkan pada penalaran
–
penalaran yang logis atas sistem matematis.Penalaran yang dilakukan oleh para ahli
matematik diperoleh atas realitakehidupan yang nyata yang dirasakan oleh manusia. Perkembangan
dan aplikasidan bagian matematik ini sangat dirasakan oleh manusia di berbagai
kehidupan.Penalaran inilah dalam bahasa matematika sering disebut logika.Dari latar
belakang masalah di atas maka penulis akan menyusun salahsatu pembahasan matematika
yaitu tentang logaritma beserta contoh

5. 5 LOGARITMA
BAB II
PEMBAHASAN
LOGARITMA
Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mempelajari mengenai bilangan
berpangkat.
Misalnya : 24 = 16, 2 disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16 sebagai
hasil pemangkatan 2 oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai
16, Anda akan menjawab 4.
Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan
pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis:
24 = 16 ⇔2log 16 = 4
A. Pengertian Logaritma
Operasi logaritma merupakan kebalika (invers) dari perpangkatan.
Definisi : Logaritma suatu Bilangan
Jika x = an maka alog x = n, dan sebaliknya jika alog x = n maka x = an. Hubungan antara
bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:
dengan: a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a ≠ 1;
x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x > 0
n = hasil logaritma.
(alogx dibaca"logaritma x dengan basis a")
Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya, bentuk
pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma.
Berdasarkan definisi di atas, kita dapatkan bentuk-bentuk berikut.
• 2x = 5 ⇔ x = 2log 5 (notasi ⇔ dibaca jika dan hanya jika)
• 3y = 8 ⇔ y = 3log 8
• 5z = 3 ⇔ z = 5log 3
Catatan:
alog x = n ⇔ x = an

6. ♦ Jika logaritma dengan basis e (yaitu e ≈ 2,718…, e adalah bilangan Euler), maka
6 LOGARITMA
alog a = 1, alog 1 = 0, log 10 = 1
alog x + alog y = alog xy
e
log b
ditulis ln b.
♦ Bilangan pokok (basis) 10 tidak ditulis, sehingga 10log a = log a.
Contoh soal :
1) Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk pangkat.
a) 2log 9 = 2
b) 5log
1
125
= -3
c) 2log 32 = 2p
Jawab :
a) 2log 9 ⇔ 9 = 32
b) 5log
1
125
= -3 ⇔
1
125
= 5-3
c) 2log 32 = 2p ⇔ 32=22p
B. Sifat – Sifat Logaritma
a. Sifat 1
Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:
Bukti:
• Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri.
Jadi, a1 = a ⇔ alog a = 1
• Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu.
Jadi, a0 = 1 ⇔ alog 1 = 0
• Log 10 adalah suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya 10.
Jadi, log 10 = 1
b. Sifat 2
Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:
Bukti:
alog x = n ⇔ an = x
alog y = m ⇔ am = y
alog xy = p ⇔ ap = xy
Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh
xy = anam
= an+m
ap = an+m ⇔ p = n+m

7. 푎푛
푎푚
= an-m
7 LOGARITMA
alog x-alog y = alog
푥
푦
alog xn = n alog x
푎푚
log xn =
푛
푚
a log x
Maka:
n = alog x
m = alog y
dan p = alog xy, sehingga :
⇔ n+m=p
⇔ alog x + alog y = alog xy
c. Sifat 3
Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku:
Bukti:
alog x = n ⇔ an = x
alog y = m ⇔ am = y
Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh:
푥
=
푦
ap = an-m, maka p = n-m
sehingga, alog x – a log y = alog
푥
푦
d. Sifat 4
Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:
Bukti:
alog xn = alog (x x x x x x … x x)
n faktor
= alog x + alog x +… alog x
n factor
= n a log x
Jadi, alog xn = n alog x
e. Sifat 5
Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:
Bukti:
alog x = p ⇔ ap = x
푎푚
log xn = q ⇔ = xn
Dari bentuk pangkat di atas diperoleh:
xn = am.q ⇔ (ap)n = amq
⇔ anp = amq
⇔ np = mq
⇔ q =
푛
푚
p
Jadi , 푎푚
log xn =
푛
푚
a log x

