Pre โควตา มช. คณิตศาสตร์1

สงวนลิขสิทธิ์ © โดยบริษัทรัชดาแอสโซซิเอท จากัด ห้ามเผยแพร่และลอกเลียนแบบไม่ว่าส่วนใดส่วนหนึ่งของเอกสาร
ฉบับนี้ นอกจากได้รับอนุญาติ

การสอบ Pre Quota CMU ปี 2554
ข้อสอบ วิชา 05 คณิตศาสตร์ 1
สอบวันที่ 10 – 31 สิงหาคม 2554

1. ข้อสอบฉบับนี้มีทั้งหมด 30 ข้อ แบ่งออกเป็น 2 ตอน ดังนี้
ตอนที่ 1 มี 10 ข้อ ตั้งแต่ข้อ 1 – 10 ข้อละ 4 คะแนน
ตอนที่ 2 มี 20 ข้อ ตั้งแต่ข้อ 1 – 20 ข้อละ 3 คะแนน
2. ข้อสอบฉบับนี้มคะแนนเต็ม 100 คะแนน
ี
3. ข้อสอบทุกข้อเป็นข้อสอบแบบเลือกตอบ แต่ละข้อจะมีคาตอบให้เลือก 4 ตัวเลือก คือ 1, 2, 3, 4
ให้พิจารณา เลือกคาตอบที่เห็นว่าถูกต้องที่สุดหรือเหมาะสมที่สุดเพียงคาตอบเดียว ดังตัวอย่าง

ตัวอย่าง การตอบ
(0) 2 + 3 = ? ข้อนี้ คาตอบที่ถูกคือ 5
1. 2 จึงไปตอบตัวเลือก 4 ในกระดาษคาตอบ ดังนี้
2. 3
3. 4 (0) ① ② ③
4. 5

หน้า 1


ข้อสอบ 05 วิชาคณิตศาสตร์ 1

ตอนที่ 1
1. ให้ x เป็นจานวนเต็มบวกซึ่งเมื่อเขียน x ในรูปตัวเลขฐาน 7 แล้วจะได้ x = (3456)7 จงหาเศษเหลือเมื่อหาร 3x
ด้วย 13

2. ถ้า a เป็นจานวนอตรรกยะที่ทาให้คาตอบของสมการ 2 log( x  3  x  3 )  log 2a  log
x
0 เป็นจานวน
2
เต็มแล้ว จงหาค่า a ที่มีค่ามากที่สุด (กาหนดให้ 2  1.41, 3  1.73 )

3. ถ้าระบบสมการข้างล่างมีเพียงคาตอบเดียว คือ x = 1 และ y = 3 ค่า c – d + 4 เท่ากับเท่าใด โดยที่ c > 0
(c  2) 2 x  (c  5) y  c  4
d  3x  4  2d y  c  d

1
2
4. กาหนดให้ ƒ(x) = Ax 2  Bx  C ถ้า ƒ’(2) = 36, ƒ’’(2) = 16 และ  f ( x)dx  จงหาค่า A – B – C
0 3

5. กาหนดให้ f(x) = A(2x2 – 3)2 – 5x3 + 7x2 + 4x จงหาค่าของจานวนจริง A ที่ทาให้ ƒ’’’(1) = 66

6. กาหนดให้ P ( x, y ) เป็นจุดบนวงกลม x2 + y2 = 1 ที่อยู่ใกล้จุด A(5,12) มากที่สุด จงหาระยะห่างระหว่างจุด
P(x,y) และเส้นตรง -2x + 3y – 8 = 0

7. จงหาพื้นที่บริเวณที่แรเงาในรูปต่อไปนี้

8. ถ้า 4 x  y  (log x  log y)i  64  i เมื่อ i 2  1 แล้ว จงหาค่าของ 7 x 4 y

หน้า 2


9. การเลือกตั้งสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรของจังหวัดหนึ่งซึ่งมีสมาชิกได้ 3 คน มีพรรคการเมืองจานวนทั้งสิ้น 5
พรรค ส่งผู้สมัครรับเลือกตั้งพรรคละ 4 คน จงหาจานวนวิธีที่ผู้ได้รับการเลือกตั้งจะอยู่ต่างพรรคกันทั้งหมด

