Buat Belajar siswa di rumah

1. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1. Memahami definisi persamaan dan pertidaksamaan logaritma.
2. Dapat menyelesaikan berbagai bentuk persamaan logaritma.
3. Dapat menyelesaikan berbagai bentuk pertidaksamaan logaritma.
A. Persamaan Logaritma
Jika sebelumnya kamu telah mengenal persamaan linear dan persamaan kuadrat,
sekarang kamu akan mengenal persamaan logaritma. Apa itu persamaan logaritma?
Bagaimana cara menyelesaikannya? Untuk memahaminya, mari simak penjelasan
berikut ini dengan saksama.
1. Definisi Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan yang memuat bentuk logaritma. Pada
persamaan logaritma, terdapat variabel pada numerus atau pada bilangan pokok.
2. Bentuk Persamaan Logaritma
Ada beberapa bentuk persamaan logaritma, di antaranya sebagai berikut.
matematika PEMINATAN
KelasX
K-13

2. 2
a. Bentuk Persamaan a
log f(x) = a
log p
Padapersamaana
logf(x)=a
logpdengana>0,a≠1,f(x)>0,danp>0,berlakusifatberikut.
a
log f(x) = a
log p ⇒ f(x) = p
Contoh Soal 1
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 5
log (x +13) = 5
log 6!
Pembahasan:
Berdasarkan sifat a
log f(x) = a
log p ⇒ f(x) = p, diperoleh:
5
log (x +13) = 5
log 6 ⇔ x + 13 = 6
⇔ x = 6 – 13
⇔ x = –7
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan 5
log (x +13) = 5
log 6 adalah –7.
b. Bentuk Persamaan a
log f(x) = a
log g(x)
Persamaan ini hampir serupa dengan persamaan sebelumnya. Perbedaannya adalah
konstanta p sebagai numerus pada persamaan sebelumnya diganti dengan fungsi
g(x). Dengan demikian, pada persamaan a
log f(x) = a
log g(x) dengan a > 0, dan a ≠ 1,
f(x) > 0, dan g(x) > 0, berlaku sifat berikut.
a
log f(x) = a
log g(x) ⇒ f(x) = g(x)
Contoh Soal 2
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan log (x2
– x – 10) = log 2x!
Pembahasan:
Berdasarkan sifat a
log f(x) = a
log g(x) ⇒ f(x) = g(x), diperoleh:
log (x2
– x – 10) = log 2x ⇔ x2
– x – 10 = 2x
⇔ − − −
⇔ − −
⇔ −
x x x
x x
x x
2
2
2 10 = 0
3 10 = 0
+ 2 5 = 0( )( )
x + 2 = 0 atau x – 5 = 0
x = –2 atau x = 5

3. 3
Jika x = –2, numerus bernilai negatif. Ini berarti, x = –2 tidak memenuhi.
Jika x = 5, numerus bernilai positif. Ini berarti, x = 5 memenuhi.
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan log (x2
– x – 10) = log 2x adalah 5.
c. Bentuk Persamaan a
log f(x) = b
log f(x)
Jika pada persamaan sebelumnya terdapat numerus yang berbeda, pada persamaan
ini terdapat bilangan pokok yang berbeda. Pada persamaan a
log f(x) = b
log f(x)
dengan a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, a ≠ b, dan f(x) > 0, berlaku sifat berikut.
a
log f(x) = b
log f(x) ⇔ f(x) = 1
Contoh Soal 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2
log (66 – 5x) = 3
log (66 – 5x)!
Pembahasan:
Berdasarkan sifat a
log f(x) = b
log f(x) ⇔ f(x) = 1, diperoleh:
2
log (66 – 5x) = 3
log (66 – 5x) ⇔ 66 – 5x = 1
⇔ − −
⇔ − −
⇔
−
−
5 =1 66
5 = 65
=
65
5
=13
x
x
x
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan 2
log (66 – 5x) = 3
log (66 – 5x) adalah {13}.
d. Bentuk Persamaan f(x)
log g(x) = f(x)
log h(x)
Sekarang kamu akan mengenal persamaan logaritma dengan bilangan pokok dan
numerusberupafungsiyangmengandungvariabel.Padapersamaanf(x)
logg(x)=f(x)
logh(x)
dengan f(x) ≠ 1, f(x) > 0, g(x) > 0, dan h(x) > 0, berlaku sifat berikut.
f(x)
log g(x) = f(x)
log h(x) ⇔ g(x) = h(x)