8. 8 LOGARITMA
alog x =
푝 log 푥
푝 log 푎
=
1
1
2
푥 log푎
Contoh soal :
1) Sederhanakan bentuk logaritma berikut.
a. 2log 6 + 2log 18 – 2log 27
b. 3log 9 + 3log √3 - 23 log 27
c. 8log 32 + 8log 16 – 8log 128
Jawab:
a. 2log 6 + 2log 18 – 2log 27 = 2log
6.18
27
= 2log 4
= 2 log 22
= 2. 2log 2
= 2
1
2 - 2. 3log 33
b. 3log 9 + 3log √3 - 23 log 27 = 3log 32 + 3log 3
= 2 3log 3 +
3log 3 – 2.3 3log 3
= 2 +
1
2
– 6
=
1
2
– 4
= -
7
2
c. 8log 32 + 8log 16 – 8log 128 = 8log
32.16
128
= 8log 4
= 23 log 22
=
2
3
2log 2
=
2
3
f. Sifat 6
Untuk a, p > 0, dan a, p ≠ 1, serta a, p, dan x ∈ R, berlaku:
Bukti :
alog x = n ⇔ x = an
log x = log an (sifat 4 logaritma)
⇔ n =
푝 log 푥
푝 log 푥
⇔ alog x =
푝 log 푥
푝 log푎
(terbukti)
Jika p = x maka
alog x =
푥 log 푥
푥 log 푎
=
1
푥 log푎
g. Sifat 7
Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:
alog x · xlog y = alog y

9. Bukti :
alog x = p ⇔ ap = x
xlog y = q ⇔ xq = y
Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh
y= xp ⇔ y=(ap)q
9 LOGARITMA
⇔ y=apq
⇔ alog y = alog apq
⇔ alog y = pq alog a
⇔ alog y = pq
⇔ alog y = alog x . xlog y
푎
푎
log푥 = x
푎푛푎
log푥 = 푥푛
h. Sifat 8
Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:
Bukti :
alog x = n ⇔ an = x
x = an ⇔ x = 푎
푎
푙표푔 푥
jadi, 푎
푎
log 푥 = x
i. Sifat 9
Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R berlaku:
Bukti :
푛
푎
log 푥 = 푝 ⇔ alog xn = p
xn = ap
xn = 푎푛푎
푙표푔 푥
jadi, 푎푛푎
log푥 = 푥푛
Contoh Soal :
1. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, nyatakan 12log 30 dalam a dan b.
Jawab :
12log 30 =
3 log 30
3 log 12
=
3 log(5.6)
3 log(4.3)
=
3 log 5+ 3 log6
3 log 4+ 3 log3
=
3 log 5+ 3 log2+ 3 log 3
23 log 2+1
=
푏+1
+1
푎
2(1
)+ 1
푎
=
푎푏+1+푎
푎
2+푎
푎

10. 10 LOGARITMA
=
푎푏+1+푎
2+푎
C. Fungsi Logaritma
Definisi : Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma dengan bilangan pokok 푎(푎 > 0 푑푎푛 푎 ≠ 1)
adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :
y = 푓(푥) = 푎 log 푥
fungsi logaritma y = 푓(푥) = 푎 log 푥 merupakan fungsi
invers dari fungsi eksponen y = 푓(푥) = 푎푥
Grafik fungsi logaritma dibedakan menjadi dua yaitu untuk 0<a<1 dan untuk a > 1.
1. y alog x, untuk 0 < a < 1
Buatlah tabel yang menunjukkan hubungan antara x dan y = f(x) =
1
2 log 푥.
Perhatikan tabel berikut :
x 0 …
1
8
1
4
1
2
1 2 4 8 … ∞
y ∞ 3 2 1 0 −1 −2 −3 −∞
y = f(x) =
1
2 log 푥
Gambar 3-1