10. โรงงานแห่งหนึ่งผลิตสินค้า 2 ชนิด คือ A และ B โดยที่สินค้า A ได้กาไรชิ้นละ 30 บาท สินค้า B ได้กาไร
ชิ้นละ 20 บาท ถ้าโรงงานนี้ผลิตสินค้า A จานวน x ชิ้น ผลิตสินค้า B จานวน y ชิ้น ภายใต้อสมการข้อจากัด
ต่อไปนี้
2 x  3y  30
4x  y  20

x  0
y  0

จงหาว่าโรงงานนี้ได้กาไรมากที่สุดเท่าใด

1. กาหนดให้ a, b, c เป็นจานวนจริงใด และ n เป็นจานวนเต็มใดๆ ข้อใดถูกต้อง
1. ถ้า a  c  b  c แล้ว a  b
2. ถ้า ab  ac แล้ว b  c
3. ถ้า a  b แล้ว a  b n n

4. ถ้า a  b แล้ว ac  bc

2. ก. ประพจน์ 
xy x  y  x  y  เมื่อ เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจานวนจริง มีค่าความจริงเป็น จริง
 
 1  5 
ข. เวกเตอร์ 3 และ เวกเตอร์  2  ตั้งฉากกัน
4
   1
 
 4
จากข้อความที่กาหนดให้ ข้อใดกล่าวได้ถูกต้อง
1. ก และ ข ถูก 2. ก ถูก แต่ ข ผิด
3. ก ผิด แต่ ข ถูก 4. ก และ ข ผิด

3. จานวนเซลล์แบคทีเรียในการเพาะเชื้อจุลินทรีย์ที่เวลา t ชั่วโมงมีสูตรเป็น n( t ) = 400ekt เมื่อ k เป็นค่าคงที่ ถ้ า
เวลาผ่านไป 3 ชั่วโมงมีจานวนแบคทีเรีย 1,600 เซลล์ แล้ว เมื่อเวลาผ่านไป 6 ชั่วโมงจะมีจานวนแบคทีเรียกี่
เซลล์
1. 3,400 2. 4,600
3. 6,400 4. 8,200

หน้า 3


4. ให้ p แทนประพจน์ สาหรับทุกจานวนนับ n จะได้ log n 2 เป็นจานวนจริงบวก q แทนประพจน์ มี n เป็นจานวน
2n
เต็มที่ทาให้ 1 เป็นจานวนเต็ม และ r และ s เป็นประพจน์ใด ๆ
3 n 1  2
พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
ก. ประพจน์ q  r  p  s มีค่าความจริงเป็น เท็จ
ข. ประพจน์ r  s  p  q มีค่าความจริงเป็น จริง
ข้อใดถูก
1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด
3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด

5. ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่เป็นสับเซตของ R × R กาหนด ( fog)(x)  3 x  5 และ g ( x)  x3 ข้อความข้อใดผิด
1. f ( x)  3 x 2  6 2. g 1 ( x)  x 2  3 ; x  0
3. fog เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 4. โดเมนของ fog   3, 

6. เซตคาตอบของสมการ ln( x2  9)  ln( x  3)  ln( x 2  x  5) คือข้อใด
1. {1} 2. {2} 3. {3} 4. {4}

7. วงรีวงหนึ่งมีจุดโฟกัสอยู่ที่ (  (c + 1), 0) จุดยอดที่ (  (c + 2), 0) เมื่อ c เป็นระยะทางระหว่างจุดยอดและจุดโฟกัส
ของพาราโบลา x 2  16 y  0 สมการของวงรีรูปนี้คือข้อใด
1. 3x 2  9 y 2  27 2. 6 x 2  11y 2  66
3. 8x 2  20 y 2  160 4. 11x 2  36 y 2  396

8. เส้นตรง L1 : 3 x  4 y  10 ตัดกับเส้นตรง L2 : x  2 y  5 ที่จุด (4, 1 ) ถ้า  เป็นมุมแหลมที่เกิดจากการตัด
2
กันของเส้นตรงทั้งสองแล้ว ค่าของ sin คือข้อใด
1. 1 2. 2 3. 3
4. 4
5 5 5 5

9. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. sin  5   tan  5   1 
    3
 6   3  2
ข. กราฟของสมการ z  2  4i  z  3  i เป็นเส้นตรง
ข้อใดถูกต้อง
1. ก และ ข ถูก 2. ก ถูก แต่ ข ผิด
3. ก ผิด แต่ ข ถูก 4. ก และ ข ผิด