4. 4
Contoh Soal 4
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2x + 1
log (x2
– 10) = 2x + 1
log (5 – 2x)!
Pembahasan:
Berdasarkan sifat f(x)
log g(x) = f(x)
log h(x) ⇔ g(x) = h(x), diperoleh:
2x + 1
log (x2
– 10) = 2x + 1
log (5 – 2x) ⇔ x2
– 10 = 5 – 2x
⇔ − −
⇔ −
⇔ −
x x
x x
x x
2
2
+ 2 10 5 = 0
+ 2 15 = 0
+ 5 3 = 0( )( )
x + 5 = 0 atau x – 3 = 0
x = –5 atau x = 3
Substitusi nilai x pada bilangan pokok dan numerus. Bilangan pokok dan numerus
harus bernilai positif dengan bilangan pokok tidak sama dengan 1.
Nilai x
Numerus
Bilangan Pokok Keterangan
x2
– 10 5 – 2x
3 –1 –1 7 Tidak memenuhi
–5 15 15 –9 Tidak memenuhi
Jadi, tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.
e. Bentuk Persamaan f(x)
log h(x) = g(x)
log h(x)
Jika pada persamaan sebelumnya terdapat numerus yang berbeda, pada persamaan
ini terdapat bilangan pokok yang berbeda. Pada persamaan f(x)
log h(x) = g(x)
log h(x)
dengan h(x) > 0, f(x) ≠ 1, f(x) > 0, g(x) ≠ 1, dan g(x) > 0, berlaku sifat berikut.
f x g x
h x h x
f x g x
h x
( ) ( )
log ( ) = log ( )
1. ( ) = ( )
2. ( ) =1
Contoh Soal 5
Tentukan nilai x agar persamaan x x
x x+ -
+ = +1 2 2 5 2
1 1log ( ) log( ) bernilai benar!

5. 5
Pembahasan:
Solusi pertama:
x x
x x+ -
+ = +1 2 2 5 2
1 1log ( ) log( ) ⇔ x + 1 = x2
– 5
⇔ −
⇔ − − −
⇔ − −
⇔ −
x x
x x
x x
x x
+1= 5
0 = 5 1
0 = 6
0 = + 2 3
2
2
2
( )( )
0 = x + 2 atau 0 = x – 3
x = –2 atau x = 3
Periksa syarat untuk x = –2 dan x = 3.
Untuk x = –2:
x2
+ 1 = (–2)2
+ 1 = 4 + 1 = 5 > 0 (memenuhi)
x + 1 = (-2) + 1 = –1 < 0 (tidak memenuhi)
x2
– 5 = (–2)2
– 5 = 4 – 5 = –1 < 0 (tidak memenuhi)
Untuk x = 3:
x2
+ 1 = 32
+ 1 = 9 + 1 = 10 > 0 (memenuhi)
x + 1 = 3 + 1 = 4 > 0 (memenuhi)
x2
– 5 = 32
– 5 = 9 – 5 = 4 > 0 (memenuhi)
Ini berarti, nilai x = 3 merupakan solusi.
Solusi kedua:
x x
x x+ -
+ = +1 2 2 5 2
1 1log ( ) log( ) ⇔ x2
+ 1 = 1
⇔ x2
= 0
⇔ x = 0
Periksa syarat untuk x = 0.
x2
+ 1 = 02
+ 1 = 0 + 1 = 1 > 0 (memenuhi)
x + 1 = 0 + 1 = 1 > 0 (memenuhi)
x2
– 5 = 02
– 5 = 0 – 5 = –5 < 0 (tidak memenuhi)
Ini berarti, nilai x = 0 bukan solusi.
Jadi, nilai x agar persamaan x x
x x+ -
+ = +1 2 2 5 2
1 1log ( ) log( ) bernilai benar adalah 3.