11. Berdasarkan gambar 3-1, beberapa sifat fungsi logaritma y = f(x) =
11 LOGARITMA
1
2 log 푥dapat
disebutkan sebagai berikut :
1. Jika nilai x bertambah besar maka nilai y = f(x) =
1
2 log 푥 semakin kecil dengan
pengurangan yang semakin melambat.
2. Fungsi logaritma y = f(x) =
1
2 log 푥 adalah fungsi monoto turun, sebab grafik fungsi
ini turun dari kiri – atas ke kanan-bawah.
Meskipun sifat – sifat ini dipelajari pada grafik y = f(x) =
1
2 log 푥, tetapi sifat – sifat ini
berlaku umum bagi semua fungsi logaritma y = f(x) =
1
2 log 푥 dengan basis 0 < a < 1.
2. y alog x, untuk a > 1
Buatlah tabel yang menunjukkan hubungan antara x dan y = f(x) = 2 log 푥.
Perhatikan tabel berikut :
Berdasarkan gambar 3-2, kita dapat mempelajari perilaku dan sifat – sifat fungsi
logaritma y = f(x) = 2 log 푥 sebagai berikut:
a. jika nilai x bertambah besar maka nilai y = f(x) = 2 log 푥 juga menjadi besar,
tetapi pertambahan nilai y leih lambat dibandingkan dengan pertambahan nilai
x.
b. fungsi logaritma y = f(x) = 2 log 푥 adalah fungsi monoton naik, sebab
grafik ini naik dari kiri-bawah ke kanan-atas.
Meskipun sifat – sifat ini dipelajari pada grafik y = f(x) = 2 log 푥, tetapi sifat – sifat ini
berlaku umum bagi semua fungsi logaritma y = f(x) = 2 log 푥 dengan basis a > 1.
1
3. Hubungan antara grafik y = f(x) = 푎 log 푥dan grafik fungsi y = f(x) =
푎 log 푥
x 0 …
1
8
1
4
1
2
1 2 4 8 … ∞
y -∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 ∞
y = f(x) = 2 log 푥
Gambar 3-2

12. y = f(x) = 2 log 푥
y = f(x) =
1
2 log 푥
Grafik fungsi logaritma y = f(x) =
2 log 푥dan grafik fungsi logaritma y = f(x) =
12 LOGARITMA
1
2 log 푥 masing – masing telah
digambarkan pada Gambar 3-1 dan Gambar 3-2. Jika grafik kedua fungsi itu digambarkan
pada sebuah budang Cartesius maka diperoleh grafik seperti pada Gambar 3-3.
Berdasarkan Gambar 3-3, tampak bahwa terdapat hubungan antara grafik fungsi logaritma y
1
= f(x) = 푎 log 푥dan grafik fungsi logaritma y = f(x) =
푎 log 푥. Hubungan itu dapat
diungkapkan sebagai berikut :
Grafik fungsi logaritma y = f(x) = 푎 log 푥dan grafik fungsi
4. Hubungan Antara Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma
Gambar 3-3
(a) (b)
Gambar 3-4
logaritma y = f(x) =
1
푎 log 푥 adalah simetri terhadap sumbu x.
Ini berarti grafik fungsi logaritma y = f(x) = 푎 log 푥 didapat dari
grafik fungsi logaritma y = f(x) =
1
푎 log 푥 dengan cara mencerminkan
terhadap sumbu x, dan sebaliknya.

13. Gambar 3-4(a) adalah grafik fungsi eksponen 푦 = 푓(푥) = 2푥 dan grafik fungsi logaritma
푦 = 푔(푥) = 2 log 푥 sedangkan Gambar 3-4(b) adalah grafik eksponen 푦 = 푓(푥) = (
Grafik fungsi eksponen 푦 = 푓(푥) = 푎푥 dan grafik fungsi logaritma 푦 =
푔(푥) = 푎 log 푥 simetri terhadap garis y = x.
Ini berarti grafik fungsi eksponen 푦 = 푓(푥) = 푎푥 dapat diperoleh dari
grafik fungsi logaritma 푦 = 푔(푥) = 푎 log 푥 dengan cara mencerminkan
terhadap garis y = x, dan sebaliknya.
Dengan demikian, fungsi eksponen 푦 = 푓(푥) = 푎푥 adalah fungsi invers
dari fungsi logaritma 푦 = 푔(푥) = 푎 log 푥 , dan sebaliknya.
Persamaan Logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variabel x
dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung varibael x.
13 LOGARITMA
1
2
푥
)
dan fungsi logaritma 푦 = 푔(푥) =
1
2 log x .
Berdasarkan fakta pada gambar 3-4, kita dapat menentukan hubungan antara grafik fungsi
eksponen 푦 = 푓(푥) = 푎푥 dengan grafik fungsi logaritma 푦 = 푔(푥) = 푎 log 푥 . secara
umum, hubungan itu dapat diungkapkan sebagai berikut.
D. Persamaan Logaritma
Definisi : Persamaan Logaritma
a. Persamaan Logaritma Berbentuk alog f(x) = alog p
Untuk menyelesaikan persamaan alog f(x) = alog p, dimana a> 0, a ≠ 1, dan f(x), p > 0
dapat menggunakan sifat berikut :
b. Persamaan Logaritma berbentuk alog f(x) = blog f(x)
Untuk menyelesaikan persamaan alog f(x) = blog f(x) dengan a ≠ b dapat menggunakan
sifat berikut :
Contoh soal :
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.
2log (x2 – x + 1 ) = 5log (x2 – x +1)
Jawab :
2log (x2 – x + 1 ) = 5log (x2 – x +1)
x2 – x + 1= 1
x2 – x= 0
alog f(x) = alog p <==> f(x) = p asalkan f(x) > 0
alog f(x) = blog f(x) <==> f(x) =1

14. Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variabel x
dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokokny ajuga mengandung variabel x.
14 LOGARITMA
alog f(x) = alog g(x)<==> f(x) = g(x)
asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif
x( x – 1 ) = 0
x = 0 atau x = 1
jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah {0,1}
c. Persamaan Logaritma Berbentuk alog f(x) = alog g(x)
Untuk menyelesaikan persamaan alog f(x) = alog g(x), dimana a> 0, a ≠ 1, dan f(x), g(x)
> 0 dapat menggunakan sifat berikut :
d. Persamaan Logaritma yang Dapat Dinyatakan dengan Persamaan Kuadrat
Persamaan logaritma dengan bentuk umum sebagai berikut, A alog2 f(x) + B alog f(x)
+ C = 0, a > 0, a ≠ 1, dan f(x) > 0 serta A, B, C € R
Memiliki penyelesaian persamaan yang hampir sama dengan penyelesain eksponen
yang dapat dinyatakan menjadi persamaan kuadrat.
e. Persamaan Logartima Berbentuk h(x)log f(x) = h(x)log g(x)
Untuk menyelesaikan persamaan h(x)log f(x) = h(x)log g(x), dimana h(x) > 0, h(x) ≠ 1,
dan f(x), g(x) > 0 dapat kita gunakan sifat :
E. Pertidaksamaan Logaritma
h(x)log f(x) = h(x)log g(x)<==> f(x) = g(x)
Definisi : Pertidaksamaan Logaritma
Penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma menggunakan sifat fungsi monoton naik dan
sifat fungsi monoton turun pada fungsi – fungsi logaritma standar. Sifat – sifat ini data
diungkapkan sebagai berikut :
Sifat fungsi logaritma monoton naik (a> 1)
a. 퐽푖푘푎 푎 log 푓(푥) ≥ 푎 log 푔(푥)푚푎푘푎 푓(푥) ≥ 푔(푥); 푑푎푛 푓(푥)푑푎푛 푔(푥) > 0
b. 퐽푖푘푎 푎 log 푓(푥) ≤ 푎 log 푔(푥)푚푎푘푎 푓(푥) ≤ 푔(푥); 푑푎푛 푓(푥)푑푎푛 푔(푥) > 0

15. Sifat fungsi logaritma monoton turun (0 < a < 1)
c. 퐽푖푘푎 푎 log 푓(푥) ≥ 푎 log 푔(푥)푚푎푘푎 푓(푥) ≥ 푔(푥); 푑푎푛 푓(푥)푑푎푛 푔(푥) > 0
d. 퐽푖푘푎 푎 log 푓(푥) ≤ 푎 log 푔(푥)푚푎푘푎 푓(푥) ≤ 푔(푥); 푑푎푛 푓(푥)푑푎푛 푔(푥) > 0
15 LOGARITMA
BAB III
PENUTUPAN.
A. Kesimpulan
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau
pemangkatan. Rumus dasar logaritma
Kalkulator(yang sudah dilengkapi fitur log)Turunanfungsi logaritma adalahNilai logaritma dengan
basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.
B. Saran
Penulis harap kepada siswa siswi untuk tidak lagi menanggap bahwa pelajaran matemetika adalah
pelajaran yang sangat sulit untuk dipelajari.

16. 16 LOGARITMA
DAFTAR PUSTAKA
https://www.scribd.com/doc/124278735/Makalah-Logaritma
http://pandaimatematika.com/10/course/info.php?id=4
http://id.wikipedia.org/wiki/Logaritma
http://www.meetmath.com/3551-materi- logaritma.html