หน้า 4


10. ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีมิติเดียวกันซึ่ง det(B) > 0, det(A) = 4, det(BA-1Bt) = 3 และ det(A-1(At + Bt)B)
= 5 3 แล้ว det(A + B) มีค่าเท่ากับข้อใด
1. 4 3 2. 10
3. 3 2 4. 8

11. กาหนดให้ วงรี x2

y2
1 มีจุดยอดอยู่ที่จุด Ax1 , y1  และ Bx2 , y2  โดยที่ x2  0 แล้ว สมการ
25 9
ของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด B และสัมผัสเส้นตรง 4y = 3x + 5 คือข้อใด
1. x 2  ( y  5) 2  10 2. x 2  ( y  5) 2  20

3. ( x  5) 2  y 2  4 4. ( x  5) 2  y 2  5

12. กาหนด u  3i  2 j  k และ v  2i  3 j  k ถ้า 9  (u  v)  a u  v แล้วค่า a คือข้อใด
1. 4 2. 4
5 5
3. 5 4. 4

13. ค่าของ x ที่ทาให้ x + x2 + x3+ ….. + xn +….. = 0. 3 6 คือข้อใด  

2
1. 2. 1
13 7

3. 2
4. 4
9 15

14. การประมาณจานวนต้นวัชพืชในนาแปลงหนึงโดยวิธีการสุ่มตัวอย่างพื้นที่นา ขนาด 6 ตารางเมตร จานวน 10 จุด
่
แล้วบันทึกจานวนต้นวัชพืช ของแต่ละจุดได้ดังนี้
6 9 7 5 8 9 6 7 9 4
ถ้าแปลงนามีขนาด 3,000 ตารางเมตร แล้วแปลงนานี้จะมีต้นวัชพืชประมาณกี่ต้น
1. 1,500 2. 2,500
3. 3,500 4. 4,500

15. พนักงานของบริษัทแห่งหนึ่งมีรายได้เฉลี่ยต่อเดือน 10,000 บาท ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 2,000 บาท ถ้าแต่
ละคนมีค่าใช้จ่ายต่อเดือน 6,000 บาท ส่วนที่เหลือจะเป็นเงินออมส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินออมต่อเดือน
เท่ากับกี่บาท
1. 1,000 2. 2,000
3. 3,000 4. 4,000

หน้า 5


16. ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ x1 , x2 , x3 , … , xn เท่ากับ a แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
x1 + 3 , x2 + 3 , x3 + 3 , … , xn + 3 เท่ากับเท่าใด
1. a
2. a + 3
3. 3a
4. ไม่สามารถสรุปได้เนื่องจากไม่ทราบข้อมูลจริงของ xi , i =1, 2, 3, …, n

17. นายอาเภอคนหนึ่งของจังหวัดพิษณุโลก ได้ส่งเสริมอาชีพของครัวเรือนตามหลักปรัชญาเศรษฐกิจพอเพียง ปรากฏ
ว่า “แต่ละครัวเรือนมีรายได้ต่าในระดับที่ใกล้เคียงกัน”
จากข้อมูลข้างต้น ข้อใดกล่าวถูกต้อง
1. ค่าเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของรายได้ต่า
2. ค่าเฉลี่ยของรายได้ต่า แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสูง
3. ค่าเฉลี่ยของรายได้สูง แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่า
4. ค่าเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของรายได้สูง

18. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 10 คน ได้คะแนน (X) สรุปดังนี้

 X i2  25,360 and  X i  X   360
10 10 2

i 1 i 1

ข้อใดถูก
1. สมชายสอบได้คะแนน 68 คะแนนสูงกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต 15 คะแนน
2. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนเท่ากับ 10
3. สมศรีสอบได้คะแนน 62 คะแนน ค่ามาตรฐานของคะแนนของมณีนุชเท่ากับ 2
4. คะแนนรวมวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 10 คน เท่ากับ 600 คะแนน

19. ในการสอบแข่งขันครั้งหนึ่ง มีผู้เข้าสอบจานวนมาก ประมวลผลคะแนนสอบเบื้องต้นได้ดังนี้
เปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 = 50 คะแนน
เปอร์เซ็นไทล์ที่ 75 = 84 คะแนน
มัธยฐาน = 70 คะแนน
คะแนนต่าสุด = 30 คะแนน
คะแนนสูงสุด = 100 คะแนน
จากข้อมูลข้างต้นข้อใดกล่าวถูกต้อง
1. คะแนนสอบแจกแจงปกติ
2. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เท่ากับ 17 คะแนน
3. คะแนนในช่วง 50 – 70 หนาแน่นมากกว่าคะแนนในช่วง 70 – 84
4. คะแนนในช่วง 30 – 50 หนาแน่นน้อยกว่าคะแนนในช่วง 85 – 100