6. 6
f. Bentuk Persamaan A(a
log f(x))2
+ Ba
log f(x) + C = 0
Persamaan ini sebenarnya adalah bentuk persamaan kuadrat dengan logaritma
sebagai variabelnya. Agar dapat menyelesaikan persamaan ini, kamu harus
memisalkan y = a
log f(x) sehingga didapat persamaan Ay2
+ By + C = 0. Setelah
diperoleh nilai y, substitusikan kembali pada pemisalan y = a
log f(x) sehingga
diperoleh nilai x.
Contoh Soal 6
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan 2
log2
x – 2
log x3
+ 2 = 0!
Pembahasan:
2
log2
x – 2
log x3
+ 2 = 0 ⇔ (2
log x)2
– 3. 2
log x + 2 = 0
Misalkan y = 2
log x, maka:
2 2 2 2
log 3. log + 2 = 0 3 + 2 = 0
2 ( 1) = 0
= 2 atau =1
x x y y
y y
y y
( )
( )
− ⇔ −
⇔ − −
⇔
Untuk mendapatkan nilai x, substitusikan nilai y yang diperoleh pada pemisalan.
y = 2 ⇔ 2
log x = 2 ⇔ x = 22
⇔ x = 4
y = 1 ⇔ 2
log x = 1 ⇔ x = 21
⇔ x = 2
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah {2, 4}.
B. Pertidaksamaan Logaritma
Setelah kamu memahami persamaan logaritma, sekarang kamu akan belajar tentang
pertidaksamaan logaritma. Apa itu pertidaksamaan logaritma? Bagaimana cara
menyelesaikannya? Untuk memahaminya, mari simak penjelasan berikut ini dengan
saksama.
1. Definisi Pertidaksamaan Logaritma
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memiliki tanda penghubung berupa tanda
ketidaksamaan, yaitu tanda >, <, ≥, atau ≤. Dengan demikian, yang dimaksud dengan
pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang memuat bentuk logaritma.
Seperti pada persamaan logaritma, variabel pada pertidaksamaan logaritma terdapat
pada numerus atau pada bilangan pokok.

7. 7
Super "Solusi Quipper"
2. Bentuk Pertidaksamaan Logaritma
a. Untuk Bilangan Pokok a > 1
a
log f(x) > a
log g(x) ⇔ f(x) > g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0
a
log f(x) ≥ a
log g(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0
a
log f(x) < a
log g(x) ⇔ f(x) < g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0
a
log f(x) ≤ a
log g(x) ⇔ f(x) ≤ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0
b. Untuk Bilangan Pokok 0 < a < 1
a
log f(x) > a
log g(x) ⇔ f(x) < g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0
a
log f(x) ≥ a
log g(x) ⇔ f(x) ≤ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0
a
log f(x) < a
log g(x) ⇔ f(x) > g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0
a
log f(x) ≤ a
log g(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0
Kamu tidak harus menghafal semua bentuk pertidaksamaan logaritma. Akan tetapi,
cukup perhatikan perubahan tanda ketidaksamaannya.
• Jika bilangan pokok a > 1, kamu cukup mengambil numerus pada masing-masing
bentuk logaritma dan gunakan tanda penghubung ketidaksamaan yang sama.
• Jika bilangan pokok memiliki nilai 0 < a < 1, kamu cukup mengambil numerus pada
masing-masingbentuklogaritmadangunakantandapenghubungketidaksamaan
yang berlawanan. Misalkan tanda > menjadi < dan ≥ menjadi ≤.
• Jangan lupa bahwa setiap numerus harus bernilai positif (> 0).
Contoh Soal 7
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 3
log (x2
+ x) ≤ 3
log (21 – 3x)!
Pembahasan:
Bilangan pokok pada pertidaksamaan logaritma tersebut adalah 3 > 1. Dengan
demikian, untuk menentukan penyelesaiannya, cukup ambil numerus pada masing-
masingbentuklogaritmayaitu(x2
+x)dan(21–3x),sertagunakantandapenghubung
yang sama, yaitu ≤. Jangan lupa, perhatikan syarat numerusnya.