หน้า 6


20. ตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ แสดงผลผลิตเฉลี่ยต่อไร่ (หน่วย : กิโลกรัม) ของถั่วเหลืองที่ผลิตได้จากแหล่งที่ปลูก
ทั่วประเทศจานวน 40 จังหวัดของประเทศไทย
ผลผลิตข้าวเฉลี่ยต่อไร่ ความถี่
61 – 80 12
81 – 100 7
101 – 120 5
121 – 140 10
141 – 160 6
ถ้ารัฐบาลมีโครงการขยายพื้นที่การเพาะปลูกข้าว สาหรับจังหวัดที่มีผลผลิตข้าวเฉลี่ยต่อไร่สูงกว่าจังหวัดอื่นๆ
ประมาณร้อยละ 70 ของจังหวัดที่มีพื้นที่ปลูกจานวน 40 จังหวัด ดังนั้นจังหวัดที่จะได้เข้าร่วมโครงการดังกล่าว
จะต้องมีผลผลิตข้าวเฉลี่ยต่อไร่สูงกว่ากี่กิโลกรัม
1. 102.5 2. 110.0 3. 124.5 4. 128.5

หน้า 7


เฉลยข้อสอบ 05 วิชาคณิตศาสตร์ 1

เฉลยตอนที่ 1
1. ตอบ เศษเหลือ เท่ากับ 2
วิธีทา จาก x = (3 × 73) + (4 × 72) + (5 × 7) + (6 × 1)
= 1029 + 196 + 35 + 6
x = 1266
ดังนั้น 3x = 3798 นั่นคือ 3798 ÷ 13 ได้เศษ 2

2. ตอบ ค่า a ที่มีค่ามาก คือ 3.73
วิธีทา
x
2 log[ x  3  x  3  (log 2a  log  0)
2

log[  x3  x3 2  log ax  0
 ( x  3  x  3)2 
log  0

 ax 


( x  3  x  3)2
 10 
ax

( x  3)  2 ( x  3)( x  3)  x  3  ax

2 x  2 ( x  3)( x  3)  ax

2 x 2  9  ax  2 x
ยกกาลัง 2 ทั้งสองข้าง
[2 x 2  9 ]2  (ax  2 x) 2

4(x - 9) = a x - 4ax + 4x2
2 2 2 2

4x2 - 36 = a2x2 - 4ax2 + 4x2
-36 = x2 (a2 - 4a)
36
  x2
a  4a
2

พบว่า a – 4a < 0 เท่านั้นจึงจะทาให้สมการเป็นจริงและคาตอบต้องเป็นจานวนเต็มทาให้ a2 – 4a = -1
2

หรือ -4 หรือ -16 หรือ -36 เท่านั้น และ a เป็นจานวนตรรกยะ
ดังนั้น a2 – 4a = -1 ∴ a2 – 4a + 1 = 0
(4) 2  4(1)(1)
a  (4) 
2

4  16  4 4  12 4  2 3
a  
2 2 2

 a  2  3, 2  3
และถ้า a – 4a = -4 ∴ a2 – 4a + 4 = 0
2

หน้า 8


( a  2) 2  0

a2
และถ้าเป็น -4 และ -16 ทาให้ค่าใน ติดลบ
จากโจทย์ให้หา a ที่มีค่ามากที่สุด ดังนั้น a  2  3  3.73( 3  1.73)

3. ตอบ เท่ากับ 5
วิธีทา แทนค่า (c  2) 2  3(c  5)  c  4-----------①
d  3  34  2d   c  d ------------②
จาก ① c 2  4c  4  3c  15  c  4  0

c 2 2c  15  0
(c  5)(c  3)  0

c  5, 3
โจทย์กาหนดให้ c > 0  c มีค่าเท่ากับ 3
แทนค่า ② (d  3)  3(4  2d )  3  d
6d  12  0

d 2
 c  d  4  3 2  4  5

4. ตอบ มีค่าเท่ากับ 8
วิธีทา f ( x)  Ax 2  Bx  C ; f (1)  A  B  C

f ( x)  2 Ax  B
f ( x)  2 A
f (2)  2 A  16
 A8
f (2)  4 A  B
36  4(8)  B
 B4
1 1
0 f ( x)dx  0 ( Ax  Bx  C )dx
2