8. 8
Syarat numerus:
x2
+ x > 0
⇔ x(x + 1) > 0
⇔ x = 0 atau x = –1 (titik pembuat nol)
+ +–
–1 0
Dengan demikian, x < –1 atau x > 0.
21 – 3x > 0
⇔ − −
⇔
−
−
⇔
3 > 21
<
21
3
< 7
x
x
x
Solusi:
3
log (x2
+ x) ≤ 3
log (21 – 3x) ⇔ x2
+ x ≤ 21 – 3
⇔ x2
+ x + 3x – 21 ≤ 0
⇔ x2
+ 4x – 21 ≤ 0
⇔ (x – 3) (x + 7) ≤ 0
⇔ x = 3 atau x = –7 (titik pembuat nol)
+ –
–7 3
+
Dengan demikian, –7 ≤ x ≤ 3.
Selanjutnya, tentukan irisan dari ketiga daerah hasil tersebut.
7
-+

9. 9
–7
–7
–1 0 3
3
7
–1 0
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah –7 ≤ x < –1 atau 0 < x ≤ 3.
Contoh Soal 8
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 3
log x + 3
log (x + 1) ≤ 1 + 3
log (7 – x)!
Pembahasan:
Ubah dahulu bentuk pertidaksamaan pada soal ke dalam bentuk umum
pertidaksamaan logaritma. Dengan menggunakan sifat logaritma, diperoleh:
3
log x + 3
log (x + 1) ≤ 1 + 3
log (7 – x)
⇔ 3
log x (x + 1) ≤ 3
log 3(7 – x)
⇔ 3
log (x2
+ x) ≤ 3
log (21 – 3x)
Solusi:
x2
+ x ≤ 21 – 3x
⇔ x2
+ 4x – 21 ≤ 0
⇔ (x + 7) (x – 3) ≤ 0
⇔ –7 ≤ x ≤ 3

10. 10
Syarat numerus:
• x > 0
• x + 1 > 0 → x > –1
• 7 – x > 0 → x < 7
Jadi, penyelesaiannya adalah 0 < x ≤ 3.
c. Bentuk A(a
log f(x))2
+ Ba
log f(x) + C ≤ 0
Langkah penyelesaian bentuk pertidaksamaan ini hampir sama dengan bentuk
persamaan logaritma yang telah kamu pelajari sebelumnya. Untuk memahaminya,
perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 9
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut.
1
2 2
1
2
log +1 log +1 6 0x x( ) ( )− − ≥
Pembahasan:
Syarat numerus:
x + 1 > 0 → x > –1 ... HP1
Misal log +1 = ,maka :
1
2
x y( )
y2
– y – 6 ≥ 0
⇔ (y – 3) (y + 2) ≥ 0
⇔ y = 3 atau y = –2 (titik pembuat nol)
+ – +
–2 3
y
Dengan demikian, diperoleh:
y ≤ –2 atau y ≥ 3

11. 11
Selanjutnya, gunakan permisalan sebelumnya untuk menentukan nilai x.
Untuk y ≤ –2: Untuk y ≥ 3:
log +1 2
log +1 log
1
2
+1 4
3...HP
1
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
( )
( ) 





≤ −
⇔ ≤
⇔ ≥
⇔ ≥
−
22
log +1 3
log +1 log
1
2
+1
1
8
7
8
...
1
2
1
2
1
2
3
x
x
x
x
( )
( ) 





≥
⇔ ≥
⇔ ≤
⇔ ≤ − HP3
Jika digambarkan garis bilangan, diperoleh:
–1 3
x
−7
8
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x x R x x| , 1<
7
8
3 .∈ − ≤ − ∪ ≥