1
 Ax 3 Bx 2 
    Cx 

 3 2 0

2 A B
  C
3 3 2
2 8 4
  C
3 3 2
C  4
ดังนั้น A – B – C = 8 – 4 – (-4) = 8

หน้า 9


5. ตอบ ค่าของจานวนจริง A คือ 1
วิธีทา ƒ(x) = A(2x2 – 3)2 – 5x3 + 7x2 + 4x
ƒ’(x) = 2A(2x2 – 3)(4x) – 15x2 + 14x + 4
= 16Ax3 – 24Ax – 15x2 + 14x + 4
ƒ’’(x) = 48Ax2 – 24A – 30x + 14
ƒ’’’(x) = 96Ax – 30
ƒ’’’(1) = 96A(1) – 30
66 = 96A – 30
ดังนั้น A = 1

6. ตอบ ระยะห่างเท่ากับ 1.2
วิธีทา โจทย์กาหนด x2 + y2 = 1 เป็นวงกลม 1 หน่วย จุดศูนย์กลาง (0,0)
ให้ P(x,y) เป็นจุดบนวงกลมที่อยู่ใกล้ A (5,12) มากที่สุด หา P(x,y)
วิธีการหาจุด P โดยการ หาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดกาเนิด (0, 0) และ จุด A (5,12)
จะได้ M = 12  0  12
50 5

รูปแบบทั่วไปของสมการเส้นตรง Ax + By + C = 0 แทนค่า 12x – 5y = 0 ---------------①
เนื่องจากเส้นตรงผ่านจุด (0,0) แสดงว่าเส้นตรงตัดผ่านวงกลมใช้สมการเส้นตรงหาจุดตัดบนวงกลม
จะได้ 12x – 5y = 0
12x = 5y
5
x y
12

แทนค่า x ลงในสมการ x2 + y2 = 1
จะได้ 25 2
y  y2  1
144
12 12
y  ,
13 13

(จุด A มีค่าเป็นบวกดังนั้นใช้ค่า y ที่เป็นบวกเท่านั้น) แทน y = 12 ใน สมการที่ ① จะได้ x = 5
13 13

ดังนั้นจุด P คือ  5 , 12  หาระยะทางระหว่างจุด P และเส้นตรง –2x + 3y – 8 = 0
 
 13 13 
 5   12 
 2   3   8
จะได้ D = Ax1  By1  C
  13   13  6
  1.2
A2  B 2 16  9 5

หน้า 10


7. ตอบ พื้นที่บริเวณที่แรเงาเท่ากับ 27
วิธีทา จากรูปจะได้ว่า
พื้นที่ =
3
 [(2 x )  ( x )] dx
2 2
0

=
3
2
 3x dx
0

= x 3 3
0

= 33  03
= 27

8. ตอบ มีค่าเท่ากับ 49
วิธีทา 4 x  y  (log x  log y)i  64  i
x
4 x  y  (log )i  64  i
y
ใช้การเทียบสมการ จะได้ 4x – y = 64 = 43
ทาให้ x – y = 3 ------------------①
(log x ) = 1
y
x = 101
y
x = 10y แทนลงใน ①
จะได้ 10y – y = 3
9y = 3
1
y
3
10
x
3
ดังนั้น แทนค่า x, y ใน 7 x4 y จะได้เท่ากับ 7 2 = 49

9. ตอบ จานวนวิธีที่ผู้ได้รับการเลือกตั้งจะอยู่ต่างพรรคกันเท่ากับ 640 วิธี
วิธีทา
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5

ขั้นที่ 1 เราต้องเลือกพรรคการเมืองเพียง 3 พรรคจาก 5 พรรคเท่านั้น
ซึ่งเราทาได้  5  10
 3
 
ขั้นที่ 2 พรรคการเมืองที่เราเลือกมา 3 พรรคแล้วนั้น แต่ละพรรคจะได้เป็นสภาผู้แทนราษฎร
เพียงพรรคละ 1 คนเท่านั้น ซึ่งเราเลือกได้  1    1    1   64
4 4
     
4
     
ดังนั้น จานวนวิธีในการเลือกตั้ง มีทั้งหมด 10  64  640 วิธี

หน้า 11


10. ตอบ โรงงานได้กาไรมากที่สุดคือ 450 บาท
วิธีทา สมการวัตถุประสงค์ คือ Z = 30x + 20y

จากรูป ที่จุด (3,8) ค่า Z  30(3)  20(8)  90  160  250
ที่จุด (5,0) ค่า Z  30(5)  20(0)  150  0  150
ที่จุด (15,0) ค่า Z  30(15)  20(0)  450  0  450
ดังนั้น โรงงานนี้จะได้กาไรมากที่สุดเท่ากับ 450 บาท

1. ตอบข้อ 1 ถ้า a + b > b + c แล้ว a > b
วิธีทา เพราะ ข้อ 2 ถ้า ab = ac แล้ว b = c เมื่อแทน a = 0 ทาให้ ab = ac จริง แต่ b อาจจะไม่เท่ากับ c
เสมอไป
ข้อ 3 ถ้า a > b แล้ว an > bn เมื่อแทน a = 1 และ b = -3 แล้วจะได้ 12 < (-3)2
ข้อ 4 ถ้า a > b แล้ว ac > bc เมื่อแทน a = 1 , b = -3 และ c = -4 ทาให้ 1(-4) <(-3)(-4)

2. ตอบข้อ 1 ก และ ข ถูก
วิธีทา ก. ถูกเพราะไม่มีจานวนจริงใด ที่แทนค่าแล้วทาให้สมการเป็นเท็จ
ข. ถูกเพราะเมื่อนาสองเวกเตอร์มา dot แล้วมีค่าเท่ากับ 0
 1
(1)(5)  (3)(2)  (4)   0
 4 

3. ตอบข้อ 2 เมื่อเวลาผ่านไป 6 ชั่วโมงจะมีจานวนแบคทีเรีย 6,400 เซลล์
วิธีทา n(t )  400e kt

จาก t  3, n(t )  1600
จะได้ 1600  400e 3k

ln 4  3k ln e1

หน้า 12


ln 4
k
3
 ln 4 
6 
n(6)  400e  3 

2
 400e ln 4
 400(16)

 6,400

4. ตอบข้อ 1 ก ถูก และ ข ถูก
วิธีทา p แทน log n เป็นจานวนจริงบวก สาหรับ n  N มีค่าความจริงเป็นเท็จ
2

2n
+
เพราะเมื่อ แทน n = 1 จะได้ log1
 0 ซึ่ง 0 ไม่ใช่ R
2
Q แทน มี n ∈ I ที่ทาให้ 1 เป็นจานวนเต็ม มีค่าความจริงเป็นจริง
3n1  2
เพราะ n= 0 ทาให้ 1
01
1 เป็นจริง
3 2
ดังนั้น ก. เป็นเท็จ จึงถูก
ข. เป็นจริง จึงถูก

5. ตอบข้อ 1 f ( x)  3 x 2  6 เป็นข้อความที่ผิด
วิธีทา ( fog )( x)  3
x5

g ( x)  x3

f ( g ( x))  3
x5
f ( x  3)  3
x5
ให้ x3  a

x  a2  3
f (a)  3 (a 2  3)  5  3 a 2  8
แทน a = x จะได้ f ( x)  x  8 3 2

พิจารณา g ( x)  x  3
หาโดเมนของ g จะได้ x  3  0 ; x  3
โดเมนของ g   3,  
เนื่องจากโดเมนของ fog เป็นสับเซตของโดเมนของ g
ดังนั้น โดเมนของ fog   3, 
หา อินเวอร์สขอ g ( x)  x  3
y  x3
x  y3 ; x  0

x2  y  3

y  x2  3

g 1 ( x)  x 2  3 ; x  0

หน้า 13


ตรวจสอบฟังก์ชัน 1-1
แทนค่า x 1 ค่า แล้วต้องได้ y 1 ค่า เช่น x = 13 จะได้ y = 2
เพราะฉะนั้น f o g เป็นฟังก์ชัน 1 -1

6. ตอบข้อ 4 เซตคาตอบของสมการคือ {4}
วิธีทา จาก ln( x  9)  ln( x  3)  ln( x  x  5)
2 2

จะได้ว่า ln x  9   ln( x  x  5)
 
2
2
 x3 
 
นั่นคือ ln( x  3)  lnx  x  5 2

ดังนั้น x  3  x  x  5 2

จะได้ว่า x  2x  8  0
2

นั่นคือ ( x  2)( x  4)  0
จะได้ว่า x = -2 หรือ x = 4
แต่เนื่องจากหลัง log ต้องมากกว่า 0 ดังนั้นจึงมีเพียงคาตอบเดียวคือ x = 4

7. ตอบข้อ 4 สมการของวงรีคือ 11x  36 y  396 2 2

วิธีทา ให้ c เป็นระยะห่างระหว่างจุดยอดและจุดโฟกัสของ x  16 y  4(4) y จะได้ว่า c = 4
2

ดังนั้น พาราโบลามีจุดยอดอยู่ที่ (0,0) และมีจุดโฟกัสอยู่ที่ (0,4)
เพราะฉะนั้นวงรีมีจุดโฟกัสอยู่ที่ (5 , 0) และมีจุดยอดอยู่ที่ (6 , 0)
นั่นคือ c วงรี  5 และ a วงรี  6

   
(-6,0) -5 5 (6,0)

จึงทาให้เรารู้ว่า จุดศูนย์กลางของวงรีอยู่ที่จุด (0,0)
จากความสัมพันธ์ของวงรี a 2  b 2  c 2 จะได้ว่า 36  b  25 นั่นคือ 2
b 2  11
ดังนั้นสมการวงรีคือ ( x  0)  ( y  0)  1 นั่นคือ 11x  36 y  396
2 2
2 2

36 11

8. ตอบข้อ 1 ค่าของ sin คือ 1
5
วิธีทา เนื่องจาก m L1
3
 , mL2 
1
4 2

หน้า 14

3 1 5
mL1  mL 2 
ดังนั้น 4 2 1
tan     4 
1  mL1  mL 2  3   1  5 2
1    
 4  2  8
1
เพราะฉะนั้น sin  
5

9. ตอบข้อ 1 (ก) และ (ข) ถูก
วิธีทา (ก) sin 5   tan 5 
    
1
 3
 6   3  2
1 1
 3   3
2 2
ดังนั้น (ก) จึงถูก
(ข) ให้ z = a + bi หากราฟของ z  2  4i  z  3  i

a  bi  2  4i  a  bi  3  i
2 2

 (a  2) 2
 (b  4) 2    (a  3)
2
2
 (b  1) 2 
2

(a  2) 2  (b  4) 2  (a  3) 2  (b  1) 2
จะได้ a  b  1 เป็นสมการเส้นตรง ข้อ (ข) ถูก

10. ตอบข้อ 2 มีค่าเท่ากับ 10
วิธีทา
det( BA 1 B t )  3
det B  det A 1  det B t  3
 1 
(det B)   det B  3
 det A 
(det B ) 2  3 det A  (det B) 2  3(4)
(det B) 2  12 ; det B  12  2 3
det( A 1 ( A t  B t ) B)  5 3
det A 1  det( A t  B t )  det B  5 3
det B
 det( A t  B t )  5 3
det A
2 3
det( A  B) t  5 3
4
 det( A  B)  10
หมายเหตุ det( A  B) t  det( A  B)

11. ตอบข้อ 3 สมการที่ได้คือ ( x  5) 2  y 2  4
วิธีทา เนื่องจาก วงรี x  y  1 เป็นวงรีตามแนวแกน x มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0) และ มีค่า a = 5
2 2

25 9
ดังนั้น จุดยอด คือ A(-5,0) และ B(5,0)
เนื่องจากระยะทางจากจุด B(5,0) ไปยังเส้นตรง 3x - 4y + 5 = 0 เท่ากับ 3(5)  4(0)  5  20
5 32  4 2

ดังนั้น วงกลมที่มี จุดศูนย์กลาง คือ B(5,0) และ มีรัศมีเท่ากับ 4 คือ ( x  5) 2  y 2  4

หน้า 15


12. ตอบข้อ 2 แล้วค่า a คือ 4
5

วิธีทา จาก u  3i  2 j  k และ v  2i  3 j  k
จะได้ว่า u  v  (3)(2)  (2)(3)  (1)(1)  11
i j k 
และ  
u  v  det 3 2  1  2i  2 j  9k  4k  3i  3 j  5i  5 j  5k
2 3 1 
 

ซึ่ง | u  v |  5  (5)2 2
 52  125  5 5
จาก 9  (u  v)  a u  v
จะได้ว่า a 
9  (u  v)

20

4
| uv | 5 5 5

13. ตอบข้อ 4 ค่าของ x คือ 4
15
วิธีทา จาก x  x  x    x    0. 3 6
 
2 3 n

(ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ x )
จะได้ว่า x  x  x  x  
2 3 36
 n 4
99 11
จากสูตรผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ S 
a1 เมื่อ | r | 1
1 r
จะได้ว่า x

4
1 x 11
ดังนั้น x 
4
15

14. ตอบข้อ 3 แปลงนานี้จะมีต้นวัชพืชประมาณ 3,500 ต้น
วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้ จะได้คาเฉลี่ยจานวนวัชพืชในแปลงขนาด 6 ตารางเมตร คือ
่
 7 ต้น
697589679 4
x
10
แปลงขนาด 6 ตารางเมตร สามารถปลูกวัชพืชได้ประมาณ 7 ต้น
แสดงว่าแปลง 1 ตารางเมตร ปลูกได้ประมาณ 7 ต้น
6
ดังนั้นแปลงขนาด 3,000 ตารางเมตร สามารถปลูกวัชพืชได้ประมาณ 7
 3,000  7  500  3,500 ต้น
6

15. ตอบข้อ 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินออมต่อเดือนเท่ากับ 2,000 บาท
วิธีทา ถ้านาค่าคงที่ไปบวกหรือลบจากค่าแต่ละตัวในข้อมูลจะได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใหม่ที่เท่ากับส่วน
เบี่ยงเบน มาตรฐานเดิม ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินออม จึงเท่ากับ 2,000 บาท

หน้า 16


16. ตอบข้อ 1 เท่ากับ a
วิธีทา จากสูตร S
fx i
2
i
 x2 
 f (x
i i  x)2
N N
ถ้าข้อมูลเพิ่มขึ้นเท่าๆ กันทุกตัว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีค่าเท่าเดิม

17. ตอบข้อ 1 ค่าเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของรายได้ต่า
วิธีทา ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (SD) ใช้บอกการกระจายของข้อมูล มีค่าเป็นบวกเสมอ ถ้าเป็นศูนย์แสดง
ข้อมูลเท่ากัน หมดไม่มีการกระจาย
โจทย์บอกว่า “แต่ละครัวเรือนมีรายได้ต่าในระดับใกล้เคียงกัน” หมายความว่า ค่าเฉลี่ยของรายได้
ต่า และมีการกระจายรายได้น้อยเพราะอยู่ในระดับใกล้เคียงกันทาให้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่า

18. ตอบข้อ 3 สมศรีสอบได้คะแนน 62 คะแนน ค่ามาตรฐานของคะแนนของมณีนุชเท่ากับ 2
วิธีทา SD 
 ( xi  x ) 2  360
 6
N 10

 xi  x 2
2
SD 
N

25,360
6   x2
10
25,360
36   x2
10
x2  2,500

x  50

 (xi  x)2
SD   6
N
 ( xi  x ) 2  36
N

 ( xi  2 xi x  x 2 )  36
2

N

 xi 2 x  xi   x 2  360
2

25,360  2(50) xi  (10)(50) 2  360

100 xi  50,000

 xi  500
xi  x 62  50
Z    2
SD 6
ดังนั้น ข้อ 3 ถูก

19. ตอบข้อ 2 ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เท่ากับ 17 คะแนน
วิธีทา จากข้อมูลที่โจทย์กาหนดให้ สามารถหาค่าควอร์ไทล์ได้ เนื่องจากค่าเปอร์เซ็นไทล์
นั่นค่า P25 = Q1 , P75 = Q3 เมื่อได้ค่าควอร์ไทล์ หาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์จาก
 17 ตรงกับคาตอบข้อ 2
Q Q 84  50
3
 1

2 2

หน้า 17


20. ตอบข้อ 4 จังหวัดที่จะได้เข้าร่วมโครงการดังกล่าว จะต้องมีผลผลิตข้าวเฉลี่ยต่อไร่สูงกว่า 128.5 กิโลกรัม
วิธีทา จาก ตาแหน่ง P  rN
r
100
70(40)

100
= 28
 rN 
   fL 
Pr  L   100 I
 f Pr 
 
 
 28  24 
P70  120.5   20
 10 
= 120.5 + 8
ดังนั้น P  128.5
70

หน้า 18

Pre โควตา มช. คณิตศาสตร์1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (14)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Pre โควตา มช. คณิตศาสตร์1

Similar to Pre โควตา มช. คณิตศาสตร์1 (20)

More from yinqpant

More from yinqpant (13)

Pre โควตา มช. คณิตศาสตร์1